AstronomieAntwoorden
AstronomieAntwoordenBoek: Zwaartekracht


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Zwaartekracht en andere Fundamentele Krachten ... 2. De Formule van Zwaartekracht ... 3. Zwaartepunt ... 4. Banen rond hemellichamen ... 5. De Wetten van Kepler ... 6. Baansnelheid ... 7. Lagrangepunten ... 8. Het bereik van de zwaartekracht ... 9. Zware massa en trage massa ... 10. Hoe zwaartekracht ontstaat ... 11. Ruimte-tijd en rubber ... 12. Zwaartekracht Uitschakelen ... 13. Gewicht ... 14. Gewichtloosheid ... 15. Waarom vallen mensen niet van de Aarde af? ... 16. Precieze berekeningen van planeetposities ... 17. Snelle Kometen en Planeten ... 18. Ontmoetende Zonnestelsels ... 19. Grote getijden maar kleine krachten ... 20. Meerlichamensystemen ... 21. De Grootte van de Getijdegrens ... 22. Resonanties ... 22.1. Baan-baanresonanties ... 22.2. Spin-baanresonanties ... 22.3. De oorzaak van spin-baanresonanties ... 23. Welke valt het snelst? ... 24. Tunnel door de Aarde ... 25. Zwaartekracht in de Aarde ... 26. Ladder op de Aarde ... 27. Stuk uit de Aarde ... 28. Heeft Kepler echt gelijk? ... 29. Is de zwaartekrachtswet van Newton in strijd met de relativiteitstheorieën van Einstein?

Deze bladzijde beantwoordt vragen over zwaartekracht. De vragen zijn:

Vragen over zwarte gaten, waar omheen extreem sterke zwaartekracht heerst, worden beantwoord op de zwarte-gatenbladzijde.

[27] [483]

1. Zwaartekracht en andere Fundamentele Krachten

Er blijken in het Heelal 4 fundamentele krachten te zijn, waar alle andere krachten van afgeleid zijn. Deze fundamentele krachten zijn de sterke kernkracht, de zwakke kernkracht, de electromagnetische kracht en de zwaartekracht.

Als de 4 fundamentele krachten niet bestonden dan zouden wij ook niet bestaan, dus zijn ze best belangrijk voor ons. We weten echter niet waar die fundamentele krachten nu precies vandaan komen of waarom ze precies zijn zoals ze zijn, dus misschien zouden er wel andere fundamentele krachten zijn als die van ons niet bestonden, en dan zou het Heelal er waarschijnlijk heel anders uitzien dan het vandaag doet.

[568]

De sterke kernkracht houdt quarks bij elkaar in hadronen (zoals protonen en neutronen), dus zonder de sterke kernkracht konden er geen atomen zijn, en dus ook geen koolstof en zuurstof en waterstof en stikstof en alle andere elementen waar wij en de wereld om ons heen van gemaakt zijn.

Hiervoor ken ik geen eenvoudige krachtvergelijking vergelijkbaar met de zwaartekrachtwet van Newton. Op //en.wikipedia.org/wiki/Strong_nuclear_force staat dat de sterke kernkracht voorbij een kleine afstand (ongeveer zo groot als een hadron, 10−15 m) constant blijft, en dan gelijk is aan ongeveer 10.000 N (ongeveer het gewicht op Aarde van 1000 kg). Dat die kracht niet met de afstand afneemt zorgt ervoor dat de quarks niet ver van elkaar af kunnen komen. Dat verklaart waarom er nog nooit een losse quark gezien is ― ze zitten altijd samen in kerndeeltjes.

De zwakke kernkracht werkt op sommige leptonen en quarks. (Onder andere elektronen en neutrino's zijn leptonen.) Die wisselwerking kan quarks van soort laten veranderen, zodat bijvoorbeeld een neutron kan veranderen in een proton. Voor deze kracht ken ik geen krachtvergelijking. Deze kracht werkt maar tot een afstand van pakweg 10−18 m, ongeveer 1/1000ste van de afmeting van een proton. Dit korte bereik heeft ermee te maken dat de virtuele deeltjes die de kracht overbrengen relatief zwaar zijn.

De elektromagnetische kracht bindt elektronen aan de kern van atomen en is de basis voor alle scheikunde. Zonder de elektomagnetische kracht zouden er geen moleculen (groepen van aan elkaar gebonden atomen) zijn, en dus ook geen levende wezens (die allemaal gemaakt zijn van moleculen die zelf weer opgebouwd zijn uit atomen van koolstof en zuurstof en waterstof en nog andere).

De zwaartekracht is de enige fundamentele kracht die in de praktijk op zeer grote afstanden gevoeld kan worden. De zwaartekracht zorgt ervoor dat planeten en sterren kunnen vormen, is nodig om sterren te laten schijnen, en zorgt ervoor dat we niet zomaar de ruimte in zweven.

De zwaartekracht is een aantrekkende kracht die bestaat tussen alle dingen met massa of energie. De zwaartekracht wordt beschouwd als één van de vier fundamentele natuurkrachten, naast de elektromagnetische kracht, de sterke kernkracht en de zwakke kernkracht. De laatste twee spelen alleen een rol in atoomkernen en zijn daar heel belangrijk voor kernreacties en radioaktiviteit.

De elektromagnetische kracht zorgt ervoor dat negatief elektrisch geladen deeltjes en positief elektrisch geladen deeltjes elkaar aantrekken, en dat gelijkgestemde ladingen elkaar afstoten. De elektromagnetische kracht bindt negatief geladen elektronen aan positief geladen atoomkernen en speelt een hoofdrol in elke scheikundige reactie, en ook (uiteraard) in elektriciteit en magnetische effecten.

Als er geen sterke kernkracht was dan zouden er waarschijnlijk geen elementen bestaan anders dan waterstof, en daarmee ook geen sterren of planeten of mensen, want zonder kernkracht zouden er geen twee of meer protonen bij elkaar in een atoomkern kunnen zitten, omdat die allemaal positieve elektrische lading dragen en elkaar daarom sterk elektromagnetisch afstoten. De sterke kernkracht moet op de zeer kleine schaal van een atoomkern dus wel een stuk sterker zijn dan de elektromagnetische kracht. De kernkrachten nemen echter veel sneller af met toenemende afstand dan de elektromagnetische krachten doen, zodat buiten de atoomkern de elektromagnetische kracht het wint van de kernkrachten.

De zwaartekracht neemt even snel af met toenemende afstand als de elektromagnetische kracht: allebei met het kwadraat van de afstand. De zwaartekracht is op kleine schaal echter véél minder sterk dan de elektromagnetische kracht. Zo kun je met zelfs een kleine magneet zonder veel moeite een klein ijzeren voorwerp tegen de zwaartekracht in van de grond omhoog krijgen: die kleine magneet trekt (met elektromagnetische krachten) dat ijzeren voorwerp sterker aan dan de hele planeet waar dat voorwerp op ligt! Dat toch op astronomische schalen de zwaartekracht de belangrijkste kracht is komt omdat de zwaartekracht, in tegenstelling tot de elektromagnetische kracht, geen negatieve "lading" kent, en omdat er in het universum op grote schaal evenveel positieve als negatieve elektrische lading is. Zwaartekracht trekt altijd aan, terwijl elektromagnetische krachten kunnen aantrekken maar ook kunnen afstoten. Met op grote schaal ongeveer evenveel positieve als negatieve elektrische lading middelen elektromagnetische krachten op astronomische afstanden uit en spelen ze daar geen grote rol.

De geschiedenis van de ideeën over en kennis van de zwaartekracht is interessant, maar helaas te lang om hier te kunnen vertellen. Voor zover bekend is Isaac Newton uit Engeland de eerste mens geweest die de zwaartekracht begon te begrijpen (op wetenschappelijke wijze), en dat was in de 17e eeuw. Zijn wetten van de zwaartekracht vormen ook vandaag nog het fundament van de studie van de bewegingen in het heelal.

Aan het begin van de 20e eeuw bedacht Albert Einstein de Algemene Relativiteitstheorie waaruit door versimpeling de wetten van Newton volgen. Alleen in situaties waarbij materie snelheden dicht bij die van het licht kan krijgen beginnen de antwoorden van de theorieën van Newton en Einstein flink te verschillen. In meer gewone situaties zijn die verschillen zeer klein, maar toch soms wel meetbaar. In alle testen die tot nu toe gedaan zijn is gebleken dat in zulke gevallen de theorie van Einstein precies klopt (zo goed als het gemeten kan worden), en die van Newton dus te simpel is.

[29]

2. De Formule van Zwaartekracht

De beste beschrijving die we nu hebben van de werking van zwaartekracht is via een formule uit de Algemene Relativiteitstheorie van Albert Einstein. Die formule is klein maar er hoort heel veel uitleg bij met moeilijke wiskunde (bijvoorbeeld tensorrekening), dus die is alleen geschikt voor mensen die die moeilijke wiskunde al kennen.

Gelukkig kunnen we meestal toe met de zwaartekrachtswet van Newton, die alleen simpele wiskunde gebruikt. Flinke verschillen tussen de uitkomsten van de zwaartekrachtwet van Newton en die van de Algemene Relativiteitstheorie zijn alleen belangrijk als de zwaartekracht verschrikkelijk veel sterker is dan op Aarde, of als je verschrikkelijk nauwkeurig meet.

De zwaartekrachtswet van Newton is:

\begin{equation} F = \frac{G M m}{r^2} \end{equation}

In deze formule is \(F\) de zwaartekracht tussen een massa \(M\) en een andere massa \(m\) die elk in een punt geconcentreerd zijn, is \(r\) de afstand tussen de twee puntmassa's, en is \(G\) de universele zwaartekrachtsconstante. Als je \(M\) en \(m\) meet in kilogram, \(r\) in meter, en \(F\) in Newton (een eenheid van kracht, symbool N), dan heeft \(G\) de waarde 6.672 × 10−11 m³/(kg s²). Bijvoorbeeld, de zwaartekracht tussen twee puntmassa's van 10 kg op een onderlinge afstand van 1 m is gelijk aan 6.672 × 10−11×10×10/(1×1) = 6.672 × 10−9 N.

De zwaartekrachtswet van Newton geldt ook voor sommige massa's die niet in een punt geconcentreerd zijn. Voor dingen die puntsymmetrisch zijn (zodat je ze willekeurig kunt draaien en ze er toch steeds hetzelfde uit zien) neem je gewoon de afstand tussen de middelpunten van de bollen, en dan klopt de formule net zo goed als voor puntmassa's. Voor willekeurige dingen klopt de zwaartekrachtswet niet precies maar wel ongeveer, als je de afstand tussen de middelpunten (meer precies: tussen de zwaartepunten) voor \(r\) neemt, en vooral als de afstand tussen de dingen veel groter is dan hun afmetingen. Voor hele preciese antwoorden moet je de preciese vorm en verdeling van massa over het ding meerekenen.

De zwaartekracht tussen een persoon met massa \(m\) op zeeniveau en de Aarde (met \(M\) = 5.976 × 1024 kg en \(r\) = 6378000 m) is gelijk aan \(F = 9,80×m\) newton. De 9,80 is de versnelling van de zwaartekracht aan het oppervlak van de Aarde. Die wordt in formules vaak aangegeven als \(g\). Als je een bepaalde kracht gemeten in newton deelt door 10, dan vind je hoe zwaar die kracht zou voelen als hij je naar beneden zou drukken. Bijvoorbeeld, een kracht van 10 N voelt ongeveer aan als een gewicht van 1 kg.

