AstronomieAntwoorden: Frequentiebepaling

AstronomieAntwoorden
Frequentiebepaling


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Inleiding ... 2. Gebruik een fourierspectrum ... 3. Eenvoudige schattingen ... 3.1. Eenvoudigste schatting: Methode 1 ... 3.2. Betere schatting: Methode 2 ... 3.3. Nog betere schatting: Methode 3 ... 3.4. Methode 4: Algemeen Kwadratisch ... 3.5. Opmerkingen ... 4. De nauwkeurigheid ... 4.1. Testen met de proefmeetreeks ... 4.2. Testen met het VSOP-model

\( \DeclareMathOperator{\sinc}{sinc} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \)

Deze bladzijde legt een paar relatief snelle manieren uit om de eigenschappen (zoals de frequentie) te schatten van periodieke componenten in een meetreeks.

1. Inleiding

Fig. 1: Meetreeksgrafiek
Fig. 1: Meetreeksgrafiek
In de astronomie hebben heel veel zaken periodieke componenten. Elk hemellichaam met een gesloten (elliptische) baan komt na een bepaalde periode weer terug op ongeveer dezelfde plek in zijn baan. Sommige sterren worden periodiek wat helderder en dan weer zwakker. De magnetische activiteit van de Zon wordt periodiek hoger en dan weer lager. Stel dat je een reeks metingen hebt van een of ander kenmerk waarvan je denkt dat er zulke perioden in zitten. Neem bijvoorbeeld de meetreeks die in figuur 1 staat. Gedurende 1024 seconden werd elke seconde een meting gedaan en de resultaten staan in de grafiek (met de tijd langs de horizontale as en de meetwaarden langs de vertikale as). Hoe kun je de perioden vinden die in deze meetreeks zitten?

Fig. 2: Meetreeksgrafiek met proefreeks
Fig. 2: Meetreeksgrafiek met proefreeks
Eén methode is om te gokken naar de periode en de meetreeks te vergelijken met je gok. Figuur 2 laat weer dezelfde meetreeks zijn, maar nu met ook een gegokte harmonische proefreeks met een frequentie van 10 (dus met precies 10 hele perioden in de meetreeks) en een amplitude (grootste afwijking van het gemiddelde) van 1. De proefreeks is wel ongeveer goed, maar niet goed genoeg: hij is niet hoog genoeg, en loopt toch langzaam uit de pas met de meetreeks. Het is veel werk om telkens je gok een beetje aan te passen en dan nog eens te proberen.

2. Gebruik een fourierspectrum

Een snelle methode om inzicht te krijgen is om het fourierspectrum van de meetreeks te bepalen. Hiervoor kan een FFT-algoritme gebruikt worden, als er telkens even veel tijd tussen opeenvolgende metingen zat. (FFT betekent Fast Fourier Transform = Snelle Fouriertransformatie.) Als een programmeertaal daar een functie voor heeft dan heeft die meestal een naam zoals POWER of FFT. Het fourierspectrum geeft aan hoeveel "energie" er in de data zit voor elke hele frequentie (dwz. voor sinussen en cosinussen die precies een heel aantal keren in de meetperiode passen). Die energie is gelijk aan het kwadraat van de amplitude. Volgens de wiskunde is het mogelijk om elke willekeurige meetreeks op die manier in componenten te verdelen. Het is voor een frequentiespectrum rekentechnisch een stuk beter als de meetreeks een gemiddelde waarde gelijk aan 0 heeft, dus als dat niet zo is dan berekenen we eerst de gemiddelde waarde en trekken die dan van de meetreeks af.

Fig. 3: Frequentiespectrum
Fig. 3: Frequentiespectrum
Het frequentiespectrum van onze meetreeks staat in figuur 3. Langs de horizontale as staat de frequentie \( f \), die aangeeft hoeveel keren de component in de meetperiode past. Langs de vertikale as staat de energie \( P \) die het kwadraat is van de amplitude.

