AstronomieAntwoorden
Verschijnselen in het Horizontale Coördinatenstelsel


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Horizontale coördinaten ... 2. Doorgang ... 3. Zoekmethoden ... 3.1. De herhalingsmethode ... 3.2. De inperkmethode ... 3.3. Toepassing op de doorgang ... 4. Een bepaalde hoogte ... 5. Een bepaalde richting ... 6. Alle momenten ... 6.1. Reconstructie uit mod-waarden ... 6.2. Hoe lang gaat dat goed? ... 6.3. Toepassing op doorgangen ... 7. Afleiding: van azimut naar uurhoek ... 7.1. Inleiding ... 7.2. Algemene lineare combinatie van sin en cos ... 7.3. Toepassing op het probleem

\( \def\floorratio#1#2{\left\lfloor \frac{#1}{#2} \right\rfloor} \def\ceilratio#1#2{\left\lceil \frac{#1}{#2} \right\rceil} \)

Deze bladzijde beschrijft hoe je voor een hemellichaam kunt uitrekenen:

Om deze algoritmen te kunnen gebruiken moet je voor het gewenste hemellichaam voor elk moment kunnen uitrekenen of schatten wat zijn equatoriale coördinaten (rechte klimming \( α \) en declinatie \( δ \)) zijn. Zie hiervoor bijvoorbeeld de bladzijde over posities aan de hemel.

Als voorbeeld zullen we berekeningen doen voor de Maan, voor een plek met noorderbreedte \( φ \) = 52° en westerlengte \( l_{\text{w}} \) = −5° (dus 5 graden oosterlengte), gebaseerd op de volgende posities (telkens voor 00:00 MET aan het begin van de genoemde dag = 23:00 UTC van de vorige dag):

αδ
2007-01-08 10h43m27s +8°33′44″
2007-01-09 11h26m31s +2°55′33″
2007-01-10 12h08m29s −2°44′44″
2007-01-11 12h50m28s −8°17′43″
2007-01-12 13h33m33s −13°34′25″

Om te beginnen rekenen we rechte klimming \( α \) en declinatie \( δ \) om naar hele graden (met 1 uur = 15°). Bijvoorbeeld, 10h43m27s = 10 uur + 43 minuten + 27 seconden = 10 + 43/60 + 27/3600 uur = 10,72417 uur = 10,72417 × 15° = 160,8625°, en +8°33′44″ = 8 graden + 33 boogminuten + 44 boogseconden = 8 + 33/60 + 44/3600 graden = 8,56222°. Bovendien rekenen we ook de bijbehorende sterrentijd \( θ \) uit (bijvoorbeeld zoals uitgelegd op de Rekenpagina over Sterrentijd), ook gemeten in graden.

αδθ
2007-01-08 160,8625 +8,5622 97,1266
2007-01-09 171,6292 +2,9258 98,1122
2007-01-10 182,1208 −2,7456 99,0979
2007-01-11 192,6167 −8,2953 100,0835
2007-01-12 203,3875 −13,5736 101,0692

1. Horizontale coördinaten

De positie van een hemellichaam aan de hemel wordt gegeven door zijn hoogte \( h \) boven de horizon en zijn azimut \( A \). De hoogte is 0° aan de horizon, +90° in het zenit (recht boven je hoofd), en −90° in het nadir (recht onder je voeten). Het azimut is de richting langs de horizon, die wij meten vanaf het zuiden naar het westen. Het zuiden heeft dus azimut 0°, het westen +90°, het noorden +180°, en het oosten +270° (of −90°, dat is hetzelfde). De hoogte en het azimut zijn de horizontale coördinaten. Om uit equatoriale coördinaten horizontale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

\begin{align} \sin A \cos h & = \sin H \cos δ \\ \cos A \cos h & = \cos H \cos δ \sin φ - \sin δ \cos φ \\ \sin h & = \sin δ \sin φ + \cos δ \cos φ \cos H \label{eq:h} \\ H & = θ - α \label{eq:Hα} \\ A & = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ - \tan δ \cos φ) \label{eq:A} \end{align}

De \( H \) is de uurhoek, die aangeeft hoe lang geleden (gemeten in sterrentijd) het hemellichaam precies door de hemelmeridiaan ging. We meten deze hier in graden, net als de rechte klimming \( α \) en de sterrentijd \( θ \). Soms worden ze gemeten in uren in plaats van in graden, met 15° = 1 uur. Als \( H \) tussen 0° en 180° ligt, dan moet \( A \) ook tussen 0° en 180° liggen.

Om uit horizontale coördinaten equatoriale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

\begin{align} \sin H \cos δ & = \sin A \cos h \\ \cos H \cos δ & = \cos A \cos h \sin φ + \sin h \cos φ \\ \sin δ & = \sin h \sin φ - \cos h \cos φ \cos A \label{eq:δ} \\ α & = θ - H \label{eq:αH} \\ H & = \arctan(\sin A, \cos A \sin φ + \tan h \cos φ) \label{eq:H} \end{align}

De Rekenpagina over Sterrentijd legt uit hoe je de sterrentijd \( θ \) voor een bepaald moment kunt uitrekenen (en omgekeerd).

Bijvoorbeeld, waar staat de Maan aan de hemel om 00:00 uur MET aan het begin van 9 januari 2007 (vanaf \( φ = 52° \) en \( l_{\text{w}} = −5° \))? Voor dat tijdstip en die plaats vonden we eerder \( θ = 98,1122° \). Uit tabel 1 halen we \( α = 171,6292° \) en \( δ = +2,9258° \) voor het gewenste moment. Formule \ref{eq:Hα} geeft dan

\[ H = 98,1122° - 171,6292° = −73,5169° \]

Formule \ref{eq:h} geeft

\begin{align*} \sin h & = \sin(2,9258°) \sin(52°) + \cos(2,9258°) \cos(52°) \cos(−73,5169°) \\ & = 0,05104 × 0,78801 + 0,99870 × 0,61566 × 0,28373 = 0,21468 \end{align*}

en dus

\[ h = \arcsin(0,21468) = 12,397° \]

Formule \ref{eq:A} geeft

\begin{align*} A & = \arctan(\sin(−73,5169°), \cos(−73,5169°) \sin(52°) - \tan(2,9258°) \cos(52°)) \\ & = \arctan(−0,95890, 0,19212) = −78,671° \end{align*}

We vinden dus dat de Maan om 00:00 MET aan het begin van 9 januari 2007 gezien vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte staat op 12,4° boven de horizon, op 78,7° ten oosten van het zuiden.

Nu rekenen we weer terug van horizontale coördinaten \( h \) en \( A \) naar equatoriale coördinaten \( α \) en \( δ \). Uit formule \ref{eq:δ} vinden we

\begin{align*} \sin δ & = \sin(12,397°) \sin(52°) - \cos(12,397°) \cos(52°) \cos(−78,671°) = 0,05104 \\ δ & = \arcsin(0,05104) = 2,9258° \end{align*}

Formule \ref{eq:H} geeft

\begin{align*} H & = \arctan(\sin(−78,671°), \cos(−78,671°) \sin(52°) + \tan(12,397°) \cos(52°)) \\ & = \arctan(−0.98051. 0,29013) = −73,5169° \end{align*}

en formule \ref{eq:αH} geeft dan

\[ α = 98,1122° - (−73,5169°) = 171,6292° \]

Deze waarden zijn binnen de rekennauwkeurigheid gelijk aan de waarden waar me mee begonnen.

