AstronomieAntwoorden
Het Juliaanse Dagnummer

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

\( \DeclareMathOperator{\trunc}{trunc} \DeclareMathOperator{\Div}{div} \DeclareMathOperator{\gcd}{gcd} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\bdom}{dom} \def\dfloor#1{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \def\dceil#1{\left\lceil #1 \right\rceil} \def\dparen#1{\left( #1 \right)} \def\dmod#1#2{\left\lfloor #1 \right\rceil_{#2}} \def\ddom#1#2{\left\lceil #1 \right\rfloor_{#2}} \def\dabs#1{\left| #1 \right|} \def\dfloorratio#1#2{\dfloor{\dfrac{#1}{#2}}} \def\dceilratio#1#2{\dceil{\dfrac{#1}{#2}}} \def\mod1ratio#1#2{\left\lfloor \dfrac{#1}{#2} \right\rceil_1} \def\dom1ratio#1#2{\left\lceil \dfrac{#1}{#2} \right\rfloor_1} \def\eqvide#1{\qquad\text{(vide \eqref{#1})}} \def\eqavide#1{\|\text{(vide \eqref{#1})}} \)

Het eerste deel van deze bladzijde geeft rekenrecepten voor een paar moderne en historische kalenders. Het tweede deel (vanaf hoofdstuk 12) legt uit hoe ik die recepten afleidde.

Er zijn veel verschillende algoritmen in omloop voor het omrekenen tussen kalenderdata en dagnummers. Het enige dat telt is dat ze voor alle dagnummers en kalenderdata de goede uitkomsten moeten geven. Als er slechts een beperkt aantal invoerwaarden en mogelijke uitkomsten zijn (bijvoorbeeld voor het omrekenen van het dagnummer-in-het-jaar naar een maandnummer en een dagnummer-in-de-maand) dan kun je meestal veel verschillende algoritmen bedenken die allemaal voor die bepaalde invoerwaarden precies de juiste uitkomsten geven (maar misschien heel verschillende uitkomsten voor alle andere invoerwaarden), zelfs al is er helemaal geen logisch verband tussen dat algoritme en de kalender. In zo'n geval is er vaak ook weinig of geen logisch verband tussen het algoritme van dagnummer naar datum en het algoritme van datum naar dagnummer, maar kunnen de algoritmen wel wat korter zijn.

Bij elk algoritme moet je weten voor welke invoerwaarden het ontworpen was. Sommige kalenderalgoritmen werken alleen goed met positieve getallen en geven foute resultaten voor negatieve jaren of dagnummers. De algoritmen die ik hieronder geef zijn ontworpen om voor alle jaren (ook negatieve), alle maanden in elk jaar, alle dagen in elke maand, en alle Juliaanse dagnummers (ook negatieve) goed te werken.

Sommige van de formules drukken een keuze uit: Als aan een bepaalde voorwaarde voldaan is dan moet een bepaalde handeling gedaan worden (bijvoorbeeld ergens een correctie op toepassen), en als aan die voorwaarde niet voldaan is dan moet een andere of helemaal geen handeling gedaan worden. Zulke alternatieve paden zijn prima te gebruiken in handmatige berekeningen, in applicaties die één datum per keer behandelen, en in applicaties die geschreven zijn in een programmeertaal die gecompileerd moet worden voordat het programma uitgevoerd kan worden (bijvoorbeeld geschreven in C of Fortran) maar zijn niet zo handig voor gebruik in applicaties die meerdere datums tegelijk kunnen behandelen (in een rij) en die geschreven zijn in een programmeertaal die direct uitgevoerd wordt (zoals Basic of Perl of IDL), waarvoor het uitvoeren van een als-danopdracht per datum veel trager is dan het uitvoeren van steeds dezelfde vaste berekening per datum voor een rij van datums.

Als de kalenderberekeningen die hieronder staan zulke keuzes bevatten, dan geef ik waar mogelijk een formule die als-danopdrachten omzeilt en daarmee geschikt is voor toepassing op rijen van datums in directe-uitvoerprogrammeertalen. De begeleidende tekst maakt dan duidelijk wat de keuze was waar de formule omheenwerkt.

1. Verschillende soorten dagnummers

Voor sterrenkundige berekeningen die van de tijd afhangen is het handig om een doorlopende tijdschaal te hebben die maar één eenheid gebruikt, en niet drie zoals de meeste kalenders (dagen, maanden, jaren), en die bovendien een vaste tijdzone gebruiken zodat er geen verwarring kan zijn over welk moment nu precies bedoeld wordt.

De IAU heeft hiervoor de Juliaanse Datum (JD) geadopteerd, niet te verwarren met "een datum in de Juliaanse kalender". Er zijn verschillende andere tijdschalen die lijken op JD. De volgende tabel noemt er een aantal.

"Heel" betekent dat die tijdschaal alleen hele getallen gebruikt en alleen hele dagen telt. "Fractioneel" betekent dat die tijdschaal ook gebroken getallen gebruikt (met cijfers achter de komma) en tijdstippen aangeeft. De "Begint"-kolom laat zien hoe laat elke volgende kalenderdag begint. 12:00 UTC betekent dat een nieuwe kalenderdag begint op 12:00 universele tijd, dus niet om 12:00 uur lokale tijd ― behalve als je toevallig in een tijdzone bent die UTC aanhoudt. Groot-Brittannië houdt in de winter UTC aan. 00:00 LT betekent dat een nieuwe kalenderdag begint om middernacht lokale tijd. De "Vanaf JD"-kolom toont hoe de andere getallen te berekenen zijn uit JD. Daarin staat "TZ" voor een aanpassing voor de lokale tijdzone; die aanpassing is 0 voor UTC.

In de praktijk worden "fractionele" JDs en CJDs meestal met tenminste één cijfer achter de komma geschreven (zelfs als dat een 0 is), en "hele" JDNs en CJDNs zonder cijfers achter de komma.

Het nulpunt van JD (dus JD 0.0) komt overeen met 12:00 UTC op 1 januari −4712 in de Juliaanse kalender. Het nulpunt van CJD komt overeen met 00:00 lokale tijd op 1 januari −4712. JDN 0 komt overeen met de periode van 12:00 UTC op 1 januari −4712 tot 12:00 UTC op 2 januari −4712. CJDN 0 komt overeen met 1 januari −4712 (de hele dag, in lokale tijd).

Om afrondfouten te voorkomen zijn kalenderberekeningen het beste te doen met alleen hele getallen. Hieronder gebruiken we daarvoor CJDN.

2. Notatie

2.1. Afronding

In de formules die hieronder staan worden veel getallen afgerond naar een heel getal. Het is hierbij belangrijk dat die getallen in de juiste richting worden afgerond. Hele getallen zijn al afgerond, dus die veranderen niet.

De afrondigen die wij hier gebruiken zijn afronding naar beneden naar het dichtsbijzijnde hele getal (voor \(x \) aangegeven als \( ⌊x⌋ \)) of naar boven naar het dichtstbijzijnde hele getal (\( ⌈x⌉ \)). De standaard-afrondfuncties op rekenmachines ronden meestal af naar het dichtstbijzijnde hele getal (dat noteren wij hier als \( [x] \)), en de standaardconversies van een gebroken getal naar een heel getal in computertalen ronden meestal af in de richting van nul (dat noteren wij als \( \trunc(x) \)). Die soorten afronding moeten we hier niet hebben! De onderstaande tabel toont deze drie verschillende soorten afronding voor een aantal getallen.

2.2. Modulair rekenen

Als je het hele getal \( y \) deelt door het hele getal \( x \) dan krijg je een quotiënt \( q \) en een rest \( r \). Soms hebben we interesse voor het quotiënt, en soms voor de rest. Wij kiezen ervoor dat de rest nooit negatief is. Dan is \( 0 ≤ r \lt |x| \) en

\begin{align} q \| = \dfloorratio{y}{x} \\ r \| = y \bmod x = y − x\dfloorratio{y}{x} \\ y \| = qx + r \end{align}

De notatie \( y \bmod x \) betekent: de niet-negatieve rest die overblijft bij deling van \( y \) door \( x \).