Het is wel duidelijk dat de grootste energie zit bij een frequentie van 10, maar dat er ook bij andere frequenties wat te doen is. Rond een frequentie van 80 is ook nog iets met een piek en een dal te zien. We hadden boven al gezien dat een frequentie van precies 10 niet goed genoeg past. Een fourierspectrum kijkt alleen naar harmonische componenten die een heel aantal keren in de meetreeks passen, en het zou wel erg toevallig zijn als je meetreeks precies één harmonische component (een combinatie van een sinus en een cosinus met dezelfde frequentie) bevat die ook nog eens precies een heel aantal keren in de meetreeks past, dus zelfs als er eigenlijk maar één periode in de meetreeks zit is de kans groot dat een fourierspectrum bij elke frequentie wat laat zien.

Het voordeel van een fourierspectrum is dat het relatief snel te berekenen is. De nadelen zijn dat een fourierspectrum een harmonische component alleen bij precies één frequentie aangeeft als die component toevallig precies een heel aantal keren in de waarneemperiode past, en dat verschillende harmonische componenten elkaar meestal verstoren in zo'n fourierspectrum, zoals de piek bij frequentie 80 die er nogal lelijk uit ziet met ook een stuk "deuk" erbij, omdat er rond die frequentie ook nog een flinke bijdrage is van de piek bij frequentie 10.

3. Eenvoudige schattingen

3.1. Eenvoudigste schatting: Methode 1

De eenvoudigste schatting van de frequentie van een harmonische component met behulp van een fourierspectrum is om alle pieken te vinden (waar de energie groter is dan bij de buren) en daarvan de frequentie en amplitude (de vierkantswortel van de energie) te bepalen.

Voor onze meetreeks levert dit

# 
\({f_0}\)\({A}\)
1 10 0,915
2 32 0,0065
3 78 0,0024

dus er is ook nog een piek bij frequentie 32. Deze piek is in de grafiek veel moeilijker te zien dan de piek bij frequentie 78, maar toch is de schatting voor de amplitude van de piek bij 32 een stuk hoger dan die bij 78. Dat komt natuurlijk vanwege de "helling" van de piek van frequentie 10.

3.2. Betere schatting: Methode 2

Als je uitrekent wat het fourierspectrum van een enkele harmonische component met positieve frequentie \( f_0 \) is die misschien niet een heel aantal keren in de meetperiode past (dus ook als \( f_0 \) geen geheel getal is) dan vind je dat de energie \( P_f \) bij frequentie \( f \) ongeveer gelijk is aan

\begin{equation} P_f = A^2 (\sinc^2_{π}(f - f_0) + \sinc^2_{π}(f + f_0) + 2\sinc_{π}(f - f_0)\sinc_{π}(f + f_0)\cos(2β)) \end{equation}

waarin \( \sinc_{π}(x) \) een functie is gelijk aan \( \frac{\sin(π x)}{π x} \) als \( x \) ongelijk is aan 0, en 1 als \( x \) gelijk is aan 0, en \( β \) de fase van de harmonische component is aan het begin van de waarnemingen. De sinc-functie heeft de grootste waarde als haar argument gelijk is aan 0, dus zijn de termen met \( f - f_0 \) erin het grootste in de buurt van \( f = f_0 \) en de termen met \( f + f_0 \) erin het grootste in de buurt van \( f = -f_0 \). Er zijn dus twee even hoge pieken, symmetrisch rondom frequentie 0: één piek bij een positieve frequentie, en één piek bij een negatieve frequentie. De termen van de negatieve piek (de piek bij negatieve frequentie) zijn bij positieve frequenties kleiner dan die van de positieve piek. Als je de termen van de negatieve piek (met \( f + f_0 \) erin) negeert (die voor \( f \gg 0 \) weinig invloed hebben), dan volgt uit de vorige vergelijking dat

\begin{align} P_f & = A^2 \sinc^2_{π}(f - f_0) \\ P_{f+1} & = P_f \frac{f^2}{(f + 1)^2} \\ P_{f-1} & = P_f \frac{f^2}{(f - 1)^2} \end{align}

