AstronomieAntwoorden
Afstanden aan de hemel


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Relatieve onnauwkeurigheid ... 2. Polaire coördinaten ... 2.1. Formules voor de afstand tussen polaire coördinaten ... 3. Rechthoekige coördinaten

Deze bladzijde legt uit hoe je afstanden aan de hemel berekent. Er zijn daarvoor veel verschillende formules. Die formules geven wiskundig gezien allemaal gelijkwaardige resultaten, maar voor gebruik in numerieke berekeningen (met rekenmachine of computerprogramma) met beperkte (hoewel misschien grote) precisie is er wel verschil tussen. Daarom kijken we eerst naar wat zo'n formule geschikt of ongeschikt maakt voor numeriek gebruik.

Als voorbeeld berekenen we de afstand tussen punt A met breedtegraad 50.850° en lengtegraad 4.350° en punt B met breedtegraad 52.383° en lengtegraad 4.900°. (Op Aarde horen deze geografische coördinaten bij Brussel en Amsterdam.)

Bovendien berekenen we de afstand tussen punt A en punt C met breedtegraad 50.850001° en lengtegraad 4.900001°, op hele korte afstand van punt A.

1. Relatieve onnauwkeurigheid

Als je een formule wilt gebruiken om een afstand numeriek uit te rekenen, dan moet je rekening houden met de beperkte nauwkeurigheid van je rekenmachine of computerprogramma. Er zijn veel verschillende formules die wiskundig gezien allemaal precies dezelfde afstand uitrekenen. Sommige van die formules leveren dan voor sommige afstanden uitkomsten met veel minder nauwkeurigheid dan je zou verwachten, terwijl de andere formules het voor die afstand juist prima doen. Waar ligt dat aan?

Stel, je hebt een formule die een functie van de hoekafstand \( d \) oplevert:

\begin{equation} f(d) = q \end{equation}

waarin \( f \) een functie van alleen \( d \) is, en \( q \) een (mogelijk ingewikkelde) functie is van de coördinaten van de twee punten. Als je de inverse functie \( f^{\text{inv}} \) van \( f \) weet, waarvoor

\begin{equation} f^{\text{inv}}(f(x)) = x \end{equation}

dan is

\begin{equation} d = f^{\text{inv}}(q) \end{equation}

Stel nu dat je een van de twee punten een heel klein beetje verschuift. Dan verandert \( q \) in \( q + ∆q \), en verandert \( d \) in \( d + ∆d \), met

\begin{equation} f'(d) ∆d ≈ ∆q \end{equation}

waar \( f'(d) \) de afgeleide van \( f(d) \) naar \( d \) is. Het relatieve verschil is

\begin{equation} \frac{∆q}{q} = \frac{f'(d)∆d}{f(d)} = \frac{f'(d)d}{f(d)} \frac{∆d}{d} = N \frac{∆d}{d} \end{equation}

Wat nu als \( N = f'(d)d/f(d) \) véél kleiner is dan 1, of misschien wel gelijk is aan 0? Dan verandert \( q \) relatief (bijna) niet als \( d \) relatief wel flink verandert.

Een rekenmachine (of computerprogramma) heeft meestal een beperkte relatieve nauwkeurigheid. Als twee getallen een relatief verschil hebben dat kleiner is dan een bepaalde grenswaarde \( p \) (die afhangt van de rekenmachine), dan kan die rekenmachine dat onderscheid niet maken en ziet beide getallen als precies hetzelfde getal. Als \( ∆q/q = p \), dan is \( ∆q \) het kleinste absolute verschil dat die rekenmachine kan onderscheiden voor getallen nabij \( q \). Het overeenkomstige relatieve verschil in \( d \) is dan \( p/N \), wat veel groter is dan \( p \) als \( N \) veel kleiner is dan 1, dus is \( d \) dan relatief veel onnauwkeuriger bekend dan je zou verwachten op grond van \( p \).