We vinden

\begin{equation} \frac{y}{x} = \dfloorratio{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \bmod 1 \right) = \dfloorratio{y}{x} + \frac{y \bmod x}{x} \end{equation}

en als \( x = 1 \) dan

\begin{equation} y = ⌊y⌋ + (y \bmod 1) \end{equation}

De notatie \( x ≡ y \pmod{n} \) betekent dat \( x \) en \( y \) een veelvoud van \( n \) verschillen. Men zegt dan dat \( x \) en \( y \) congruent zijn modulo \( n \), en noemt \( n \) de modulus. De vergelijking \( x ≡ y \pmod{n} \) heet een congruentie.

Modulair rekenen is rekenen waarbij alle berekeningen modulo een vaste \( n \) zijn. Dat betekent dat je van alle termen en factoren willekeurige veelvouden van de modulus mag aftrekken zonder de congruentie te veranderen. Als \( x ≡ y \pmod{n} \) en \( p \) is een heel getal, dan is ook \( x + pn ≡ y \pmod{n} \), en \( px ≡ py \pmod{n} \), en ook \( px ≡ py \pmod{pn} \).

Let op het verschil in notatie: \( z = x \bmod y \) betekent dat \( z \) gelijk is aan de rest bij deling van \( x \) door \( y \), en \( z ≡ x \pmod{y} \) betekent dat \( z \) gelijk is aan \( x \) afgezien van een willekeurig veelvoud van \( y \). Als \( z = x \bmod y \) dan is ook \( z ≡ x \pmod{y} \), maar andersom hoeft dat niet zo te zijn.

3. De Gregoriaanse kalender

Zie hoofdstuk 13.2.1 voor de afleiding van dit algoritme.

3.1. Van Gregoriaanse datum naar CJDN

Eén algoritme om van een Gregoriaanse datum (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar CJDN \( J \) is:

\begin{align} c_0 \| = \dfloorratio{m − 3}{12} \\ x_4 \| = j + c_0 \\ \{x_3, x_2\} \| = \Div(x_4, 100) \\ x_1 \| = m − 12c_0 − 3 \\ J \| = \dfloorratio{146097x_3}{4} + \dfloorratio{36525x_2}{100} + \dfloorratio{153x_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

Hierin is \( J_1 \) het aantal dagen vanaf het begin van rekenjaar 0 tot het begin van de huidige 100-rekenjaarsperiode, \( J_2 \) het aantal dagen sinds het begin van de huidige 100-rekenjaarsperiode, en \( J_3 \) het aantal dagen vanaf het begin van het huidige rekenjaar tot het begin van de huidige maand. Het rekenjaar loopt van 1 maart tot 1 maart.

3.2. Van CJDN naar Gregoriaanse datum

Het algoritme om van een CJDN \( J \) om te rekenen naar een Gregoriaanse datum (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) is:

\begin{align} \{x_3, r_3\} \| = \Div(4×J − 6884477, 146097) \\ \{x_2, r_2\} \| = \Div\left( 100\dfloorratio{r_3}{4} + 99, 36525 \right) \\ \{x_1, r_1\} \| = \Div\left( 5\dfloorratio{r_2}{100} + 2, 153 \right) \\ d \| = \dfloorratio{r_1}{5} + 1 \\ c_0 \| = \dfloorratio{x_1 + 2}{12} \\ j \| = 100x_3 + x_2 + c_0 \\ m \| = x_1 − 12c_0 + 3 \end{align}

Hierin is \( x_3 \) het aantal rekeneeuwen sinds het begin van rekenjaar 0, \( x_2 \) het aantal rekenjaren sinds het begin van de huidige rekeneeuw, en \( x_1 \) het aantal rekenmaanden sinds het begin van het huidige rekenjaar.

4. De Milanković-kalender

Zie hoofdstuk 13.3 voor de afleiding van dit algoritme.

4.1. Van Milanković-datum naar CJDN

Sommige Oosters-Orthodoxe kerken gebruiken een kalender uitgevonden door Milutin Milanković, die alleen afwijkt van de Gregoriaanse kalender in de schrikkelregels voor eeuwjaren. Een algoritme om van een datum in de Milanković-kalender (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{align} c_0 \| = \dfloorratio{m − 3}{12} \\ x_4 \| = j + c_0 \\ x_3 \| = \dfloorratio{x_4}{100} \\ x_2 \| = x_4 \bmod 100 \\ x_1 \| = m − 12c_0 − 3 \\ J \| = \dfloorratio{328718x_3 + 6}{9} + \dfloorratio{36525x_2}{100} + \dfloorratio{153x_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

4.2. Van CJDN naar Milanković-datum

Een algoritme om CJDN \( J \) om te rekenen naar jaar \( j \), maand \( m \), dag \( d \) in de Milanković-kalender is:

\begin{align} k_3 \| = 9×(J − 1721120) + 2 \\ x_3 \| = \dfloorratio{k_3}{328718} \\ k_2 \| = 100\dfloorratio{k_3 \bmod 328718}{9} + 99 \\ x_2 \| = \dfloorratio{k_2}{36525} \\ x_1 \| = \dfloorratio{5\dfloorratio{k_2 \bmod 36525}{100} + 2}{153} \\ c_0 \| = \dfloorratio{x_1 + 2}{12} \\ j \| = 100x_3 + x_2 + c_0 \\ m \| = x_1 − 12c_0 + 3 \\ d \| = \dfloorratio{k_1 \bmod 153}{5} + 1 \end{align}

5. De Juliaanse kalender

Zie hoofdstuk 13.1.1 voor de afleiding van dit algoritme.

5.1. Van Juliaanse datum naar CJDN

Het algoritme om van een Juliaanse datum (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{align} J_0 \| = 1721117 \\ c_0 \| = \dfloorratio{m − 3}{12} \\ J_1 \| = \dfloorratio{1461×(j + c_0)}{4} \\ J_2 \| = \dfloorratio{153m − 1836c_0 − 457}{5} \\ J \| = J_1 + J_2 + d + J_0 \end{align}

Hier is \( J_1 \) het aantal dagen tussen het begin van rekenjaar 0 en het begin van het huidige rekenjaar, en \( J_2 \) het aantal dagen tussen het begin van het huidige rekenjaar en het begin van de huidige maand.

5.2. Van CJDN naar Juliaanse datum

Het algoritme om een CJDN \( J \) om te rekenen naar een Juliaanse datum (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) is:

\begin{align} y_2 \| = J − 1721118 \\ k_2 \| = 4y_2 + 3 \\ k_1 \| = 5\dfloorratio{k_2 \bmod 1461}{4} + 2 \\ x_1 \| = \dfloorratio{k_1}{153} \\ c_0 \| = \dfloorratio{x_1 + 2}{12} \\ j \| = \dfloorratio{k_2}{1461} + c_0 \\ m \| = x_1 − 12c_0 + 3 \\ d \| = \dfloorratio{k_1 \bmod 153}{5} + 1 \end{align}

6. De Islamitische kalender

Zie hoofdstuk 13.8 voor de afleiding van dit algoritme.

6.1. Van Islamitische datum naar CJDN

De religieuze Islamitische kalender hangt af van waarnemingen en is daarom niet te vangen in formules. De administratieve kalender heeft vaste regels en is wel te beschrijven door formules. Het verschil tussen de religieuze en administratieve kalenders zou meestal hooguit 1 dag moeten zijn.