Dit hangt nu niet meer af van \( β \). Als \( f_x \) de hele frequentie is waarbij in het frequentiespectrum de hoogste piek zit, en \( f_0 = f_x + k \), dan is \( k \) tussen −1 en +1. Met

\begin{equation} q = \frac{P_{f_x}^2}{P_{f_{x+1}}P_{f_{x-1}}} \end{equation}

volgt uit de twee voorgaande genummerde vergelijkingen dan

\begin{align} k & = \frac{\sgn(P_{f_{x+1}} - P_{f_{x-1}})}{\sqrt{1 - \sqrt{q}}} \label{eq:k1} \\ A = \frac{\sqrt{P_{f_x}}}{\sinc_{π}(k)} \label{eq:A1} \end{align}

Hiermee kun je dan de frequentie en amplitude van alle pieken uit het frequentiespectrum schatten. De procedure is dan als volgt:

  1. Vind de hele frequentie \( f_0 \) waar het frequentiespectrum meer energie vertoont dan voor de buurfrequenties.
  2. Gebruik vergelijking \ref{eq:k1} om de frequentieafwijking \( k \) te schatten. De frequentie \( f \) van de component is dan geschat op \( f_0 + k \). (Als \( |k| \) groter is dan 1, dan kloppen de aannames waarop de huidige methode gebaseerd is niet voor deze meetreeks. Zie dan verderop.)
  3. Gebruik vergelijking \ref{eq:A1} om de amplitude van de component te schatten.

Als we dit toepassen op de meetreeks van hierboven dat vinden we

# 
\({f_0}\)\({A}\)
1 10,30033 1,066
2 32,66 0,016
3 78,26 0,0027

De amplitude van de grootste piek wordt nu een stuk hoger geschat, en ook die van de piek bij frequentie 33.

3.3. Nog betere schatting: Methode 3

De rare vorm (in de vorige grafiek) van de piek bij frequentie 78 en de bijna-onzichtbaarheid van de piek bij frequentie 33 komen natuurlijk van de brede "hellingen" die van de hoogste piek komen, die de lagere pieken verstoren. We moeten dus proberen om de hellingen van elke piek steiler te laten lopen zodat ze andere pieken niet zoveel vervormen. Dat doen we door de meetreeks te vermenigvuldigen met een masker dat de randen van de meetreeks dempt. Het masker dat we hier zullen gebruiken is gelijk aan een cosinus die waarden tussen 0 en 2 heeft, precies eenmaal in de meetperiode past, en aan de randen de waarde 0 heeft. (Dit is een vorm van het hanningmasker of de hanningfunctie.) Bij toepassing van zo'n masker is het heel belangrijk dat het gemiddelde van de meetreeks gelijk is aan nul.

Fig. 4: Frequentiespectrum
Fig. 4: Frequentiespectrum
Het frequentiespectrum van de gemaskerde meetreeks staat in figuur 4. Voor het gemak heb ik er het vorige frequentiespectrum (waar geen masker gebruikt was) ook weer bij gezet, maar nu als stippellijn.

Merk op dat de vertikale as van deze grafiek een veel groter bereik heeft dan in de vorige grafiek. In het vorige spectrum was de energieverhouding tussen de bovenkant en de onderkant van de grafiek ongeveer een miljard (109), maar in deze grafiek is het nog eens tien miljard maal zo groot (in totaal ongeveer 1019). De pieken zijn iets dikker geworden, maar de hellingen lopen een stuk steiler en daarom valt de kleinere piek hier veel beter op dan in de vorige grafiek.