Om de grootste nauwkeurigheid voor \( d \) te krijgen moeten we dus een formule gebruiken waarvoor \( |N| \) voor alle afstanden (tussen 0° en 180°, daarbuiten kan niet) niet veel kleiner is dan 1. Hoe zit dat voor de voor de hand liggende functies \( \sin, \cos, \tan \)?

\({f(d)}\)\({N}\)\({\{d | N = 0\}}\)
\({\sin(d)}\)\({d\cos(d)/\sin(d)}\)90°
\({\cos(d)}\)\({d\sin(d)/\cos(d)}\)0°, 180°
\({\tan(d)}\)\({d/(\sin(d)\cos(d))}\)

De derde kolom noemt voor welke afstanden \( d \) van 0° tot en met 180° de waarde van \( N \) gelijk is aan 0.

Dus een sinus levert relatief onnauwkeurige resultaten voor afstanden nabij 90°, een cosinus voor afstanden nabij 0° en 180°, en een tangens is goed voor alle afstanden.

\( f^n(d) \) voor \( n \gt 0 \) levert dezelfde nulpunten voor \( N \) als \( f(d) \). Bijvoorbeeld, \( \sin^2(d) \) levert relatief onnauwkeurige resultaten voor afstanden nabij 90°, net als \( \sin(d) \).

\( f(kd) \) voor constante \( k \gt 0 \) levert nulpunten voor dezelfde afstanden als \( f(d) \) maar gedeeld door \( k \). Bijvoorbeeld, \( \sin\left( \frac{1}{2}d \right) \) levert relatief onnauwkeurige resultaten voor afstanden nabij 180°, tweemaal zo groot als de 90° van \( \sin(d) \).

Dus we kunnen het nulpunt voor \( N \) van een sinus buiten het interval van 0° tot 180° schuiven als we \( k \) kleiner dan 1/2 maken, maar voor een cosinus helpt dat niet, want het nulpunt voor afstand 0° blijft daar. Het is beter om een formule voor \( \tan(d) \) te vinden, want daarvoor heeft \( N \) geen nulpunten en is \( d \) voor alle afstanden nauwkeurig te bepalen uit \( q \).

Een nadeel aan \( \tan(d) = q \) zelf is dat zijn inverse functie \( d = \arctan(q) \) voor negatieve \( q \) op de meeste rekenmachines een antwoord \( −90° \lt d \lt 0° \) geeft. Je moet er dan zelf 180° bij tellen (dat mag, want \( \tan(d) = \tan(d + 180°) \), of je gebruikt de "atan2"-functie met twee argumenten (de teller en noemer van \( q \)), in plaats van de "tan"-functie.

Wat dat betreft is \( \tan\left( \frac{1}{2}d \right) = q \) beter, want dan is \( q \ge 0 \) voor alle \( 0° \le d \le 180° \) dus is er geen probleem meer met negatieve \( q \).

2. Polaire coördinaten

Polaire coördinaten zijn coördinaten waarvan er een te vergelijken is met de geografische lengtegraad en de ander met de geografische breedtegraad. (Als het gaat om een plek in de ruimte, dan hoort er ook nog een rechte afstand tot de oorsprong bij, maar omdat we het hier hebben over een plek aan de hemel is die afstand niet van belang.) In polaire coördinaten meet de breedtegraad de afstand tot de evenaar en meet de lengtegraad de afstand langs de evenaar. De polen zijn dan bij breedtegraden +90° en −90° en de evenaar is bij breedtegraad 0°.

Voorbeelden van polaire coördinaten zijn: lengtegraad en breedtegraad (geografisch of equatoriaal of eclipticaal of galactisch of hemellichaam + "grafisch"), of rechte klimming en declinatie, of azimut en hoogte.

