AstronomieAntwoorden
Posities aan de Hemel


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Posities van Zon en planeten ... 1.1. De middelbare anomalie ... 1.2. De ware anomalie ... 1.3. De afstand tot de Zon ... 1.4. De rechthoekige heliocentrische eclipticale coördinaten ... 1.5. De rechthoekige geocentrische eclipticale coördinaten ... 1.6. De geocentrische eclipticale lengte en breedte ... 1.7. De rechte klimming en declinatie ... 1.8. De sterrentijd ... 1.9. De uurhoek ... 1.10. De hoogte en het azimut ... 1.11. De elongatie ... 1.12. Nauwkeurigheid ... 1.13. Toepassingen ... 1.13.1. Culminatie of doorgang ... 1.13.2. Opkomst en ondergang ... 1.14. Benaderingen ... 2. Positie van de Maan

Hier wordt uitgelegd hoe je de positie van de Zon of een planeet gezien vanaf een andere planeet ongeveer kunt uitrekenen. Verderop wordt uitgelegd hoe je de positie van de Maan gezien vanaf de Aarde ongeveer kunt uitrekenen.

1. Posities van Zon en planeten

Als je de positie van een hemellichaam aan de hemel of gezien vanaf de zon (heliocentrisch) wilt uitrekenen, dan heb je informatie over dat hemellichaam en misschien over de Aarde nodig. Welke informatie je precies nodig hebt hangt er van af wat je precies uit wilt rekenen en hoe nauwkeurig de resultaten moeten zijn. Hieronder staat uitgelegd hoe je de positie aan de hemel gezien vanaf een bepaalde plek op Aarde, of vanaf de Zon kunt uitrekenen voor een hemellichaam dat in een cirkelbaan of ellipsbaan rond de Zon draait. Daarvoor heb je de volgende informatie nodig:

Verder heb je ook nog de volgende informatie nodig:

Al met al heb je (naast de gewenste datum en tijd) 16 afzonderlijke getallen nodig: 6 die de baan en positie van de planeet in de ruimte beschrijven, 6 die de baan en positie van de Aarde in de ruimte beschrijven, en 4 die de draaipositie van de Aarde en jouw positie op Aarde aangeven. Als je alleen de heliocentrische positie wilt uitrekenen dan heb je er minder nodig.

De baanelementen van de planeten (om 12:00 uur UTC op 1 januari 2000, op Juliaanse Dag 2451545) staan in de volgende tabel (met \( a \) gemeten in AE, en \( i \), \( ω \), \( Ω \) en \( M_0 \) in graden ten opzichte van de equinox van die datum). De getallen in de tabel komen uit [Meeus]. Voor de reguliere planeten zijn ze gebaseerd op het VSOP87-model, en voor Pluto op berekeningen door Goffin, Meeus en Steyaert uit 1986.

Tabel 1: Planeten: Baanelementen

\({a}\)\({e}\)\({i}\)\({ω}\)\({Ω}\)\({M_0}\)
Mercurius 0.38710 0.20563 7.005 29.125 48.331 174.795
Venus 0.72333 0.00677 3.395 54.884 76.680 50.416
Aarde 1.00000 0.01671 0.000 288.064 174.873 357.529
Mars 1.52368 0.09340 1.850 286.502 49.558 19.373
Jupiter 5.20260 0.04849 1.303 273.867 100.464 20.020
Saturnus 9.55491 0.05551 2.489 339.391 113.666 317.021
Uranus 19.21845 0.04630 0.773 98.999 74.006 141.050
Neptunus 30.11039 0.00899 1.770 276.340 131.784 256.225
Pluto 39.543 0.2490 17.140 113.768 110.307 14.882

Voor de Zon is \( a \) gelijk aan 0, dus ook \( x_\text{Zon} = y_\text{Zon} = z_\text{Zon} = 0 \) en kun je stappen 1 tot 4 hieronder overslaan.

De inclinatie van de baan van de Aarde ten opzichte van de equinox van de datum is per definitie nul, dus heeft die baan dan geen knopen en doet de waarde van de eclipticale lengte \( Ω \) van de klimmende knoop er niet toe. De waarde van \( Ω \) van de Aarde die ik in de tabel geef is het gemiddelde van de waarden die je enige jaren voor en even lang na 1 januari 2000 vindt, als de inclinatie (ten opzichte van de equinox J2000.0) al weer van nul afwijkt.

Als je de inclinatie \( i \) vermenigvuldigt met −1, 180 graden bij \( Ω \) optelt, en ook het argument \( ω \) van het perihelium toepasselijk aanpast, dan heb je nog steeds dezelfde planeetbaan (maar dan met omgewisselde rollen van klimmende en dalende knoop). Voor de andere planeten dan de Aarde is de inclinatie duidelijk ongelijk aan nul, dus kun je die altijd positief kiezen (door desnoods die factor −1 toe te passen). Alleen voor de aardbaan kan de inclinatie aan beide kanten van 0 liggen en kan de een er voor kiezen om de toekomstige inclinatie positief te kiezen terwijl de ander er voor kiest om de verleden inclinatie positief te nemen.

Als de inclinatie heel klein is, dan is de lengte van de klimmende knoop niet erg nauwkeurig bepaald, dus kunnen de waarden die verschillende bronnen voor de lengte van de klimmende knoop van de Aarde geven vele graden verschillen (zelfs als je een mogelijk tekenverschil van de inclinatie in acht neemt) maar maakt dat voor de positie van de Aarde die je met die waarde berekent niet veel uit, want de eclipticale breedtegraad kan nooit groter zijn (in absolute zin) dan de inclinatie.

