AstronomieAntwoorden: Asymptootaanpassingsfunctie

AstronomieAntwoorden
Asymptootaanpassingsfunctie


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Twee asymptoten ... 2. Meer asymptoten

\( \newcommand{\Matrix}[1]{\left( \begin{matrix} #1 \end{matrix} \right)} \)

Deze bladzijde legt uit hoe je een functie vindt die twee of meer voorafgekozen niet-verticale asymptoten heeft. Dit heeft niet direct een sterrenkundige toepassing, maar kan nuttig zijn als je een relatief simpele benaderingsfunctie nodig hebt voor een datareeks.

1. Twee asymptoten

Stel, je zoekt een functie \( f(x) \) die twee niet-verticale asymptoten heeft die elkaar kruisen in het punt \( (x_1,y_1) \) en waarvan de eerste asymptoot (in oplopende volgorde van \( x \)) helling \( a_1 \) heeft en de tweede \( a_2 \).

\begin{eqnarray} A_1(x) & = & a_1 (x − x_1) + y_1 \label{eq:def} \\ A_2(x) & = & a_2 (x − x_1) + y_1 \\ A(x) & = & A_1(x) & \qquad (x ≤ x_1) \\ A(x) & = & A_2(x) & \qquad (r ≤ x_1) \end{eqnarray}

dus \( f(x) \) moet steeds dichter bij \( A_1(x) \) komen als \( x \) steeds verder in de richting van −∞ gaat, en steeds dichter bij \( A_2(x) \) komen als \( x \) steeds verder in de richting van +∞ gaat.

Bovendien willen we dat de verticale afstand van de functie \( f(x) \) tot aan het kruispunt van de asymptoten (op \( (x_1, y_1) \)) gelijk is aan \( d \). Hoe vind je die?

Om te beginnen herschrijven we de asymptotenfunctie \( A(x) \) als

\begin{equation} A(x) = p |x − x_1| + s x + t \end{equation}

Dan moet

\begin{eqnarray} a_1 & = & s − p \\ a_2 & = & s + p \\ A(x_1) & = & y_1 \end{eqnarray}

dus

\begin{eqnarray} s & = & \frac{a_2 + a_1}{2} \label{eq:two} \\ p & = & \frac{a_2 − a_1}{2} \\ t & = & y_1 − s x_1 \end{eqnarray}

Om \( A(x) \) te transformeren tot \( f(x) \) vervangen we \( |x − x_1| \) door \( \sqrt{q + (x − x_1)^2} \):

\begin{equation} f(x) = p \sqrt{q + (x − x_1)^2} + s x + t \end{equation}

De verticale afstand van \( f(x) \) tot \( A(x) \) op \( x = x_1 \) moet \( d \) zijn, dus

\begin{eqnarray} |f(x) − A(x)| & = & d \\ |p\sqrt{q}| & = & d \\ q = \left( \frac{d}{p} \right)^2 \end{eqnarray}

Samengevat:

\begin{eqnarray} f(x) & = & p\sqrt{q + (x − x_1)^2} + s (x − x_1) + y_1 \\ p & = & \frac{a_2 − a_1}{2} \\ s & = & \frac{a_2 + a_1}{2} \\ q & = & \left( \frac{d}{p} \right)^2 \end{eqnarray}

Bijvoorbeeld, welke \( f(x) \) heeft voor hele negatieve \( x \) een asymptoot \( y = x \) en voor hele positieve \( x \) een asymptoot \( y = 3 \) en heeft het kruispunt van de asymptoten 2 eenheden boven of onder \( f(x) \)?

Die asymptoten kruisen elkaar in het punt \((3,3)\) dus \( x_1 = 3, y_1 = 3 \). Verder \( a_1 = 1, a_2 = 0, d = 2 \) en dan

\begin{eqnarray*} p & = & \frac{0 − 1}{2} = −\frac{1}{2} \\ q & = & \left( \frac{2}{−1/2} \right)^2 = 16 \\ s & = & \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

dus

\[ f(x) = −\frac{1}{2}\sqrt{16 + (x − 3)^2} + \frac{1}{2} (x − 3) + 3 \]

En wat als we het kruispunt maar 1 eenheid boven of onder \( f(x) \) willen hebben? Dan is \( d = 1 \) en \( q = 4 \) dus

\[ f(x) = −\frac{1}{2}\sqrt{4 + (x − 3)^2} + \frac{1}{2} (x − 3) + 3 \]

En als we \( f(x) \) door het kruispunt willen laten gaan? Dan is \( d = 0 \) dus \( q = 0 \) dus

\begin{split} f(x) & = −\frac{1}{2}\sqrt{(x − 3)^2} + \frac{1}{2} (x − 3) + 3 \\ & = −\frac{1}{2}|x − 3| + \frac{1}{2} (x − 3) + 3 \end{split}

Alledrie deze functies staan in figuur 1.