Op dezelfde wijze als voorheen kun je het fourierspectrum van een enkele harmonische component met frequentie \( f_0 \) en amplitude \( A \) uitrekenen. Net als voorheen negeren we de bijdragen van de negatieve piek. We vinden dan

\begin{equation} P_f = A^2 \left( \frac{\sinc_{π}(f - f_0)}{(f - f_0)^2 - 1} \right)^2 \end{equation}

Hieruit volgt (op vergelijkbare wijze als voorheen) de schatting

\begin{align} q & = \frac{P_{f_x}}{\sqrt{P_{f_{x+1}} P_{f_{x-1}}}} \\ k & = \sqrt{\frac{q - 4}{q - 1}} \sgn(P_{f_{x+1}} - P_{f_{x-1}}) \label{eq:k3} \\ A & = (1 - k^2) \frac{\sqrt{P_{f_x}}}{\sinc_{π}(k)} \end{align}

(Als \( |k| \) groter is dan 1, dan kloppen de aannames waarop de huidige methode gebaseerd is niet voor deze meetreeks. Zie dan verderop.)

Toegepast op de meetreeks geeft dat

# 
\({f_0}\)\({A}\)
1 10,29955 1,04978
2 77,6024 0,0019970
3 31,60 0,0012

Nu wordt de piek bij frequentie 78 hoger ingeschat dan die bij frequentie 32.

3.4. Methode 4: Algemeen Kwadratisch

De twee voorgaande methoden gaan er van uit dat de componenten in het fourierspectrum puur harmonisch zijn, dus met een enkele, welbepaalde frequentie en amplitude, maar dit komt in de praktijk niet zo vaak voor. Meestal variëren de frequentie en amplitude van alle componenten een beetje met de tijd, waardoor de pieken in het fourierspectrum dikker worden. Als de variatie te groot wordt dan geven die methoden misschien wel helemaal geen schatting voor hoeveel de "echte" frequentie van de fourierpiekfrequentie afwijkt. In zulke gevallen kun je de eenvoudigere aanname doen dat het verband tussen energie en frequentie bij de pieken in het fourierspectrum kwadratisch is. Dan vinden we (op vergelijkbare wijze als voorheen)

\begin{align} k & = -\frac{1}{2} \frac{P_{f_{x+1}} - P_{f_{x-1}}}{P_{f_{x+1}} + P_{f_{x-1}} - 2P_{f_x}} \\ A & = \sqrt{P_{f_x} + \frac{1}{4} (P_{f_{x+1}} - P_{f_{x-1}}) k} \end{align}

Je kunt dan ook weer een masker toepassen om de hellingen van de pieken steiler te maken. Toegepast op onze meetreeks geeft deze methode