Hier is een tabel met nog een paar handige getallen voor elke planeet die alleen van de baanelementen afhangen. \( n \) is gemeten in graden per dag, \( a(1-e^2) \) in AE, en \( Π \) in graden. Deze getallen worden verderop uitgelegd.

Tabel 2: Planeten: Andere Baangetallen

\({n}\)\({a(1-e^2)}\)\({Π}\)
Mercurius 4.092317 0.37073 77.456
Venus 1.602136 0.72330 131.564
Aarde 0.985608 0.99972 102.937
Mars 0.524039 1.51039 336.060
Jupiter 0.083056 5.19037 14.331
Saturnus 0.033371 9.52547 93.057
Uranus 0.011698 19.17725 173.005
Neptunus 0.005965 30.10796 48.124
Pluto 0.003964 37.09129 224.075

De stappen die je moet doen om de positie van een planeet zoals gezien vanaf de Aarde uit te rekenen voor datum \( d \) zijn dan:

  1. Bereken de middelbare anomalie \( M \) uit \( d \), \( M_0 \), \( d_0 \) en \( a \).
  2. Bereken de ware anomalie \( ν \) [nu] uit \( M \) en \( e \).
  3. Bereken de afstand \( r \) tot de Zon, uit \( a \), \( e \) en \( ν \).
  4. Bereken de rechthoekige heliocentrische eclipticale coördinaten \( (x_\text{planeet}, y_\text{planeet}, z_\text{planeet}) \) uit \( ν \), \( r \), \( ω \), \( Ω \) en \( i \).
  5. Bereken de rechthoekige geocentrische eclipticale coördinaten \( (x, y, z) \) uit \( (x_\text{planeet}, y_\text{planeet}, z_\text{planeet}) \) en \( (x_\text{aarde}, y_\text{aarde}, z_\text{aarde}) \).
  6. Bereken de geocentrische eclipticale lengte \( λ \) [lambda] en breedte \( β \) [bèta] uit \( (x, y, z) \).
  7. Bereken de rechte klimming \( α \) [alfa] en declinatie \( δ \) [delta] uit \( λ \), \( β \) en de helling \( ε \) [epsilon] van de ecliptica.
  8. Bereken de sterrentijd \( θ \) [thèta] uit \( t \), je geografische lengtegraad \( l \) en je tijdzone \( t_\text{z} \).
  9. Bereken de uurhoek \( H \) uit \( α \) en \( θ \).
  10. Bereken de hoogte \( h \) en het azimut \( A \) uit \( H \), \( δ \) en je geografische breedtegraad \( φ \) [fi].
  11. Je kunt de elongatie \( ψ \) [psi] van de planeet berekenen uit de geocentrische eclipticale coördinaten (rechthoekig of polair) van de Zon en de planeet.

Als je de heliocentrische positie van een planeet wilt uitrekenen, dan moet je in stap 5 \( (x_\text{planeet}, y_\text{planeet}, z_\text{planeet}) \) voor \( (x, y, z) \) nemen.

Deze stappen worden hieronder nader uitgelegd. Als voorbeeld zullen we de positie van Jupiter bepalen om 01:00 uur middeleuropese wintertijd (0:00 uur UTC) op 1 januari 2004 vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte (ongeveer Utrecht).

In het stuk over benaderingen verderop staan een paar benaderingen beschreven die met minder rekenwerk minder nauwkeurige resultaten geven.

WAARSCHUWING: Deze berekeningen gaan er van uit dat de planeten in ellipsbanen rond de Zon draaien die nooit veranderen. In werkelijkheid veranderen die banen wel, maar langzaam en niet erg veel. Je kunt deze formules prima gebruiken om te bepalen of een planeet op een bepaald moment zichtbaar zal zijn of bij welke ster hij in de buurt staat, maar ze zijn niet geschikt om (bijvoorbeeld) uit te rekenen of een bepaalde planeet een zekere ster zal bedekken. De nauwkeurigheid van de uitkomsten van deze formules staat verderop beschreven.

WAARSCHUWING 2: Pas op dat je de goede eenheden gebruikt voor de trigonometrische functies zoals \( \sin \) en \( \arctan \). In computerprogramma's werken die functies meestal met radialen. Op veel rekenmachines kun je zelf instellen of ze met graden of radialen moeten werken. Reken \( \sin(1) \) uit met je rekenmachine of computerprogramma. Als de uitkomst ongeveer 0,8415 is, dan is de eenheid de radiaal. Als de uitkomst ongeveer 0,01745 is, dan is de eenheid de graad. Om van graden naar radialen om te rekenen vermenigvuldig je het aantal graden met π/180 ≈ 0,01745329.

1.1. De middelbare anomalie

Reken eerst uit welke hoek \( n \) de planeet gemiddeld per dag aflegt in zijn baan (gezien vanaf de Zon):

\begin{equation} n = \frac{0.9856076686°}{a^{3/2}} \label{eq:n} \end{equation}

en dan de middelbare anomalie \( M \) voor datum \( d \) (gemeten in dagen) uit de begindatum \( d_0 \), de middelbare anomalie \( M_0 \) op de begindatum, en \( n \):

\begin{equation} M = M_0 + n (d - d_0) \end{equation}

Voor \( d \) en \( d_0 \) kun je heel goed Juliaanse Dagnummers gebruiken. De waarden van \( n \) voor de planeten staan in de tweede tabel boven aan deze bladzijde al uitgerekend.