3. Zwaartepunt

Het zwaartepunt of massazwaartepunt van een verzameling van voorwerpen is een gewogen gemiddelde van de positie van die voorwerpen, waarbij het gewicht van elke positie in het gemiddelde gelijk is aan de massa van het voorwerp. Als \(x_i\) de x-coördinaat is van voorwerp \(i\), en \(m_i\) de massa van voorwerp \(i\), dan is de x-coördinaat \(x_\text{c}\) van het zwaartepunt van de verzameling van voorwerpen gelijk aan

\begin{equation} x_\text{c} = \frac{\sum_i x_i m_i}{\sum_i m_i} \end{equation}

en soortgelijke formules zijn er ook voor de andere coördinaten.

De "voorwerpen" waarvan je het gezamelijke zwaartepunt bepaalt kunnen ook zelf al verzamelingen van weer kleinere voorwerpen zijn. In dat geval moet je voor de positie van zo'n sub-verzameling zijn zwaartepunt nemen en voor de massa de totale massa van die sub-verzameling.

Elke verzameling heeft per definitie een zwaartepunt. Een zwaartepunt is zelf geen hemellichaam, maar is een idee dat handig is om bepaalde eigenschappen van de beweging van hemellichamen (of andere deeltjes) te begrijpen.

Het handige van een zwaartepunt is dat de plaats en beweging van zo'n zwaartepunt niet veranderd kan worden door krachten tussen de leden van de verzameling waar het zwaartepunt bij hoort. Dit is vanwege de Derde Wet van Newton, die zegt dat als A een kracht uitoefent op B, dan oefent B een even grote maar tegengestelde kracht uit op A, dus de effecten op het zwaartepunt middelen uit. Als bijvoorbeeld een planeet opeens door een enorme interne ontploffing uiteen spat (wat bijzonder onwaarschijnlijk is), dan zal het zwaartepunt van de verzameling van brokstukken gelijk zijn aan het zwaartepunt van voor de ontploffing (ofwel: kun je aan de beweging van het zwaartepunt niet zien dat er een ontploffing is geweest).

Het is niet zo dat alle leden van een verzameling van hemellichamen rond het gezamelijke zwaartepunt heen moeten draaien, want ook verzamelingen waarin helemaal geen draaiing zit hebben een zwaartepunt. Een zwaartepunt oefent zelf geen krachten uit. Een zwaartepunt bestaat niet onafhankelijk van de verzameling waar het bij hoort. Het zwaartepunt is een idee, maar wel een handig idee.

[261]

4. Banen rond hemellichamen

Zwaartekracht houdt satellieten en ruimtestations in een baan rond de Aarde, als die baan tenminste niet door de Aarde heen gaat, want dan zouden ze neerstorten, en als die baan tenminste niet te laag is, want anders worden ze door de buitenste lagen van de dampkring van de Aarde afgeremd en dan vallen ze uiteindelijk toch nog naar beneden. Zwaartekracht houdt ook de Maan in een baan rond de Aarde, en de Aarde en andere planeten en kometen en asteroïden een baan rond de Zon, en de Zon in een baan rond het midden van de Melkweg.

[219]

5. De Wetten van Kepler

Johannes Kepler (1571 - 1630) leidde uit nauwkeurige waarnemingen die gedaan waren door Tycho Brahe drie wetten af waaraan planeten zich houden terwijl ze om de Zon draaien:

  1. Een planeetbaan is een ellips met de Zon in één van de brandpunten.
  2. De perkenwet: De voerstraal (de lijn van de Zon naar de planeet) bestrijkt in gelijke tijden gelijke vlakken van de ellips.
  3. De harmonische wet: Het kwadraat van de omlooptijd (jaar) van een planeet rond de Zon is evenredig met de derde macht van de afmeting van de baan.

Tegenwoordig kunnen we deze wetten nog wat algemener maken, en dan gelden ze niet alleen voor planeten maar voor alle hemellichamen zonder eigen voortstuwing in onverstoorde banen rond een veel zwaarder hemellichaam: Banen kunnen niet alleen ellipsen zijn, maar elke soort van kegelsnede, dus ook cirkels, parabolen, hyperbolen en rechte lijnen.

De evenredigheidsconstante uit de harmonische wet heeft te maken met de massa van de ster waar de planeten omheen draaien. We kunnen de derde wet van Kepler zo schrijven:

\begin{equation} M P^2 = a^3 \end{equation}

waarin \(M\) de massa van de ster is ten opzichte van de Zon (dus voor de Zon geldt \(M = 1\)), \(P\) de omlooptijd gemeten in jaren en \(a\) de lengte van de halve lange as van de baan (ongeveer de gemiddelde afstand tot de ster) gemeten ten opzichte van de baan van de Aarde (dus gemeten in Astronomische Eenheden).

Je kunt de derde (harmonische) wet van Kepler gebruiken om uit de omlooptijd van een planeet snel de afmeting van zijn baan te bepalen. Stel bijvoorbeeld dat er een nieuwe asteroïde ontdekt wordt die een omlooptijd van 5 jaar heeft. Hoe groot is dan zijn baan? Volgens de derde wet van Kepler geldt dan \(1 × 5^2 = a^3\) ofwel \(a^3 = 25\) ofwel \(a = 2,92\) AE.

En als rond een ster met drie maal de massa van de Zon een planeet wordt gevonden op dezelfde afstand als die van de Aarde tot de Zon (dus 1 AE), dan geldt voor die planeet \(3 × P^2 = 1^3\) ofwel \(P^2 = 1/3\) ofwel \(P = 0,577\) jaar.

Uit de wetten van Kepler en uit meer nauwkeurige waarnemingen kun je een methode afleiden om de posities van de planeten te voorspellen. De Hemelpositiepagina beschrijft zo'n methode.

[509]

Deze wet van Kepler betekent dat je snelheid in een cirkelbaan rond de Zon lager is naarmate je baan verder van de Zon vandaan is. Dat klinkt misschien tegenstrijdig: je moet gas geven om hogerop te komen, maar in een hogere baan ga je langzamer.

De denkfout is dat je door gas te geven in een hogere cirkelbaan terecht komt. Als je in een cirkelbaan (op vaste afstand van de Zon) eventjes gas geeft dan kom je in een andere baan terecht maar dat moet dan natuurlijk een baan zijn die ook door je huidige positie heen gaat op je huidige afstand van de Zon, dus in die nieuwe baan ben je niet altijd op dezelfde afstand van de Zon, dus kan dat geen cirkelbaan zijn. Als je eventjes gas geeft in de richting waarin je toch al bewoog in je begin-cirkelbaan, dan is het punt waarop je gas geeft het perihelium van je nieuwe baan.

Je komt dan terecht in een ellipsbaan of een paraboolbaan of een hyperboolbaan (afhankelijk van hoeveel gas je geeft), en daarin zal je baansnelheid afhangen van je afstand tot de Zon. Nabij het perihelium van een ellipsbaan zal je baansnelheid hoger zijn dan voor een cirkelbaan op diezelfde afstand, maar nabij het aphelium zal je baansnelheid lager zijn dan voor een cirkelbaan op diezelfde afstand. Als \(v_q\) de baansnelheid in het perihelium is, \(v_Q\) de baansnelheid in het aphelium, en \(v_k\) de baansnelheid in een cirkelbaan op de afstand midden tussen het perihelium en het aphelium van de ellipsbaan, dan is

\begin{equation} v_q × v_Q = v_k × v_k \end{equation}

Je zou dus kunnen zeggen dat de typische snelheid in je nieuwe baan gelijk is aan de snelheid in een cirkelbaan op de typische afstand van je nieuwe baan (maar dan moet je wel uitleggen wat je bedoelt met "typisch", zoals ik hierboven deed).

Dat de baansnelheid afneemt als je verder weg van de Zon gaat komt weer omdat het moeite kost om tegen de zwaartekracht in verder weg van de Zon te komen. Deze tegenwerking van de zwaartekracht is er ook één van de redenen van dat een voetbal steeds langzamer gaat hoe hoger hij een heuvel op rolt nadat je hem een flinke schop hebt gegeven, en weer steeds sneller gaat als hij weer naar beneden rolt.

[551]

6. Baansnelheid

Een planeet die vier keer verder weg staat heeft een baansnelheid die half zo groot is, maar de zwaartekracht is daar zestien maal zwakker. Waarom is de baansnelheid dan relatief toch nog zo hoog?

De planeet valt vanwege de zwaartekracht doorlopend naar de Zon toe, maar gaat vanwege zijn baansnelheid zijwaarts van de Zon weg, en die twee effecten zijn in een cirkelbaan precies in evenwicht waardoor de afstand tot de Zon al met al toch hetzelfde blijft. Onze vraag is: Hoe groot moet de baansnelheid zijn als de afstand tot de Zon viermaal (of een andere factor) zo groot wordt?

Voor het antwoord op deze vraag kijken we naar een heel klein stukje van de cirkelbaan.

De afwijking die je in een cirkelbaan krijgt ten opzichte van een rakende rechte lijn is (dicht bij het raakpunt van de rechte lijn aan de cirkelbaan) omgekeerd evenredig met de straal van de cirkel. Als de cirkel viermaal zo groot wordt dan wijkt hij op dezelfde (kleine) afstand tot het raakpunt nog maar een vierde maal zover af van de rechte lijn.

Als de baansnelheid nog maar half zo groot is dan heeft de planeet tweemaal zoveel tijd nodig om dezelfde kleine afstand vanaf het raakpunt af te leggen. Dan heeft de zwaartekracht tweemaal zoveel tijd om (voor dezelfde afgelegde afstand) de planeet van de rechte lijn af te trekken. Hoogteverschil door de zwaartekracht is evenredig met de zwaartekracht zelf en met het kwadraat van de tijd (volgens de middelbareschoolformule \(h = \frac{1}{2}gt^2\)), dus op dezelfde afstand van de Zon zal de zwaartekracht in tweemaal zoveel tijd de planeet viermaal zover van de rechte lijn trekken, maar op viermaal zo ver van de Zon is de zwaartekracht zestien maal zwakker, dus met maar de halve baansnelheid zal de zwaartekracht daar netto de planeet maar een vierde maal zover van de rechte lijn trekken (maal vier vanwege de halve baansnelheid, en gedeeld door zestien vanwege de zwakkere zwaartekracht), wat precies klopt bij een cirkel die viermaal zo groot is, zoals we boven zagen.

Dat de baansnelheid niet omgekeerd evenredig is met de afstand, maar met de wortel uit de afstand, heeft te maken met de kwadraat van de tijd in de formule voor het hoogteverschil vanwege de zwaartekracht.

[103]

7. Lagrangepunten

In een stelsel met twee hemellichamen die in cirkelbanen om hun gemeenschappelijke zwaartepunt draaien zijn er vijf punten waar de zwaartekracht van de twee lichamen en de middelpuntvliedende kracht in de cirkelbaan van het punt precies met elkaar in evenwicht zijn. Die punten zijn de Lagrangepunten, vernoemd naar de wiskundige die ze voor het eerst uitrekende.

Als een ding met verwaarloosbare massa precies in zo'n Lagrangepunt zit dan kan het daar heel lang blijven zonder dat daar een motor voor nodig is.

De vijf Lagrangepunten worden traditioneel aangegeven als L1 tot en met L5. De eerste drie Lagrangepunten liggen op de lijn die door het midden van de twee hemellichamen gaat: L1 ligt tussen de twee hemellichamen in, L2 ligt aan de andere kant van het lichtere hemellichaam en L3 aan de andere kant van het zwaardere hemellichaam. L4 en L5 liggen op de punten die gelijkbenige driehoeken maken met het midden van de twee hemellichamen: ze liggen even ver van beide hemellichamen af. L4 gaat voor het lichtere hemellichaam uit, en L5 volgt het lichtere hemellichaam.