Fig. 1: voorbeeld met 2 asymptoten
Fig. 1: voorbeeld met 2 asymptoten

2. Meer asymptoten

We kunnen meer kruispunten toevoegen en op die manier meer dan twee asymptoten hebben. Stel dat we \( n \) asymptoten hebben, met \( n − 1 \) kruispunten \( (x_i, y_i) \) (voor \( i \) van 1 tot en met \( n − 1 \)) gesorteerd in volgorde van oplopende \( x \), dus met \( x_i \lt x_{i+1} \). Asymptoot 1 geldt van \( x = −∞ \) tot \( x = x_1 \), asymptoot 2 van \( x = x_1 \) tot \( x = x_2 \), enzovoorts. Asymptoot \( n \) geldt van \( x = x_{n−1} \) tot \( x = +∞ \).

Met de \( (x_i, y_i) \) liggen alle asymptoten vast, behalve de eerste en de laatste. Die twee liggen ook vast als hun helling is gegeven. We noemen de hellingen \( a_i \), dus de helling van de eerste asymptoot is \( a_1 \) en die van de laatste asymptoot \( a_n \).

De helling van asymptoot \( i \) (voor \( 2 ≤ i ≤ n − 1\)) is

\begin{equation} a_i = \frac{y_{i+1} − y_i}{x_{i+1} − x_i} \end{equation}

De asymptotenfunctie is

\begin{equation} A(x) = \left\{ \sum_i p_i |x − x_i| \right\} + s x + t \end{equation}

waarbij \( \sum_i \) de som over \( i \) van 1 tot en met \( n − 1 \) is.

Hoe vinden we de \( p_i, s, t \)? We moeten voor alle \( j \) van 1 tot en met \( n − 1 \) hebben dat

\begin{equation} A(x_j) = y_j \end{equation}

so

\begin{equation} \left\{ \sum_i p_i |x_j − x_i| \right\} + s x_j + t = y_j \end{equation}

Dat geeft \( n − 1 \) vergelijkingen die linear zijn in \( p_i, s, t \), maar we hebben er twee meer nodig omdat we van \( n + 1 \) variabelen de waarde moeten bepalen. Gelukkig hebben we nog \( a_1 \) en \( a_n \). Voor \( x \lt x_1 \) geldt

\begin{eqnarray} A(x) & = & \left\{ \sum_i p_i (x_i − x) \right\} + sx + t \\ A'(x) & = & −\left\{ \sum_i p_i \right\} + s \end{eqnarray}

en dat moet gelijk zijn aan \( a_1 \), dus

\begin{equation} a_1 = s − \left\{ \sum_i p_i \right\} \end{equation}

Voor \( x \gt x_{n−1} \) geldt

\begin{eqnarray} A(x) & = & \left\{ \sum_i p_i (x − x_i) \right\} + sx + t \\ A'(x) & = & \left\{ \sum_i p_i \right\} + s \end{eqnarray}

en dat moet gelijk zijn aan \( a_n \), dus

\begin{equation} a_n = s + \left\{ \sum_i p_i \right\} \end{equation}

Nu hebben we \( n + 1 \) onafhankelijke lineare vergelijkingen waaruit we \( n + 1 \) variabelen moeten bepalen. Dat kan met standaardmethoden uit de lineare algebra.

De oplossing is:

\begin{eqnarray} p_i & = & \frac{1}{2} (a_{i+1} − a_{i}) & \qquad (1 ≤ i ≤ n − 1) \\ s & = & \frac{1}{2} (a_1 + a_n) \\ t & = & \frac{1}{2} (y_1 + y_{n−1} − a_1 x_1 − a_n x_{n−1}) \end{eqnarray}

Ter controle: Als \( n = 2 \) dan vinden we

\begin{eqnarray} p_1 & = & \frac{1}{2} (a_2 − a_1) \\ s & = & \frac{1}{2} (a_1 + a_2) \\ t & = & \frac{1}{2} (y_1 + y_1 − a_1 x_1 − a_2 x_1) = y_1 − sx_1 \end{eqnarray}

net als in vergelijking \eqref{eq:two}ff.