0:00 UTC op 1 januari 2004 is 1460,5 dagen na het tijdstip waarvoor de \( M_0 \) uit de tabel geldt, dus \( d - d_0 \) is gelijk aan 1460,5. De middelbare anomalie van Jupiter op het gewenste tijdstip is gelijk aan \( M_\text{Jupiter} = 20,020 + 0,083056 × 1460,5 = 141,324° \) en voor de Aarde is het \( M_\text{Aarde} = 357,529 + 0,985608 × 1460,5 = 357,009° \) (na aftrekken van veelvouden van 360°).

1.2. De ware anomalie

De ware anomalie \( ν \) [nu] is de hoek tussen de lijn van het brandpunt van de baan (de Zon) naar het perihelium van de baan en de lijn van het brandpunt naar de planeet. Om de ware anomalie uit te rekenen moet je de Vergelijking van Kepler oplossen. Zie daarvoor de bladzijde over de Vergelijking van Kepler.

Voor Jupiter is de ware anomalie die bij \( M_\text{Jupiter} = 141,324° \) en \( e_\text{Jupiter} = 0,04849 \) hoort gelijk aan \( ν_\text{Jupiter} = 144,637° \). Voor de Aarde is de ware anomalie die bij \( M_\text{Aarde} = 357,009° \) en \( e_\text{Aarde} = 0,01671 \) hoort gelijk aan \( ν_\text{Aarde} = 356,907° \).

1.3. De afstand tot de Zon

De excentriciteit \( e \) geeft de vorm van de baan aan en kan niet negatief zijn. Als \( e \) gelijk is aan 0, dan is de baan een cirkel. Als \( e \) groter is dan 0 maar kleiner dan 1, dan is de baan een ellips. Als \( e \) gelijk is aan 1, dan is de baan een parabool of een rechte lijn. Als \( e \) groter is dan 1, dan is de baan een hyperbool.

De grootte \( a \) van de halve lange as van de baan geeft de afmeting van de baan aan. Voor een cirkelbaan is \( a \) gelijk aan de afstand tussen de planeet en de Zon. Voor een ellipsbaan is \( a \) gelijk aan de helft van de lengte van het grootste rechte lijnstuk dat binnen de ellips past.

De afstand \( r \) van de planeet naar de Zon is:

\begin{equation} r = \frac{a (1 - e^2)}{1 + e \cos ν} \end{equation}

De waarden van \( a(1-e^2) \) voor de planeten staan in de tweede tabel boven aan deze bladzijde al uitgerekend.

Voor Jupiter is de afstand tot de Zon dan, gemeten in AE:

\[ r_\text{Jupiter} = \frac{5.19037}{1 + 0.04849 × \cos(144.637°)} = 5.40406 \]

en voor de Aarde

\[ r_\text{Aarde} = \frac{0.99972}{1 + 0.01671 × \cos(356.907°)} = 0.98331 \]

1.4. De rechthoekige heliocentrische eclipticale coördinaten

We kunnen nu de rechthoekige heliocentrische eclipticale coördinaten uitrekenen, allen gemeten in AE. Daarvan is \( x_\text{planeet} \) de afstand vanaf de Zon, gemeten langs de lijn van de Zon naar het lentepunt, \( y_\text{planeet} \) de afstand tot de lijn van de Zon naar het lentepunt, gemeten in het vlak van de ecliptica, en \( z_\text{planeet} \) de afstand boven het vlak van de ecliptica.

\begin{align} x_\text{planeet} & = r (\cos Ω \cos(ω + ν) - \sin Ω \cos i \sin(ω + ν)) \\ y_\text{planeet} & = r (\sin Ω \cos(ω + ν) + \cos Ω \cos i \sin(ω + ν)) \\ z_\text{planeet} & = r \sin i \sin(ω + ν) \end{align}

Voor Jupiter is dan

\begin{align*} x_\text{Jupiter} & = 5.40406 × (\cos(100.464°) × \cos(273.867° + 144.637°) \\ & - \sin(100.464°) × \cos(1.303°) × \sin(273.867° + 144.637°)) = −5.04289 \\ y_\text{Jupiter} & = 5.40406 × (\sin(100.464°) × \cos(273.867° + 144.637°) \\ & + \cos(100.464°) × \cos(1.303°) × \sin(273.867° + 144.637°)) = 1.93965 \\ z_\text{Jupiter} & = 5.40406 × \sin(1.303°) × \sin(273.867° + 144.637°) = 0.10478 \end{align*}

en voor de Aarde

\begin{align*} x_\text{Aarde} & = 0.98331 × (\cos(174.873°) × \cos(288.064° \\ & + 356.907°) - \sin(174.873°) × \cos(0°) × \sin(288.064° + 356.907°)) = −0.16811 \\ y_\text{Aarde} & = 0.98331 × (\sin(174.873°) × \cos(288.064° \\ & + 356.907°) + \cos(174.873°) × \cos(0°) × \sin(288.064° + 356.907°)) = 0.96884 \\ z_\text{Aarde} & = 0.98331 × \sin(0°) × \sin(288.064° + 356.907°) = 0.00000 \end{align*}