2. Doorgang

De doorgang is het moment waarop het hemellichaam door de hemelmeridiaan gaat, die van het noorden via het zenit naar het zuiden loopt. Het hemellichaam bereikt dan zijn grootste hoogte boven de horizon. De uurhoek \( H \) is dan gelijk aan nul. Als \( α \) de rechte klimming van het hemellichaam is, dan geldt op het moment \( t_\text{door} \) waarop het hemellichaam zijn doorgang heeft:

\begin{equation} θ_\text{door} = α \label{eq:door} \end{equation}

De Rekenpagina over Sterrentijd leert dat de kloktijd uit de sterrentijd kan worden berekend met

\begin{align} t & = \frac{θ - θ_p - L_0 - L_1 ∆J_d}{θ_1} = \frac{θ}{θ_1} + t_d \pmod{t_\text{s}} \label{eq:lokaal} \\ t_d & = -\frac{θ_p + L_0 + L_1 ∆J_d}{θ_1} \pmod{t_\text{s}} \\ θ_p & ≈ θ_1 t_z - l_\text{w} \pmod{t_\text{s}} \\ L_0 & = 99,967794687° \\ L_1 & = 0,98564736628603° \\ θ_1 & ≈ 15,04106864026192° \\ t_\text{s} & = \frac{360°}{θ_1} ≈ 23,93446959 \end{align}

als we negeren dat \( θ_p \) en \( θ_1 \) en dus ook \( t_\text{s} \) een beetje van de tijd afhangen. Met vergelijking \ref{eq:door} geeft dat

\begin{equation} t_\text{door} = \frac{α}{θ_1} + t_d \pmod{t_\text{s}} \label{eq:doortijd} \end{equation}

Als \( α \) van de tijd afhangt (dus niet constant is), dan moet \( α \) in vergelijking \ref{eq:doortijd} uitgerekend zijn voor het tijdstip gegeven door \( ∆J_d \) en \( t_\text{door} \), dus dan hebben we \( t_\text{door} \) nodig voor we \( t_\text{door} \) kunnen uitrekenen. Dit is zeker het geval voor de Zon, Maan en planeten. (Voor heel nauwkeurige berekeningen hangen \( θ_p \), \( θ_1 \) en \( t_\text{s} \) ook van de tijd af, dus dan moet je de tijd ook al weten voor je hem kunt uitrekenen, zelfs als \( α \) wel constant is.)

Als \( α \) maar langzaam met de tijd verandert, dan kun je net doen alsof hij toch constant is. Je maakt dan wel een fout, maar die is dan maar klein.

Op welke tijd \( t_\text{door} \) (MET, dus \( t_\text{z} = −1 \)) culmineert de Maan op 9 januari 2007 gezien vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte? We vullen wat we al weten in in vergelijking \ref{eq:doortijd} en vinden dan

\begin{equation} t_\text{door} = \frac{α}{15,04106864} + 17,4115 \pmod{23,93446959} \label{eq:9jan}\end{equation}

Omdat \( α \) van de tijd afhangt en we het tijdstip \( t_\text{door} \) nog niet weten hebben we nu het voorheen geschetste probleem. We kunnen schattingen maken door aan te nemen dat \( α \) constant is. Om ook te schatten hoe groot de fout is die we dan maken zullen we twee berekeningen doen, met de \( α \) van het begin van 9 januari en van het begin van 10 januari.

Met de \( α \) van 9 januari (171,6292°) vinden we uit formule \ref{eq:9jan}

\[ t_\text{door} = 28,8222 \bmod 23,9345 = 4,8877 = \text{04:53} \]

en met de \( α \) van 10 januari (182,1208°) vinden we uit formule \ref{eq:9jan}

\[ t_\text{door} = 29,5197 \bmod 23,9345 = 5,5852 = \text{05:35} \]

dus vinden we dat de doorgang gebeurt ergens tussen 04:53 en 05:35 MET. Door \( α \) constant te nemen kunnen we dus wel een fout van ongeveer drie kwartier maken. Deze fout is voor de Maan nogal groot omdat de Maan relatief snel langs de sterren beweegt. De fout zou voor de Zon of de planeten een stuk kleiner zijn.

Hoofdstuk 3 beschrijft twee manieren waarop je in het algemeen gevallen kunt behandelen waarin de gezochte grootheid (hier de tijd) niet tot slechts één voorkomen in de vergelijking beperkt kan worden.

3. Zoekmethoden

Stel, je moet een waarde \( x \) vinden waarvoor geldt

\begin{equation} x = f(x) \label{eq:xfx} \end{equation}

voor een bepaalde functie \( f \). Hoe vind je die \( x \) ― als die bestaat (wat niet voor elke functie \( f \) het geval is)?

Hieronder leg ik een paar zoekmethoden uit waarmee je dit geval kunt behandelen.

Als voorbeeld zullen we zoeken naar oplossingen van vergelijking \ref{eq:xfx} voor functie \( f_1(x) ≡ \frac{x^2}{100} - 1 \).

3.1. De herhalingsmethode

Als in de buurt van \( x = x_0 \) de functie \( f(x) \) minder snel stijgt of daalt dan functie \( x \) doet (ofwel: als \( |f'(x)| < 1 \)), dan kun je steeds dichter bij \( x_0 \) komen door in die buurt te beginnen en dan steeds de uitkomst weer opnieuw in de functie \( f \) te stoppen. Dus: \( x_2 = f(x_1) \), en dan \( x_3 = f(x_2) \), en dan \( x_4 = f(x_3) \), en zo verder, totdat de \( x \) die je er in stopt en de \( x \) die er weer uit komt niet meer merkbaar van elkaar verschillen: dan heb je een goede schatting voor \( x_0 \) te pakken.

Voor functie \( f_1 \) kiezen we 0 als beginwaarde voor \( x \). We vinden (tot vier cijfers achter de komma): \( f_1(0,0000) = −1,0000 \), \( f_1(−1,0000) = −0,9900 \), \( f_1(−0,9900) = −0,9902 \) en dan \( f_1(−0,9902) = −0,9902 \), dus dan hebben we al een oplossing gevonden (tot op vier cijfers achter de komma).

Als je een grafiek maakt van functie \( f_1 \) dan zie je dat er nog een tweede oplossing is, nabij \( x = 101 \), maar daar blijkt de functie te snel te stijgen voor de herhalingsmethode. Als we beginnen met die waarde, dan vinden we achtereenvolgens 101,01, 101,03, 101,07, 101,15, 101,32, 101,66, 102,34, 103,74, 106,62, 112,69, 125,99, 157,73, en zo steeds sneller naar oneindig, hoewel we toch begonnen met veel kleinere stapjes dan voor de andere oplossing.

Als in de buurt van \( x = x_0 \) de functie \( f(x) \) sneller stijgt of daalt dan functie \( x \) (ofwel: als \( |f'(x)| > 1 \)), dan kun je de herhalingsmethode niet toepassen op functie \( f \), maar wel op zijn omgekeerde of inverse \( f^\text{inv} \), als je die kunt bepalen (wat niet altijd kan). Voor een functie \( f \) en zijn omgekeerde \( f^\text{inv} \) geldt

\begin{equation} f^\text{inv}(f(x)) = f(f^\text{inv}(x)) = x \end{equation}

Als je al een redelijke schatting \( x \) weet voor \( f \), dan is dezelfde waarde meestal ook een goede beginwaarde voor \( f^\text{inv} \).

Als de functie soms snel stijgt of daalt en soms niet, dan is het belangrijk om een goede beginwaarde van \( x \) te kiezen die al voldoende dicht bij de gewenste waarde \( x_0 \) ligt.

Er kan meer dan één waarde van \( x \) zijn waarvoor vergelijking \ref{eq:xfx} geldt. Welke waarde je dan vindt als je de herhalingsmethode gebruikt hangt af van de beginwaarde.

We willen toch graag die tweede oplossing vinden voor \( f_1 \), nabij \( x = 101 \). Voor \( f_1 \) voor \( x > −1 \) kunnen we de inverse functie vinden: \( f_1^\text{inv}(x) = \sqrt{100 x + 100} \). Bijvoorbeeld, \( f_1(2) = −0,96 \) en \( f_1^\text{inv}(−0,96) = 2 \) (en net zo voor andere waarden groter dan −1). Voor \( f_1^\text{inv} \) met beginwaarde 101 vinden we dan met de herhalingsmethode, tot op vier cijfers achter de komma: 100,9950, 100,9926, 100,9914, 100,9908, en dan zo verder tot 100,9902.

We hebben nu allebei de oplossingen van \( f_1(x) ≡ \frac{x^2}{100} - 1 = x \) gevonden (tot op vier cijfers achter de komma), namelijk \( x = −0,9902 \) en \( x = 100,9902 \).

3.2. De inperkmethode

Hierbij gaat het om het vinden van een nulpunt, waar

\begin{equation} g(x) = 0 \label{eq:g} \end{equation}

voor de gewenste functie \( g \). Als we stellen dat

\begin{equation} g(x) ≡ f(x) - x \label{eq:gf} \end{equation}

dan zijn de oplossingen van vergelijking \ref{eq:g} dezelfde als die van vergelijking \ref{eq:xfx}.