# 
\({f_0}\)\({A}\)
1 10,18609 1,001697
2 77,6994 0,0018485
3 31,25 0,00095

3.5. Opmerkingen

  1. Het onderscheidend vermogen van een frequentiespectrum is beperkt. Als de meetreeks een tijd \( T \) duurt, dan zijn de frequenties veelvouden van \( 1/T \). Frequentieverschillen kleiner dan \( 1/T \) kunnen uit zo'n frequentiespectrum niet gemeten worden. Twee harmonische componenten waarvan de frequenties minder van elkaar verschillen dan dat kun je in het frequentiespectrum zeker niet uit elkaar houden.
  2. Fig. 5: Frequentiespectrum met aliassing
    Fig. 5: Frequentiespectrum met aliassing
    Een harmonische component die een frequentie heeft die hoger is dan de grootste frequentie die in het frequentiespectrum staat komt wel in het spectrum terecht, maar op een frequentie die kleiner is dan zijn eigen frequentie. Als de meetreeks een tijd \( T \) duurt en \( N \) meetwaarden omvat, dan is de hoogste frequentie in het spectrum ongeveer gelijk aan \( \frac{N}{2T} \). Als de frequentie \( f \) van een harmonische component groter is dan die grootste frequentie, dan komt die component in het spectrum terecht bij frequentie \( \left| f - N \left[ \frac{f}{N} \right] \right| \). Een voorbeeld is te zien in figuur 5, die drie verschillende harmonische componenten toont die elkaar snijden in de meetpunten (aangegeven door vierkantjes). Uit de metingen op die meetpunten kun je dus niet afleiden welke component het nu precies was.
  3. Als de meetreeks ook een component bevat die niet periodiek is (of misschien periodiek met een periode die veel groter is dan de lengte van de meetreeks), dan komt de energie van die component in het frequentiespectrum terecht bij de kleinste frequenties, waar het eventuele pieken verstoort en onterecht een hoge amplitude bezorgt. Om dit tegen te gaan kun je een lopend gemiddelde van de meetreeks aftrekken, maar daarmee onderdruk je niet alleen niet-periodieke componenten maar ook wel-periodieke componenten met perioden die langer zijn dan de breedte van het lopende gemiddelde.
  4. Methoden 2 en 3 negeren de invloed van negatieve pieken, die het sterkst is bij de kleinste frequenties (nog steeds kleiner dan de invloed van de positieve pieken, maar niet heel veel kleiner). Daarom zullen de resultaten bij de kleinste frequenties minder nauwkeurig zijn dan bij grotere frequenties.
  5. Het steiler laten lopen van de hellingen van de pieken door methode 3 heeft ook een prijs, namelijk dat de pieken aan de bovenkant wat breder worden dan bij methode 2. Als twee pieken heel dicht bij elkaar staan, dan kan methode 3 meer moeite hebben om ze uit elkaar te houden dan methode 2. Het lijkt erop dat methode 2 soms nauwkeuriger is dan methode 3 om de grootste component te vinden, maar methode 3 is bijna altijd beter om kleinere componenten te vinden.

4. De nauwkeurigheid

4.1. Testen met de proefmeetreeks

De harmonische componenten waaruit de meetreeks gebouwd werd zijn als volgt:

# 
\({f_0}\)\({A}\)\({β}\)
1 10,3 1,05 36°
2 77,6 0,002
3 31,4 0,001

Nu kunnen we bepalen hoe nauwkeurig de verschillende schattingen waren. De volgende tabel toont het verschil tussen de schatting en de echte waarde voor de frequentie (\( ∆f_0 \)) en het relatieve verschil voor de amplitude (\( \frac{∆A}{A} \)).

\({∆f_0}\)\({\frac{∆A}{A}}\)
# 
Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 4 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 4
1 −0,3 +0,00033 −0,00045 −0,11 −0,12 +0,015 −0,00021 −0,046
2 +0,4 +0,66 +0,0024 +0,099 +2,3 +0,36 −0,0015 −0,076
3 +0,6 +1,26 +0,20 −0,15 +1,4 +14,7 +0,18 −0,050

Methode 3 lijkt in het algemeen het beste (als de meetserie alleen zuivere harmonische componenten bevat). Dit wordt bevestigd door een groot aantal tests met diverse willekeurige samengestelde meetseries (met een exponentiële verdeling van amplituden). De nauwkeurigheid van de frequenties lijkt voor methode 1 ongeveer constant te zijn, en voor methoden 2 en 3 toe te nemen met ongeveer de 2,7-de macht van de gemiddelde ruimte (in het spectrum) tussen de harmonische pieken, maar wel met een gemiddeld voordeel van ongeveer een factor 10 voor methode 3 ten opzichte van methode 2. Methode 4 is een stuk beter dan methode 1, maar vaak slechter dan methoden 2 en 3 als de meetserie alleen zuivere harmonische componenten bevat. Maar als de componenten in de meetserie niet zuiver harmonisch zijn, dan werken methoden 2 en 3 soms helemaal niet, en dan is methode 4 het beste.