1.5. De rechthoekige geocentrische eclipticale coördinaten

Als je stappen 1 tot en met 4 hebt doorlopen voor de planeet en ook voor de Aarde, dan heb je \( x_\text{planeet}, y_\text{planeet}, z_\text{planeet}, x_\text{Aarde}, y_\text{Aarde}, z_\text{Aarde} \) uitgerekend. Dan kunnen we nu de coördinaten van de planeet ten opzichte van de Aarde uitrekenen, gemeten in AE:

\begin{align} x & = x_\text{planeet} - x_\text{Aarde} \\ y & = y_\text{planeet} - y_\text{Aarde} \\ z & = z_\text{planeet} - z_\text{Aarde} \end{align}

Voor de rechthoekige geocentrische coördinaten van Jupiter, gemeten in AE, vinden we

\begin{align*} x & = −5.04289 - (−0.16811) = −4.87477 \\ y & = 1.93965 - 0.96884 = 0.97081 \\ z & = 0.10478 - 0.00000 = 0.10478 \end{align*}

1.6. De geocentrische eclipticale lengte en breedte

De eclipticale breedte \( β \) [bèta] geeft aan hoe ver het hemellichaam van de ecliptica staat. De eclipticale lengte \( λ \) [lambda] geeft aan hoe ver het hemellichaam van het lentepunt staat, gemeten langs de ecliptica. Voor de afstand \( Δ \) [grote delta] van de planeet tot de Aarde vinden we

\begin{equation} Δ = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{equation}

en dan geldt

\begin{align} x & = Δ \cos λ \cos β \\ y & = Δ \sin λ \cos β \\ z & = Δ \sin β \end{align}

Hieruit volgt

\begin{align} λ & = \arctan(y, x) \\ β & = \arcsin\left( \frac{z}{Δ} \right) \end{align}

Hierin is \( \arctan(y, x) \) de speciale arctangensfunctie met twee argumenten die uitrekent welke hoek er is tussen de x-as en de lijn die van het punt met coördinaten \( (0,0) \) gaat naar het punt met coördinaten \( (x,y) \). Deze speciale arc-tangensfunctie zit meestal niet onder die naam op rekenmachines, maar vaak wel in programmeertalen (met een naam als "atan2"). Sommige rekenmachines hebben een functie die rechthoekige coördinaten omrekent naar polaire coördinaten (een afstand en een hoek), en daarmee kun je de hoek uitrekenen die bij de \( x \) en \( y \) hoort, en dat is \( λ \). Die functie heeft vaak een naam zoals "R→P" of "Pol". Ter controle: als je \( x = 1 \) en \( y = 0 \) invult dan moet er 0 uitkomen, als je \( x = 0 \) en \( y = 1 \) invult dan moet er 90° uitkomen, en als je \( x = −1 \) en \( y = −1 \) invult dan moet er −135° of 225° uitkomen (die verschillen 360° en geven dus dezelfde hoek aan).

Als die functie niet op jouw rekenmachine of in jouw programmeertaal zit, dan kun je de gewone arc-tangensfunctie gebruiken, maar dan moet je wel wat extra werk doen. Bereken in dat geval

\begin{equation} λ_0 = \arctan\left( \frac{y}{x} \right) \end{equation}

Als \( \sin λ_0 \) hetzelfde teken (plus of min) heeft als \( y \) en \( \cos λ_0 \) hetzelfde teken heeft als \( x \), dan is \( λ = λ_0 \). Anders is \( λ = λ_0 + 180° \).

We vinden

\begin{align*} Δ & = \sqrt{(−4.87477)^2 + 0.97081^2 + 0.10478^2} = 4.97161 \\ λ & = \arctan(0.97081, −4.87477) = 168.737° \\ β & = \arcsin\left( \frac{0.10478}{4.97161} \right) = 1.208° \end{align*}

1.7. De rechte klimming en declinatie

De draaias van de Aarde staat niet loodrecht op het vlak van de aardbaan, dus maakt de equator van de Aarde een hoek met de aardbaan. Deze hoek \( ε \) [epsilon] heet de helling van de ecliptica en was aan het begin van het jaar 2000 gelijk aan

\begin{equation} ε = 23.4397° \end{equation}

Het equatoriale coördinatenstelsel aan de hemel is met de aardse draaias verbonden. De equatoriale coördinaten zijn de rechte klimming \( α \) [alfa] en de declinatie \( δ \) [delta]. De declinatie geeft aan hoe ver het hemellichaam van de hemelevenaar staat en bepaalt van welke delen van de Aarde het object zichtbaar kan zijn. De rechte klimming geeft aan hoe ver het hemellichaam van het lentepunt staat, gemeten langs de hemelevenaar, en bepaalt (samen met andere dingen) wanneer het object zichtbaar is. Er geldt:

\begin{align} \sin α \cos δ & = \sin λ \cos β \cos ε - \sin β \sin ε \label{eq:sinalpha} \\ \cos α \cos δ & = \cos λ \cos β \label{eq:cosalpha} \\ δ & = \arcsin(\sin β \cos ε + \cos β \sin ε \sin λ) \end{align}

Je kunt formules \ref{eq:sinalpha} en \ref{eq:cosalpha} samenvoegen tot:

\begin{equation} α = \arctan(\sin λ \cos ε - \tan β \sin ε, \cos λ) \label{eq:alpha} \end{equation}

waarbij de speciale arctangensfunctie weer gebruikt wordt die bij stap 6 beschreven werd. De rechte klimming wordt meestal geschreven als een tijd, met uren, minuten en seconden. Om die om te rekenen van een tijd in uren naar een hoek in graden (zodat je hem in formules met sinussen en zo kunt gebruiken) moet je hem vermenigvuldingen met 15.