We noemen \( g(x) \) hier de "afwijking". We zoeken naar een \( x \) waarvoor de afwijking gelijk is aan 0. De methode werkt dan als volgt:

  1. Vind twee waarden \( x_1 \) en \( x_2 \) met afwijkingen \( g_1 = g(x_1) \) en \( g_2 = g(x_2) \) waarvan er één positief is en de andere negatief (dus \( g_1 g_2 < 0 \)). Dan weet je zeker dat er tenminste één nulpunt of singulariteit van \( g(x) \) tussen \( x_1 \) en \( x_2 \) ligt. Een nulpunt betekent een oplossing van vergelijking \ref{eq:g} en dus (via vergelijking \ref{eq:gf}) ook van vergelijking \ref{eq:xfx}. Een singulariteit is een plek waar de waarde van de functie oneindig groot wordt (in dit geval oneindig positief aan de ene kant en oneindig negatief aan de andere kant) en is geen oplossing van vergelijkingen \ref{eq:g} en \ref{eq:xfx}.

  2. Maak een schatting \( x_3 \) voor de oplossing, ergens tussen \( x_1 \) en \( x_2 \) in. Je kunt bijvoorbeeld het gemiddelde van de twee nemen:

    \begin{equation} x_3 = \frac{x_1 + x_2}{2} \end{equation}

    of sneller gaan door de afwijkingen mee te laten werken:

    \begin{equation} x_3 = \frac{g_2 x_1 - g_1 x_2}{g_2 - g_1} \label{eq:schat} \end{equation}

  3. Bepaal de afwijking \( g_3 = g(x_3) \).

  4. Als \( g_3 \) gelijk is aan 0 (binnen de nauwkeurigheid van je berekeningen), dan ben je klaar, en is \( x_3 \) een oplossing van vergelijking \ref{eq:g} en dus (via \ref{eq:gf}) ook van vergelijking \ref{eq:xfx}. Als het teken (plus of min) van \( g_3 \) gelijk is aan het teken van \( g_1 \) (dus \( g_1 g_3 > 0 \)), vervang dan \( x_1 \) door \( x_3 \) (en \( g_1 \) door \( g_3 \)). Vervang anders \( x_2 \) door \( x_3 \) (en \( g_2 \) door \( g_3 \)).

  5. Ga nu terug naar de stap 2.

Ook bij deze method is het vinden van goede beginwaarden belangrijk, maar het maakt niet uit hoe snel de functie stijgt of daalt, als er maar geen singulariteit in het gekozen interval ligt.

Als \( g(x) \) een lineare functie is (dus \( g \) neemt eenparig met \( x \) toe of af), dan is de eerste \( x_3 \) (uit vergelijking \ref{eq:schat}) al meteen het gewenste antwoord. Dat was voor de herhalingsmethode niet zo.

Je kunt formule \ref{eq:schat} ook gebruiken zelfs als \( x_1 \) en \( x_2 \) aan dezelfde kant van de gewenste \( x \) liggen, maar dan is er geen garantie dat je een oplossing zult vinden. Als \( g_1 g_2 > 0 \), vervang dan de \( x \) waar de grootste \( |g| \) bij hoort door \( x_3 \).

Met onze oude functie \( f_1(x) = \frac{x^2}{100} - 1 \) komt overeen \( g(x) = \frac{x^2}{100} - x - 1 \). We nemen eerst als beginwaarden \( x_1 = −2 \) en \( x_2 = 0 \), en vinden dan (tot vier cijfers achter de komma) \( g_1 = 1,0400 \), \( g_2 = −1,0000 \). We gebruiken vergelijking \ref{eq:schat} om de middelwaarde te vinden, en vinden dan \( x_3 = \frac{−1 × −2 - 1,0400 × 0}{−1 - 1,0400} = −0,9804 \) en \( g_3 = −0,0100 \).

We zien dat \( g_3 \) hetzelfde teken heeft als \( g_2 \), dus vervangen we \( x_2 \) door \( x_3 \) en \( g_2 \) door \( g_3 \). We hebben dan \( x_1 = −2 \) en \( x_2 = −0,9804 \).

We herhalen nu de procedure en vinden \( x_3 = −0,9901 \) en \( g_3 = −0,0001 \). Na nog een herhaling vinden we \( x_3 = −0,9902 \) en \( g_3 = 0,0000 \), dus dan hebben we een oplossing te pakken, en wel dezelfde die we eerder met de herhalingsmethode vonden.

Nu proberen we het met beginwaarden \( x_1 = 100 \) en \( x_2 = 102 \). We vinden dan

\({x_1}\)\({g_1}\)\({x_2}\)\({g_2}\)\({x_3}\)\({g_3}\)
100 −1,0000 102 1,0400 100,9804 −0,0100
100,9804 −0,0100 102 1,0400 100,9901 −0,0001
100,9901 −0,0001 102 1,0400 100,9902 0,0000

dus hebben we dan al snel de tweede oplossing te pakken, op \( x = 100,9902 \) zoals we ook al eerder vonden met de herhalingsmethode.

3.3. Toepassing op de doorgang

Nu gebruiken we deze methoden om de doorgang van de Maan uit te rekenen waarvoor we eerder alleen nogal onnauwkeurige schattingen vonden.

Eerst proberen we de herhalingsmethode. We hadden hierboven al uitgerekend dat de doorgangtijd 04:54 was voor de \( α \) van 9 januari. Dat is onze eerste schatting.

Nu moeten we \( α \) uitrekenen voor dat tijdstip. We nemen aan dat \( α \) eenparig met de tijd verandert. De toename van \( α \) is 182,1208° − 171,6292° = 10,4917° in 24 uur, dus in 4:53 = 4,8877 uur is de toename 10,4917° × 4,8877 / 24 = 2,1367°, dus is om 04:53 \( α = 171,6292° + 2,1367° = 173,7658° \). Met deze \( α \) vinden we \( t_\text{door} = \left( \frac{73,7658}{15,04106864} + 17,4115 \right) \bmod 23,9345 = 5,0298 = \text{05:02} \). Als we nog een paar herhalingen doen dan vinden we \( t_\text{door} = 5,0339 \) en daarna \( t_\text{door} = 5,0340 \) en daarna verandert het niet meer (tot op 0,0001 uur nauwkeurig), dus hebben we het antwoord gevonden: de Maan culmineert om 5,0340 uur = 05:02. Blijkbaar is de verandering van \( α \) met de tijd langzaam genoeg dat de herhalingsmethode tot een oplossing leidt. We hebben aangenomen dat \( α \) eenparig met de tijd verandert, wat in het echt niet helemaal klopt, dus maken we nog steeds een kleine fout, maar die is nu een stuk kleiner dan voorheen.

Nu doen we het nogmaals, maar met de inperkmethode. We meten de afwijking als het verschil tussen \( t_\text{door} \) die we uit vergelijking \ref{eq:doortijd} berekenen en het tijdstip waarvan we de \( α \) gebruikten, want als dat verschil 0 is dan hebben we het juiste tijdstip gevonden. Voor 00:00 uur MET op 9 januari 2007 (dus \( x_1 = 0 \), gemeten in uren sinds dat tijdstip) vonden we hierboven \( t_\text{door} = 4,8877 \), en dus is \( g_1 = 4,8877 - 0 = 4,8877 \). Voor 00:00 uur MET op 10 januari (\( x_2 = 24 \) op dezelfde tijdschaal als \( x_1 \)) vonden we \( t_\text{door} = 5,5852 \), dus \( g_2 = 5,5852 - 24 = −18,4148 \).

Vergelijking \ref{eq:schat} geeft dan

\[ x_3 = \frac{−18,4148 × 0 - 4,8877 × 24}{−18,4148 - 4,8877} = 5,0340 \]

precies hetzelfde (binnen de rekennauwkeurigheid) als we hierboven vonden met de herhalingsmethode, maar hier vinden we het goede antwoord zonder dat we hoefden te herhalen (omdat we aannamen ― net als bij de herhalingsmethode ― dat \( α \) eenparig varieert).