Het CJDN kan als volgt uit het jaarnummer \( j \), maandnummer \( m \), en dagnummer \( d \) in de meestgebruikte administratieve Islamitische kalender worden afgeleid (onder meer gebruikt door al-Fazārī, al-Khwārizmī en al-Battānī en ook in de Toledo- en Alfonsijnse Tafels):

\begin{equation} J = \dfloorratio{10631j − 10617}{30} + \dfloorratio{325m − 320}{11} + d + 1948439 \end{equation}

6.2. Van CJDN naar Islamitische datum

De volgende formules berekenen het jaartal \( j \), maandnummer \( m \), en dagnummer \( d \) in de meestgebruikte administratieve Islamitische kalender uit het CJDN \( J \):

\begin{align} k_2 \| = 30×(J − 1948440) + 15 \\ k_1 \| = 11\dfloorratio{k_2 \bmod 10631}{30} + 5 \\ j \| = \dfloorratio{k_2}{10631} + 1 \\ m \| = \dfloorratio{k_1}{325} + 1 \\ d \| = \dfloorratio{k_1 \bmod 325}{11} + 1 \end{align}

7. De Babylonische kalender

Zie hoofdstuk 13.5 voor de afleiding van dit algoritme.

7.1. Van Babylonische datum naar CJDN

De Babyloniërs hadden een zongebonden maankalender waarin de lengte van de maand bepaald werd uit waarnemingen, maar het aantal maanden per jaar elke 19 jaar een vast patroon volgde. Onderstaande formules voor een administratieve Babylonische kalender gebruiken datzelfde patroon van 19 jaar, en zouden meestal hooguit een dag moeten afwijken van de door waarnemingen bepaalde kalender die de Babyloniërs gebruikten.

Als \( j \) het jaartal is volgens de era van Seleukos, en \( m \) het maandnummer (beginnend bij 1) in het jaar, en \( d \) het dagnummer (beginnend bij 1) in de maand, dan vind je het CJDN \( J \) uit

\begin{align} y_1 \| = \dfloorratio{235j − 241}{19} + m \\ J \| = \dfloorratio{6940y_1}{235} + d + 1607557 \end{align}

7.2. Van CJDN naar Babylonische datum

Van CJDN \( J \) gaan we als volgt naar Babylonische jaar \( j \), maand \( m \), en dag \( d \):

\begin{align} k_2 \| = 235×(J − 1607558) + 234 \\ k_1 \| = 19\dfloorratio{k_2}{6940} + 5 \\ j \| = \dfloorratio{k_1}{235} + 1 \\ m \| = \dfloorratio{k_1 \bmod 235}{19} + 1 \\ d \| = \dfloorratio{k_2 \bmod 6940}{235} + 1 \end{align}

8. De Joodse kalender

Zie hoofdstuk 13.6 voor de afleiding van dit algoritme.

8.1. Van Joodse datum naar CJDN

De Joodse kalender is een zongebonden maankalender met ingewikkelde regels, en de kalender herhaalt zich pas na 251.827.457 dagen = 35.975.351 weken = 8.527.680 maanden = 689.472 jaren. Het algoritme om van een Joodse datum om te rekenen naar CJDN is daarom lang, en er komen hele grote tussenresultaten in voor. Het algoritme dat ik hieronder geef voor de Joodse kalender gebruikt alleen hele getallen (om afrondfouten te voorkomen), en gaat er vanuit dat alle invoerwaarden, tussenresultaten en uitkomsten niet groter mogen worden dan 2³¹ = 2.147.483.648.

In de Joodse kalender heeft een jaar 12 of 13 maanden en een maand heeft 29 of 30 dagen. Nieuwjaar is de eerste dag van de 7e maand, tisjrie. In een jaar van 12 maanden zijn de maanden: 1 = niesan (נִיסָן‎), 2 = ijar (אִיָּר / אייר‎), 3 = siewan (סִיוָן / סיוון‎), 4 = tammoez (תַּמּוּז‎), 5 = aaw (אָב‎), 6 = elloel (אֱלוּל‎), 7 = tisjrie (תִּשׁרִי‎), 8 = chesjwan (מַרְחֶשְׁוָן / מרחשוון‎), 9 = kisleew (כִּסְלֵו / כסליו‎), 10 = teweet (טֵבֵת‎), 11 = sjewat (שְׁבָט‎), 12 = adar (אֲדָר‎). In een jaar van 13 maanden wordt een embolistische maand adar Ⅰ (‎אֲדָר א׳) ingevoegd tussen sjewat en gewone adar, en die gewone adar wordt dan tijdelijk hernoemd tot adar Ⅱ (אֲדָר ב׳‎). In zo'n jaar rekenen we de embolistische maand adar Ⅰ als maand nummer 12, en adar Ⅱ als maand nummer 13.

Een algoritme om om te rekenen van kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \) (van 1 tot 12 of 13) en kalenderdag \( d \) (van 1 tot 29 of 30) naar CJDN is als volgt:

\begin{align} c_0 \| = \dfloorratio{13 − m}{7} \\ x_1 \| = j − 1 + c_0 \\ x_3 \| = m − 1 \\ z_4 \| = d − 1 \\ c_1(x_1) \| = \dfloorratio{235x_1 + 1}{19} \\ q(x_1) \| = \dfloorratio{c_1(x_1)}{1095} \\ r(x_1) \| = c_1(x_1) \bmod 1095 \\ υ_1(x_1) \| = 32336q(x_1) + \dfloorratio{15q(x_1) + 765433r(x_1) + 12084}{25920} \\ υ_2(x_1) \| = υ_1(x_1) + \left(\dfloorratio{6×(υ_1(x_1) \bmod 7)}{7} \bmod 2\right) \end{align}

Bereken op dezelfde wijze ook \( υ_2(x_1 + 1) \). Dan

\begin{align} L_2(x_1) \| = υ_2(x_1 + 1) − υ_2(x_1) \\ L_2(x_1 − 1) \| = υ_2(x_1) − υ_2(x_1 − 1) \\ v_3 \| = 2\left(\dfloorratio{L_2(x_1) + 19}{15} \bmod 2\right) \\ v_4 \| = \dfloorratio{L_2(x_1 − 1) + 7}{15} \bmod 2 \\ c_2(x_1) \| = υ_2 + v_3 + v_4 \end{align}

Bereken op dezelfde wijze ook \( c_2(x_1 + 1) \) (wat betekent dat je eerst ook \( υ_2(x_1 + 2) \) moet uitrekenen). Dan

\begin{align} L \| = c_2(x_1 + 1) − c_2(x_1) \\ c_8 \| = \dfloorratio{L + 7}{2} \bmod 15 \\ c_9 \| = −\left( \dfloorratio{385 − L}{2} \bmod 15 \right) \\ c_3 \| = \dfloorratio{384x_3 + 7}{13} + c_8\dfloorratio{x_3 + 4}{12} + c_9\dfloorratio{x_3 + 3}{12} \\ c_4(x_1,x_3) \| = c_2(x_1) + c_3(x_3) \\ J \| = J_0 − 177 + c_4(x_1,x_3) + z_4 = 347821 + c_2(x_1) + c_3 + z_4 \end{align}

8.2. Van CJDN naar Joodse datum

Van CJDN \( J \) gaan we als volgt naar Joods jaar \( j \), maand \( m \) en dag \( d \):

\begin{align} y_4 \| = J − 347821 \\ q \| = \dfloorratio{y_4}{1447} \\ r \| = y_4 \bmod 1447 \\ y_1' \| = 49q + \dfloorratio{23q + 25920r + 13835}{765433} \\ γ_1 \| = y_1' + 1 \\ ξ_1 \| = \dfloorratio{19γ_1 + 17}{235} \\ μ_1 \| = γ_1 − \dfloorratio{235ξ_1 + 1}{19} \end{align}