Voor Jupiter vinden we

\begin{align*} α & = \arctan(\sin(168.737°) × \cos(23.4397°) \\ & - \tan(1.208°) × \sin(23.4397°), \cos(168.737°)) = 170.120° = \text{11h20m29s} \\ δ & = \arcsin(\sin(1.208°) × \cos(23.4397°) \\ & + \cos(1.208°) × \sin(23.4397°) × \sin(168.737°)) = 5.567° \end{align*}

Als je op dezelfde manier de rechte klimming, declinatie, en afstand uitrekent voor de Zon en alle planeten uit de tabel, dan vind je

Tabel 3: Planeetposities op 1-1-2004

Naam rechte klimming declinatie afstand
graden tijd graden AE
Zon 280.710 18h42m50s −23.074 0.98331
Mercurius 268.693 17h54m46s −20.296 0.70403
Venus 316.189 21h04m45s −18.614 1.3061
Mars 8.335 0h33m20s +3.660 1.1115
Jupiter 170.120 11h20m29s +5.567 4.9716
Saturnus 100.256 6h41m01s +22.420 8.0443
Uranus 333.148 22h12m36s −11.868 20.654
Neptunus 313.525 20h54m06s −17.459 30.973
Pluto 260.277 17h21m07s −14.497 31.700

1.8. De sterrentijd

Waar een hemellichaam voor jou aan de hemel staat hangt af van de draaihoek van de Aarde op jouw locatie ten opzichte van de sterren. Deze hoek is gevat in de sterrentijd \( θ \) (theta). De sterrentijd op een gegeven moment is de rechte klimming die op dat moment culmineert (door de hemelmeridiaan gaat). Als \( t \) de lokale kloktijd is en \( t_\text{z} \) hoeveel je bij de lokale tijd op moet tellen om UT (Universele Tijd, Greenwich Mean Time) te krijgen (beide gemeten in uren), dan is de sterrentijd gemeten in graden gelijk aan

\begin{equation} \label{eq:sterrentijd} θ = M_\text{Aarde} + Π_\text{Aarde} + 15° (t + t_\text{z}) - l \end{equation}

waarin

\begin{equation} Π_\text{Aarde} = Ω_\text{Aarde} + ω_\text{Aarde} \end{equation}

en \( Π_\text{Aarde} \) staat aangegeven in de tweede tabel. De \( t_\text{z} \) is gelijk aan −1 uur voor Nederlandse en Belgische wintertijd (MET, Middeleuropese tijd), en aan −2 uur voor Nederlandse en Belgische zomertijd (MEZT, Middeleuropese zomertijd). Het is meestal ongeveer gelijk aan \( l/15° \) uur (met één extra uur afgetrokken voor zomertijd).

Net als de rechte klimming wordt ook de sterrentijd vaak geschreven als een tijd in plaats van een hoek.

Met de waarde van \( Π_\text{Aarde} \) uit de tweede tabel wordt formule \ref{eq:sterrentijd}

\[ θ = M_\text{Aarde} + 102.937° + 15° (t + t_\text{z}) - l \]

Voor 01:00 uur middeleuropese wintertijd op 5° oosterlengte geldt \( t = 1 \), \( t_\text{z} = −1 \) en \( l = −5° \). Bij stap 1 vonden we dat \( M_\text{Aarde} = 357,009° \). Alles bij elkaar wordt dat

\[ θ = 357.009° + 102.937° + 15° (1 + (−1)) - (−5°) = 104.946° = \text{6h59m47s} \]

(na aftrekken van veelvouden van 360° of 24h).

1.9. De uurhoek

De uurhoek \( H \) geeft aan hoe ver het hemellichaam voorbij de hemelmeridiaan gedraaid is. Als de uurhoek nul is dan culmineert het hemellichaam en is het het hoogste aan de hemel, op de hemelmeridiaan. De uurhoek wordt vaak geschreven als een tijd in plaats van een hoek, net als voor de sterrentijd en de rechte klimming. Die tijd is dan ongeveer gelijk aan hoe lang het geleden was dat het hemellichaam voor het laatst het hoogst aan de hemel was.

\begin{equation} \label{eq:H} H = θ - α \end{equation}

Voor Jupiter vinden we

\[ H = 104.946° - 170.120° = −65.174° = \text{6h59m47s} - \text{11h20m29s} = \text{−4h20m42s} \]

dus Jupiter staat pakweg 4⅓ uur later het hoogst aan de hemel.