4. Een bepaalde hoogte

Wanneer bereikt het hemellichaam een bepaalde hoogte \( h_0 \)? Stel dat we de coördinaten \( α \) en \( δ \) kennen voor het moment gegeven door \( ∆J_d \) en \( t \). Uit formule \ref{eq:h} leiden we de uurhoek \( H \) af:

\begin{align} q & = \frac{\sin h_0 - \sin φ \sin δ}{\cos φ \cos δ} = \frac{\sin h_0}{\cos φ \cos δ} - \tan φ \tan δ \label{eq:q} \\ H & = \arccos(q) \label{eq:H_h} \end{align}

Deze \( H \) kan alleen uitgerekend worden als \( −1 ≤ q ≤ +1 \), ofwel als \( |q| ≤ 1 \). Als \( |q| \) groter is dan 1, dan bereikt een hemellichaam met die declinatie \( δ \) gezien vanaf die plek nooit hoogte \( h_0 \). Als \( q > 1 \), dan blijft het hemellichaam op grotere hoogte dan \( h_0 \), en als \( q < −1 \), dan blijft het hemellichaam op kleinere hoogte dan \( h_0 \).

Als we een \( H \) hebben, dan is een schatting voor de tijd \( t_\text{op} \) waarop het hemellichaam door hoogte \( h_0 \) omhoog gaat

\begin{align} H_\text{op} & = -H = -\arccos(q) \\ θ_\text{op} & = α + H_\text{op} = α - \arccos(q) \pmod{360°} \\ t_\text{op} & = t_d + \frac{α - \arccos(q)}{θ_1} = t_\text{door} - \frac{\arccos(q)}{θ_1} \pmod{24} \end{align}

en voor het tijdstip \( t_\text{onder} \) waarop het hemellichaam door hoogte \( h_0 \) naar beneden gaat

\begin{align} H_\text{onder} & = +H = +\arccos(q) \\ θ_\text{onder} & = α + H_\text{onder} = α + \arccos(q) \pmod{360°} \\ t_\text{onder} & = t_d + \frac{α + \arccos(q)}{θ_1} = t_\text{door} + \frac{\arccos(q)}{θ_1} \pmod{24} \end{align}

Deze tijdstippen zijn alleen helemaal goed als de equatoriale coördinaten \( α \) en \( δ \) niet met de tijd veranderen. Als ze dat wel doen (zoals voor Zon, Maan en planeten), dan moeten we de precieze tijden vinden met behulp van een zoekmethode zoals uitgelegd in hoofdstuk 3. Je kunt dan als afwijking het verschil tussen de uitgerekende hoogte \( h \) (uit formule \ref{eq:h}) en de gewenste hoogte \( h_0 \) nemen, of anders het verschil tussen het tijdstip uitgerekend met bovenstaande formules en het tijdstip waarvoor de equatoriale coördinaten \( α, δ \) waren uitgerekend.

Wanneer in de buurt van 9 januari 2007 bereikt de Maan een hoogte van 30°? Dan is \( h_0 = 30° \). Met de coördinaten \( α, δ \) van 9 januari vinden we dan uit vergelijking \ref{eq:q}

\[ q = \frac{\sin(30°) - \sin(52°) × \sin(+2,9258°)}{\cos(52°) × \cos(+2,9258°)} = \frac{0,5 - 0,7880 × 0,0510}{0,6157 × 0,9987} = 0,7478 \]

Deze waarde is tussen −1 en +1 dus kunnen we echt een tijd uitrekenen.

Formule \ref{eq:H_h} geeft \( H = \arccos(0,7478) = 41,6018° \). We weten nog van hierboven dat \( t_d = 17,4115 \) voor deze datum en waarneemplek, dus vinden we

\[ t_\text{op} = \left( 17,4115 + \frac{171,6292 - 41,6018}{15,04106864} \right) \bmod 24 = 26,0563 \bmod 24 = 2,1218 = \text{02:07} \]

en

\[ t_\text{onder} = \left( 17,4115 + \frac{171,6292 + 41,6018}{15,04106864} \right) \bmod 24 = 31,5881 \bmod 24 = 7,6536 = \text{07:39} \]

dus onze eerste schatting is dat de Maan door 30° hoogte omhoog gaat rond 02:07 en dat de Maan door 30° omlaag gaat rond 07:39.

Met de coördinaten van 10 januari vinden we op soortgelijke wijze

\begin{align*} q & = 0,8744 \\ H & = 29,0202° \\ t_\text{op} & = \left( 17,4115 + \frac{182,1208 - 29,0202}{15,04106864} \right) \bmod 24 = 3,6558 = \text{03:39} \\ t_\text{onder} & = \left( 17,4115 + \frac{182,1208 + 29,0202}{15,04106864} \right) \bmod 24 = 7,5146 = \text{07:31} \end{align*}

We gebruiken nu de inperkmethode om een meer nauwkeurige schatting te krijgen. We beginnen met \( t_\text{op} \). We hebben \( x_1 = 0 \) en \( x_2 = 24 \) uren, en \( g_1 = 2,1218 \) en \( g_2 = 3,6558 - 24 = −20,3442 \), en vinden dan

\[ t_3 = \frac{−20,3442 × 0 - 2,1218 × 24}{−20,3442 - 2,1218} = 2,2667 = \text{02:16} \]

Als we aannemen dat de coördinaten eenparig met de tijd veranderen dan hebben we hiermee de tijd van de opkomst (door 30°) gevonden. Op soortgelijke wijze vinden we voor de tijd van de ondergang (door 30°) 7,6095 = 07:37.

5. Een bepaalde richting

Wanneer staat het hemellichaam in de richting gegeven door azimut \( A_0 \)? Dat kunnen we als volgt uitrekenen (aldus vergelijkingen \ref{eq:D1}ff in hoofdstuk 7):

\begin{align} s & = \cos A_0 \cos δ \\ c & = -\sin A_0 \cos δ \sin φ \\ a & = -\sin A_0 \sin δ \cos φ \\ D & = s^2 + c^2 - a^2 = \cos^2(δ) - \sin^2(A_0) \cos^2(φ) \\ p & = a + c \\ q_1 & = s + \sqrt{D} \\ q_2 & = s - \sqrt{D} \\ f_1 & = 2pq_1 \\ g_1 & = p^2 - q_1^2 \\ f_2 & = 2pq_2 \\ g_2 & = p^2 - q_2^2 \\ H_1 & = \arctan(f_1, g_1) \\ H_2 & = \arctan(f_2, g_2) \end{align}

Als \( D \lt 0 \) of als \( f = g = 0 \) dan zijn er geen oplossingen. Als \( D = 0 \) en niet \( f = g = 0 \) dan is er één oplossing. Als \( D \gt 0 \) dan zijn er twee oplossingen, waarvan er misschien eentje fout is, als daarvoor \( f = g = 0 \) of \( f\sin(A_0) \lt 0 \).

Fig. 1: hemelbewegingsdiagram
Fig. 1: hemelbewegingsdiagram
Figuur 1 toont de hemelbol zoals gezien vanaf \( φ = +35° \). De waarnemer staat in het midden (waar de lijnen OW en NZ elkaar kruisen). De cirkel N-O-Z-W-N is de horizon. De as NP-ZP is evenwijdig met de draaias van de Aarde: de sterrenhemel lijkt rond die as te draaien. De cirkels rondom de as NP-ZP zijn de paden van hemellichamen met vaste \( δ \), gelijk aan (vanaf NP naar ZP) +60°, +30°, 0°, −30° en −60°. Voor deze waarnemer staat een hemellichaam met \( δ = +60° \) altijd ongeveer naar het noorden, en in ieder geval nooit naar het oosten, zuiden of westen. Als het hoogste punt van zo'n pad ten noorden van het zenit ligt (wat het geval is als \( δ > φ \)), dan kan het hemellichaam niet in alle richtingen staan, maar wel altijd in het noorden. Als het hoogste punt ten zuiden van het zenit ligt (als \( δ < φ \)), dan kan het hemellichaam wel in alle richtingen staan. (Voor een waarnemer bij \( φ < 0 \) draaien de rollen van noord en zuid om.)

Als \( |δ| < |φ| \), dan kan het hemellichaam in alle richtingen staan, en staat het ongeveer elke dag eenmaal in elke richting. Als \( |δ| ≥ |φ| \), dan kan het hemellichaam niet in alle richtingen staan, maar moet voldoende dicht in de buurt van 0° of 180° staan.

Aan figuur 1 kun je zien dat in dat geval elk azimut dat voor kan komen ongeveer elke dag tweemaal voorkomt, eenmaal op een grotere hoogte (in de bovenste helft van het pad) en eenmaal op een kleinere hoogte (in de onderste helft van het pad).

Wanneer op 9 januari 2007 staat de Maan precies in het oosten, gezien vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte? Dan moet \( A_0 = 270° \). De declinatie van de Maan is altijd minder dan \( φ = 52° \), dus kan de Maan vanaf zo'n plek gezien op elk azimut staan.