2.1. Formules voor de afstand tussen polaire coördinaten

Als je de polaire coördinaten \( l_1 \) en \( l_2 \) (de lengtegraden) en \( b_1 \) en \( b_2 \) (de breedtegraden) van twee punten aan de hemel weet, dan zijn er veel verschillende formules waarmee je de hoekafstand \( d \) tussen die twee punten kunt berekenen. Hier is een verzameling van die formules:

\begin{align} \cos(d) & = \sin(b_1)\sin(b_2) + \cos(b_1)\cos(b_2)\cos(l_2 − l_1) \label{eq:cos} \\ \cos^2\left( \frac{1}{2}d \right) & = \sin^2\left( \frac{1}{2} (b_2 + b_1) \right) + \cos(b_1)\cos(b_2)\cos^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right) \label{eq:cossqh} \\ \sin^2(d) & = \left(\cos(b_2) \sin(l_2 − l_1) \right)^2 + \left( \cos(b_1)\sin(b_2) − \sin(b_1)\cos(b_2)\cos(l_2 − l_1) \right)^2 \label{eq:sinsq} \\ \sin^2\left( \frac{1}{2}d \right) & = \sin^2\left( \frac{1}{2} (b_2 − b_1) \right) + \cos(b_1)\cos(b_2)\sin^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right) \label{eq:sinsqh} \\ \tan(d) & = \frac{\sqrt{\left( \cos(b_2) \sin(l_2 − l_1) \right)^2 + \left( \cos(b_1)\sin(b_2) − \sin(b_1)\cos(b_2)\cos(l_2 − l_1) \right)^2}}{\sin(b_1)\sin(b_2) + \cos(b_1)\cos(b_2)\cos(l_2 − l_1)} \label{eq:tan} \\ \tan^2\left( \frac{1}{2}d \right) & = \frac{\sin^2\left( \frac{1}{2} (b_2 − b_1) \right) + \cos(b_1)\cos(b_2)\sin^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right)}{\sin^2\left( \frac{1}{2} (b_2 + b_1) \right) + \cos(b_1)\cos(b_2)\cos^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right)} \label{eq:tansqh} \end{align}

De omrekening naar \( d \) gaat dan als volgt:

\({ q }\)\({ d }\)
\({ \cos(d) }\)\({ \arccos(q) }\)
\({ \cos^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arccos(\sqrt{q}) }\)
\({ \sin^2(d) }\)\({ \arcsin(\sqrt{q}) }\)
\({ \sin^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arcsin(\sqrt{q}) }\)
\({ \tan(d) }\)\({ \arctan(d) }\)
\({ \tan^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arctan(\sqrt{q}) }\)

Formule \eqref{eq:cos} is tegenwoordig de meest bekende, en volgt uit de eerste cosinusregel van de boldriehoeksmeting. Formule \eqref{eq:sinsqh} is de "haversinusregel" en werd in de tijd voordat er elektronische rekenmachines bestonden veel gebruikt. Formules \eqref{eq:sinsq} en \eqref{eq:tan} zijn speciale vormen van de formule van Vincenty uit de geodesie. Merk op dat de noemer van formule \eqref{eq:tan} gelijk is aan de rechterzijde van de cosinusregel (formule \eqref{eq:cos}). Ikzelf leidde formules \eqref{eq:cossqh} en \eqref{eq:tansqh} af. Merk op dat de teller van formule \eqref{eq:tansqh} gelijk is aan de rechterzijde van de haversinusregel (formule \eqref{eq:sinsqh}).

Een nadeel aan formule \eqref{eq:tan} is dat de rechterkant negatief is voor \( d \gt 90° \) en dat de \( \arctan \)-functie in de meeste rekenmachines en computerprogramma's voor een negatieve invoerwaarde een uitkomst geeft tussen −90° en 0°, in plaats van tussen 90° en 180° zoals we hier nodig hebben. Je moet dan zelf bedenken dat \( \tan(d) = \tan(d + 180°) \) dus dat je 180° bij de uitkomst mag optellen. Of je gebruikt de "atan2"-functie (arctan met twee argumenten), als die beschikbaar is, met de teller en noemer van formule \eqref{eq:tan} als argumenten. Welke volgorde van teller en noemer de juiste is hangt af van de rekenmachine. Voor \( q = \frac{0}{1} \) moet er \( d = 0° \) uitkomen, en voor \( q = \frac{1}{0} \) moet er \( d = 90° \) uitkomen.