Wat gebeurt er als je een klein beetje van een Lagrangepunt weg gaat? Als het punt stabiel is, dan zul je er een beetje omheen drijven maar er wel in de buurt blijven, ongeveer zoals een knikker die door een schaal rolt zonder wrijving. Als het punt onstabiel is, dan zul je uiteindelijk steeds verder van het punt weg drijven, zoals een bal die van de top van een heuvel rolt. Alleen de laatste twee Lagrangepunten kunnen stabiel zijn, en dan nog alleen als de massaverhouding van de twee hemellichamen 25 of groter is.

Er bevinden zich asteroïden (de zogenaamde Trojanen en Grieken) in de L4 en L5 van het Zon-Jupitersysteem. De L1 en L2 van het Zon-Aardesysteem worden wel eens gebruikt om satellieten in te parkeren die continu naar de Zon kijken (in L1) of de Aardse magnetosfeer bestuderen (in L2).

Reken zelf aan Lagrangepunten.

[102]

8. Het bereik van de zwaartekracht

De zwaartekracht van de Aarde gaat oneindig ver door, maar wordt wel steeds zwakker als je steeds hoger boven de Aarde komt. De regel is als volgt: Telkens als je tweemaal verder van het midden van de Aarde komt is de zwaartekracht nog maar een kwart zo sterk. De straal van de Aarde is ongeveer 6400 km dus als je 6400 km boven de grond bent (en dus 2 maal 6400 km van het midden van de Aarde) dan is de zwaartekracht nog maar een kwart van wat hij op de grond is. Ook de zwaartekracht van andere voorwerpen gaat oneindig ver door en neemt af met het kwadraat van de afstand.

[98]

9. Zware massa en trage massa

Massa komt voor in twee fundamentele formules uit de natuurkunde. De tweede Bewegingswet van Newton zegt dat "de verandering van beweging is recht evenredig met de uitgeoefende kracht", wat neerkomt op de formule

\begin{equation} F = m_\text{i} a \label{eq:second} \end{equation}

waar \(F\) de uitgeoefende kracht is, \(a\) de opgewekte versnelling en \(m_\text{i}\) de evenredigheidsconstante die voor een gegeven voorwerp een vaste waarde heeft en die de trage massa genoemd wordt.

De Universele Zwaartekrachtswet van Newton beschrijft de zwaartekracht tussen twee lichamen gebaseerd op hun eigenschappen en op de afstand tussen hun zwaartepunten:

\begin{equation} F_\text{g} = \frac{G M_\text{g} m_\text{g}}{r^2} \label{eq:gravity} \end{equation}

waar \(F_\text{g}\) de zwaartekracht is, \(M_\text{g}\) de zware massa van één van de lichamen, \(m_\text{g}\) de zware massa van het andere voorwerp, en \(r\) de afstand tussen hun zwaartepunten.

Als je de \(F_\text{g}\) uit vergelijking \eqref{eq:gravity} gelijk stelt aan de \(F\) uit vergelijking \eqref{eq:second}, dan kun je de versnelling uitrekenen die de zwaartekracht geeft. Deze is

\begin{equation} g = a_\text{g} = \frac{F_\text{g}}{m_\text{i}} = \frac{G M_\text{g}}{r^2} \frac{m_\text{g}}{m_\text{i}} \end{equation}

Het equivalentieprincipe stelt dat de zware massa van een voorwerp identiek is aan de trage massa van dat voorwerp, ofwel \(m_\text{g} ≡ m_\text{i}\), zodat

\begin{equation} g = \frac{G M_\text{g}}{r^2} \label{eq:gravacc} \end{equation}

dat onafhankelijk is van de massa \(m_\text{i} = m_\text{g} = m\) van het versnelde voorwerp. Vanwege het equivalentieprincipe is de zwaartekrachtsversnelling die een voorwerp ondervindt onafhankelijk van de massa van dat voorwerp. De Maan ondergaat bijvoorbeeld een bepaalde versnelling vanwege de zwaartekracht van de Aarde. Als je de Maan vervangt door een auto, dan zal die auto precies dezelfde versnelling ondergaan op dezelfde plaats.

Echter, het equivalentieprincipe vergelijkt alleen versnellingen die verschillende voorwerpen ondergaan in dezelfde situatie op dezelfde plaats. Het zegt bijvoorbeeld helemaal niets over de versnelling van het andere voorwerp. Als je de Maan vervangt door een auto, dan is de versnelling van de auto hetzelfde als dat van de Maan was, maar de versnelling van de Aarde is dan een stuk minder omdat het nu door een veel minder massief voorwerp aangetrokken wordt.

We vergelijking twee systemen: In systeem A worden de Aarde en de Maan stil gehouden op hun gemiddelde afstand. Systeem B is gelijk aan systeem A maar heeft een tweede Aarde in plaats van de Maan. Laat nu de voorwerpen in de beide systemen los zodat ze onder invloed van hun zwaartekracht naar elkaar toe vallen.

De twee Aardes in systeem B zullen eerder tegen elkaar botsen dan de Aarde en de Maan in systeem A (als we aannemen dat ze allemaal vrij vallen uit een beginsituatie zonder snelheid). De Maan uit systeem A begint met dezelfde versnelling als de Aardes uit systeem B (vanwege het equivalentieprincipe), maar de Aarde in systeem A begint met een veel kleinere versnelling omdat de massa van de Maan die hem aantrekt zoveel kleiner is (omdat vergelijking \eqref{eq:gravacc} nog wel de massa van het andere voorwerp bevat). De som van de versnellingen van de twee voorwerpen in systeem B is daarom groter dan de som van de versnellingen in systeem A, dus zullen de voorwerpen in systeem B eerder bij elkaar komen dan de voorwerpen in systeem A.

[61]

10. Hoe zwaartekracht ontstaat

Zwaartekracht is een eigenschap van massa. Alles dat massa heeft heeft ook zwaartekracht. De zwaartekracht is evenredig met de massa, dus als de massa een bepaalde factor groter wordt dan wordt de zwaartekracht dat ook met dezelfde factor.

Zwaartekracht komt dus niet alleen voor bij planeten. Zwaartekracht hoort bij alles dat massa heeft, dus ook bij jou. De zwaartekracht die jij opwekt is echter verschrikkelijk veel kleiner dan de zwaartekracht die een planeet opwekt, en is ook veel kleiner dan de elektromagnetische krachten die de eigenschappen van alle dingen om ons heen bepalen (behalve van radioactiviteit), dus merk je normaal gesproken niet dat dingen op Aarde ook zwaartekracht hebben.

Albert Einstein heeft ons geleerd dat ruimte en tijd verweven zijn, zodat hoe lang iets is of hoe lang iets duurt niet voor iedereen gelijk is zelfs als iedereen perfecte meetapparatuur heeft. Dat soort effecten zijn alleen merkbaar voor dingen met een snelheid dicht bij die van licht. Zo kunnen sommige zeer snelle kosmische deeltjes tot vrij laag in de dampkring komen omdat voor hen vanwege hun zeer grote snelheid de tijd langzamer verloopt (of, gezien vanuit hun perspectief, dat de dampkring dunner is) en het dus langer (volgens onze klok) duurt voor ze uit elkaar vallen dan voor gelijksoortige langzame kosmische deeltjes.

De ruimte-tijd (de combinatie van ruimte en tijd) wordt vervormd door de aanwezigheid van massa, net zoals een zware bal een kuil maakt als je hem op een strakgetrokken stuk rubber legt. De kromming van de ruimte-tijd merken wij op als zwaartekracht. Als je een knikker over het rubber laat rollen dan zal die knikker door de kuil van een rechte baan afgebogen worden, net alsof de knikker aangetrokken wordt door de bal die de kuil maakt, maar eigenlijk buigt de knikker alleen af omdat de strook rubber waar hij overheen rolt niet vlak is, of dat nu door de nabije bal komt of door iets anders. Op dezelfde manier lijkt het alsof de zwaartekracht van de Aarde direct aan de Maan trekt en de Maan zo in een baan rond de Aarde houdt, maar "eigenlijk" wordt de Maan van een rechte lijn afgebogen omdat de ruimte-tijd op haar pad niet vlak is, wat weer komt door de aanwezigheid van de Aarde.

Er gebeurt dus niets speciaals in een planeet om aantrekkingskracht op te wekken. Een planeet heeft alleen merkbare zwaartekracht omdat hij een zeer grote hoeveelheid massa heeft.

11. Ruimte-tijd en rubber

[557]

In uitleg van de Algemene Relativiteitstheorie wordt de ruimte-tijd vaak vergeleken met een strakgetrokken vel rubber of zoiets. Als je daar een bal op legt dan maakt die een kuil in het rubber. Als je er dan een knikker bij legt dan kan die de kuil in rollen naar de zware bal toe. Waarom helpt dit om de Algemene Relativiteitstheorie uit te leggen? Want een vel rubber is tweedimensionaal en de ruimte-tijd is vierdimensionaal. Bovendien zorgt op het rubber eigenlijk toch de zwaartekracht er voor dat de knikker naar de bal toe gaat?

Het is onmogelijk om alle kenmerken van de zwaartekracht en de ruimte-tijd te laten zien met behulp van tweedimensionale voorbeelden, want de ruimte-tijd is vierdimensionaal. De tweedimensionale voorbeelden kunnen hooguit sommige kenmerken laten zien, en andere kenmerken van die voorbeelden zullen helemaal niet lijken op de zwaartekracht en de ruimte-tijd.

Het doel van het voorbeeld met het gespannen vel rubber is om te laten zien dat de beweging van een voorwerp kan afhangen van de omstandigheden heel dicht in de buurt van dat voorwerp, op zo'n manier dat het lijkt alsof er een kracht werkt tussen dat voorwerp en andere voorwerpen die verder weg zijn, terwijl er helemaal niet zo'n kracht is.

Een zware bal op het vel rubber zal een kuil maken en een klein balletje elders op het rubber kan dan de kuil in gaan rollen en tegen de zware bal komen te liggen. Als je alleen de beweging van de ballen bekijkt en verder niets weet over waarom ze bewegen dan zou je kunnen denken dat de twee ballen elkaar aantrekken als met zwaartekracht, want hun beweging naar elkaar toe (steeds sneller naarmate ze dichter bij elkaar komen) lijkt op wat je verwacht als ze elkaar met zwaartekracht aantrekken.

Er werkt echter geen merkbare zwaartekracht tussen de twee ballen. De kleine bal beweegt niet omdat hij aangetrokken wordt door de zware bal, maar omdat het rubber in de buurt van de bal niet horizontaal is. Het maakt daarvoor niet uit waarom het rubber daar niet horizontaal is. Als we de zware bal weghalen en steeds het kleine stukje rubber waar de kleine bal dan is eventjes precies schuin genoeg maken dan zal de kleine bal net zo bewegen alsof de zware bal er nog wel was.

De kleine bal beweegt dus vanwege de omstandigheden van de "ruimte" (vel rubber) op de plek waar de bal dan is, zonder dat er merkbare krachten werken tussen de kleine bal en andere voorwerpen in die "ruimte".

De Algemene Relativiteitstheorie stelt dat de zwaartekracht op een soortgelijke manier werkt: de zwaartekracht werkt niet direct tussen twee hemellichamen, maar in plaats daarvan buigt de massa van de hemellichamen de ruimte-tijd in een groot gebied rond de hemellichamen, en de hemellichamen reageren op de kromming van de ruimte-tijd op de plek waar ze zijn, ongeacht wat de oorzaak van die kromming is.

Waarom moeten we zo moeilijk doen met kromming van de ruimtetijd, als het net zo goed werkt met zwaartekracht direct tussen hemellichamen? Dat is omdat die twee verschillende modellen niet in alle gevallen precies dezelfde resultaten geven. Waar die twee modellen verschillende resultaten geven blijkt (tot nu toe) dat de resultaten van de Algemene Relativiteitstheorie beter zijn dan die van de klassieke zwaartekrachtstheorie van Newton. Als dat niet zo was geweest dan hadden we het idee van kromming van de ruimte-tijd, en de voorbeelden met het rubber, niet nodig gehad.