1.10. De hoogte en het azimut

De positie van een hemellichaam aan de hemel wordt gegeven door zijn hoogte \( h \) boven de horizon en zijn azimut \( A \). De hoogte is 0° aan de horizon, +90° in het zenit (recht boven je hoofd), en −90° in het nadir (recht onder je voeten). Het azimut is de richting langs de horizon, die wij meten vanaf het zuiden naar het westen. Het zuiden heeft dus azimut 0°, het westen +90°, het noorden +180°, en het oosten +270° (of −90°, dat is hetzelfde). De hoogte en het azimut zijn de horizontale coördinaten. Als de Aarde geen dampkring had, dan zou voor de horizontale coördinaten gelden:

\begin{align} \sin A \cos h & = \sin H \cos δ \label{eq:sina} \\ \cos A \cos h & = \cos H \cos δ \sin φ - \sin δ \cos φ \label{eq:cosa} \\ \label{eq:h} \sin h & = \sin φ \sin δ + \cos φ \cos δ \cos H \end{align}

Hieruit volgt

\begin{align} A & = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ - \tan δ \cos φ) \label{eq:a} \\ h & = \arcsin(\sin φ \sin δ + \cos φ \cos δ \cos H) \end{align}

waar weer de speciale arctangensfunctie gebruikt wordt die al eerder werd beschreven.

De dampkring van de Aarde buigt licht van hemellichamen een klein beetje naar beneden, zodat die hemellichamen iets hoger aan de hemel staan dan ze zonder dampkring gedaan zouden hebben. Dit effect is aan de horizon gemiddeld ongeveer 0,57° en neemt snel met de hoogte af. Bovendien varieert het dicht bij de horizon sterk, afhankelijk van de omstandigheden in de dampkring. Als je een correctie op \( h \) wilt aanbrengen voor deze refractie, dan kun je daarvoor de volgende formule gebruiken (als je \( h \) meet in graden):

\begin{equation} h_\text{schijnbaar} = h + \frac{0.017}{\tan\left( h + \frac{10.26}{h + 5.10} \right)} \end{equation}

Voor Jupiter om 01:00 middeleuropese wintertijd op 1 januari 2004 gezien vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte vinden we

\begin{align*} h & = \arcsin(\sin(52°) \sin(5.567°) + \cos(52°) \cos(5.567°) \cos(−65.174°)) = 19.495° \\ A & = \arctan(\sin(−65.174°), \cos(−65.174°) \sin(52°) - \tan(5.567°) \cos(52°)) = −73.383° \end{align*}

Jupiter staat dan op ongeveer 19,5 graden boven de horizon, ongeveer 16 graden zuid van oost. De correctie voor refractie is ongeveer 0,05°.

1.11. De elongatie

De elongatie \( ψ \) van een planeet is een maat voor de afstand van de planeet tot de Zon aan de hemel. Je kunt die afstand (1) direct tussen de planeet en de Zon meten, of (2) alleen langs de ecliptica. Deze twee manieren geven in het algemeen iets verschillende getallen, behalve voor planeten die precies op de ecliptica zijn.

Als je de eclipticale lengtegraad \( λ_\text{Zon} \) van de Zon weet en ook de eclipticale lengtegraad \( λ \) en breedtegraad \( β \) van de planeet, dan kun je elongatie (1) uitrekenen met

\begin{equation} ψ_1 = \arccos(\cos β \cos(λ - λ_\text{Zon})) \end{equation}

Elongatie (2) is dan gelijk aan

\begin{equation} ψ_2 = λ - λ_\text{Zon} \end{equation}

Het is gebruikelijk om veelvouden van 360° bij \( ψ_2 \) op te tellen of er van af te trekken tot de waarde tussen −180° en 180° ligt. Elongatie (1) kan alleen positief of nul zijn, maar elongatie (2) kan ook negatief zijn. Positief betekent dan "ten oosten van de Zon" en negatief "ten westen van de Zon".

Als je de cartesische heliocentrische eclipticale coördinaten \( (x_\text{Aarde}, y_\text{Aarde}, z_\text{Aarde}) \) van de Aarde en de cartesische geocentrische eclipticale coördinaten \( (x, y, z) \) van de planeet kent, dan kun je elongatie (1) ook als volgt uitrekenen:

\begin{align} Δ & = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ r_\text{Aarde} & = \sqrt{x_\text{Aarde}^2 + y_\text{Aarde}^2 + z_\text{Aarde}^2} \\ ψ_1 & = \arccos\left( -\frac{x_\text{Aarde} x + y_\text{Aarde} y + z_\text{Aarde} z}{r_\text{Aarde} Δ} \right) \end{align}

We vonden eerder voor Jupiter dat \( λ = 168,737° \) en \( β = 1,208° \). Op vergelijkbare wijze vinden we voor de Zon dat \( λ_\text{Zon} = 279,844° \). Hieruit volgt dat

\begin{align*} ψ_1 & = \arccos(\cos(1.208°) × \cos(168.737° - 279.844°)) = 111.102° \\ ψ_2 & = 168.737° - 279.844° = −111.063° \end{align*}

Met de eerder gevonden \( (x_\text{Aarde}, y_\text{Aarde}, z_\text{Aarde}) = (−0,16811, 0,96884, 0.00000) \) en \( (x, y, z) = (−4,87477, 0,97081, 0,10478) \) vonden we al eerder \( Δ = 4,97161 \) en \( r_\text{Aarde} = 0,98331 \) en vinden we nu

\[ ψ_1 = \arccos\left( -\frac{−0.16811 × −4.87477 + 0.96884 × 0.97081 + 0 × 0.10478}{4.97161 × 0.98331} \right) = 111.102° \]

net als voorheen.