Wiskundig gezien zijn bovenstaande formules allemaal even goed, maar voor numeriek gebruik niet. Ik heb bovenstaand lijstje van formules gesorteerd naar toenemende geschiktheid voor gebruik in numerieke berekeningen (met rekenmachine of computerprogramma), dus formule \eqref{eq:tansqh} is volgens mij daarvoor het meest geschikt, en formule \eqref{eq:cos} het minst. Hierbij heb ik voornamelijk gekeken naar de nauwkeurigheid van de resultaten, en ook naar het uitrekengemak.

Vergelijking \eqref{eq:tansqh} bevat zowel \( \sin^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right) \) als \( \cos^2\left( \frac{1}{2} (l_2 − l_1) \right) \), en die zijn samen precies gelijk aan 1, dus zou je in de verleiding kunnen komen om maar een van die twee expliciet uit te rekenen en dan de andere te vinden door de ene af te trekken van 1, maar als je dat doet dan worden de uitkomsten in sommige gevallen een stuk minder nauwkeurig.

Voor punten A en B vinden we uit formule \eqref{eq:cos}, met een computersysteem dat met ongeveer 16 significante cijfers werkt:

\begin{align*} q & = \sin(50.850°) \sin(52.383°) + \cos(50.850°) \cos(52.383°) \cos(4.350° − 4.900°) \\ & = 0.775495743172234×0.792108574769034 + 0.631352795449378×0.610380214110329×0.999953926969049 \\ & = 0.999624327383860 \\ d & = \arccos(0.999624327383860) = 1.57056529603582° \end{align*}

Formule \eqref{eq:cossqh} geeft:

\begin{align*} q & = \sin^2\left( \frac{52.383° + 50.850°}{2} \right) + \cos(50.850°)\cos(52.383°)\cos^2\left( \frac{4.350° − 4.900°}{2} \right) \\ & = 0.614455786699033 + 0.631352795449378×0.610380214110329×0.999976963484524 \\ & = 0.999812163691930 \\ d & = 2\arccos{\sqrt{0.999812163691930}} = 1.57056529603563° \end{align*}

Formule \eqref{eq:sinsq} geeft:

\begin{align*} q & = \sin^2\left( \frac{52.383° − 50.850°}{2} \right) + \cos(50.850°) \cos(52.383°) \sin^2\left( \frac{4.900° − 4.350°}{2} \right) \\ & = (0.610380214110329×−0.00959916346240015)^2 + (0.631352795449378×0.792108574769034 − 0.775495743172234×0.610380214110329×0.999953926969049)^2 \\ & = 0.000751204102365001 \\ d & = \arcsin(\sqrt{0.000751204102365001}) = 1.57056529603550° \end{align*}

Formule \eqref{eq:sinsqh} geeft:

\begin{align*} q & = \sin^2\left( \frac{1}{2} (52.383° − 50.850°) \right) + \cos(50.850°) \cos(52.383°) \sin^2\left( \frac{1}{2} (4.900° − 4.350°) \right) \\ & = 0.000178958835421660 + 0.631352795449378×0.610380214110329×0.0000230365154755148 \\ & = 0.000187836308069881 \\ d & = 2×\arcsin(\sqrt{0.000187836308069881}) = 1.57056529603551° \end{align*}

Formule \eqref{eq:tan} geeft:

\begin{align*} q & = \frac{\sqrt{0.000751204102365001}}{0.999624327383860} = 0.0274184032029088 \\ d & = \arctan(0.0274184032029088) = 1.57056529603550° \end{align*}

Formule \eqref{eq:tansqh} geeft:

\begin{align*} q & = \frac{0.000187836308069881}{0.999812163691930} = 0.000187871597177086 \\ d & = 2\arctan(\sqrt{0.000187871597177086}) = 1.57056529603551° \end{align*}

Met een programma dat met nog veel meer significante cijfers rekent vond ik \( d = 1.57056529603550534° \) (met zowel formules \eqref{eq:cos} als \eqref{eq:tansqh}). Nu kunnen we kijken hoe ver de waarden uit de diverse formules van dat goede antwoord af waren, in eenheden van het 14e cijfer achter de komma. Voor formule \eqref{eq:cos} was dat 31, voor \eqref{eq:cossqh} was het 12, en voor de andere formules was het 1 of minder. Het lijkt dus alsof formules \eqref{eq:cos} en \eqref{eq:cossqh} voor dit geval wat minder nauwkeurig zijn.