[202] [253] [421]

12. Zwaartekracht Uitschakelen

Als er nooit zwaartekracht was geweest, dan zouden er geen sterren of planeten of melkwegstelsels of zwarte gaten of mensen geweest zijn, maar alleen wolken van gas en stof, redelijk gelijk verdeeld over het Heelal en veel kouder dan het ooit op de Zuidpool wordt.

Als je de zwaartekracht tussen de Aarde en de Zon plotseling uit zou schakelen, dan zou de Aarde recht door vliegen in de richting die hij toen toevallig had en met de snelheid ten opzichte van de Zon die hij toevallig had, want de eerste Wet van Newton zegt dat iets waarop geen krachten werken met een constante snelheid langs een rechte lijn beweegt. De baansnelheid van de Aarde is ongeveer 30 km/s of pakweg 1 AE per 58 dagen, dus zou de Aarde dan met die snelheid van de Zon weg vliegen.

Voor zover wij weten is het echter onmogelijk om zwaartekracht uit te schakelen, omdat het een eigenschap is van massa. Als ergens massa is dan is er ook zwaartekracht.

De enige toestand waarin je geen gewicht voelt is als je in vrije val bent. In de ruimte is dat willekeurig lang vol te houden, maar nabij het aardoppervlak is dat alleen tijdelijk te doen, bijvoorbeeld in een vliegtuig dat langs de juiste paraboolbaan naar boven en weer naar beneden vliegt. Zoek op het internet naar "vomit comet" voor voorbeelden. Om in en uit die baan te geraken heb je dan juist bewegingen nodig die je een groter gevoel van gewicht geven dan op de grond. Astronauten trainen voor gewichtloosheid door van zo'n vliegtuig gebruikt te maken.

Astronauten trainen onder water voor ruimtewandelingen. Met het juiste duikpak aan ben je niet gewichtloos maar blijf je wel zweven.

[82]

13. Gewicht

Je kunt zwaartekracht alleen voelen als die tegengewerkt wordt door een kracht die op je buitenkant werkt. Als je op de grond staat dan trekt de zwaartekracht van de Aarde je naar beneden maar duwt de grond even hard omhoog tegen je voeten, en daarom blijf je gewoon staan maar voelt het alsof je hoofd en de rest van je lichaam naar je voeten geduwd wordt, en dat gevoel is je gewicht.

Een astronaut in de ruimte weegt helemaal niets, maar heeft nog steeds dezelfde massa (hetzelfde aantal kilogrammen) als op Aarde. Massa en gewicht zijn dus niet hetzelfde. Je massa is hoeveel materiaal er in je hele lichaam zit. Je gewicht is hoeveel kracht de grond (of iets anders waarop je staat) op je uitoefent. Als je op de Aarde of de Maan of een ander hemellichaam staat dan is je gewicht evenredig met je massa maar ook met de zwaartekrachtsversnelling. Als de zwaartekracht minder sterk is, dan wordt je minder sterk naar beneden getrokken en duwt de grond je dus ook minder sterk weer naar boven (zodat je rustig kunt blijven staan), dus weeg je dan minder. Je weegt op de Maan minder dan op de Aarde omdat de zwaartekracht op de Maan minder sterk is dan op Aarde.

Er zijn twee fundamenteel verschillende soorten weegschalen. Er is een soort die gewichten (massa's) vergelijkt en er is een soort die krachten meet. We noemen iets van de eerste soort een balans. Voor de tweede ken ik geen algemene naam. Ik zal ze hier veerweegschaal noemen.

Bij een balans moet je tegengewichten toevoegen of weghalen of verschuiven totdat het ding waarvan je de massa wilt weten in balans is met de tegengewichten waarvan je de massa al kent. Aan hoever je de tegengewichten moest verschuiven of aan hoeveel tegengewichten je moest gebruiken kun je aflezen wat de onbekende massa is. Deze meting is niet afhankelijk van de zwaartekracht (behalve dat het niet werkt als er helemaal geen zwaartekracht is), dus meet je hiermee de massa en niet het gewicht.

Als je op een veerweegschaal gaat staan dan druk je een veer van de weegschaal in vanwege de zwaartekracht die je naar beneden trekt. Als je meer massa hebt dan druk je de veer verder in en dan geeft de veerweegschaal een grotere waarde aan. Als je jezelf weegt op een plek met minder zwaartekracht, dan druk je de veer minder ver in en geeft de veerweegschaal een kleinere waarde aan. De metingen met veerweegschalen hangen dus af van de sterkte van de zwaartekracht, dus meet je daarmee het gewicht en niet de massa.

De meeste veerweegschalen meten in een eenheid van massa (zoals de kilogram), hoewel ze eigenlijk zouden moeten meten in een eenheid van kracht (zoals de newton). Je moet de kilogrammen van een veerweegschaal dus opvatten als "kilogrammen in de standaardzwaartekracht van de Aarde".

Wat gebeurt er nu als je met een balans en een veerweegschaal naar de Maan gaat en jezelf daar meet? Dan zal de balans even veel aanwijzen als op Aarde, omdat de tegengewichten net zoveel lichter geworden zijn als jijzelf en je dus nog steeds in balans houden. De veerweegschaal zal op de Maan ongeveer zes keer minder aanwijzen, omdat de zwaartekracht op de Maan ongeveer zes keer minder sterk is als op de Aarde.

Ook op Aarde is de zwaartekracht niet overal precies hetzelfde, dus zal je gewicht op Aarde een klein beetje afhangen van waar je bent. Op de polen is de zwaartekracht ongeveer een half procent (een tweehonderdste deel) sterker dan op de evenaar, dus zul je op de polen ongeveer een half procent meer wegen dan op de evenaar. Voor iemand van 50 kg scheelt dat een gewicht equivalent met ongeveer een kwart kilogram.

[119]

Het gewicht van een voorwerp is afhankelijk van de positie van het voorwerp op Aarde hoofdzakelijk omdat de Aarde om zijn as draait. Als de Aarde niet om zijn as zou draaien dan zou het gewicht van een voorwerp veel minder variëren met de plaats op Aarde. Dan zou het gewicht alleen nog veranderen door minieme zwaartekrachtsverschillen die te maken hebben met bergen of zware gesteenten in de buurt (of juist niet in de buurt).

Als je in een draaimolen zit dan voel je een middelpuntvliedende kracht naar buiten toe en die kracht wordt sterker als de draaimolen sneller draait of als je verder van het midden af zit (dus dichter bij de buitenkant). Net zo werkt er een middelpuntvliedende kracht op iemand die op de draaiende Aarde staat. Net als in een draaimolen is die kracht sterker als je verder van de draaias bent, dus is hij het sterkste op de evenaar en afwezig op de polen. Het verschil is niet zo groot: maar ongeveer een half procent.

[135]

De volgende tabel toont hoe veel keer de zwaartekracht aan het oppervlak van verschillende hemellichamen sterker is als op Aarde, hoeveel je daar zou wegen als je op Aarde 50 kg weegt, en hoe hoog je daar zou kunnen springen als je op Aarde 1 meter = 100 cm hoog kunt springen. Alle planeten, de Zon, en alle manen waarop je meer weegt dan op Pluto staan in de tabel. De versnelling van de zwaartekracht aan het oppervlak van de Aarde is gemiddeld 9,8 m/s2.

Tabel 1: Zwaartekracht op de Zon, Planeten en Manen

naam ggewicht sprong
Zon 27.964 1398 3.5 cm = 1.4 in
Mercurius 0.376 19 265 cm = 8 ft 9 in
Venus 0.905 45 110 cm = 3 ft 8 in
Aarde 1.000 50 100 cm = 3 ft 3 in
Mars 0.379 19 264 cm = 8 ft 8 in
Jupiter 2.530 127 40 cm = 1 ft 4 in
Saturnus 1.064 53 94 cm = 3 ft 1 in
Uranus 0.905 45 110 cm = 3 ft 8 in
Neptunus 1.137 57 88 cm = 2 ft 11 in
Pluto 0.067 3 14.9 m = 48 ft
Io 0.185 9 5.4 m = 18 ft
Maan 0.164 8 6.1 m = 20 ft
Ganymedes 0.146 7 6.8 m = 22 ft
Titan 0.139 7 7.2 m = 24 ft
Europa 0.133 7 7.5 m = 25 ft
Callisto 0.128 6 7.8 m = 26 ft
Triton 0.080 4 12.5 m = 41 ft

[305]

14. Gewichtloosheid

Iets is gewichtloos als de zwaartekracht erop niet wordt tegengewerkt en als het ook geen eigen voortstuwing heeft. Iets dat vrij in de ruimte zweeft is dus gewichtloos. Dat kan een astronaut zijn, een kunstmaan of een ruimteschip, maar ook de Maan of een planeet zoals de Aarde, of de Zon.

Als de zwaartekracht vrij spel heeft, dan ben je wel gewichtloos maar heeft de zwaartekracht wel invloed op je weg door de ruimte: De zwaartekracht verandert dan je richting of je snelheid of alletwee. Bij een astronaut die in een baan rond de Aarde gaat verandert zijn richting de hele tijd, want een astronaut gaat de hele tijd een bocht om.

[32]

15. Waarom vallen mensen niet van de Aarde af?

Mensen vallen niet van de Aarde af vanwege de zwaartekracht tussen die mensen en de Aarde. Alle dingen die massa hebben trekken elkaar aan met een zwaartekracht die groter wordt als de massa's groter worden en die kleiner wordt als de middelpunten van de massa's verder van elkaar gaan. De zwaartekracht van een massa wijst altijd naar het middelpunt (zwaartepunt) van die massa. Mensen vallen dus niet van de onderkant van de wereld af omdat de zwaartekracht van de Aarde overal naar het middelpunt van de wereld trekt. Als je aan de andere kant van de wereld woont, dan sta je ook met je voeten op de grond net zoals hier. Volgens mensen aan de andere kant van de wereld staan niet zij maar wij aan de onderkant van de wereld, en zij vragen zich misschien af waarom wij niet van de Aarde vallen.

Als je in de ruimte rond de Aarde zweeft dan werkt er nog steeds zwaartekracht van de Aarde op je, maar omdat er dan niets is om de zwaartekracht tegen te werken voel je hem niet. In plaats daarvan verandert de zwaartekracht dan je baan door de ruimte. Zonder de zwaartekracht zou je in een rechte lijn met een vaste snelheid verder zweven. Door de zwaartekracht ga je steeds harder naar beneden (als je valt), of ga je in een kromme baan rond de Aarde.

Als je op Aarde omhoog springt, dan is er eventjes ook niets om de zwaartekracht tegen te werken, dus dan voel je hem ook eventjes niet, en ben je even gewichtloos.

Aan welke kant van de Aarde je ook staat, de zwaartekracht van de Aarde trekt altijd naar het middelpunt van de Aarde toe. Daarom kunnen mensen aan de "onderkant" van de Aarde net zo goed rechtop staan met hun voeten op de grond (of op een boot) als mensen aan de "bovenkant".

Er is aantrekking door zwaartekracht tussen elke twee dingen die massa hebben. Jij hebt ook massa (gemeten in kilo's), dus is er ook zwaartekracht tussen jou en alle auto's, stoelen, planeten, andere mensen, en alle andere dingen met massa. Van dingen buiten de Aarde (zoals planeten en de Zon) voel je de zwaartekracht niet omdat er niets is om die zwaartekracht tegen te werken. Van dingen op Aarde (zoals auto's of andere mensen) merk je de zwaartekracht niet omdat die verschrikkelijk veel kleiner is dan de zwaartekracht van de Aarde, omdat de massa van de Aarde verschrikkelijk veel groter is.