Bereken \( c_{41}' = c_4(ξ_1, μ_1) \) op de manier beschreven in het vorige hoofdstuk. Dan

\begin{align} ζ_1 \| = y_4 − c_{41}' \\ γ_2 \| = γ_1 + \dfloorratio{ζ_1}{33} \\ ξ_2 \| = \dfloorratio{19γ_2 + 17}{235} \\ μ_2 \| = γ_2 − \dfloorratio{235ξ_2 + 1}{19} \end{align}

Bereken \( c_{42}' = c_4(ξ_2, μ_2) \) op de manier beschreven in het vorige hoofdstuk. Dan

\begin{align} ζ_2 \| = y_4 − c_{42}' \\ γ_3 \| = γ_2 + \dfloorratio{ζ_1}{33} \\ x_1 \| = ξ_3 = \dfloorratio{19γ_3 + 17}{235} \\ x_3 \| = μ_3 = γ_3 − \dfloorratio{235ξ_3 + 1}{19} \end{align}

Bereken \( c_{43}' = c_4(ξ_3, μ_3) \) op de manier beschreven in het vorige hoofdstuk. Dan

\begin{align} z_4 \| = ζ_3 = y_1 − c_{43}' \\ c \| = \dfloorratio{12 − x_3}{7} \\ j \| = x_1 + 1 − c \\ m \| = x_3 + 1 \\ d \| = z_4 + 1 \end{align}

9. De Egyptische Kalender

De oude Egyptenaren hadden een wel heel simpele kalender, zonder schrikkeljaren en met 30 dagen in elke maand behalve dat de laatste maand 5 dagen had. In de kalender volgens de era van Nabonassar was de eerste dag (1 Thoth van jaar 1) gelijk aan 26 februari −746 in de Juliaanse kalender.

9.1. Van Egyptische datum naar CJDN

Het algoritme om van een Egyptische datum (kalenderjaar \( j \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{equation} J = 365 j + 30 m + d + 1448242 \end{equation}

9.2. Van CJDN naar Egyptische datum

In omgekeerde richting zijn de berekeningen ook eenvoudig.

\begin{align} y_2 \| = J − 1448638 \\ x_2 \| = \dfloorratio{y_2}{365} \\ y_1 \| = y_2 \bmod 365 \\ j \| = x_2 + 1 \\ m \| = \dfloorratio{y_1}{30} + 1 \\ d \| = y_1 − 30m + 31 = (y_1 \bmod 30) + 1 \end{align}

10. De Mayakalender

10.1. Van Mayakalender naar CJDN

De Maya uit Anahuac (Midden-Amerika) gebruikten drie verschillende kalenders, waarvan er twee (de Tzolkin en de Haab) periodiek waren met vrij korte perioden, en de derde (de Lange Telling) misschien ook wel als periodiek bedoeld was maar die zulke lange perioden heeft dat hij in de praktijk als doorlopend (in plaats van periodiek) kan worden beschouwd.

Verschillende gebieden in Midden-Amerika hadden iets verschillende versies van deze kalenders, met andere namen voor dagen en maanden, andere manieren om jaren aan te geven, en soms telde men dagen vanaf dag 0 in plaats van vanaf dag 1. Hieronder geven we de kalenders van de stad Tikal.

10.1.1. Van de Haab naar CJDN

De Haab heeft een dagnummer en een maand, maar geen jaarnummer. Er zijn 18 maanden van 20 dagen, plus een 19e maand van 5 dagen, en dat is samen 365 dagen, en dat noemen we het Haab-jaar. Er zijn geen schrikkeldagen. De maanden hebben een naam, en de dagen hebben een nummer dat begint bij 0.

Wij schrijven een datum in de Haab als \( \{h_d,h_m\} \) waarin \( h_d \) het dagnummer is (van 0 tot 19) en \( h_m \) het maandnummer (van 1 tot 19).

Er zit geen jaarnummer in de Haab dus komt een gegeven Haab-datum \( \{h_d,h_m\} \) elke 365 dagen weer terug. We moeten daarom extra informatie gebruiken om de goede te kiezen. We kunnen als volgt de laatste CJDN \( J \) vinden die overeenkomt met deze Haab-datum op of voor een bepaalde CJDN \( J_0 \):

\begin{align} H \| = h_d + 20×(h_m − 1) \\ J \| = J_0 − ((J_0 − H + 65) \bmod 365) \end{align}

10.1.2. Van de Tzolkin naar CJDN

De Tzolkin heeft een periode van 20 dagen (de venteina) met een naam voor elke dag, en een periode van 13 dagen (de trecena) met een nummer voor elke dag (te beginnen bij 1).

Wij schrijven een datum in de Tzolkin als \( \{t_t,t_v\} \), waarin \( t_t \) het dagnummer in de trecena is (van 1 tot 13) en \( t_v \) het dagnummer in de venteina (van 1 tot 20).

De trecena en venteina lopen allebei tegelijk op, dus na dag \( \{2,7\} \) komt dag \( \{3,8\} \) en dan \( \{4,9\} \), enzovoort. Omdat 13 en 20 relatief priem zijn komen alle mogelijke combinaties van venteina en trecena voor in deze kalender, dus na 13×20 = 260 dagen herhalen de datums zich weer.

Er zit geen jaarnummer in de Tzolkin dus komt een gegeven Tzolkin-datum elke 260 dagen weer terug. We vinden als volgt de laatste CJDN \( J \) die overeenkomt met Tzolkin-datum \( \{t_t,t_v\} \) op of voor een bepaalde CJDN \( J_0 \):

\begin{equation} J = J_0 − ((J_0 − 40 t_t + 39 t_v + 97) \bmod 260) \end{equation}

Voor het aantal dagen \( T \) sinds de laatste \( \{1,1\} \) geldt

\begin{equation} T = (40 t_t + 221 t_v − 1) \bmod 260 \end{equation}

10.1.3. Van Tzolkin en Haab naar CJDN

Soms wordt een datum aangegeven met Tzolkin en Haab. De CJDN \( J \) van de laatste Tzolkin/Haab-datum \( \{ h_d, h_m, t_t, t_v \} \) op of voor CJDN \( J_0 \) is:

\begin{align} H \| = (h_d + 20 × (h_m − 1)) \bmod{365} \\ T \| = (40t_t + 221 t_v − 1) \bmod{260} \\ J \| = J_0 − ((J_0 − 365 T + 364 H − 7600) \bmod{18980}) \end{align}

De Tzolkin en Haab hebben samen een periode van 18980 dagen, ofwel ongeveer 52 jaar.

Pas op! Niet alle mogelijke combinaties van \( \{ h_d, h_m, t_t, t_v \} \) komen voor in de kalender. Je kunt in voorgaande formules elke combinatie invullen, maar er komen alleen nuttige resultaten uit voor combinaties die ook echt in de kalender voorkomen. Dat zijn combinaties waarvoor \( H − T ≡ 4 \pmod{5} \).

10.1.4. Van de Lange Telling naar CJDN

De Lange Telling telt dagen en heeft een serie steeds langere perioden. De kleinste is 20 dagen, de volgende is 18 keer zo lang (dus 360 dagen), en daarna is elke volgende periode steeds 20 keer zo lang als de vorige. Het getal voor elke periode begint bij 0. Vaak zijn datums in de Lange Telling gegeven met vijf getallen, maar nog langere perioden zijn bekend, tot het negende getal toe. De langst bekende periode komt overeen met ongeveer 63 miljoen jaar. Hieronder gaan we er van uit dat de Lange Telling vijf getallen bevat, en kan het vijfde getal willekeurig groot worden.

De begindatum (0.0.0.0.0) van de Lange Telling komt waarschijnlijk overeen met CJDN \( J_0 = 584283 \) (6 september −3113 in de Juliaanse kalender).