Voor de afstand tussen punten A en C vinden we, voor dezelfde formules:

Vgl. \({ d×10^6 }\)\({ ∆d×10^6 }\)
\eqref{eq:cos} 1.207418270 0.025
\eqref{eq:cossqh} 0 1.18
\eqref{eq:sinsq} 1.182626877 0.0000000018
\eqref{eq:sinsqh} 1.182626880 0.0000000054
\eqref{eq:tan} 1.182626877 0.0000000018
\eqref{eq:tansqh} 1.182626880 0.0000000054

\( ∆d \) is de afwijking ten opzichte van het juiste antwoord \( 1.1826268750×10^{−6}° \). Het is duidelijk te zien dat formules \eqref{eq:cos} en \eqref{eq:cossqh} het hier veel slechter doen dan de andere formules: Formule \eqref{eq:cossqh} kan zo'n kleine afstand niet onderscheiden van 0, en de afwijking van het juiste antwoord is voor formule \eqref{eq:cos} ongeveer tien miljoen keer zo groot als voor de andere formules. De formules die het wel goed doen geven een antwoord dat juist is tot ongeveer 14 cijfers achter de komma.

Laten we de relatieve onnauwkeurigheid van formule \eqref{eq:cos} voor kleine afstanden nader bekijken. Voor kleine \( d \), en als we alle hoeken meten in radialen, dan is ongeveer

\begin{align} q & = \cos(d) ≈ 1 − \frac{1}{2}d^2 \\ d & ≈ \sqrt{2(1 − q)} \end{align}

Als het kleinste relatieve verschil dat de rekenmachine aankan gelijk is aan \( p \), dan is de kleinste waarde voor \( q \) die we kunnen onderscheiden van \( q = 1 \) (waarbij hoort \( d = 0 \)) gelijk aan \( q_1 = 1 − p \), waarvoor geldt \( d_1 ≈ \sqrt{2p} \), wat véél groter is dan \( p \).

Als je rekenmachine of computerprogramma gebruik maakt van het "binary64"-formaat uit de IEEE-754-standaard (ook wel "zwevendekommagetallen van dubbele precisie" genoemd), dan rekent die met 15 tot 17 significante cijfers. Ik heb zo'n systeem, en dat geeft:

\begin{align*} q_1 & ≈ 0.99999999999999978 \\ d_1 & ≈ 0.000000021 \text{ rad} ≈ 0.0000012° \end{align*}

Dus de kleinste hoekafstand (anders dan 0) die je dan uit de formule kunt krijgen is 0.0000012°, wat op het aardoppervlak overeenkomt met 13 cm. Op grond van \( p ≈ 2×10^{−16} \) zou je verwachten dat je afstanden ongeveer zo klein als \( 360°×p ≈ 0.0000000000008° \) aan zou kunnen, wat op het aardoppervlak overeenkomt met 0.000009 mm, véél kleiner dan die 13 cm.

Merk op dat de afstand tussen punten A en C die in het vorige hoofdstuk uit formule \eqref{eq:cos} kwam gelijk is aan \( d_1 \). Die afstand was dus op het randje van wat die formule aankan (op dat systeem), en was voor formule \eqref{eq:cossqh} al teveel.