De relatieve nauwkeurigheid van de amplituden lijkt voor methode 1 ongeveer constant te zijn, voor methode 2 toe te nemen met ongeveer het kwadraat van de gemiddelde ruimte (in het spectrum) tussen de harmonische pieken, en voor methode 3 met ongeveer de derde macht van de gemiddelde ruimte tussen de harmonische pieken.

4.2. Testen met het VSOP-model

Hieronder testen we de methoden op het VSOP-model van de beweging van de planeten. Uit dit model kan men de posities van de planeten uitrekenen voor een paar duizend jaar in de toekomst en in het verleden. Het model is opgebouwd uit een groot aantal harmonische componenten, dus we kunnen testen hoe goed we die componenten weer uit de posities van de planeten kunnen halen.

Hieronder staat een tabel die de tien grootste harmonische componenten uit de eclipticale heliocentrische lengtegraad \( λ \) van de Aarde ten opzichte van de equinox en ecliptica van de datum volgens het VSOP-model laat zien (\( f_\text{vsop} \) is de frequentie in radialen per juliaans millennium van 365250 dagen, \( A_\text{vsop} \) is de amplitude in 10−8 radialen), zoals gegeven door [Meeus], en ook de tien grootste harmonische componenten uitgerekend uit \( λ \) (berekend voor elke 10 dagen in een periode van 10.000 jaar rond het jaar 2000) volgens methoden 1-4 (\( f \) en \( A \), in de zelfde eenheden als voor het VSOP-model). Om niet-periodieke componenten bij kleine frequenties te onderdrukken verwijderde ik eerst een lopend gemiddelde over 68 jaar uit de meetreeksen voor dat ik er harmonische componenten in probeerde te vinden.

\({λ}\)
 # 
\({f_\text{vsop}}\)\({A_\text{vsop}}\)\({f_1}\)\({A_1}\)\({f_2}\)\({A_2}\)\({f_3}\)\({A_3}\)\({f_4}\)\({A_4}\)
1 6283,0757 3341656 6283,1853 2957169 6283,0191 3326893 6283,0366 3304973 6283,0874 3213528
2 12566,1572 34894 12565,7423 23781,5 12566,0368 35193,11 12566,0147 34050,8 12566,0137 31518,94
3 5753,3848 3497 5753,5128 3159,722 6069,1218 6556,893 5753,3852 3496,726 5753,4425 3419,802
4 3,5231 3418 77713,5775 2666,237 5753,2840 3970,837 77713,7709 3134,605 77713,6994 2983,824
5 77713,7734 3136 7860,2648 2597,325 5880,2491 3630,401 7860,4192 2676,357 7860,3537 2591,483
6 7860,4194 2676 6069,5570 2477,555 5855,4863 3434,766 3930,2098 2342,756 3930,1724 2323,368
7 3930,2097 2343 3930,1324 2328,372 77713,7717 3136,410 11506,7698 1324,200 529,6594 1270,505
8 11506,7695 1324 5885,4597 1470,287 6681,9815 3059,166 529,6725 1270,298 11506,8305 1221,383
9 529,6910 1273 5223,8403 1312,458 7860,1163 2852,389 1577,4341 1196,691 1577,4788 1095,007
10 1577,3435 1199 5879,8048 1300,653 5885,8305 2839,734 5884,9271 990,4211 5884,8816 977,9457

Tussen de 10 grootste componenten gevonden door methode 1 staan 6 van de 10 grootste componenten uit het VSOP-lijstje. Voor methode 2 is dat 5, en voor methoden 3 en 4 is dat 9. De volgende twee tabellen tonen de absolute (voor de frequentie \( f \)) of relatieve (voor de amplitude \( A \)) fout voor de eerste drie VSOP-componenten (\( ∆_1 \), \( ∆_2 \), \( ∆_3 \)) en ook het minimum (\( \min \)), gemiddelde (\( μ \)), maximum (\( \max \)) en standaardafwijking (\( σ \)) van diezelfde soort fouten voor de eerste tien VSOP-componenten, voor methoden 1-4 (M1 - M4). Om zo'n fout te bepalen zocht ik voor elk van de VSOP-componenten naar de met methode 1-4 geschatte component die daar het dichtste bij lag.