Op 9 januari 00:00 uur stond de maan op \( δ = 2,9258° \). Dan

\begin{align*} s & = \cos(A_0)\cos(δ) = 0×0,9986965 = 0 \\ c & = -\sin(A_0)\cos(δ)\sin(φ) = -(−1)×0,9986965×0,7880108 = 0,786984 \\ a & = -\sin(A_0)\sin(δ)\cos(φ) = -(−1)×0,05104265×0,6156615 = 0,031425 \\ D & = s^2 + c^2 - a^2 = 0,618356 \\ p & = a + c = 0,818409 \\ q_1 & = s + \sqrt{D} = 0 + \sqrt{0,818409} = 0,786356 \\ q_2 & = s - \sqrt{D} = 0 - \sqrt{0,818409} = −0,786356 \\ f_1 & = 2pq_1 = 2×0,818409×0,786356 = 1,28712 \\ g_1 & = p^2 - q_1^2 = 0,818409^2 - 0,786356^2 = 0,051437 \\ f_2 & = 2pq_2 = 2×0,818409×−0,786356 = −1,28712 \\ g_2 & = p^2 - q_2^2 = 0,818409^2 - (−0,786356)^2 = 0,051437 \\ H_1 & = \arctan(f_1, g_1) = 87,7115° \\ H_2 & = \arctan(f_2, g_2) = −87,7115° \end{align*}

\( f_2\sin(A_0) \gt 0 \) dus \( H = H_2 = −87,7115° \) is de juiste oplossing. De rechte klimming van de Maan op 9 januari 00:00 uur was \( α = 171,6292° \), dus de sterrentijd \( θ \) waarop de Maan met die equatoriale coördinaten precies in het oosten zou staan is

\[ θ = H + α = −87,7115° + 171,6292° = 83,9177° \]

en de bijbehorende kloktijd is

\[ t = \frac{θ}{θ_1} + t_d = \frac{83,9177}{15,04106864} + 17,4115 = 22,9907 = \text{22:59} \pmod{t_\text{s} = 23,93446959} \]

Met de \( α \) en \( δ \) van de Maan op 10 januari 00:00 uur vinden we

\( H = −92,1472° \), \( θ = 89,9736° \), \( t = 23,3934 = \text{23:23} \pmod{t_\text{s} = 23,93446959} \).

Nu gebruiken we de inperkmethode. We nemen voor \( x \) de tijd in uren sinds 9 januari 00:00, dus dan is \( x_1 = 0 \) en \( x_2 = 24 \). We nemen voor \( g \) het verschil tussen de geschatte oosttijd en de kloktijd op 9 januari, in uren, dus \( g_1 = 22,9907 - 0 = 22,9907 \) en \( g_2 = 23,3934 - 24 = −0,6066 \). Met behulp van vergelijking \ref{eq:schat} vinden we dan

\[ x_3 = \frac{−0,6066 × 0 - 22,9907 × 24}{−0,6066 - 22,9907} = 23,3830 = \text{23:22} \]

Onze schatting is dus dat de Maan op 9 januari 2007 gezien vanaf 52° noorderbreedte en 5° oosterlengte om 23:22 MET precies in het oosten zal staan.

6. Alle momenten

We hebben hierboven gezien hoe je een moment kunt uitrekenen waarop een bewegend hemellichaam een bepaalde hoogte of richting bereikt, gegeven één of twee beginschattingen. Als je alle momenten wilt weten waarop het hemellichaam binnen een zeker periode de gewenste hoogte of richting bereikt, dan kun je niet beginschattingen nemen met zomaar een vaste afstand, want omdat de hemellichamen tussen de sterren langs de hemel bewegen zal het aantal keren dat het gewenste verschijnsel voorkomt in één zo'n periode niet altijd hetzelfde zijn. De Maan en planeten hebben bijvoorbeeld op de meeste kalenderdagen één doorgang, maar heel soms twee of geeneen.

De oplossing voor dit probleem is om de beginschattingen aan te passen aan de beweging van het hemellichaam, zodat de reeks van beginschattingen gemiddeld in de pas loopt met de beweging van het hemellichaam.

We zagen hierboven dat om het tijdstip van een horizontaal verschijnsel uit te rekenen je altijd begint met het uitrekenen van de dichtstbijzijnde doorgang. Het gewenste verschijnsel kan niet meer dan ongeveer 12 uur voor of na de bijbehorende doorgang zijn, want daarbuiten begint het domein van de vorige of volgende doorgang al weer. Onze eerste taak is dus om alle doorgangen te bepalen in de gewenste tijdsperiode.

We zagen hierboven dat we een doorgang hebben als \( H ≡ α - θ = 0 \pmod{360°} \).

We willen \( H \) zo berekenen dat hij voor elke volgende doorgang precies 360° groter is, want dan kun je uit de \( H \) van twee momenten uitrekenen hoeveel doorgangen er tussen die twee momenten waren of zijn. Hoe doe je dat?

6.1. Reconstructie uit mod-waarden

Stel, je hebt een serie van waarden \( x_i \) en een serie \( m_i \) en je wilt daaruit een serie \( y_i \) afleiden waarvoor geldt

\begin{equation} y_i = x_i \pmod{P} \end{equation}

\begin{equation} m_i - \frac{1}{2}P ≤ y_{i+1} - y_i < m_i + \frac{1}{2}P \end{equation}

\begin{equation}0 ≤ y_1 < P\end{equation}

Ofwel: de verwachte stijging van de \( y_i \) ligt tussen \( m_i - \frac{1}{2}P \) en \( m_i + \frac{1}{2}P \). In de praktijk zullen vaak alle \( m_i \) aan elkaar gelijk zijn.

Als je zoekt naar de kleinst mogelijke verschillen \( y_{i+1} - y_i \), stel dan \( m_i = 0 \): dan liggen de verschillen tussen \( -\frac{1}{2}P \) en \( +\frac{1}{2}P \).

Als je weet dat de \( y_i \) alleen maar kunnen toenemen, dan krijg je de kleinst mogelijke verschillen als \( m_i = \frac{1}{2}P \).

Je kunt de \( y_i \) met het volgende algoritme vinden:

  1. Bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

    \begin{equation} d_i = x_{i + 1} - x_i \end{equation}

  2. Bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

    \begin{equation}e_i = \left[ \frac{d_i - m_i}{P} \right] \end{equation}

    waarbij \( [ \, ] \) naar boven of beneden afronden naar het dichtsbijzijnde hele getal aangeeft.

  3. Stel dan \( s_1 = \floorratio{x_1}{P} \) (\( ⌊ \, ⌋ \) betekent naar beneden afronden naar het dichtstbijzijde hele getal) en bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

    \begin{equation} s_{i + 1} = s_i + e_i \end{equation}

  4. Bereken dan

    \begin{equation} y_i = x_i - P s_i \end{equation}

De \( s_i \) meet hoeveel maal je een nieuwe cyclus \( \bmod P \) begint.

Bijvoorbeeld, stel dat een interessant verschijnsel zich voordeed op de volgende aantallen uren na het begin van maandag: \( z_i \) = 21, 47, 73, 95, 117. Helaas heeft onze assistent bij het noteren van de tijdstippen wel op de klok gekeken maar niet ook de dag of datum opgeschreven, dus de meetserie die wij van hem kregen was: \( x_i \) = 21, 23, 1, 23, 21, die telkens een veelvoud van \( P = 24 \) (een heel aantal dagen) afwijken van de \( z_i \). Wij weten dus de waarden \( \bmod 24 \). We nemen aan dat onze assistent de waarden heeft opgeschreven in de volgorde waarin de verschijnselen gebeurden. Hieruit kunnen we berekenen \( d_1 = x_2 - x_1 = 23 - 21 = 2 \) en net zo voor de andere waarden. De uitkomsten staan in tabel 2.