1.12. Nauwkeurigheid

Hoe nauwkeurig zijn de resultaten die je met deze formules krijgt? Ik heb die resultaten voor elke dag van 1 januari 1980 tot en met 1 januari 2020 vergeleken met de resultaten die je krijgt als je de berekeningen doet volgens het boek "Astronomical Algorithms" van J. Meeus, die onder andere effecten van de onderlinge zwaartekracht van de planeten, van abberatie, nutatie, de reistijd van het licht, en het verschil tussen UTC en TDT meerekent. De grootste verschillen staan in de volgende tabel.

Tabel 4: Planeten: Positieberekeningsnauwkeurigheid

Naam \({α}\)\({δ}\)\({Δ}\)
graden graden AE
Zon 0.03 0.01 0.0000
Mercurius 0.09 0.04 0.0013
Venus 0.17 0.05 0.0008
Mars 0.26 0.07 0.0018
Jupiter 0.32 0.12 0.0093
Saturnus 1.08 0.43 0.049
Uranus 1.00 0.35 0.047
Neptunus 0.68 0.2 0.072

1.13. Toepassingen

1.13.1. Culminatie of doorgang

De culminatie of doorgang van een hemellichaam is het moment waarop het door de hemelmeridiaan gaat en het hoogst aan de hemel staat. De uurhoek \( H \) van het hemellichaam is dan gelijk aan 0. Hieruit volgt

\begin{equation} θ_\text{doorgang} = α \end{equation}

en dus

\begin{equation} t_\text{doorgang} = \frac{α + l - M_\text{Aarde} - Π_\text{Aarde}}{15} - t_\text{z} \end{equation}

als je de hoeken meet in graden en de tijden in uren. Met de waarden uit de eerste tabel wordt dat

\begin{equation} t_\text{doorgang} = \frac{α + l - M_\text{Aarde}}{15} + \text{17h8m15s} \end{equation}

als je \( t_\text{doorgang} \) meet in Universele Tijd (UTC). Voor middeleuropese wintertijd (die in Nederland en België in de winter geldt) moet je er nog 1 uur bij tellen, maar voor zomertijd 2 uur.

Voor Jupiter op 1 januari 2004 vonden we in stap 7 \( α \) gelijk aan 170,120°, en in stap 1 voor de Aarde \( M_\text{Aarde} \) gelijk aan 357,009°. Voor 5° oosterlengte (\( l = −5 \)) vinden we dan

\[ t_\text{doorgang} = \frac{170.120 + (−5) - 357.009}{15} + \text{17h8m15s} = \text{4h20m42s} \]

dus staat Jupiter dan het hoogst aan de hemel om 04:21 uur Universele Tijd, ofwel 05:21 uur middeleuropese wintertijd.

1.13.2. Opkomst en ondergang

Als een hemellichaam op komt of onder gaat dan heeft het een bepaalde hoogte \( h \), zoals berekend voor een waarnemer op een gladde bolvormige Aarde zonder dampkring en voor een hemellichaam dat er uit ziet als een punt. De Aarde heeft wel een dampkring en ook aan de andere voorwaarden hoeft niet voldaan te zijn, dus hoeft \( h \) niet gelijk te zijn aan 0 als het hemellichaam op komt of onder gaat. We stellen daarom dat de opkomst of ondergang gebeurt als \( h \) gelijk is aan een bepaalde waarde \( h_0 \). Hierbij hoort:

\begin{equation} H_\text{horizon} = \arccos\left( \frac{\sin h_0 - \sin φ \sin δ}{\cos φ \cos δ} \right) \end{equation}

dus

\begin{align} t_\text{op} & = t_\text{doorgang} - \frac{H_\text{horizon}}{15} \\ t_\text{onder} & = t_\text{doorgang} + \frac{H_\text{horizon}}{15} \end{align}

als je de tijden meet in uren en de uurhoek in graden.

Voor Jupiter vonden we in stap 7 \( δ \) gelijk aan 5,567°. Voor 52° noorderbreedte (\( φ = 52° \)) en met \( h_0 = 0 \) vinden we dan

\begin{align*} H_\text{horizon} & = \arccos(-\tan(52°) × \tan(5.567°)) = 97.167° = \text{6h28m40s} \\ t_\text{op} & = t_\text{doorgang} - \frac{H_\text{horizon}}{15} = \text{5h20m42s} - \text{6h28m40s} = \text{−1h7m58s} = \text{22h52m2s} \\ t_\text{onder} & = t_\text{doorgang} + \frac{H_\text{horizon}}{15} = \text{5h20m42s} + \text{6h28m40s} = \text{11h49m22s} \end{align*}

Bij \( t_\text{op} \) heb ik 24 uur bijgeteld voor het eindresultaat, dus dat geeft in dit geval een tijdstip op de vorige dag. Al met al is Jupiter volgens deze berekeningen dus boven de horizon van 22h52m tot 11h49m middeleuropese wintertijd. Het heeft geen zin op zulke tijden nauwkeuriger dan op een minuut aan te geven.

1.14. Benaderingen

Er zijn verschillende benaderingen die je kunt doen om de berekeningen eenvoudiger te maken:

In de volgende tabel staan de grootste afwijkingen tussen de resultaten die je met enkele van deze benaderingen vindt en de resultaten als je de volledige formules gebruikt die genoemd zijn voor het stuk over de benaderingen. De benaderingen waarvan hier afwijkingen getoond worden zijn (1) neem aan dat de baan bijna een cirkel is, (2) negeer de hoek tussen de planeetbaan en de aardbaan, en (3) benader sinussen en cosinussen van \( ε \) met polynomen. Benadering 1 brengt in het algemeen de grootste vermindering van de berekentijd.