Het omrekenen van Lange Telling naar CJDN gaat als volgt:

\begin{equation} \begin{split} J \| = l_1 + 20×(l_2 + 18×(l_3 + 20×(l_4 + 20×l_5))) + J_0 \\ \| = l_1 + 20×l_2 + 360×l_3 + 7200×l_4 + 144000×l_5 \end{split} \end{equation}

10.2. Van CJDN naar Mayakalender

10.2.1. Van CJDN nar de Haab

Een CJDN \( J \) omrekenen naar een Haab-datum \( \{h_d,h_m\} \) gaat als volgt:

\begin{align} H \| = (J + 65) \bmod 365 \\ h_m \| = \dfloorratio{H}{20} + 1 \\ h_d \| = H \bmod 20 \end{align}

\( H \) is het aantal dagen sinds het begin van het huidige Haab-jaar (met \( H = 0 \) voor de eerste dag van het Haab-jaar).

10.2.2. Van CJDN naar de Tzolkin

We rekenen CJDN \( J \) als volgt om naar een Tzolkin-datum \( \{t_t,t_v\} \):

\begin{align} t_t \| = ((J + 5) \bmod{13}) + 1 \label{eq:trecena} \\ t_v \| = ((J + 16) \bmod{20}) + 1 \label{eq:venteina} \end{align}

10.2.3. Van CJDN naar de Lange Telling

Het omrekenen van CJDN \( J \) naar Lange Telling \( L ≡ l_5.l_4.l_3.l_2.l_1 \) gaat dan als volgt:

\begin{align} x_5 \| = J − J_0 \\ l_5 \| = \dfloorratio{x_5}{144000} \\ x_4 \| = x_5 \bmod 144000 \\ l_4 \| = \dfloorratio{x_4}{7200} \\ x_3 \| = x_4 \bmod 7200 \\ l_3 \| = \dfloorratio{x_3}{360} \\ x_2 \| = x_3 \bmod 360 \\ l_2 \| = \dfloorratio{x_2}{20} \\ l_1 \| = x_2 \bmod 20 \end{align}

10.3. Een maankalender met veel vaste maandlengtes

Ik heb een zongebonden maankalender bedacht waarin bijna alle maanden elk jaar hetzelfde aantal dagen hebben. De kalender volgt de seizoenen met behulp van de cyclus van Meton, die 19 jaar duurt. Elk jaar bevat 12 of 13 maanden. De "kortste" jaren van 12 maanden bevatten 354 dagen. De "korte" jaren van 12 maanden bevatten 355 dagen. De "lange" jaren van 13 maanden hebben allemaal 384 dagen. De jaarlengtes zijn:

Dit zijn samen 235 maanden (125 lang, 110 kort) en 6940 dagen in de cyclus van 19 jaar.

Alle oneven maanden (behalve de 13e) zijn 30 dagen lang, en alle even maanden zijn 29 dagen lang, behalve dat in korte en lange jaren (van 355 of 384 dagen) de 12e maand 30 dagen heeft in plaats van 29.

10.3.1. Van maankalender naar lopende dagnummer

Gegeven jaar \( j \), maand \( m \), en dag \( d \) in deze maankalender kan het lopende dagnummer \( y_2 \) berekend worden als volgt:

\begin{equation} y_2 = 354j + 29m + 30\dfloorratio{7j − 6}{19} + \dfloorratio{4j + 8}{19} + \dfloorratio{7m}{13} + d − 384 \end{equation}

10.3.2. Van lopende dagnummer naar maankalender

Gegeven lopende dagnummer \( y_2 \) zijn jaar \( j \), maand \( m \) en dag \( d \) in deze maankalender te berekenen uit

\begin{align} x' \| = \dfloorratio{19y_2 + 546}{6940} \\ x_2 \| = x' + \dfloorratio{y_2 − 354x' − 30\dfloorratio{7x' + 1}{19} − \dfloorratio{4x' + 12}{19}}{385} \\ k_1 \| = 13×\left( y_2 − 354x_2 − 30\dfloorratio{7x_2 + 1}{19} − \dfloorratio{4x_2 + 12}{19} \right) + 5 \\ j \| = x_2 + 1 \\ m \| = \dfloorratio{k_1}{384} + 1 \\ d \| = \dfloorratio{k_1 \bmod 384}{13} + 1 \end{align}

11. De Chinese Kalender

De Chinese kalender is een lunisolaire kalender. De datum van het Chinese Nieuwjaar hangt af van de positie van de Zon en de Maan, maar een preciese manier om die posities uit te rekenen is niet vastgelegd. Hieronder beschrijf ik een paar aspecten van de Chinese kalender.

11.1. Het jaar van de aap

In de traditionele Chinese kalender heeft elk jaar een naam uit een kringloop van 10 "hemelse stammen" en een naam uit een kringloop van 12 "aardse takken". Voor elk volgende jaar gaan zowel de hemelse stam als de aardse tak één omhoog. De (onvertaalbare) hemelse stammen zijn 1. jiǎ, 2. yǐ, 3. bǐng, 4. dīng, 5. wù, 6. jǐ, 7. gēng, 8. xīn, 9. rén, 10. guǐ. De aardse takken zijn 1. zǐ (rat), 2. chǒu (os), 3. yín (tijger), 4. mǎo (konijn), 5. chén (draak), 6. sì (slang), 7. wǔ (paard), 8. wèi (geit), 9. shēn (aap), 10. yǒu (haan), 11. xū (hond), 12. hài (varken).

De hemelse stam \( s \) (van 1 tot 10) en aardse tak \( b \) (van 1 tot 12) kun je als volgt berekenen uit het (astronomische) Gregoriaanse jaarnummer \( j \):

\begin{align} s \| = ((j + 6) \bmod 10) + 1 \label{eq:jnaarchinees} \\ b \| = ((j + 8) \bmod 12) + 1 \end{align}

Het nummer \( n \) in de gezamelijke kringloop van 60 jaren is

\begin{equation} n = ((j + 56) \bmod 60) + 1 \end{equation}

De jaren die een bepaalde hemelse stam \( s \) of een bepaalde aardse tak \( b \) hebben zijn

\begin{align} j \| ≡ 1983 + s \pmod{10} \\ j \| ≡ 1983 + b \pmod{12} \\ j \| ≡ 1983 + n \pmod{60} \end{align}

De jaren die zowel hemelse stam \( s \) als aardse tak \( b \) hebben zijn

\begin{equation} j ≡ 1983 + 25b − 24s \pmod{60} \label{eq:chineesnaarj} \end{equation}

Pas op! Niet elke combinatie van \( s \) en \( b \) is geldig! Alleen combinaties waarvoor \( s ≡ b \pmod{2} \) zijn geldig, dus het verschil tussen \( s \) en \( b \) moet even zijn.

11.2. HYSN

Het HYSN-systeem is een speciale manier om een nummer aan een jaar te geven. De omrekening van een Gregoriaans (of Juliaans proleptisch) jaartal naar een HYSN-jaartal gaat als volgt:

\begin{align} \{ H − 1, j_2 \} \| = \Div(j + 67016, 10800) \\ \{ Y − 1, j_3 \} \| = \Div(j_2, 360) \\ \{ S − 1, N − 1 \} \| = \Div(j_3, 30) \end{align}

De andere kant op is eenvoudiger. Gegeven \( H \), \( Y \), \( S \) en \( N \) is het Gregoriaanse jaartal

\begin{equation} j = H×10800 + Y×360 + S×30 + N − 78207 \end{equation}

12. Afleiding van de algemene algoritmen

We kunnen veel kalenderformules afleiden door rechte lijnen te vinden die met afronding de juiste resultaten geven.

12.1. Notatie

We gebruiken speciale notatie voor sommige zaken.

• \( C(x) \) heeft waarde 1 als aan test \( x \) voldaan is, en anders 0. Bijvoorbeeld, \( C(3 \gt 2) = 1, C(3 \lt 2) = 0 \).

• \( x∥y \) stelt dat \( x \) een veelvoud is van \( y \). Bijvoorbeeld, \( 8 ∥ 4 \) want 8 is een veelvoud van 4.