De zwaartekracht tussen jou en een vriendin (of ander mens) die op 2 m afstand staat komt overeen met het gewicht van een zandkorrel van ongeveer 0,03 mm groot. En elke keer dat de afstand tweemaal zo groot wordt wordt de zwaartekracht viermaal kleiner. Daar merk je dus niets van. Als je iets van 100 m hoogte laat vallen dan zorgt de zwaartekracht van de Aarde ervoor dat dat maar ongeveer 4,5 seconden duurt. Als jij en een vriendin in de lege ruimte zweven op 100 m van elkaar met in het begin dezelfde snelheid, dan duurt het wel 125 dagen voor jullie door elkaars zwaartekracht tegen elkaar botsen.

[60]

16. Precieze berekeningen van planeetposities

Berekeningen laten zien dat Mars in augustus 2003 het dichtste bij de Aarde kwam sinds ongeveer 60.000 jaar (maar niet zoveel dichterbij dan tijdens andere perigea dat we ons er zorgen over hoefden te maken). Om dit soort berekeningen te kunnen doen moet je niet alleen de zwaartekracht van de Zon en de posities van de Aarde en Mars meenemen maar ook de zwaartekracht (en dus de posities) van de andere grote planeten, en vooral van Jupiter, die de banen van de andere planeten kan verstoren. De theorie van verstoringen van planeetbanen werd pas aan het eind van de 18e eeuw ontwikkeld, dus zouden berekeningen van de kleinste afstanden van Mars niet eerder dan die tijd gedaan kunnen zijn (met voldoende nauwkeurigheid).

Om alle verstoringen mee te kunnen nemen die belangrijk zijn voor de kleinste afstanden van Mars tot de Aarde vergt een enorme hoeveelheid berekeningen, vooral als je berekeningen wilt doen voor alle ongeveer 30.000 keer dat Mars dicht bij de Aarde kwam gedurende de laatste 60.000 jaar. Ik kan me niet voorstellen dat iemand al die berekeningen met pen en papier zou willen doen, dus zulke berekeningen waren praktisch onmogelijk voordat computers werden ontwikkeld in het midden van de 20e eeuw, en ook daarna had je nog een paar tientallen jaren moeten wachten tot er voldoende computers waren dat er wat computerrekentijd over was om te besteden aan dit soort berekeningen die niet voldoende belangrijk zijn om ze voorrang te geven.

[25]

17. Snelle Kometen en Planeten

Kometen gaan harder als ze dichter bij de Zon zijn vanwege dezelfde reden dat een bal of ander ding harder gaat als het lager (dus dichter bij de Aarde) komt: vanwege de zwaartekracht. De zwaartekracht van de Zon trekt aan de komeet en laat hem steeds sneller gaan. Hoe dichter de komeet bij de Zon komt, hoe sneller hij gaat. Dit geldt ook voor planeten of ruimteschepen of andere dingen: hoe dichter ze bij de Zon of de Aarde komen, hoe sneller ze gaan. En het geldt ook voor andere aantrekkers dan de Zon: hoe dichter een ruimteschip of satelliet bij de Aarde is, hoe sneller het gaat (als de zwaartekracht van de Aarde daar tenminste groter is dan de zwaartekracht van de Zon).

Als de komeet recht op de Zon af gaat dan is er niets aan te doen en zal hij vanwege de grote hitte helemaal verdampen voordat hij op de Zon zou kunnen neerstorten.

Als de komeet niet recht op de Zon af gaat maar een beetje ernaast mikt dan zal hij met een boog om de Zon vliegen. Dat komt omdat je in een bocht altijd een middelpuntvliedende kracht voelt die je van het midden van de bocht weg duwt. (Het midden van de bocht is het midden van de cirkel waar je bocht een klein stukje van is.) Je kunt zo'n middelpuntvliedende kracht ook voelen als je in een auto zit die door een bocht gaat: dan wordt je naar de zijkant van de auto geduwd die van het midden van de bocht weg wijst. Als de auto sneller gaat of als de bocht scherper is (dus de cirkel kleiner) dan is de middelpuntvliedende kracht groter.

Als de komeet maar steeds dichter bij de Zon komt dan wordt zijn snelheid groter en zijn bocht scherper, dus wordt zijn middelpuntvliedende kracht (van de Zon weg gericht) ook sterker. De middelpuntvliedende kracht wint op het laatst weer van de zwaartekracht, en dan gaat de komeet weer weg van de Zon.

Je kunt de beweging van de komeet ook uitleggen door naar zijn energie te kijken. Een ding zoals een komeet die door zwaartekracht aangetrokken wordt heeft twee soorten energie: snelheidenergie (kinetische energie) en plaatsenergie (potentiële energie). De snelheidenergie is groter als de komeet sneller gaat, en de plaatsenergie is groter als de komeet verder van de Zon komt (tegen de zwaartekracht in). De zwaartekracht probeert de komeet te trekken naar de plek waar de plaatsenergie het minste is (de Zon zelf).

Volgens de Wet van Behoud van Energie kan energie niet zomaar verdwijnen of verschijnen, maar moet je kunnen vertellen waar die energie dan heen ging of waar hij vandaan kwam. Als de komeet dichter bij de Zon komt, dan heeft hij minder plaatsenergie, dus moet hij dan meer snelheidenergie hebben om de som hetzelfde te houden. Als de komeet weer weg gaat van de Zon, dan wisselt hij weer snelheidenergie in voor plaatsenergie, dus gaat hij dan weer langzamer.

Als er geen energie omgezet wordt naar warmte (door wrijving), en als de komeet zelf geen voortstuwing heeft, dan hangt de snelheid van de komeet alleen maar af van zijn afstand van de Zon. Als de komeet bijvoorbeeld 40 kilometer per seconde gaat als hij op de heenreis langs de aardbaan vliegt, dan zal hij ook op de terugreis 40 kilometer per seconde gaan als hij weer langs de aardbaan vliegt. En daarvoor hoef je niet eens te weten wat voor baan die komeet precies heeft gevolgd: dat is het leuke van zulke energieberekeningen.

[10]

18. Ontmoetende Zonnestelsels

Als twee verschillende zonnestelsels elkaar benaderen tot minder dan hun diameter, dan zullen er flinke getijdekrachten optreden van elke ster op het stelsel van de andere ster, en dan is het heel waarschijnlijk dat enkele leden van de stelsels uit de stelsels ontsnappen en in de ruimte verdwijnen, of misschien naar het centrum van hun zonnestelsel afgebogen worden, of wellicht gevangen worden door het andere stelsel. De buitenste leden van elk zonnestelsel worden als eerste beïnvloed.

Men denkt dat de Oortwolk van kometen aan de buitenrand van het Zonnestelsel tot op ongeveer 50.000 AE van de Zon reikt, en dat is ongeveer 0,8 lichtjaren, dus als een andere Zon-achtige ster tot binnen ongeveer 2 lichtjaren van de Zon komt, dan kun je verwachten dat die ster het dichtstbijzijnde deel van de Oortwolk zal verstoren en daaruit kometen zal verstrooien naar andere banen, waaronder banen naar het midden van het Zonnestelsel.

Als twee zonnestelsels door elkaar heen bewegen (dus zodat beide sterren binnen de banen van andermans planeten komen), dan is het erg waarschijnlijk dat de meeste of zelfs alle planeten de ruimte in geslingerd zullen worden. Het is dan heel onwaarschijnlijk dat de twee sterren om elkaar heen zullen gaan draaien, omdat er zo goed als zeker niets is dat de tweede ster voldoende kan afremmen dat hij in de buurt van de eerste zal blijven.

[455]

19. Grote getijden maar kleine krachten

De zwaartekracht van de Maan kan enorme hoeveelheden water verplaatsen, en zo de getijden veroorzaken. Toch is ons gewicht niet anders, of de Maan ons nu van boven af naar boven trekt of van onder de grond naar beneden.

De zwaartekracht tussen de Aarde en iets of iemand op Aarde is ongeveer 300.000 keer groter dan de kracht tussen de Maan en diezelfde iets of iemand (omdat de Maan veel verder weg is dan de Aarde en bovendien veel minder massa heeft dan de Aarde), dus veranderingen in je gewicht vanwege de zwaartekracht van de Maan zijn ten hoogste ongeveer 1 deel op de 300.000, en dat valt niet te meten.

De hoofdreden waarom de getijden enorme hoeveelheden water verplaatsen is omdat water vloeibaar is, zodat het heel gemakkelijk beweegt, en omdat de oceanen enorme afstanden geven waarover het water kan bewegen. Bewegingsvrijheid is belangrijk, want in meren vallen de getijden niet op.

Er is niet veel voor nodig om water te laten bewegen. Als je een groot soepbord met een dunne laag water vult en dan het bord een heel klein beetje scheef houdt, dan verzamelt al het water zich in het laagste deel totdat het oppervlak van het water weer horizontaal is. Als er genoeg tijd is om het oppervlak weer horizontaal te laten worden, dan zal de diepte van het water op het diepste punt meestal een stuk groter zijn dan het was toen het bord nog horizontaal was.

Als je een emmer in plaats van een soepbord schuin houdt, dan beweegt er ook water naar het laagste deel tot het oppervlak weer horizontaal is. Hoeveel het water aan de ene kant langs de binnenkant van de emmer omhoog lijkt te kruipen en aan de andere kant naar beneden hangt er van af hoe schuin je de emmer houdt en ook van de diameter van de emmer: als je een glas water even schuin houdt, dan kruipt het water minder ver omhoog dan het in de veel bredere emmer deed, en als je een zwembad zo schuin houdt, dan is het "getijde" daarin groter dan in de emmer.

De zwaartekracht van de Maan heeft hetzelfde effect als wanneer je het wateroppervlak ongeveer 1/300.000 van een graad schuin zet. Omdat water in de oceanen om de hele wereld kan bewegen (de "emmer" is heel erg groot) telt deze hele kleine hoek toch aan tot getijden van een meter of wat. In een meer komt dezelfde hoek overeen met getijden die te klein zijn om te meten.

20. Meerlichamensystemen

Als klassieke zwaartekracht de enige kracht is die telt, dan kunnen twee hemellichamen (zoals een ster en een planeet, of twee sterren, of een planeet en een maan) voor altijd een gebonden systeem vormen, wat betekent dat de twee hemellichamen niet verder van elkaar komen dan tot een zekere vaste afstand. Zo'n systeem heet een tweelichamensysteem.

Als je een derde hemellichaam toevoegd aan zo'n systeem, dan zal de zwaartekracht van dat derde hemellichaam de banen van de andere twee lichamen verstoren, en dan is het systeem niet per sé meer stabiel. Dat betekent dat er een tijd kan komen waarop tenminste één van de hemellichamen uit het systeem ontsnapt. Hoe lang je moet wachten voor dat gebeurt hangt af van de details van de banen en massa's van de hemellichamen.

In het Heelal komt het vaak voor dat de beweging van een bepaald hemellichaam voornamelijk bepaald wordt door slechts één andere bron van zwaartekracht. In zo'n geval bewegen die hemellichamen zich ongeveer zoals ze zouden doen als ze de enige hemellichamen in het Heelal waren (dus als in het tweelichamenprobleem).

Zo wordt de beweging van de planeten, asteroïden en kometen in ons Zonnestelsel voornamelijk bepaald door de Zon, en de beweging van de manen in ons Zonnestelsel voornamelijk door de planeet of asteroïde waar ze omheen draaien.

Zelfs in de gevallen waarin de beweging voornamelijk bepaald wordt door één hemellichaam hebben alle andere hemellichamen toch ook wel invloed, maar die is dan een stuk kleiner. Het eenvoudigste geval waarvan je kunt onderzoeken hoe dat zit is het drielichamenprobleem, maar dat is nog steeds erg ingewikkeld behalve als je beperkingen oplegt die het eenvoudiger maken.