Omdat het kloktijden zijn weten wij dat het "echte" verschil tussen de tijdstippen altijd groter dan 0 moet zijn geweest (want klokken lopen alleen vooruit). Wij proberen daarom \( m_i = \frac{1}{2}P = 12 \), wat betekent dat we aannemen dat het verschil tussen opeenvolgende "echte" waarden altijd tussen 0 en 24 ligt. We vinden dan \( e_1 = \left[ \frac{d_1 - m_1}{P} \right] = \left[ \frac{2 - 12}{24} \right] = 0 \) enzovoort. Zie de \( e_i \) in het gedeelte met \( m_i = 12 \) in de tabel. Dan vinden we \( s_1 = 0 \), \( s_2 = s_1 + e_1 = 0 + 0 = 0 \) en zo verder, en daarna \( y_1 = x_1 - P s_1 = 21 - 24×0 = 21 \) en dan 23, 25, 47, 69. De waarden die wij vinden voor \( y_i \) zijn inderdaad gelijk aan de overeenkomende \( x_i \) afgezien van veelvouden van 24, en nemen inderdaad nooit af, maar zijn toch niet allemaal gelijk aan de \( z_i \), omdat onze aanname niet klopte dat het verschil tussen de echte waarden niet meer is dan 24 uur.

Onze assistent zegt dat er telkens "ongeveer een dag" tussen de verschijnselen zat, dus laten we het nog eens proberen maar nu met \( m_i = 24 \), zodat we aannemen dat het verschil tussen de 12 en de 36 uur ligt (met 24 uur in het midden). De rekenwaarden staan in tabel 2. Nu vinden we wel de goede waarden. In het echt weten we natuurlijk niet van tevoren wat de goede waarden zijn, want anders hadden we deze hele berekening niet nodig. Het is dus belangrijk om goede informatie te krijgen over welke verschillen mogelijk zijn tussen opeenvolgende waarden.

De tabel toont ook berekeningen voor \( m_i = 0 \). Hieruit volgen de kleinste verschillen (positief of negatief) die mogelijk zijn \( \bmod 24 \).

Tabel 2: Voorbeelden van de reconstructie van mod-waarden

\({m_i = 0}\)\({m_i = 12}\)\({m_i = 24}\)
\({x_i}\)\({d_i}\)\({e_i}\)\({s_i}\)\({y_i}\)\({e_i}\)\({s_i}\)\({y_i}\)\({e_i}\)\({s_i}\)\({y_i}\)
21 2 0 0 21 0 0 21 −1 0 21
23 −22 −1 0 23 −1 0 23 −2 −1 47
1 22 1 −1 25 0 −1 25 0 −3 73
23 −2 0 0 23 −1 −1 47 −1 −3 95
21 0 21 −2 69 −4 117

6.2. Hoe lang gaat dat goed?

Als je een goede \( m_i \) bij je \( x_i \) kunt geven, dan kun je de goede \( y_i \) vinden zelfs als er vele perioden \( P \) tussen opeenvolgende \( y_i \) zitten. Echter, dit gaat niet oneindig lang goed.

Stel dat we van \( y \) weten dat die toeneemt met de tijd met een snelheid die ligt tussen \( μ - δ \) en \( μ + δ \) per tijdseenheid, en stel dat we \( x = y \mod P \) weten voor een stel tijdstippen die steeds \( ∆t \) uit elkaar liggen. Dan weten we dat de bijbehorende opeenvolgende \( y \) groeien met tussen \( (μ - δ)∆t \) en \( (μ + δ)∆t \) per meting. We kunnen dan in de reconstructiemethode \( m_i = μ∆t \) zetten, waarmee we zeggen dat we aannemen dat de toename van \( y \) tussen \( μ∆t - \frac{1}{2}P \) en \( μ∆t + \frac{1}{2}P \) ligt. Deze aanname klopt niet meer als \( δ∆t ≥ \frac{1}{2}P \), dus als we stellen \( m_i = μ∆t \) dan moeten we zorgen dat

\begin{equation} ∆t < \frac{P}{2δ} \end{equation}

Deze schatting is gebaseerd op de aanname dat de afwijkingen ten opzichte van \( μ \) allemaal dezelfde kant op zijn. Als de afwijkingen periodiek of willekeurig zijn, dan zullen ze elkaar deels opheffen dus dan duurt het langer voor de totale afwijking te groot wordt. De schatting hierboven is dus een ondergrens: als je je aan die schatting houdt dan zit je zeker goed, maar misschien werkt het in de praktijk ook wel met grotere \( ∆t \).

Bijvoorbeeld, tussen de jaren 2000 en 4737 groeit de rechte klimming van de Maan (ten opzichte van de equinox van de datum) met tussen 10,37° en 17,39° per dag, dus \( μ = \frac{10,37 + 17,39}{2} = 13,88 \) per dag en \( δ = \frac{17,39 - 10,37}{2} = 3,51 \) per dag. Als we op die rechte klimming de reconstructiemethode willen toepassen met \( P = 360 \), en als we \( m_i = μ∆t \) stellen, dan moet dus \( ∆t < \frac{360}{2×3,51} = 51,3 \) dagen zijn. Als we rechte klimmingen hebben voor momenten die meer dan 51 dagen uit elkaar liggen, dan moeten we niet verwachten dat de reconstructiemethode de juiste reconstructie geeft.

Als we nog minder moeite doen en \( m_i = 0 \) stellen, dan moet \( ∆t < \frac{360}{17,39} = 20,7 \). Omgekeerd: als we \( m_i = 0 \) stellen, dan mag het tijdsinterval tussen de meting of berekening van opeenvolgende rechte klimmingen tot 20 dagen groot zijn.

6.3. Toepassing op doorgangen

Voor Zon, Maan en planeten neemt de uurhoek \( H \) altijd toe met de tijd. De gemiddelde uurhoektoename per dag ligt dicht bij 360°. Stel dat je \( H \)-waarden hebt die na elke \( ∆t \) dagen gemeten of berekend zijn. Dan is de verwachte \( H \)-toename per meting gelijk aan ongeveer \( 360° × ∆t \), dus dan kun je de reconstructiemethode gebruiken met \( m_i = 360° × ∆t \).

Gebaseerd op berekeningen voor de jaren 2000 − 4737 moet \( ∆t \) niet groter zijn dan aangegeven in de volgende tabel, als je \( m_i = 360° × ∆t \) stelt. De tabel toont ook de toename \( ∆α \) van de rechte klimming in graden per dag en de toename \( ∆H \) van \( H \) per dag.

\({∆α}\)\({∆H}\)\({∆t}\)
min max min max
Zon 0,88 1,11 359,89 360,11 2800
Mercurius −1,50 2,42 358,56 362,48 140
Venus −0,70 1,38 359,60 361,69 200
Maan 10,37 17,39 343,58 350,60 21
Mars −0,44 0,84 360,14 361,44 240
Jupiter −0,15 0,26 360,72 361,15 300
Saturnus −0,09 0,14 360,83 361,08 320
Uranus −0,05 0,07 360,94 361,04 340
Neptunus −0,03 0,04 360,97 361,04 350

Het probleem is dus het grootste voor de Maan, wat wel te verwachten was omdat de Maan het snelst ten opzichte van de sterren langs de hemel trekt. Als we tenminste één \( H \) per 21 dagen hebben dan kunnen we met behulp van de reconstructiemethode (met \( m_i = 360° × ∆t \)) vinden hoeveel doorgangen er zijn geweest.

Het aantal doorgangen \( n \) tussen \( H_1 \) en \( H_2 \) is gelijk aan

\begin{align} n & = n_2 - n_1 + 1 \\ n_1 & = ⌈H_1⌉ \\ n_2 & = ⌊H_2⌋ \end{align}

waar \( ⌊ \, ⌋ \) naar beneden afronden naar het dichtstbijzijnde hele getal aangeeft, en \( ⌈ \, ⌉ \) naar boven afronden naar het dichtstbijzijnde getal aangeeft.

Uit de \( α \) en \( θ \) uit tabel 1 berekenen we voor 00:00 uur MET \( H \bmod 360° \) en dan met behulp van de reconstructiemethode (\( P = 360 \), \( m_i = 360 \)) de "echte" \( H \):

\({α}\)\({θ}\)\({H \bmod 360}\)\({H}\)
2007-01-08 160,8625 97,1266 296,2641 296,2641
2007-01-09 171,6292 98,1122 286,4831 646,4831
2007-01-10 182,1208 99,0979 276,9770 996,9770
2007-01-11 192,6167 100,0835 267,4668 1347,4668
2007-01-12 203,3875 101,0692 257,6817 1697,6817

We vinden \( n_1 = \ceilratio{H(t_1)}{360°} = 1 \) en \( n_2 = \floorratio{H(t_2)}{360°} = 4 \), en daarmee voor het aantal doorgangen tussen \( t_1 \) = 8 januari 00:00 MET en \( t_2 \) = 12 januari 00:00 MET \( n = 4 - 1 + 1 = 4 \).