• \( x⊥y \) stelt dat \( x \) geen veelvoud is van \( y \). Bijvoorbeeld, \( 7 ⊥ 4 \) want 7 is geen veelvoud van 4.

• \( \dfloor{x} \) is de vloerfunctie die het dichtstbijzijnde hele getal niet groter dan \( x \) oplevert, dus in de richting van \( −∞ \). Bijvoorbeeld, \( \dfloor{5.3} = 5, \dfloor{−2.8} = −3, \dfloor{7} = 7 \).

• \( \dmod{x}{p} \):

  \begin{equation} \dmod{x}{p} ≡ x \bmod p ≡ x − p\dfloorratio{x}{p} \label{eq:mod} \qquad (p \gt 0)\end{equation}

  is de modulusfunctie die het niet-negatieve verschil geeft tussen \( x \) en het dichtstbijzijnde veelvoud van positieve \( p \) dat niet groter is dan \( x \). Er geldt altijd (als \( p \gt 0 \))

  \begin{align} x \| = p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} \\ x \| = \dfloor{x} + \dmod{x}{1} \\ \dmod{x}{p} \| = p\left\lfloor \frac{x}{p} \right\rceil_1 \label{eq:mod1top} \\ 0 \| \le \dmod{x}{p} \lt p \\ \dmod{x + np}{p} \| = (x + np) − p\dfloorratio{x + np}{p} \notag \\ \| = x + np − p\dfloor{\dfrac{x}{p} + n} \notag \\ \| = x + np − p\dparen{\dfloorratio{x}{p} + n} \| \quad (n∥1)\notag \\ \| = x − p\dfloorratio{x}{p} = \dmod{x}{p} \label{eq:modn} \end{align}

  Bijvoorbeeld

  \({x}\)	\({4\dfloorratio{x}{4}}\)	\({\dmod{x}{4}}\)
  −2	−4	2
  −1	−4	3
  0	0	0
  1	0	1
  2	0	2
  3	0	3
  4	4	0
  5	4	1

• \( \dceil{x} \) is de plafondfunctie die het dichtstbijzijnde hele getal niet kleiner dan \( x \) oplevert, dus in de richting van \( +∞ \). Bijvoorbeeld, \( \dceil{5.3} = 6, \dceil{−2.8} = −2, \dceil{7} = 7 \).
• \( \ddom{x}{p}\):

  \begin{equation} \ddom{x}{p} ≡ x \bdom p ≡ p\dceilratio{x}{p} − x \qquad (p \gt 0) \label{eq:dom} \end{equation}

  is de "domulus"-functie die het niet-negatieve verschil geeft tussen \( x \) en het dichtstbijzijnde veelvoud van positieve \( p \) dat niet kleiner is dan \( x \). Ik verzon de notatie \( \bdom \), dat is \( \bmod \) maar dan achterstevoren gespeld. Ik verzon ook de naam "domulus", vergelijkbaar met "modulus" maar met "dom" in plaats van "mod". Er geldt altijd (als \( p \gt 0 \))

  \begin{align} x \| = p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} \\ x \| = \dceil{x} − \ddom{x}{1} \\ \ddom{x}{p} \| = p\left\lceil \frac{x}{p} \right\rfloor_1 \label{eq:dom1top} \\ 0 \| \le \ddom{x}{p} \lt p \\ \ddom{x + np}{p} \| = p\dceilratio{x + np}{p} − (x + np) \notag \\ \| = p\dceil{\dfrac{x}{p} + n} − x − np \notag \\ \| = p\dparen{\dceil{\dfrac{x}{p}} + n} − x − np \| \quad (n∥1) \notag \\ \| = p\dceil{\dfrac{x}{p}} − x = \ddom{x}{p} \label{eq:domn} \end{align}

  Bijvoorbeeld

  \({x}\)	\({4\dceilratio{x}{4}}\)	\({\ddom{x}{4}}\)
  −2	0	2
  −1	0	1
  0	0	0
  1	4	3
  2	4	2
  3	4	1
  4	4	0
  5	8	3

• \( \{ m, n \} = \Div(x,y) \) is een functie die twee uitkomsten \( m, n \) geeft zodat \( x = my + n \) met \( m \) een heel getal, \( 0 \le n \lt y \gt 0 \) en

  \begin{align*} m \| = \dfloorratio{x}{y} \\ n \| = \dmod{x}{y} = x \bmod y \end{align*}

Een paar handige relaties (voor \( p \gt 0 \)):

1. \begin{equation} \dceil{\dceil{x}} = \dfloor{\dceil{x}} = \dceil{x}\end{equation}
2. \begin{equation} \dfloor{\dfloor{x}} = \dceil{\dfloor{x}} = \dfloor{x} \end{equation}
3. \begin{equation} \dmod{\dmod{x}{p}}{p} = \ddom{\dmod{x}{p}}{p} = \dmod{x}{p} \label{eq:modmod} \end{equation}
4. \begin{equation} \ddom{\ddom{x}{p}}{p} = \dmod{\ddom{x}{p}}{p} = \ddom{x}{p} \label{eq:domdom} \end{equation}
5. \begin{equation} \dmod{x ± y}{p} = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \label{eq:dmod2} \end{equation}
6. \begin{equation} \ddom{x ± y}{p} = \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \label{eq:ddom2} \end{equation}
7. \begin{equation} \dceil{x} − \dfloor{x} = C(x⊥1) \label{eq:ceilfloor} \end{equation}
8. \begin{equation} \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} = pC(x⊥p) \end{equation}
9. \begin{equation} \dfloor{−x} = −\dceil{x} = −\dfloor{x} − C(x⊥1) \label{eq:minusfloor} \end{equation}
10. \begin{equation} \dceil{−x} = −\dfloor{x} = −\dceil{x} + C(x⊥1) \label{eq:minusceil} \end{equation}
11. \begin{equation} \dmod{−x}{p} = \ddom{x}{p} = −\dmod{x}{p} + pC(x⊥p) \label{eq:minusmod} \end{equation}
12. \begin{equation} \ddom{−x}{p} = \dmod{x}{p} = −\ddom{x}{p} + pC(x⊥p) \label{eq:minusdom} \end{equation}
13. \begin{equation} \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \label{eq:splitfloor} \end{equation}
14. \begin{equation} \dfloor{x − y} = \dfloor{x} − \dfloor{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \label{eq:floorm} \end{equation}
15. \begin{equation} \dmod{x + y}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} ≥ p} \label{eq:modp} \end{equation}
16. \begin{equation} \dmod{x − y}{p} = \dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} + pC\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \end{equation}
17. \begin{equation} \dceil{x + y} = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \end{equation}
18. \begin{equation} \dceil{x − y} = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \end{equation}
19. \begin{equation} \ddom{x + y}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} ≥ p} \label{eq:domp} \end{equation}
20. \begin{equation} \ddom{x − y}{p} = \ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} + pC\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \label{eq:domm} \end{equation}
21. \begin{equation} n\dmod{x}{1} − \dmod{nx}{1} = \dfloor{n\dmod{x}{1}} \qquad{(n ∥ 1)} \label{eq:dmoddiff1} \end{equation}

22. \begin{equation} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \label{eq:floordiffrange} \end{equation}
23. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dfloor{x} − \dfloor{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \label{eq:floordiffrange2} \end{equation}
24. \begin{equation} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \label{eq:ceildiffrange} \end{equation}
25. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dceil{x} − \dceil{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \label{eq:ceildiffrange2} \end{equation}
26. \begin{equation} \dceilratio{x}{y} = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \qquad (x, y ∥ 1) \label{eq:ceil2floor} \end{equation}
27. \begin{equation} \ddom{x}{y} = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \qquad (x, y ∥ 1) \label{eq:ddom2dmod} \end{equation}
28. \begin{equation} \dfloor{\dmod{x}{y}} = \dmod{\dfloor{x}}{y} \qquad (y ∥ 1) \label{eq:modfloor} \end{equation}