Favoriete beperkingen zijn om aan te nemen dat de drie lichamen in hetzelfde vlak bewegen (zodat niet drie maar slechts twee plaatscoőrdinaten bijgehouden hoeven te worden) en dat de massa van één van de drie hemellichamen geheel verwaarloosbaar is ten opzichte van de massa van de andere twee, zodat de beweging van de twee zware hemellichamen niet beïnvloed wordt door het lichte hemellichaam. In dat geval bewegen de twee zware hemellichamen zoals in het tweelichamenprobleem, waarvan de oplossingen bekend zijn.

Als je ook nog aanneemt dat de twee zware lichamen cirkelbanen volgen, dan zijn er vijf plaatsen waar je het lichte hemellichaam kunt stoppen zodat het óók een cirkelbaan zal gaan volgen waarin het steeds dezelfde stand houdt ten opzichte van de twee zware lichamen. Die vijf plaatsen zijn de Lagrangepunten. Andere effecten die je wel in het drielichamenprobleem vindt maar niet in het tweelichamenprobleem zijn baan-baanresonanties en de ontsnapping van één van de hemellichamen uit het systeem.

Als een hemellichaam (bijvoorbeeld een planeet) een baan trekt rond twee of meer andere hemellichamen (bijvoorbeeld sterren) die veel dichter bij elkaar zijn dan bij de planeet, dan lijkt de totale zwaartekracht van beide sterren samen erg op de zwaartekracht van een enkele ster met de opgetelde massa van beide sterren, ongeveer op de plek waar de beide sterren waren, dus dan lijkt het hele systeem op een tweelichamensysteem met één planeet en effectief één ster. Zo'n meerlichamensysteem kan redelijk stabiel zijn, wat betekent dat de planeet heel lang in zijn baan kan blijven.

Het is erg onwaarschijnlijk (misschien zelfs onmogelijk) dat een planeet een gewone baan heeft (dus een die zich herhaalt) als die planeet door een deel van de ruimte beweegt waar de dominante zwaartekrachtsinvloed van (effectief) meer dan één ster komt. Als er effectief twee dominante sterren zijn, dan is dat gevaarlijke deel van de ruimte een oppervlak, ruwweg bolvormig en met de minst massieve ster in het midden. Ik noem dat oppervlak de getijdegrens.

Als een planeet een gewone baan wil hebben in een systeem met meerdere sterren, dan moet de baan van die planeet óf voldoende dicht bij één van de sterren zijn (zodat het aan één kant van de getijdegrens blijft), óf zo wijd zijn dat het ruim om alle sterren heen gaat (zodat de sterren effectief als één ster optreden).

Als een andere ster naar ons Zonnestelsel komt, dan komt de bijbehorende getijdegrens dichter bij de Zon als de andere ster dat doet, want de afstand van de getijdegrens van de Zon is een vast deel van de afstand tussen beide sterren. Als de ster voldoende dicht bij de Zon komt dan schuift de getijdegrens over de banen van de planeten, en dan zijn die banen niet meer stabiel en is het waarschijnlijk dat de planeten uit het Zonnestelsel ontsnappen.

21. De Grootte van de Getijdegrens

De straal \(r_\text{getijde}\) van de getijdegrens is ongeveer gelijk aan

\begin{equation} r_\text{getijde} = 0.4 \left( \frac{M_\text{klein}}{M_\text{groot}} \right)^{1/3} r \label{eq:getijde} \end{equation}

waar \(M_\text{klein}\) de massa van de minst massieve ster is, \(M_\text{groot}\) de massa van de massiefste ster, en \(r\) de afstand tussen beide sterren. (Dezelfde argumenten en formule gelden ook als de twee hemellichamen geen sterren zijn.) De factor 0,4 is een schatting van mij. Als de twee sterren gelijke massa hebben, dan is het punt midden tussen de sterren (op \(0,5 r\)) duidelijk op de getijdegrens, dus de factor moet kleiner zijn dan 0,5. Aan de andere kant moet de factor groot genoeg zijn dat bestaande gewone banen in het Zonnestelsel toegestaan worden.

Voor een systeem met de Zon, een planeet en een maan van de planeet kunnen we de formule herschikken tot

\begin{equation} k_\text{maan} = \frac{r_\text{maan}}{r_\text{planeet}} \left( \frac{M_\text{zon}}{M_\text{planeet}} \right)^{1/3} \end{equation}

waar \(r_\text{maan}\) de afstand van de maan tot de planeet is, \(r_\text{planeet}\) de afstand van de planeet tot de Zon, en \(k_\text{maan}\) een getal dat de verhouding aangeeft tussen de straal van de baan van de maan en de straal van de getijdegrens, dus de relatieve invloed van getijdekrachten van de Zon op de baan van de maan rond de planeet. De baan van de buitenste maan van Jupiter, Sinope, geeft \(k_\text{maan}\) = 0,31. Voor de baan van onze Maan is \(k_\text{maan}\) = 0,18. De factor uit de eerste formule moet groter zijn dan de grootste \(k_\text{maan}\), dus het moet groter zijn dan 0,31. De 0,4 die ik koos lijkt al met al een redelijke schatting.

[282]

22. Resonanties

In de natuurwetenschappen is een resonant verschijnsel een verschijnsel waarbij een bepaalde combinatie van effecten zichzelf zodanig versterkt dat het gevolg veel groter is dan je zou verwachten op basis van de kleine originele effecten. Meestal gebeurt de versterking alleen als de effecten optreden met één van de natuurlijke frequenties van het resonante verschijnsel.

De mooie tonen die er uit een goed gestemd muziekinstrument komen zijn bijvoorbeeld het gevolg van resonantie. Je slaat of strijkt of blaast het instrument op een manier waar een wijd bereik aan frequenties in zit, maar alleen het geluid met de natuurlijke frequenties van het muziekinstrument wordt resonant versterkt en krijgen wij te horen.

In de astronomie wordt resonantie ook gebruikt als naam voor een geval waarin kleine effecten die normaal gesproken te verwaarlozen zijn nu wel een merkbaar effect hebben omdat ze precies in de maat lopen met iets anders. Twee soorten resonanties komen vaak voor, namelijk baan-baanresonantie en spin-baanresonantie. Die worden hieronder nader uitgelegd.

Als een hemellichaam in een resonantie gevangen is en als één van de belangrijke perioden van de resonantie voldoende langzaam door andere oorzaken verandert, dan kan de onderlinge zwaartekracht de resonantie in stand houden en dan veranderen de andere belangrijke perioden dus mee. Een verandering van perioden betekent dat er energie uitgewisseld wordt, dus zijn resonanties belangrijke manieren om energie uit te wisselen.

22.1. Baan-baanresonanties

Baan-baanresonantie is het geval als twee hemellichamen periodiek ongeveer dezelfde posities innemen ten opzichte van elkaar, zodat hun onderlinge zwaartekracht er voor zorgt dat dat zo blijft (in een stabiele resonantie), of juist dat ze daar snel weer vandaan komen (in een onstabiele resonantie), hoewel die onderlinge zwaartekracht veel kleiner is dan de zwaartekracht tussen de Zon en elk van de hemellichamen. In het geval van baan-baanresonantie tussen twee hemellichamen is een bepaald veelvoud van de omlooptijd (jaar) van het ene hemellichaam precies gelijk aan een bepaald veelvoud van de omlooptijd van het andere hemellichaam.

Zo is bijvoorbeeld Pluto gevangen in een 3:2-baan-baanresonantie met Neptunus: Elke twee omlopen van Pluto zijn gemiddeld precies even lang als elke drie omlopen van Neptunus. Zaken in Lagrangepunten zijn gevangen in 1:1-baan-baanresonanties. Zo hebben de Trojaanse en Griekse groepen van asteroïden een 1:1-baanresonantie met Jupiter, en heeft de Hilda-groep van asteroïden een 3:2-baanresonantie met Jupiter. Onstabiele baan-baanresonanties (2:1, 3:1, 5:2, enzovoorts) zorgen voor de zogenaamde Kirkwoodgaten in de verdeling van asteroïden over de lengten van de halve lange as van hun baan.

Baan-baanresonanties kunnen ook tussen meer dan twee hemellichamen optreden, maar die kunnen ingewikkelder in elkaar steken en dan hoeven de omloopperioden niet precies veelvouden van elkaar te zijn. Zo zijn de manen Io, Europa en Ganymedes van Jupiter allen gevangen in een gezamelijke baan-baanresonantie.

22.2. Spin-baanresonanties

Spin-baanresonantie is het geval als een hemellichaam periodiek dezelfde oriëntatie inneemt na een geheel aantal omloopperioden van het hemellichaam. Spin-baanresonantie gebeurt als een bepaald veelvoud van de draaiperiode (dag) van het hemellichaam precies gelijk is aan een bepaald veelvoud van de omloopperiode (jaar) van het hemellichaam. Ik weet niet of er ook onstabiele spin-baanresonanties zijn net als er onstabiele baan-baanresonanties zijn.

Alle grote manen in ons Zonnestelsel zijn in een 1:1-spin-baanresonantie: Die manen tonen altijd dezelfde kant aan de planeet, zoals bijvoorbeeld onze Maan ook doet ten opzichte van de Aarde. Het lijkt erop dat de planeet Mercurius in een 3:2-spin-baanresonantie gevangen is: Driemaal de draaiperiode (dag) van Mercurius is gelijk aan tweemaal zijn omloopperiode (jaar).

[311]

22.3. De oorzaak van spin-baanresonanties

Vanwege de getijdekrachten van de Maan is er op de meeste kusten tweemaal per dag hoogwater en tweemaal per dag laagwater. Dit betekent dat er twee hoogwaters zijn elk aan een andere kant van de Aarde, die zichzelf in de pas proberen te houden met de Maan. Er zijn twee hoogwaters en niet maar één vanwege subtiele wisselwerking tussen de zwaartekracht tussen de Maan en beide hoogwaterbulten (die minder is op de verre bult dan op de nabije bult) en de middelpuntvliedende kracht in de baan rond de Aarde (die groter is voor de verre bult dan voor de nabije bult).

De getijdekrachten werken niet alleen op water maar op alles in en op Aarde, dus wordt de Aarde zelf ook een beetje uitgerekt in één richting en ingedrukt in de andere richting zodat het lijkt of er twee lage maar brede bulten op de Aarde zitten die in de pas met de Maan proberen te blijven, maar we merken die landbulten niet op omdat de rotsen van de Aarde niet zo vrij kunnen bewegen als het water in de zee.

Op dezelfde manier, vanwege de getijdekrachten van de Aarde, is de Maan niet perfect rond maar heeft het een lage brede bult aan de voorkant en een ander lage brede bult aan de achterkant.

Stel je nu voor dat de Maan (ten opzichte van de sterren) in net iets meer of minder tijd rond zijn as draait dan nodig is om eenmaal rond de Aarde te draaien. Dan heeft is de Maan net niet helemaal rond zijn as gedraaid (zoals gezien vanaf een verre ster), of juist net iets meer dan eenmaal rond zijn as gedraaid, dus dan lijkt het gezien vanaf de Aarde alsof de Maan een beetje gedraaid is, dus dan zijn de getijdebulten van de Maan niet meer helemaal op de rechte lijn die door het midden van de Aarde en de Maan gaat. De getijdebulten proberen zich aan te passen, onder invloed van de getijdekrachten, maar ze lopen altijd een beetje achter omdat het tijd kost om op gang te komen en omdat er wrijving is die de aanpassing hindert. Het resultaat is dat de getijdebulten nooit precies goed aangepast zijn aan de getijdekrachten en dat er daarom een netto koppel is dat de draaiing van de Maan afremt als de draaiperiode korter is dan de baanperiode, of dat de draaiing versnelt als de draaiperiode langer is dan de baanperiode.