Een rekenmachine die gebruik maakt van het "binary32"-formaat ("zwevendekommagetallen van enkele precisie") geeft

\begin{align*} q_1 & ≈ 0.99999988 \\ d_1 & ≈ 0.00049 \text{ rad} ≈ 0.028° \end{align*}

0.028° komt op het oppervlak van de Aarde overeen met ongeveer 3 km. Op grond van \( p ≈ 10^{−7} \) zou je verwachten afstanden ongeveer zo klein als \( 360°×p ≈ 0.00004° \) aan te kunnen, wat op het aardoppervlak overeenkomt met ongeveer 5 m.

3. Rechthoekige coördinaten

Als je de rechthoekige geocentrische coördinaten \( x_1, y_1, z_1 \) en \( x_2, y_2, z_2 \) van de twee punten kent, dan kun je hun hoekafstand \( d \) aan de hemel uitrekenen met onderstaande formules. In alle gevallen gaan we er vanuit dat \( x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1 \) en \( x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 1 \). Als dat niet zo is, deel dan \( x_1, y_1, z_1 \) door \( \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \), en net zo voor \( x_2, y_2, z_2 \).

\begin{align} \cos(d) & = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \label{eq:rcos} \\ 4\cos^2\left( \frac{1}{2} d \right) & = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 + (z_1 + z_2)^2 \label{eq:rcossqh} \\ \sin^2(d) & = (y_1 z_2 − z_1 y_2)^2 + (z_1 x_2 − x_1 z_2)^2 + (x_1 y_2 − y_1 x_2)^2 \label{eq:rsinsq} \\ 4\sin^2\left( \frac{1}{2} d \right) & = (x_1 − x_2)^2 + (y_1 − y_2)^2 + (z_1 − z_2)^2 \label{eq:rsinsqh} \\ \tan(d) & = \frac{\sqrt{(y_1 z_2 − z_1 y_2)^2 + (z_1 x_2 − x_1 z_2)^2 + (x_1 y_2 − y_1 x_2)^2}}{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2} \label{eq:rtan} \\ \tan^2\left( \frac{1}{2} d \right) & = \frac{(x_1 − x_2)^2 + (y_1 − y_2)^2 + (z_1 − z_2)^2}{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 + (z_1 + z_2)^2} \label{eq:rtansqh} \end{align}

De omrekening naar \( d \) gaat dan als volgt:

\({ q }\)\({ d }\)
\({ \cos(d) }\)\({ \arccos(q) }\)
\({ 4\cos^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arccos(\sqrt{\frac{q}{4}}) }\)
\({ \sin(d) }\)\({ \arcsin(q) }\)
\({ 4\sin^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arcsin(\sqrt{\frac{q}{4}}) }\)
\({ \tan(d) }\)\({ \arctan(d) }\)
\({ \tan^2(\frac{1}{2}d) }\)\({ 2\arctan(\sqrt{q}) }\)

Formule \eqref{eq:rcos} volgt uit het inprodukt van de twee vectoren. Formule \eqref{eq:rsinsq} volgt uit het uitprodukt van de twee vectoren. Formule \eqref{eq:rsinsqh} volgt uit de lengte van de rechte lijn die de twee punten verbindt (het verschil van de twee vectoren). Formule \eqref{eq:rcossqh} volgt uit de lengte van de som van de twee vectoren. Formule \eqref{eq:rtan} volgt uit de combinatie van formules \eqref{eq:rsinsq} en \eqref{eq:rcos}. Formule \eqref{eq:rtansqh} volgt uit de combinatie van formules \eqref{eq:rsinsqh} en \eqref{eq:rcossqh}. Formules \eqref{eq:rcossqh} en \eqref{eq:rtansqh} leidde ik zelf af.

Gebaseerd op de analyse van relatieve onnauwkeurigheid zijn de formules die via \( \tan \) gaan het beste. Formule \eqref{eq:rtansqh} is nog wat gemakkelijker in het gebruik dan formule \eqref{eq:rtan}, want voor formule \eqref{eq:rtan} moet je (meestal) zelf nog 180° bij de uitkomst optellen als \( q \lt 0 \) om \( 90° \lt d \le 180° \) te krijgen, en voor formule \eqref{eq:tansqh} is dat niet nodig.