En hun bewijzen:

1. \( \dceil{\dceil{x}} = \dfloor{\dceil{x}} = \dceil{x}\) omdat \( \dceil{x} \) een heel getal is.
2. \( \dfloor{\dfloor{x}} = \dceil{\dfloor{x}} = \dfloor{x} \) omdat \( \dfloor{x} \) een heel getal is.
3. \( \dmod{\dmod{x}{p}}{p} = \ddom{\dmod{x}{p}}{p} = \dmod{x}{p} \) omdat \( 0 \le \dmod{x}{p} \lt p \).
4. \( \ddom{\ddom{x}{p}}{p} = \dmod{\ddom{x}{p}}{p} = \ddom{x}{p} \) omdat \( 0 \le \ddom{x}{p} \lt p \).
5. \( \dmod{x ± y}{p} = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \) want

   \begin{align} \dmod{x ± y}{p} \| = p\dmod{\dfrac{x ± y}{p}}{1} \notag \eqavide{eq:mod1top} \\ \| = p\dmod{\dfrac{p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}}}{p}}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dmod{\dfloorratio{x}{p} ± \dfloorratio{y}{p} + \dfrac{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p}}{1} \notag \\ \| = p\dmod{\dfrac{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:modn} \notag \\ \| = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \eqavide{eq:mod1top} \end{align}

6. \( \ddom{x ± y}{p} = \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \) want

   \begin{align} \ddom{x ± y}{p} \| = p\ddom{\dfrac{x ± y}{p}}{1} \notag \eqavide{eq:dom1top} \\ \| = p\ddom{\dfrac{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}}{p}}{1} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = p\ddom{\dceilratio{x}{p} ± \dceilratio{y}{p} − \dparen{\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}}{1} \notag \\ \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:domn} \label{eq:xpyp} \end{align}

   en dus ook

   \begin{align} \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{\ddom{x}{p}}{p} ± \ddom{\ddom{y}{p}}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:xpyp} \notag \\ \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:domdom} \notag \\ \| = \ddom{x ± y}{p} \eqavide{eq:xpyp} \end{align}

7. \( \dceil{x} − \dfloor{x} = C(x⊥1) \) want als \( x \) een heel getal is (dus \( x∥1 \)) dan zijn \( \dceil{x} \) en \( \dfloor{x} \) gelijk aan \( x \), en anders is het eerstvolgende hogere hele getal (\( \dceil{x} \)) eentje hoger dan het eerstvolgende lagere hele getal (\( \dfloor{x} \)).

8. \( \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} = pC(x⊥p) \) want

   \begin{align} \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} \| = x − p\dfloorratio{x}{p} + p\dceilratio{x}{p} − x \| \text{(vide \eqref{eq:mod}, \eqref{eq:dom})} \notag \\ \| = p \dparen{\dceilratio{x}{p} − \dfloorratio{x}{p}} \notag \\ \| = p C\dparen{\dfrac{x}{p} ⊥ 1} \notag \eqavide{eq:ceilfloor} \\ \| = p C\dparen{x ⊥ p} \end{align}

9. Voor \( \dfloor{−x} = −\dceil{x} = −\dfloor{x} − C(x⊥1) \) volgt de tweede \( = \) uit vergelijking \eqref{eq:ceilfloor}.

   De eerste \( = \) bewijzen we als volgt.

   \begin{align} \dfloor{−x} \| = \dfloor{−\dfloor{x} − \dmod{x}{1}} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = −\dfloor{x} + \dfloor{−\dmod{x}{1}} \\ \dceil{x} \| = \dceil{\dfloor{x} + \ddom{x}{1}} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = \dfloor{x} + \dceil{\ddom{x}{1}} \\ \dfloor{−x} + \dceil{x} \| = \dfloor{−\dmod{x}{1}} + \dceil{\ddom{x}{1}} \end{align}

   Als \( x \) een heel getal is dan is \( \dmod{x}{1} = \ddom{x}{1} = 0 \) dus \( \dfloor{−x} + \dceil{x} = 0 \).

   En als \( x \) geen heel getal is dan is

   \begin{equation} 0 \lt \dmod{x}{1} \lt 1 ⇒ \dceil{\dmod{x}{1}} = 1 \end{equation}

   en ook

   \begin{equation} −1 \lt −\dmod{x}{1} \lt 0 ⇒ \dfloor{−\dmod{x}{1}} = −1 \end{equation}

   dus ook dan is \( \dfloor{−x} + \dceil{x} = \dceil{\dmod{x}{1}} + \dfloor{−\dmod{x}{1}} = 0 \) en dus \( \dfloor{−x} = −\dceil{x} \).

10. Voor \( \dceil{−x} = −\dfloor{x} = −\dceil{x} + C(x⊥1) \) volgt de tweede \( = \) volgt uit vergelijking \eqref{eq:ceilfloor}.

    De eerste \( = \) volgt uit vergelijking \eqref{eq:minusfloor} als je daarin overal \( x \) vervangt door \( −x \).

11. Voor \( \dmod{−x}{p} = \ddom{x}{p} = −\dmod{x}{p} + pC(x⊥p) \) volgt de eerste \( = \) uit

    \begin{align} \dmod{−x}{p} \| = −x − p\dfloorratio{−x}{p} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dceilratio{x}{p} − x \eqavide{eq:minusfloor} \notag \\ \| = \ddom{x}{p} \eqavide{eq:dom} \end{align}

    en de tweede \( = \) uit

    \begin{align} \dmod{x}{p} \| = x − p\dfloorratio{x}{p} \notag \eqavide{eq:mod} \\ \| = x − p\dparen{\dceilratio{x}{p} − C\dparen{\dfrac{x}{p} ⊥ 1}} \notag \eqavide{eq:ceilfloor} \\ \| = x − p\dceilratio{x}{p} + pC\dparen{x ⊥ p} \notag \\ \| = −\ddom{x}{p} + pC\dparen{x ⊥ p} \eqavide{eq:dom} \end{align}

12. \( \ddom{−x}{p} = \dmod{x}{p} = −\ddom{x}{p} + pC(x⊥p) \) volgt uit de vorige als je elke \( x \) vervangt door \( −x \).

13. \( \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \) want

    \begin{align} \dfloor{x ± y} \| = x ± y − \dmod{x ± y}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = \dfloor{x} + \dmod{x}{1} ± \dparen{\dfloor{y} + \dmod{y}{1}} − \dmod{x ± y}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = \dfloor{x} ± \dfloor{y} + \dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1} − \dmod{x ± y}{1} \notag \\ \| = \dfloor{x} ± \dfloor{y} + \dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1} − \dmod{\dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1}}{1} \eqavide{eq:dmod2} \label{eq:floorpm} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dmod{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1}}{1} \| = \dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} \ge 1} \\ \dmod{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1}}{1} \| = \dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \label{eq:mod1m} \end{align}

    want \( 0 \le \dmod{•}{1} \lt 1 \). Dus

    \begin{equation} \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} \ge 1} \end{equation}

14. \( \dfloor{x − y} = \dfloor{x} − \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:floorpm} en \eqref{eq:mod1m}.
15. \( \dmod{x + y}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} ≥ p} \) volgt uit

    \begin{align} \dmod{x ± y}{p} \| = x ± y − p\dfloorratio{x ± y}{p} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}} \notag \\ \| − p\dfloorratio{p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}}}{p} \notag \eqavide{eq:mod} \\ \| = p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± p\dfloorratio{y}{p} ± \dmod{y}{p} \notag \\ \| − p\dfloorratio{x}{p} ∓ p\dfloorratio{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \notag \\ \| = \dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \label{eq:i15a} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dfloorratio{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p}}{p} \| = C\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} \ge p} \label{eq:i15c} \\ \dfloorratio{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p}}{p} \| = −C\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \label{eq:i15b} \end{align}

    omdat \( 0 \le \dmod{•}{p} \lt p \), dus

    \begin{equation} \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p}}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} \ge p} \end{equation}

    en daarmee is het bewijs af.