\({f}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 0,1096 −0,4149 0,1280 −0,4149 −0,0385 0,2560 0,2237
M2 −0,0565 −0,1204 −0,1008 −0,3031 0,0073 0,6496 0,2492
M3 −0,0391 −0,1425 0,0004 −0,1433 −0,0255 0,0906 0,0703
M4 0,0117 −0,1436 0,0577 −0,1695 −0,0256 0,1353 0,0946

\({A}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 −0,1151 −0,3185 −0,0964 −0,3185 −0,0557 0,0379 0,1058
M2 −0,0044 0,0086 −0,0178 −0,0178 0,0087 0,0612 0,0230
M3 −0,0110 −0,0242 −0,0001 −0,0242 −0,0016 0,0230 0,0116
M4 −0,0383 −0,0967 −0,0221 −0,0967 −0,0269 0,0187 0,0325

Bijvoorbeeld, methode 2 schat de frequentie van de grootste VSOP-component 0,0565 eenheden te klein en de amplitude een fractie 0,0044 (dus 0,44%) te klein. Methode 3 doet het meestal het beste (met de kleinste \( σ \) die toch flink groter is dan de \( μ \)) voor zowel de frequentie als de amplitude.

Hieronder staat een vergelijkbare tabel voor de eclipticale heliocentrische breedtegraad \( β \) van de Aarde. Meeus geeft voor dit geval maar 5 componenten, maar in de berekeningen van de posities heb ik ook alle kleinere componenten meegenomen die Meeus niet noemt.

\({β}\)
 # 
\({f_\text{vsop}}\)\({A_\text{vsop}}\)\({f_1}\)\({A_1}\)\({f_2}\)\({A_2}\)\({f_3}\)\({A_3}\)\({f_4}\)\({A_4}\)
1 84334,6641 280 84334,7981 258,1 84334,6603 279,8 84334,6646 279,2 84334,7219 272,5
2 5507,5532 102 5507,2119 76,91 5507,4655 102,2 5507,4691 102,2 5507,4022 94,04
3 5223,6899 80 5223,8403 66,76 5223,6270 81,32 5223,6410 79,94 5223,7014 76,04
4 2352,8701 44 2353,0529 42,58 2352,9514 44,46 2352,9227 44,55 2353,0000 43,44
5 1577,3400 32 1577,0795 28,1 1577,2574 32,18 1577,2653 32,21 1577,1857 30,72
6 1048,0353 15,54 1047,7396 23,08 1047,7791 22,03 1047,7835 20,58
7 5856,5570 15,01 6283,4136 17,84 5856,3454 17,06 6283,2864 16,03
8 6283,1853 14,21 5856,3852 17,03 6283,1853 15,90 5856,4586 15,98
9 10213,3177 13,88 9437,6669 15,25 9437,6385 15,20 10213,3463 14,14
10 14143,4501 10,36 10213,3738 14,06 10213,3177 14,13 9437,7010 13,21

Alle vier de methoden vinden de vijf grootste VSOP-componenten, en ook nog in dezelfde volgorde.

\({f}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 0,1341 −0,3413 0,1503 −0,3413 −0,0269 0,1828 0,2523
M2 −0,0038 −0,0877 −0,0629 −0,0877 −0,0311 0,0813 0,0711
M3 0,0005 −0,0841 −0,0489 −0,0841 −0,0309 0,0526 0,0571
M4 0,0579 −0,1510 0,0114 −0,1543 −0,0212 0,1299 0,1272

\({A}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 −0,0781 −0,2460 −0,0387 −0,2460 −0,1034 −0,0323 0,0874
M2 −0,0008 0,0015 0,0165 −0,0008 0,0066 0,0165 0,0070
M3 −0,0030 0,0019 −0,0007 −0,0030 0,0034 0,0125 0,0062
M4 −0,0267 −0,0780 −0,0494 −0,0780 −0,0413 −0,0127 0,0248

Ook hier doet methode 3 het meestal het beste, en methode 2 is bijna even goed. Methoden 1 en 4 onderschatten de amplitude systematisch.