Als er dus ergens twee hemellichamen rond elkaar heen draaien, dan zullen hun draaisnelheden zich langzaam aanpassen net zolang tot ze een toestand bereiken waarin de draaiperioden gelijk zijn aan hun baanperiode (dus dat ze in een 1:1 spin-baanresonantie zijn gekomen), behalve als ze voordien al in een hogere spin-baanresonantie zijn gevangen. Dat laatste kan gebeuren, maar (blijkbaar) alleen als de baan voldoende afwijkt van een cirkel. Mercurius is hier een voorbeeld van, want die heeft een 3:2 spin-baanresonantie met de Zon.

De aanpassing van de draaiperiode aan de baanperiode gaat veel sneller voor kleinere hemellichamen en voor hemellichamen die dichter bij elkaar zijn. In het Aarde-Maanstelsel is de Maan al heel lang geleden in de 1:1 spin-baanresonantie terecht gekomen. De draaiing van de Aarde wordt langzaam minder snel, maar de afremming gaat zo verschrikkelijk langzaam dat het heel onwaarschijnlijk is dat de Aarde ook in een 1:1 spin-baanresonantie terecht zal komen voordat de Zon in een rode reus verandert in ongeveer 4 miljard jaar en het leven op Aarde heel onaangenaam maakt.

[447]

23. Welke valt het snelst?

Als je staand op de Maan een blok laat vallen dan zal het niet naar de Aarde vallen maar naar de Maan, want de Maan heeft haar eigen zwaartekracht die voorwerpen naar het midden van de Maan trekt.

Als er geen dampkring is dan maakt de massa van het blok niet uit voor de valsnelheid en dan zullen blokken van bijvoorbeeld 10 en 50 kg even snel vallen (als ze op hetzelfde moment op dezelfde manier los gelaten worden). Als er wel een dampkring is dan worden vallende voorwerpen afgeremd door wrijving met de dampkring en dan hebben de afmeting, vorm en dichtheid van het voorwerp invloed op de valsnelheid. Dan zal een blok van 50 kg sneller vallen dan een blok van 10 kg met dezelfde vorm en afmetingen in dezelfde oriëntatie.

[478]

24. Tunnel door de Aarde

Als je een tunnel kon boren recht door de Aarde heen naar de andere kant, en als je dan in die tunnel zou springen, dan zou je niet uit het andere eind schieten, omdat

  1. Je kunt niet hoger komen dan aan het begin (behalve als je er (klim)werk voor doet of een of andere motor hebt), net zoals elke volgende stuiter van een bal minder hoog komt dan de vorige. Dit is een toepassing van de Wet van Behoud van Energie.

  2. De lucht in de tunnel remt je af, vooral als de tunnel smal is, dus zou je veel snelheid verliezen en niet voldoende over hebben om de andere kant te halen.

  3. De Aarde draait rond zijn as, dus terwijl jij door de tunnel valt draait de Aarde de tunnel naar een andere stand. Jij zou niet met de draaiing van de Aarde mee gaan omdat je niet vast zit aan de Aarde terwijl je door de tunnel valt, dus zou een kant van de tunnel in je pad schuiven, dus zou je de wand van de tunnel raken, en dat zou je afremmen zodat je niet genoeg snelheid over hield om de andere kant te bereiken.

Als de Aarde niet rond zijn as draaide, en als er geen lucht was in de tunnel, dan zou je door de tunnel helemaal naar de andere kant van de Aarde vallen en dan weer terug, waarbij je aan elk uiteinde steeds dezelfde hoogte zou bereiken, ongeveer als een bal aan het einde van een zwaaiende pendule (behalve dat zo'n pendule niet eeuwig door kan gaan vanwege de wrijving met de lucht).

Volgens mijn berekeningen zou je er dan 19 minuten over doen om het midden van de Aarde te bereiken, waar je dan met een maximumsnelheid van 9,9 kilometer per seconde voorbij zou schieten. Na weer 19 minuten zou je dan de andere kant van de tunnel bereiken, en dan na nogmaals tweemaal 19 minuten (na in totaal 76 minuten) zou je weer terug zijn bij je beginpunt.

Als de Aarde niet rond zijn as draaide maar er was wel lucht in de tunnel, dan zou je geen hoge snelheid kunnen halen vanwege de wrijving met de lucht, en dan zou je heen en weer langs het centrum van de Aarde blijven gaan maar steeds minder ver van het centrum komen, tot dat je na een lange tijd stil in het centrum van de Aarde zou komen te hangen, net zoals een lege schommel waar je een zet aan hebt gegeven na verloop van tijd weer stil in het midden hangt.

Als je uit een vliegtuig springt dan bereik je na enige tijd een evenwichtssnelheid, waarbij er evenwicht is tussen de zwaartekracht die je wil versnellen en de luchtwrijving die je wil vertragen. Die evenwichtssnelheid wordt minder als de zwaartekracht afneemt en ook als de luchtdichtheid toeneemt.

Als we aannemen dat de lucht in de tunnel overal dezelfde dichtheid heeft als aan het aardoppervlak, en dat de tunnel heel breed is zodat je geen extra tegenwerking krijgt vanwege de nabijheid van de wanden, en dat je je best doet om zo snel mogelijk te gaan (recht naar beneden richten, armen langs je lichaam) dan zou binnen een minuut tot ongeveer 320 km/h versnellen, en dan urenlang ongeveer die snelheid houden. Na ongeveer 8¾ uur zou je dan je grootste snelheid halen, van 340 km/h, en daarna zou je snelheid steeds minder worden, vanwege de afnemende zwaartekracht. Je zou dan pas na 27⅔ uur eindelijk het midden van de Aarde passeren, met een snelheid van nog maar ongeveer 4 km/h. Je zou daarna rond het midden blijven slingeren en daarbij ongeveer elke 26 minuten het midden weer passeren, maar er steeds dichter bij blijven. Na de eerste passage zou je nog pakweg 420 meter voorbij het midden komen, de tweede keer nog maar 250 meter, en zo steeds minder.

Als de tunnel smal was, dan zou je extra tegenwerking krijgen, dus dan zou je die 340 km/h niet eens halen. Bovendien zou de lucht in die tunnel niet overal dezelfde dichtheid hebben, maar zou naar beneden toe steeds dichter worden (net zoals de lucht op zeeniveau dichter is dan hoog in de bergen), en dat zou je snelheid nog veel meer beperken.

Je kunt natuurlijk niet echt een tunnel helemaal door de Aarde boren. Onder de relatief dunne korst van de Aarde is de Aarde vloeibaar (en heel heet), dus zou zo'n tunnel meteen dicht vloeien.

[552]

25. Zwaartekracht in de Aarde

In het middelpunt van de Aarde is er in alle richtingen evenveel massa op dezelfde afstanden, en dus wordt er uit alle richtingen even hard aan elk stukje van een voorwerp in het middelpunt getrokken. Netto voelt een voorwerp in het middelpunt van de Aarde daarom helemaal geen zwaartekracht. Zo'n voorwerp zou wel onder hele hoge druk staan, want het voelt wel het gewicht van alle massa die er bovenop ligt.

Aan de buitenkant van de Aarde gedraagt de zwaartekracht zich alsof alle massa van de Aarde geconcentreerd is in het middelpunt, maar aan de binnenkant niet.

Zwaartekracht komt van massa, niet van een bepaald punt. Alleen precies in het centrum is de zwaartekracht nul.

Dit zal ook gelden in het middelpunt van een zwart gat, als daar de zwaartekrachtswet zoals we die kennen nog steeds geldt (maar we weten niet zeker of dat zo is).

Als de Aarde van binnen hol was en alle massa in de schil zat, en de massaverdeling bolsymmetrisch was, dan zou je overal in de holte gewichtloos zijn.

De groene lijn in //www.splung.com/kinematics/images/gravitation/variation%20of%20g.png toont de variatie van de zwaartekrachtsterkte met afstand tot het middelpunt van de Aarde. De zwaartekracht is nul in het midden, neemt vrij linear toe tot ongeveer 109% van de oppervlaktezwaartekracht op ongeveer 55% van de afstand tussen het midden en het oppervlak, zakt dan terug tot rond de 100% en blijft daar tot aan het oppervlak. Daarbuiten neemt de zwaartekracht af met het kwadraat van de afstand tot het midden.

De rode lijn in dezelfde grafiek toont de variatie van de zwaartekrachtsterkte als de Aarde overal dezelfde massadichtheid had. Dan zou de zwaartekracht linear toenemen van 0 in het midden tot 100% aan de rand. Dat in de "echte" Aarde het verloop anders is komt omdat de Aarde niet overal dezelfde massadichtheid heeft, maar in het midden een stuk dichter is dan bij de rand.

Hoe sterk de zwaartekracht in een zwart gat is hangt er van af hoe de massa in het zwarte gat verdeeld is, en tot hoe ver de zwaartekrachtswetten zoals we die nu kennen geldig blijven.

De rand ("event horizon") van een zwart gat is geen fysiek ding, maar een onzichtbare grens. Als je van buiten af voorbij die grens komt dan kun je niet meer terug, maar dingen worden niet abrupt anders als je die grens passeert (zoals bijvoorbeeld wel het geval is als je van buiten af de rand van de Aarde tegen komt ― dat doet pijn).

Zolang je op weg naar het midden van het zwarte gat geen massa tegen komt zal de zwaartekracht alleen maar toenemen ― tenminste tot waar de zwaartekrachtswetten die wij kennen niet meer geldig zijn.

Als de massa in een zwart gat samengeperst is in het midden tot verschrikkelijk veel hogere dichtheden dan wij ooit gezien hebben, dan kan in de buurt van die massa de zwaartekracht verschrikkelijk veel sterker zijn dan wij ooit gezien hebben. Het zou dan kunnen dat de zwaartekrachtswetten die we nu kennen daar niet meer goed genoeg zijn. Omdat wij nog nooit zulke sterke zwaartekracht hebben kunnen onderzoeken weten we ook niet welke aanpassingen dan nodig zijn aan de zwaartekrachtswetten. Wie weet zal dan de zwaartekracht niet meer sterker worden als je dichter bij de massa komt.

Hoe de materie in een zwart gat er uit ziet weet niemand. Uit de eigenschappen van het zwaartekrachtsveld buiten het zwarte gat kun je niet afleiden hoe de materie binnen in het zwarte gat precies verdeeld is. Er zijn vele modellen denkbaar die allemaal een andere massaverdeling hebben maar toch buiten het zwarte gat precies dezelfde zwaartekracht opleveren. Een van die modellen is er een waar de massa allemaal in een enkel punt geconcentreerd is, dat dan de singulariteit heet omdat volgens de klassieke zwaartekrachtswet de zwaartekracht daar oneindig groot moet zijn.

Net zo zijn de eigenschappen van het zwaartekrachtsveld buiten de Aarde ook onvoldoende om de verdeling van massa binnen de Aarde precies af te leiden. We kunnen toch wat nuttigs zeggen over de verdeling van massa binnen de Aarde omdat we wel aan mogen nemen dat de materie binnen in de Aarde van dezelfde soort is als die wij in het laboratorium kunnen onderzoeken, en we kunnen uitrekenen hoe zulk soort materie verdeeld moet zijn om het waargenomen zwaartekrachtsveld op te leveren.

Voor zwarte gaten werkt dat niet zo goed, want we weten niet wat de eigenschappen van de materie in een zwart gat precies zijn.

Dat een zwart gat grotendeels leeg is lijkt mij wel aannemelijk, maar of alle materie echt allemaal op één punt zonder afmetingen samengebald is, of dat het misschien toch een kleine bol is, of een rare wolk waarin "onze" natuurwetten niet meer goed werken, dat weten we gewoon niet.