We vertalen de asymptootfunctie \( A(x) \) weer in de gezochte functie \( f(x) \) door \( |x − x_i| \) te vervangen door \( \sqrt{q_i + (x − x_i)^2} \):

\begin{equation} f(x) = \left\{ \sum_i p_i \sqrt{q_i + (x − x_i)^2} \right\} + s x + t \end{equation}

We zouden willen dat de functie \( f(x) \) op kruispunt \( k \) op afstand \( d_k \) boven of onder de asymptootfunctie ligt, maar dat zou betekenen dat

\begin{equation} d_k = |f(x_k) − A(x_k)| = \left| p_k \sqrt{q_k} + \left\{ \sum_{i≠k} p_i \left( \sqrt{q_i + (x_k − x_i)^2} − |x_k − x_i| \right) \right\} \right| \label{eq:dtough} \end{equation}

voor alle \( k \), dus dan hangt de afstand voor kruispunt \( k \) ook af van alle andere kruispunten, en dat stelsel van vergelijkingen is niet eenvoudig op te lossen voor alle \( q_k \) ― en misschien wel helemaal niet.

We moeten ons daarom tevreden stellen met een eenvoudigere manier. We beschouwen voor kruispunt \( k \) alleen de bijdrage aan \( A(x) \) en \( f(x) \) die door dat kruispunt geleverd wordt. Dan vallen in vergelijking \eqref{eq:dtough} alle termen met \( i ≠ k \) weg en houden we over

\begin{eqnarray} d_k & = & |p_k\sqrt{q_k}| \\ q_k & = & \left( \frac{d_k}{p_k} \right)^2 \end{eqnarray}

\( d_k \) is nu alleen bij benadering de verticale afstand tussen de functie en het kruispunt. Als de kruispunten horizontaal ver van elkaar zijn dan zal de benadering goed zijn, en anders minder goed.

Laten we aan het vorige voorbeeld een kruispunt toevoegen op \( (10,3) \) met afstand 1, en de derde asymptoot een helling geven van +1. Dan is \( d_1 = 2 \) en \( d_2 = 1 \), en

\begin{eqnarray*} x_1 & = & 3 \\ y_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 10 \\ y_2 & = & 3 \\ a_1 & = & 1 \\ a_2 & = & \frac{3 − 3}{10 − 3} = 0 \\ a_3 & = & 1 \\ p_1 & = & \frac{0 − 1}{2} = −\frac{1}{2} \\ p_2 & = & \frac{1 − 0}{2} = \frac{1}{2} \\ s & = & \frac{1 + 1}{2} = 1 \\ t & = & \frac{3 + 3 − 1×3 − 1×10}{2} = \frac{−7}{2} \\ q_1 & = & \left( \frac{2}{−1/2} \right)^2 = 16 \\ q_2 & = & \left( \frac{1}{1/2} \right)^2 = 4 \end{eqnarray*}

en dus is de asymptootfunctie

\[ A(x) = \frac{−|x − 3| + |x − 10| − 7}{2} + x \]

en de gevraagde functie

\[ f(x) = \frac{−\sqrt{16 + (x − 3)^2} + \sqrt{4 + (x − 10)^2} − 7}{2} + x \]

De "afstanden" \( d_1 \) en \( d_2 \) zijn vrij groot, vergeleken met de horizontale afstand (7) tussen de kruispunten, waardoor \( f(x) \) tussen de kruispunten in ver van de asymptootfunctie blijft. Als we \( d_1 \) en \( d_2 \) driemaal zo klein maken dan vinden we

\begin{eqnarray*} q_1 & = & \left( \frac{2/3}{−1/2} \right)^2 = \frac{16}{9} \\ q_2 & = & \left( \frac{1/3}{−1/2} \right)^2 = \frac{4}{9} \\ f(x) & = & \frac{−\sqrt{(16/9) + (x − 3)^2} − \sqrt{(4/9) + (x − 10)^2} − 7}{2} + x \end{eqnarray*}

Alledrie de functies (\( A(x) \) en de twee \( f(x) \)) staan in figuur 2.

Fig. 2: voorbeeld met 3 asymptoten
Fig. 2: voorbeeld met 3 asymptoten



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/asymptootaanpassingsfunctie.html;
Laatst vernieuwd: 2017-12-15