Je kunt nu op verschillende manieren eerste schattingen voor de tijden van doorgangen bepalen. Eén manier is om de toename van \( H \) met de tijd te benaderen met eenparige toename. Als we daarvoor \( t_1 \), \( t_2 \), \( H_1 = H(t_1) \) en \( H_2 = H(t_2) \) gebruiken, dan vinden wij

\begin{align} H(t) & = a t + b \\ a & = \frac{H_2 - H_1}{t_2 - t_1} \\ b & = \frac{H_1 t_2 - H_2 t_1}{t_2 - t_1} \end{align}

De doorgangen gebeuren als \( H = 360° k \) waarin \( k \) een heel getal is. Als we \( H(t) = 360° k \) stellen dan vinden we

\begin{align} t & = c k + d \\ c & = \frac{360°}{a} = 360° \frac{t_2 - t_1}{H_2 - H_1} \\ d & = -\frac{b}{a} = -(t_2 - t_1)\frac{H_1 t_2 - H_2 t_1}{H_2 - H_1} \end{align}

Voor ons voorbeeld meten we \( t \) in dagen sinds 0 januari, 00:00 MET (dus \( t_1 = 8 \) en \( t_2 = 12 \)) en vinden wij

\begin{align*} a & = \frac{1697,6817 - 296,2641}{12 - 8} = 350,3544 \\ b & = \frac{296,2641 × 12 - 1697,6817 × 8}{12 - 8} = −2506,5711 \\ c & = \frac{360}{350,3544} = 1,0275 \\ d & = \frac{2506,5711}{350,3544} = 7,1544 \end{align*}

Als eerste schattingen voor de momenten van doorgang vinden we dus \( t = 1,0275 k + 7,1544 \). Voor \( k \) van \( n_1 = 1 \) tot en met \( n_2 = 4 \) vinden we dan \( t \) gelijk aan 8,1819, 9,2094, 10,2370, 11.2645. Die 8,1819 betekent 0,1819 dagen na het begin van 8 januari, ofwel 24×0,1819 = 4,3660 uur na het begin van 8 januari, ofwel 04:22 uur MET op 8 januari. Op dezelfde manier vind je voor de andere schattingen 05:02 uur op 9 januari, 05:41 uur op 10 januari en 06:21 uur op 11 januari. Deze schattingen kun je met behulp van de methoden die eerder beschreven werden verbeteren.

Als het tijdsverschil \( t_2 - t_1 \) zo groot is dat je bang bent dat een lineare benadering te veel van het echte uurhoekverloop afwijkt (als het tijdsverschil tenminste zo groot als \( ∆t \) uit tabel 3), dan kun je de lineare benadering om de eerste doorgang in de gewenste periode te vinden (voor \( k = 1 \), dus \( t = c + d = \frac{360° - b}{a} \)), en daarna steeds eerst met behulp van de huidige benadering de echte tijd van de doorgang uitrekenen, en dan daar \( c \) bijtellen om de eerste benadering voor de volgende doorgang te vinden, enzovoorts.

7. Afleiding: van azimut naar uurhoek

7.1. Inleiding

Gegeven de equatoriale coördinaten van een hemellichaam en de geografische coördinaten van de waarnemer, wat is de uurhoek \( H \) waarop dat hemellichaam azimut \( A \) bereikt? Formule \ref{eq:H} kunnen we daarvoor niet gebruiken, want die vereist dat we de hoogte \( h \) van het hemellichaam boven de horizon al weten. Formule \ref{eq:A} bevat alleen zaken die we al wel kennen, dus dat is een betere basis. Die formule was

\begin{equation} A = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ - \tan δ \cos φ) \label{eq:A1} \end{equation}

wat betekent dat \( \sin A \) en \( \sin H \) hetzelfde teken hebben, dus \( \sin(A)\sin(H) ≥ 0 \). Uit vergelijking \ref{eq:A1} volgt

\begin{equation} \tan A = \frac{\sin H}{\cos H \sin φ - \tan δ \cos φ} \label{eq:A2} \end{equation}

We kunnen vergelijking \ref{eq:A2} herschikken tot

\begin{equation} \sin H - \tan A \sin φ \cos H = - \tan A \tan δ \cos φ \label{eq:AtoHprobleem}\end{equation}

7.2. Algemene lineare combinatie van sin en cos

De laatste vergelijking heeft de vorm

\begin{equation} s \sin x + c \cos x = a \end{equation}

waarvan we dan oplossingen voor \( x \) willen weten, gegeven \( s \), \( c \) en \( a \). We substitueren

\begin{align} t & = \tan\left( \frac{1}{2}x \right) \\ \cos x & = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \sin x & = \frac{2t}{1 + t^2} \end{align}

Dan krijgen we

\begin{equation} \frac{2st}{1 + t^2} + \frac{c(1 - t^2)}{1 + t^2} = a \end{equation}

dat te herschikken is tot

\begin{equation} (a + c)t^2 - 2 s t + a - c = 0 \end{equation}

Deze tweedegraadsvergelijking in \( t \) heeft oplossingen

\begin{equation} t = \frac{s ± \sqrt{D}}{a + c} \end{equation}

als \( D ≥ 0 \):

\begin{equation} D = s^2 + c^2 - a^2 \end{equation}

en dan

\begin{equation} x = 2 \arctan t \end{equation}

Echter, \( t = \arctan\left( \frac{1}{2}x \right) \) kan oneindig groot worden, wat wel eens vervelend is. \( \sin(x) \) en \( \cos(x) \) zijn nooit groter dan 1, en daaruit kunnen we \( x \) vinden met behulp van de speciale arctan-functie met twee argumenten.

\begin{align} x & = \arctan(\sin x, \cos x) \\ & = \arctan\left( \frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) \end{align}

Omdat \( 1 + t^2 \) altijd positief is mogen we de twee argumenten van de arctan-functie daarmee vermenigvuldigen en verandert de uitkomst dan niet.

\begin{align} x & = \arctan(2t, 1 - t^2) \\ & = \arctan\left( 2\frac{s ± \sqrt{D}}{a + c}, 1 - \left( \frac{s ± \sqrt{D}}{a + c} \right)^2 \right) \\ & = \arctan\left( 2\frac{s ± \sqrt{D}}{a + c}, \frac{(a + c)^2 - \left( s ± \sqrt{D} \right)^2}{(a + c)^2} \right) \end{align}

Nu kan het delen door \( a + c \) nog een probleem zijn, want dat kan gelijk zijn aan 0 en dan krijgen we oneindige resultaten, of zelfs 0/0 wat geen uitkomst heeft. \( (a + c)^2 \) is nooit negatief, dus kunnen we daar weer allebei de argumenten van de arctan-functie mee vermenigvuldigen en veranderen we daarmee de uitkomst niet.

\begin{equation} x = \arctan\left( 2(a + c)\left( s ± \sqrt{D} \right), (a + c)^2 - \left( s ± \sqrt{D} \right)^2 \right) \end{equation}

Nu hebben we geen last meer van oneindige getallen, behalve als \( s \), \( c \) of \( a \) zelf oneindig kunnen worden.

Bijvoorbeeld, stel we zoeken oplossingen \( x \) voor

\[ \sin x + 3 \cos x = 2 \]

Dan \( s = 1 \), \( c = 3 \), en \( a = 2 \), en dan

\begin{align*} D & = 1^2 + 3^2 - 2^2 = 6 \\ t & = \frac{1 ± \sqrt{6}}{5} \\ x & = 2 \arctan t \end{align*}

Dus \( t ≈ −0,289898 \) of \( t ≈ 0,689898 \), waaruit volgt \( x ≈ 1,207828 \text{ rad} = 69,20343° \) of \( x ≈ 5,718859 \text{ rad} = 327,6665° \).

Deze waarden van \( x \) voldoen inderdaad aan de gegeven vergelijking.

Met de oneindig-ontwijkende versie vinden we

\begin{align*} x & = \arctan\left( 2×(2 + 3)×(1 ± \sqrt{6}), (2 + 3)^2 - (1 ± \sqrt{6})^2 \right) \\ & = \arctan( 10 ± 10\sqrt{6}, 18 ∓ 2\sqrt{6} ) \end{align*}

dus

\[ x = \arctan( 10 + 10\sqrt{6}, 18 - 2\sqrt{6} ) ≈ 1,207828 \text{ rad} = 69,20343° \]

of

\[ x = \arctan( 10 - 10\sqrt{6}, 18 + 2\sqrt{6} ) ≈ 5,718859 \text{ rad} = 327,6665° \]

net als voorheen.