Het belangrijke punt is dat je aan het zwaartekrachtsveld buiten het voorwerp niet kunt zien wat precies de verdeling van materie binnen het voorwerp is. Op 100.000 km vanaf het middelpunt is de zwaartekracht van de Aarde even sterk als de zwaartekracht van een zwart gat met dezelfde massa als de Aarde. Aan metingen van het zwaartekrachtsveld op grote afstand kun je niet meteen aflezen of je met een Aarde of met een zwart gat te doen hebt.

[480]

26. Ladder op de Aarde

Stel dat je een ladder van honderden of zelfs duizenden kilometers lengte op de Aarde zet en dan van de bovenkant af stapt. Waar kom je dan terecht?

Die ladder zou dan meedoen met de draaiing van de Aarde, dus zou je in een baan rond het centrum van de Aarde komen en niet recht naar beneden vallen.

Als je ladder minder dan 23.460 km lang is dan zal die baan het oppervlak van de Aarde snijden, wat betekent dat je dan wel op de Aarde zult neerstorten, maar niet bij de voet van de ladder. Als je ladder meer dan 23.460 km lang is dan hangt het af van de lengte van de ladder en van de breedtegraad waarop die ladder op de grond staat of je zult neerstorten of in een baan rond (in plaats van door) de Aarde zult komen (aannemend dat de ladder precies rechtop staat). De minimale hoogte boven het oppervlak in kilometers is

\begin{equation} h_1 = \frac{29840}{\sqrt{\cos(φ)}} - 6378 \end{equation}

voor breedtegraad \(φ\).

Bijvoorbeeld: op 50 graden noorderbreedte (ongeveer Nederland of België) of zuiderbreedte is de minimumhoogte \(h_1 = (29840/\sqrt{\cos(50°)}) - 6378 = 30840\) km, dus in onze streken zou die ladder tenminste 30.840 km lang moeten zijn om te voorkomen dat we op de Aarde zullen neerstorten.

Als de ladder langer is dan 46.850 km dan ontsnap je misschien wel helemaal aan de Aarde, weer afhankelijk van de hoogte en plaats van de ladder. De minimumhoogte boven het oppervlak in kilometers is

\begin{equation} h_2 = \frac{53230}{\cos(φ)^{2/3}} - 6378 \end{equation}

Op 50 graden noorderbreedte zou dat 48.380 km zijn, dus als in onze streken die ladder langer is dan 48.380 km dan zouden we vanaf de top de ruimte in geslingerd worden en in een baan rond de Zon terecht komen.

Deze berekeningen zijn in de praktijk niet zo nuttig, want we kunnen zo'n lange ladder niet sterk genoeg maken, dus zou zo'n ladder onder zijn eigen gewicht in elkaar zakken. Bovendien zouden er door de draaiing van de Aarde ook flinke zijwaartse krachten op de ladder komen te staan, en daar zou hij waarschijnlijk ook niet goed tegen kunnen.

[521]

27. Stuk uit de Aarde

Als je een groot stuk uit de Aarde verwijdert, dan verdwijnt ook de zwaartekracht van dat stuk uit de Aarde. Als de vorm van de rest van de Aarde gelijk blijft, dan is het effect van het verwijderen van een stuk van de Aarde hetzelfde als het effect van het toevoegen van "anti-zwaartekracht" (dat niet aantrekt maar afstoot) aan het stuk van de Aarde wat anders weg zou zijn, om de positieve zwaartekracht van dat stuk op te heffen. De "anti-zwaartekracht" zou dan de oceanen weg duwen van de plek waar die anti-zwaartekracht is, dus zou het verwijderen van dat stuk Aarde net zo de oceanen weg doen stromen van het net ontstane gat. Als je op het oppervlak stond nabij de rand van het gat, dan zou het voelen alsof het oppervlak schuin omhoog ging naar de rand, alsof de rand een berg was.

Maar als er echt een groot stuk uit de Aarde zou verdwijnen, dan zou de vorm van de rest van de Aarde niet hetzelfde blijven. Het grootste deel van de Aarde onder het oppervlak is vloeibaar en die vloeistof zou snel het grote gat opvullen. Dit zou slecht zijn voor onze gezondheid, net als de oorzaak dat er een groot stuk uit de Aarde verdween slecht zou zijn voor onze gezondheid.

[545]

28. Heeft Kepler echt gelijk?

Het is moeilijk om "gelijk" en "ongelijk" te definiëren als we het hebben over modellen van echte dingen. We kunnen nooit alle details kennen van ons onderwerp, dus we kunnen ook nooit bewijzen dat een model dat we van ons onderwerp maken in alle details gelijk is aan het onderwerp. Het beste dat we kunnen doen is om te bepalen hoe nauwkeurig de voorspellingen zijn die uit ons model komen, als we die voorspellingen vergelijken met de uitkomsten voor het echte ding. Hoe nauwkeuriger de voorspellingen zijn, hoe "beter" het model is.

Het model waarin de planeten ellipsbanen volgen met de Zon in één van de brandpunten van die ellips, en dat in gelijke tijden gelijke oppervlakten van die ellips worden afgelegd (de Perkenwet van Kepler) laat berekening van de posities van de planeten toe met goede (maar niet perfecte) nauwkeurigheid. De goede nauwkeurigheid betekent dat het model nuttig is. De fouten komen door de invloed van de zwaartekracht van de andere planeten en ook van relativistische effecten, maar zijn relatief klein.

De wetten van Kepler in rechthoekscoördinaten geven vrij nauwkeurige voorspellingen. Als je iemand er van wil overtuigen dat jouw model van de planeetbanen beter is dan het model gebaseerd op de wetten van Kepler in rechthoekscoördinaten, dan zul je moeten aantonen dat jouw model nauwkeurigere voorspellingen geeft dan het standaardmodel.

Als je naar een bepaald ander coördinatensysteem gaat dan zullen de planeetbanen er anders uitzien. Echter, de keuze van het coördinatensysteem is vrij en zegt niets over de "echte" vorm van de planeetbanen. De vorm is verbonden met het coördinatensysteem. Het is nutteloos om te zeggen wat de vorm van de baan is als je er niet ook bij zegt ten opzichte van welk coördinatensysteem die vorm beschreven is. (Als je geen coördinatensysteem noemt dan neemt iedereen aan dat je een rechthoekig coördinatensysteem bedoelt.)

Als je een ander coördinatensysteem gebruikt, dan verandert niet alleen de vorm van de planeetbanen maar ook de vorm van de natuurwetten en van de formules die de posities van de planeten voorspellen, want die wetten en formules moeten nog steeds voorspellingen geven die de echte wereld nauwkeurig beschrijven.

De keuze van coördinatensysteem maakt verschil voor hoe ingewikkeld en lang de formules zijn. Dit betekent niet dat andere coördinatensystemen fout zijn waarin de formules ingewikkelder zijn, maar maakt het minder prettig om in die coördinatensystemen aan het huidige probleem te werken.

Dus, om een bepaald wiskundig probleem op te lossen of om een bepaalde astronomische voorspelling uit te rekenen mag je elk coördinatensysteem gebruiken dat je wil. Als ik liever een ander coördinatensysteem gebruik dan jij, dan kan ik jouw resultaten nemen en die vertalen naar mijn coördinatensysteem. De resultaten zullen hetzelfde betekenen voor de echte wereld.

Je kunt niet "bewijzen" dat de wetten van Kepler fout zijn door naar een ander coördinatensysteem te gaan. De wetten van Kepler kunnen ook naar dat coördinatensysteem vertaald worden, en dan zijn ze daar precies net zo nauwkeurig als in het vorige coördinatensysteem. De wetten van Kepler blijken best wel nauwkeurig te zijn.

[570]

29. Is de zwaartekrachtswet van Newton in strijd met de relativiteitstheorieën van Einstein?

Ik vind het wat ver gaan om de zwaartekrachtswet van Newton "in strijd" te noemen met de relativiteitstheorieën van Einstein ― alsof Newton altijd fout is en Einstein altijd goed. Einstein is beter dan Newton, maar Newton is nog prima te gebruiken als je zijn beperkingen in acht neemt, en ook Einstein is onvolledig en zal ooit vervangen worden door iets beters.

Er zijn tenminste twee dingen fout aan de zwaartekrachtswet van Newton, als je hem vergelijkt met de relativiteitstheorieën van Einstein:

  1. De zwaartekrachtswet van Newton gaat er van uit dat de invloed van de zwaartekracht zonder vertraging overal in het universum te voelen is ― dus dat die met oneindige snelheid reist. Volgens Newton wijst de zwaartekracht die wij van een veraf voorwerp voelen precies in de richting waar dat voorwerp nu staat, en heeft een sterkte die afhangt van de massa die dat voorwerp nu heeft.

    Volgens de relativiteitstheorieën van Einstein kan niets sneller bewegen dan met de snelheid van het licht ― ook de invloed van de zwaartekracht niet. De invloed van de zwaartekracht reist als zwaartekrachtsgolven met de snelheid van het licht. De zwaartekracht die wij nu voelen van het verre voorwerp hangt af van de positie en massa van dat voorwerp op het moment dat de zwaartekrachtsgolven die nu bij ons aankomen dat voorwerp verlieten, niet van de positie en massa die dat voorwerp nu heeft.

    Dit werkt hetzelfde als voor geluid (het geluid van een vliegtuig lijkt te komen vanaf de plek waar het vliegtuig was toen het dat geluid maakte, niet vanaf de plek waar het vliegtuig nu is, en heeft een sterkte die afhangt van de toestand van de vliegtuigmotoren toen die dat geluid maakten, niet van de toestand van die motoren op het moment dat je het geluid hoort) en voor licht (we zien de Zon zoals die 8 minuten geleden was, omdat het licht er 8 minuten over doet om bij ons te komen) en voor golven op het water.

  2. Zelfs in een situatie zonder beweging en verandering (zodat de snelheid er niet meer toe doet) geeft de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein andere antwoorden dan de zwaartekrachtswet van Newton. Voor alledaagse situaties is het verschil heel klein, maar voor uitzonderlijke situaties (waar de zwaartekracht heel sterk is) wordt het verschil heel groot.

    Er is veel bewijs voor dat de relativiteitstheorieën van Einstein altijd betere antwoorden geven dan de zwaartekrachtswet van Newton ― dus dat de antwoorden van Einstein beter passen bij de waarnemingen dan de antwoorden van Newton doen. Echter, voor alledaagse zaken zijn de verschillen zo klein dat de antwoorden van Newton ook prima te gebruiken zijn, en bovendien is de formule van Newton veel eenvoudiger dan die van Einstein.

    Een groot gebrek aan de theorieën van Einstein (en ook die van Newton) is dat ze geen kwantumeffecten bevat. Kwantumtheorieën beschrijven de andere drie fundamentele natuurkrachten (ook) op hele kleine lengteschalen, maar we hebben (nog) geen goede kwantumzwaartekrachttheorie. Het lijkt heel waarschijnlijk dat de zwaartekrachtstheorie van Einstein niet meer werkt (dus geen goede antwoorden meer geeft) op die hele kleine lengteschalen, maar dat is verschrikkelijk moeilijk te testen omdat de zwaartekracht op die schalen zo ontzettend veel zwakker is dan de andere fundamentele natuurkrachten.

Op dit moment zijn de theorieën van Einstein de beste die we hebben, en goed genoeg voor alle praktische gevallen die we vandaag kunnen meten, net zoals de theorie van Newton dat een paar eeuwen geleden was.



[AA]

[vorige][volgende]


talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/antwoorden/zwaartekracht.html;
Laatst vernieuwd: 2017-04-24