Hieronder staat een vergelijkbare tabel voor de afstand \( r \) tussen de Aarde en de Zon, gemeten in eenheden van 10−8 AE.

\({r}\)
 # 
\({f_\text{vsop}}\)\({A_\text{vsop}}\)\({f_1}\)\({A_1}\)\({f_2}\)\({A_2}\)\({f_3}\)\({A_3}\)\({f_4}\)\({A_4}\)
1 6283,0757 1670700 6283,1853 1478578. 6283,0191 1663435. 6283,0366 1652461. 6283,0874 1606753.
2 12566,1514 13956 12565,7423 9518,163 12566,0367 14080,45 12566,0130 13582,83 12566,0136 12592,51
3 77713,7734 3084 77713,5775 2621,098 6069,1215 3268,973 77713,7704 3080,909 77713,6995 2933,586
4 5753,3848 1628 7860,2648 1515,749 77713,7717 3083,366 5753,3858 1628,202 5753,4425 1592,821
5 7860,4194 1576 5753,5128 1475,316 5959,7856 2244,096 7860,4191 1575,710 7860,3537 1525,868
6 11506,7695 925 6069,5570 1233,091 5956,6438 2226,028 11506,7709 923,9234 11506,8306 852,9342
7 3930,2100 542 5960,2296 805,2115 5954,3899 2199,643 3930,2094 542,3906 3930,1726 537,9689
8 5884,9268 472 5957,0880 797,9427 5952,2461 2195,110 5884,9287 472,2971 5884,8817 466,1149
9 5507,5532 346 5953,9464 791,5154 6609,7268 1926,811 5507,6453 344,5373 5507,7109 328,0761
10 5223,6938 329 5952,6898 789,1468 6611,6113 1914,480 5223,7757 328,2695 5223,8040 326,4411

In de tien grootste componenten gevonden door methode 1 staan 5 van de grootste tien VSOP-componenten. Voor methode 2 is dat 3, en voor methoden 3 en 4 is het 10 (en nog allemaal in de goede volgorde ook).

\({f}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 0,1096 −0,4091 −0,1960 −0,4091 0,0623 0,5329 0,2746
M2 −0,0565 −0,1146 −0,0017 −0,3045 0,1103 0,9054 0,3990
M3 −0,0391 −0,1384 −0,0030 −0,1384 −0,0003 0,0921 0,0631
M4 0,0117 −0,1378 −0,0740 −0,1378 0,0038 0,1577 0,0920

\({A}\)
\({∆_1}\)\({∆_2}\)\({∆_3}\)\({\min}\)\({μ}\)\({\max}\)\({σ}\)
M1 −0,1150 −0,3180 −0,1501 −0,3180 −0,0863 0,0140 0,0994
M2 −0,0043 0,0089 −0,0002 −0,0240 0,0004 0,0243 0,0118
M3 −0,0109 −0,0267 −0,0010 −0,0267 −0,0045 0,0007 0,0086
M4 −0,0383 −0,0977 −0,0488 −0,0977 −0,0348 0,0107 0,0347

Ook hier is methode 3 meestal het beste. Voor de frequentie volgt methode 4, maar voor de amplitude methode 2. Voor de frequentie is methode 2 hier meestal nog slechter dan methode 1. Methoden 1 en 4 onderschatten de amplitude systematisch.



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/frequentie.html;
Laatst vernieuwd: 2017-05-04