Met gebruik van de formules uit sectie 1.6 van de bladzijde over posities aan de hemel (en Δ = 1) vinden we (met een rekenmachine die met ongeveer 16 significante cijfers rekent)

\begin{align*} x_1 & = 0.629045387982967 \\ y_1 & = 0.0539282132014616 \\ z_1 & = 0.775495743172234 \\ x_2 & = 0.608621905592157 \\ y_2 & = 0.0462966717026435 \\ z_2 & = 0.792108574769034 \end{align*}

En dan vinden we uit formule \eqref{eq:rcos}:

\begin{align*} \\ q & = 0.629045387982967 × 0.608621905592157 + 0.0539282132014616 × 0.0462966717026435 + 0.775495743172234 × 0.792108574769034 = 0.999624327383860 \\ d & = \arccos(0.999624327383860) = 1.57056529603582° \end{align*}

Formule \eqref{eq:rcossqh} levert:

\begin{align*} \\ q & = (0.629045387982967 + 0.608621905592157)^2 + (0.0539282132014616 + 0.0462966717026435)^2 + (0.775495743172234 + 0.792108574769034)^2 = 3.99924865476772 \\ d & = 2\arccos\left( \sqrt{\frac{3.99924865476772}{4}} \right) = 1.57056529603656° \end{align*}

Formule \eqref{eq:rsinsq} levert:

\begin{align*} q & = (0.0539282132014616 × 0.792108574769034 − 0.775495743172234 × 0.0462966717026435)^2 \\ & + (0.775495743172234 × 0.608621905592157 − 0.629045387982967 × 0.792108574769034)^2 \\ & + (0.629045387982967 × 0.0462966717026435 − 0.0539282132014616 × 0.608621905592157)^2 \\ & = 0.0000464323440855707 + 0.000691087795493142 + 0.0000136839627862883 \\ & = 0.000751204102365001 \\ d & = \arcsin\left( \sqrt{0.000751204102365001} \right) = 1.57056529603550° \end{align*}

Formule \eqref{eq:rsinsqh} levert:

\begin{align*} \\ q & = (0.629045387982967 − 0.608621905592157)^2 + (0.0539282132014616 − 0.0462966717026435)^2 + (0.775495743172234 − 0.792108574769034)^2 = 0.000751345232279519 \\ d & = 2\arcsin\left( \sqrt{\frac{0.000751345232279519}{4}} \right) = 1.57056529603550° \end{align*}

Formule \eqref{eq:rtan} levert:

\begin{align*} q & = \frac{\sqrt{0.000751204102365001}}{0.999624327383860} = 0.0274184032029088 \\ d & = \arctan(0.0274184032029088) = 1.57056529603550° \end{align*}

Formule \eqref{eq:rtansqh} levert:

\begin{align*} q & = \frac{0.000751345232279519}{3.99924865476772} = 0.000187871597177085 \\ d & = 2\arctan(0.000187871597177085) = 1.57056529603550° \end{align*}

Voor de afstand tussen punten A en C vinden we, voor dezelfde formules:

Vgl. \({ d×10^6 }\)\({ |∆d|×10^6 }\)
\eqref{eq:rcos} 1.478779333 0.2962
\eqref{eq:rcossqh} 1.707547293 0.5249
\eqref{eq:rsinsq} 1.182626877 0.0000004
\eqref{eq:rsinsqh} 1.182626877 0.0000004
\eqref{eq:rtan} 1.182626877 0.0000004
\eqref{eq:rtansqh} 1.182626877 0.0000004

\( |∆d| \) is de afwijking ten opzichte van het juiste antwoord \( 1.182626882738767×10^{−6}° \). Hier, net als voor de polaire coördinaten, is duidelijk te zien dat de formules die via \( \cos \) gaan voor kleine afstanden een stuk minder nauwkeurig zijn dan de andere.



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/afstanden.html;
Laatst vernieuwd: 2016-10-10