7.3. Toepassing op het probleem

Nu kunnen we vergelijking \ref{eq:AtoHprobleem} oplossen.

\begin{align} x & = H \\ s & = 1 \\ c & = -\tan A \sin φ = -\frac{\sin A \sin φ}{\cos A} \\ a & = -\tan A \cos φ \tan δ = -\frac{\sin A \cos φ \sin δ}{\cos A \cos δ} \end{align}

De delingen door \( \cos A \) en \( \cos δ \) zijn ongewenst, want die kunnen gelijk zijn aan 0 en dat geeft problemen. Als we \( s \), \( c \) en \( a \) allemaal met dezelfde factor (niet gelijk aan 0) vermenigvuldigen dan blijven de oplossingen \( x \) hetzelfde. Als we ze alledrie vermenigvuldingen met \( \cos A \cos δ \) dan zijn we de delingen kwijt. Dan

\begin{align} x & = H \\ s & = \cos A \cos δ \\ c & = -\sin A \cos δ \sin φ \\ a & = -\sin A \sin δ \cos φ \end{align}

en dan

\begin{align} D & = s^2 + c^2 - a^2 = \cos^2(δ) - \sin^2(A)\cos^2(φ) \label{eq:D1} \\ p & = a + c \\ q_1 & = s + \sqrt{D} \\ q_2 & = s - \sqrt{D} \\ f_1 & = 2pq_1 \\ g_1 & = p^2 - q_1^2 \\ f_2 & = 2pq_2 \\ g_2 & = p^2 - q_2^2 \\ H_1 & = \arctan( f_1, g_1 ) \\ H_2 & = \arctan( f_2, g_2 ) \end{align}

Als \( D \gt 0 \) dan vinden we twee oplossingen voor \( H \). Voldoen die ook alletwee aan vergelijking \ref{eq:A1}? Eén manier om daar achter te komen is door ze alletwee in formule \ref{eq:A1} in te vullen en te kijken of er dan een ware bewering staat. Maar we kunnen ook al eerder oplossingen uitsluiten. Het teken van \( \sin H \) moet gelijk zijn aan het teken van \( \sin A \), dus als \( f \sin A \lt 0 \) dan is die \( H \) niet juist.

Laten we alle gevallen aflopen.

Als \( |δ| = 90° \), en \( |φ| = 90° \) of \( \sin A = 0 \), dan is \( s = c = a = 0 \) dus \( D = f = g = 0 \) en dan is \( H \) niet uit te rekenen ― maar dat is terecht want dan staat het hemellichaam altijd op dezelfde plek aan de hemel (in het zenit of het nadir) en niet alleen voor een bepaalde \( H \).

Als \( |φ| \lt |δ| = 90° \) en \( \sin A ≠ 0 \) dan is \( s = c = 0 \) en \( a ≠ 0 \) dus \( D \lt 0 \) dus dan is er geen oplossing. Dat klopt, want als \( |δ| = 90° \) dan staat het hemellichaam in een hemelpool en die heeft altijd \( \sin A = 0 \).

Als \( |φ| ≤ |δ| \lt 90° \), dan draait het hemellichaam rondjes rond de dichtsbijzijnde hemelpool en dan kan het niet bij elke \( A \) staan, maar komt in azimut niet verder dan een bepaalde afstand \( A_x ≤ 90° \) weg van die hemelpool, met

\begin{equation} A_x = \arcsin\left( \frac{\cos^2 δ}{\cos^2 φ} \right) \end{equation}

Voor \( A \) op minder dan \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool geldt \( D \gt 0 \) en dan zijn er twee \( H \) die ook allebei juist zijn. Voor \( A \) op precies \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool geldt \( D = 0 \) en dan is er één \( H \), die dan ook juist is. Voor \( A \) op meer dan \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool is \( D \lt 0 \) en dan zijn er geen oplossingen.

Als \( |δ| \lt |φ| \lt 90° \), dan draait het hemellichaam (schuin en misschien ruim) om het zenit en het nadir heen en kan \( A \) elke waarde aannemen. In dat geval is altijd \( D \gt 0 \) dus zijn er twee oplossingen, en is ook \( f_1f_2 \lt 0 \) dus heeft maar één van die twee oplossingen hetzelfde teken als \( \sin(A) \) en is daarmee juist, namelijk die waarvoor \( f\sin(A) \gt 0 \), als \( \sin(A) ≠ 0 \).

\( \sin(A) = 0 \) is een speciaal geval: Als \( \sin A = 0 \) (als het hemellichaam precies in het noorden of precies in het zuiden staat) en \( |δ| \lt 90° \), dan is \( c = a = 0 \), en \( s = \cos(δ) \) (als \( A = 0° \)) of \( s = -\cos(δ) \) (als \( A = 180° \)), dus \( D \gt 0 \) en \( f = 0 \), en \( g = 0 \) of \( g = −2\cos^2(δ) \lt 0 \). \( f = g = 0 \) geeft geen oplossing, dus dan blijft \( g \lt f = 0 \) over, dus \( H = \arctan(0,−1) = 180° \).

Samenvattend, als \( D \lt 0 \) of \( f = g = 0 \) dan is er geen oplossing. Als \( D = 0 \) en niet \( f = g = 0 \) dan is er één oplossing en die is juist. Als \( D \gt 0 \) dan zijn er twee oplossingen en alleen die waarvoor \( f\sin(A) \gt 0 \) of niet \( f = g = 0 \) is juist.

Even controleren. Stel, \( A = 133° \), \( φ = −64° \) en \( δ = 17° \). Dan is volgens formules \ref{eq:D1}ff:

\begin{align*} s & = \cos(133°)\cos(17°) \\ & = −0,6819984×0,9563048 = −0,6521983 \\ c & = -\sin(133°)\cos(17°)\sin(−64°) \\ & = −0,7313537×0,9563048×−0,898794 = 0,6286139 \\ a & = -\sin(133°)\sin(17°)\cos(−64°) \\ & = −0,7313537×0,2923717×0,4383711 = −0,09373564 \\ D & = (−0,6521983)^2 + 0,6286139^2 - (−0,09373564)^2 = 0,8117316 \\ p & = −0,09373564 + 0,6286139 = 0,5348782 \\ q_1 & = −0,6521983 + \sqrt{0,8117316} = 0,2487632 \\ q_2 & = −0,6521983 - \sqrt{0,8117316} = −1,5531598 \\ f_1 & = 2×0,5348782×0,2487632 = 0,2661161 \\ g_1 & = (−0,09373564)^2 - 0,2487632^2 = 0,2242116 \\ f_2 & = 2×0,5348782×−1,5531598 = −1,661503 \\ g_2 & = (−0,09373564)^2 - (−1,5531598)^2 = −2,126211 \\ H_1 & = \arctan(0,2661161, 0,2242116) = 49,88475° \\ H_2 & = \arctan(−1,661503, −2,126211) = −141,9946° \end{align*}

Zijn beide oplossingen correct? \( \sin(A) \gt 0 \) dus alleen oplossingen met \( f \gt 0 \) kunnen correct zijn. Dat betekent dat de oplossing \( H = −141,9946° \) fout is, en alleen \( H = 49,88475° \) goed kan zijn. Laten we ze ter controle allebei invullen in vergelijking \ref{eq:A1}:

\begin{align*} A_1 & = \arctan(\sin(−141,9946°), \cos(−141,9946°)\sin(−64°) - \tan(17°)\cos(−64°)) \\ & = \arctan(−0,6157363, −0,7879523×−0,898794 - 0,3057307×0,4383711) \\ & = \arctan(−0,6157363, 0,5741833) = −47° \\ A_2 & = \arctan(\sin(49,88475°), \cos(49,88475°)\sin(−64°) - \tan(17°)\cos(−64°)) \\ & = \arctan(0,7647500, 0,6443271×−0,898794 - 0,3057307×0,4383711) \\ & = \arctan(0,7647500, −0,7131409) = 133° \end{align*}

Inderdaad levert \( H = −141,9946° \) de verkeerde \( A \) op, en \( H = 49,88475° \) levert de goede \( A \) op.



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/horizontaal.html;
Laatst vernieuwd: 2016-02-07