Tabel 5: Planeten: Positiebenaderingsnauwkeurigheid

\(α\) (graden) \(δ\) (graden) \(Δ\) (AE)
1+2+3 1+2 1 geen 1+2+3 1+2 1 geen 1+2+3 1+2 1 geen
Zon 0.14 0.032 0.032 0.032 0.26 0.011 0.011 0.011 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
Mercurius 2.3 2.3 0.45 0.088 5.0 4.9 0.23 0.045 0.0084 0.0084 0.0056 0.0013
Venus 3.4 3.4 0.17 0.17 8.2 7.9 0.05 0.05 0.0045 0.0045 0.00078 0.00077
Mars 2.6 2.6 0.41 0.26 6.3 6.5 0.14 0.074 0.0028 0.0028 0.0026 0.0017
Jupiter 0.87 0.86 0.32 0.32 1.8 1.6 0.12 0.12 0.0095 0.0095 0.0094 0.0093
Saturnus 1.2 1.2 1.1 1.1 3.2 3.0 0.44 0.43 0.049 0.049 0.049 0.049
Uranus 1.1 0.99 1.0 1.0 1.1 1.1 0.35 0.35 0.047 0.047 0.047 0.047
Neptunus 1.1 1.1 0.68 0.68 1.4 1.4 0.27 0.27 0.072 0.072 0.072 0.072

Bijvoorbeeld: als je voor Mercurius de declinatie \( δ \) uitrekent zonder benaderingen 1 - 3 (maar wel met de benadering dat zijn baan een vaste ellips is, wat overal op deze pagina aangenomen is), dan is de grootste afwijking ten opzichte van de uitkomsten van de VSOP-theorie 0,045°. Als je alleen benadering 1 gebruikt, dan wordt dat 0,23°. Als je benaderingen 1 en 2 gebruikt wordt het 4,9°, en als je benaderingen 1 - 3 gebruikt dan is de grootste afwijking 5,0°.

2. Positie van de Maan

De positie van de Maan is niet op dezelfde manier uit te rekenen als de posities van de planeten, omdat de baan van de Maan rond de Aarde tolt met een periode van slechts ongeveer 18 jaar, zodat de knopen van de maanbaan in die tijd eenmaal langs de hele ecliptica schuiven. Als je de positie van de Maan nauwkeurig uit wilt rekenen, dan moet je duizenden verschillende termen uitrekenen en bij elkaar optellen. Hier verwaarloos ik al die termen behalve de allergrootste.

Gebruik de getallen uit de volgende tabel om de middelbare geocentrische eclipticale lengtegraad \( L \) ten opzichte van de equinox van de datum, de middelbare anomalie \( M \), en de middelbare afstand \( F \) van de Maan tot zijn klimmende knoop uit te rekenen, gemeten in graden. De waarde van zo'n grootheid is gelijk aan \( c_0 + c_1 (d - d_0) \) waarin \( c_0 \) en \( c_1 \) uit de tabel komen en \( d - d_0 \) het aantal dagen sinds 1 januari 2000, 12:00 UTC is, net als in de berekening voor de planeten.

\({c_0}\)\({c_1}\)
\({L}\)218,316 13,176396
\({M}\)134,963 13,064993
\({F}\) 93,272 13,229350

Bereken nu de geocentrische eclipticale coördinaten \( λ \) (lengte), \( β \) (breedte), en \( Δ \) (afstand), met de hoeken in graden en de afstand in kilometers:

\begin{align} λ & = L + 6,289 \sin M \\ β & = 5,128 \sin F \\ Δ & = 385001 - 20905 \cos M \end{align}

Je kunt nu stap 7 en verder uit de methode voor de planeten gebruiken om de rechte klimming en declinatie of hoogte en azimut uit te rekenen.

We rekenen de positie van de Maan uit voor 0:00 UTC op 1 januari 2004, dat 1460,5 dagen na \( d_0 \) ligt. Dan is

\begin{align*} L & = 218,316 + 13,176396 × 1460,5 = 19462,44° = 22,44° \\ M & = 134,963 + 13,064993 × 1460,5 = 19216,39° = 136,39° \\ F & = 93,272 + 13,229350 × 1460,5 = 19414,74° = 334,74° \end{align*}

Hieruit volgen

\begin{align*} λ & = 22,44 + 6,289 × \sin(136,39°) = 26,78° \\ β & = 5,128 × \sin(334,74°) = −2,19° \\ Δ & = 385001 - 20905 × \cos(136,39°) = 400136 \text{km} \end{align*}

Ik heb de positie van de Maan (\( λ \), \( β \), \( Δ \)) uitgerekend voor elke dag tussen 1950 en 2050 volgens bovenstaande methode en ook volgens een veel nauwkeurigere methode (waarvan bovenstaande methode alleen de allergrootste termen bevat). De grootste fout in \( λ \) was 2,57 graden (standaardafwijking 1,04 graden), die in \( β \) 0,81 graden (standaardafwijking 0,31 graden), en die in \( Δ \) 7645 km (standaardafwijking 3388 km).



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/hemelpositie.html;
Laatst vernieuwd: 2017-01-05