16. \( \dmod{x − y}{p} = \dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} + pC\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:i15a} en \eqref{eq:i15b}.
17. \( \dceil{x + y} = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \) want

    \begin{align} \dceil{x ± y} \| = x ± y + \ddom{x ± y}{p} \notag \eqavide{eq:dom} \\ \| = \dceil{x} − \ddom{x}{1} ± \dparen{\dceil{y} − \ddom{y}{1}} + \ddom{x ± y}{p} \notag \eqavide{eq:dom} \\ \| = \dceil{x} ± \dceil{y} − \ddom{x}{1} ∓ \ddom{y}{1} + \ddom{x ± y}{p} \label{eq:i17} \end{align}

    Dat levert

    \begin{align} \dceil{x + y} \| = \dceil{x} + \dceil{y} − \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} + \ddom{x + y}{p} \notag \\ \| = \dceil{x} + \dceil{y} − \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} + \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} − C\dparen{\ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} ≥ 1} \eqavide{eq:domp} \notag \\ \| = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} ≥ 1} \end{align}

18. \( \dceil{x − y} = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \) want

    \begin{align} \dceil{x − y} \| = \dceil{x} − \dceil{y} − \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} + \ddom{x − y}{p} \notag \eqavide{eq:i17} \\ \| = \dceil{x} − \dceil{y} − \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} + \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} + C\dparen{\ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \lt 0} \eqavide{eq:modp} \notag \\ \| = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \lt 0} \end{align}

19. \( \ddom{x + y}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} ≥ p} \) want

    \begin{align} \ddom{x ± y}{p} = \| p\dceilratio{x ± y}{p} − \dparen{x ± y} \notag \eqavide{eq:dom} \\ = \| p\dceilratio{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}}{p} \notag \\ \| − \dparen{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}} \notag \eqavide{eq:dom} \\ = \| p\dceilratio{x}{p} ± p\dceilratio{y}{p} + p\dceilratio{−\ddom{x}{p} ∓ \ddom{y}{p}}{p} \notag \\ \| − \dparen{p\dceilratio{x}{p} ± p\dceilratio{y}{p} − \dparen{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}} \notag \\ = \| \ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p} + p\dceilratio{−\ddom{x}{p} ∓ \ddom{y}{p}}{p} \label{eq:i19a} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dceilratio{−\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p}}{p} \| = −C\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} \ge p} \\ \dceilratio{−\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p}}{p} \| = C\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \label{eq:i19b} \end{align}

    want \( 0 \le \ddom{•}{p} \lt 1 \), dus

    \begin{equation} \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} + p\dceilratio{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p}}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} \ge p} \end{equation}

    en daarmee is het bewijs af.

20. \( \ddom{x − y}{p} = \ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} + pC\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:i19a} en \eqref{i19b}.

21. \begin{eqnarray} n\dmod{x}{1} − \dmod{nx}{1} \| = \| n\dmod{x}{1} − \dmod{n\dfloor{x} + n\dmod{x}{1}}{1} \notag \\ \| = \| n\dmod{x}{1} − \dmod{n\dmod{x}{1}}{1} \qquad{(n ∥ 1)} \eqavide{eq:modp} \notag \\ \| = \| \dfloor{n\dmod{x}{1}} \eqavide{eq:mod} \end{eqnarray}
22. \begin{align} \dfloor{x} − \dfloor{y} \| = \dparen{x − \dmod{x}{1}} − \dparen{y − \dmod{y}{1}} \notag \\ \| = x − y + \dmod{y}{1} − \dmod{x}{1} \end{align}

    Dan

    \begin{equation} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{equation} 0 \le \dmod{•}{1} \lt 1 \end{equation}

23. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dfloor{x} − \dfloor{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{align} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \eqavide{eq:floordiffrange} \\ x − y \le \dceil{x − y} \| \quad (\dfloor{x} − \dfloor{y} ∥ 1) \end{align}

24. \begin{align} \dceil{x} − \dceil{y} \| = \dparen{x + \ddom{x}{1}} − \dparen{y + \ddom{y}{1}} \notag \\ \| = x − y + \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \end{align}

    Dan

    \begin{equation} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{equation} 0 \le \ddom{•}{1} \lt 1 \end{equation}

25. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dceil{x} − \dceil{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{align} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \eqavide{eq:ceildiffrange} \\ x − y \le \dceil{x − y} \| \quad (\dfloor{x} − \dfloor{y} ∥ 1) \end{align}

26. Als \( y = 1 \):

    \begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dceilratio{x}{1} = x \| \qquad (x ∥ 1) \\ \| = (x − 1) + 1 = \dfloorratio{x − 1}{1} + 1 = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \end{align}

    Als \( y \gt 1 \):

    \begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dfloorratio{x}{y} + C(x⊥y) \eqavide{eq:ceilfloor} \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{x}{y} \ge 1} \| \qquad (x, y ∥ 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} \ge \dfrac{1}{y}} \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} \ge \dmod{\dfrac{1}{y}}{1}} \| (y \gt 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} − \dfloorratio{1}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} − \dmod{\dfrac{1}{y}}{1} \ge 0} \| (y \gt 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} − \dfloorratio{1}{y} + 1 − C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} − \dmod{\dfrac{1}{y}}{1} \lt 0} \notag \\ \| = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \eqavide{eq:floorm} \end{align}

27. Als \( y = 1 \):

    \begin{equation} \ddom{x}{y} = \ddom{x}{1} = 0 = y − 1 − \ddom{x − 1}{y} \qquad (x ∥ 1) \end{equation}

    Als \( y \gt 1 \):

    \begin{align} \ddom{x}{y} \| = y\ddom{\dfrac{x}{y}}{1} \notag \\ \| = y\dparen{\dceil{\dfrac{x}{y}} − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = y\dparen{\dfloorratio{x − 1}{y} + 1 − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:ceil2floor} \notag \\ \| = y\dparen{\dfrac{x − 1}{y} − \dmod{\dfrac{x − 1}{y}}{1} + 1 − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = x − 1 − y\dmod{\dfrac{x − 1}{y}}{1} + y − x \notag \\ \| = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \end{align}

28. Stel

    \begin{align} \{ k, α \} \| = \Div(x, y) \\ \{ m, β \} \| = \Div(α, 1) \end{align}

    dus

    \begin{equation} x = ky + α = ky + m + β \end{equation}

    waarbij

    \begin{align} k, m, y \| ∥ 1 \\ 0 \| ≤ m ≤ y − 1 \\ 0 \| ≤ β \lt 1 \end{align}

    dan

    \begin{align} \dfloor{\dmod{x}{y}} \| = \dfloor{\dmod{ky + m + β}{y}} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{m + β}{y}} \notag \\ \| = \dfloor{m + β} \| (0 ≤ m + β \lt y) \notag \\ \| = m \end{align}

    en ook

    \begin{align} \dmod{\dfloor{x}}{y} \| = \dmod{\dfloor{ky + m + β}}{y} \notag \\ \| = \dmod{ky + m}{y} = m \end{align}

    dus

    \begin{equation} \dfloor{\dmod{x}{y}} = \dmod{\dfloor{x}}{y} \end{equation}

12.2. Grote Tussenresultaten

Veel van de kalenderberekeningen die hieronder beschreven worden zijn van de vorm

\begin{align} y \| = \dfloorratio{fx + t}{d} \label{eq:template} \\ e \| = \dmod{fx + t}{d} = (fx + t) \bmod d \label{eq:template-e} \end{align}

ofwel

\[ \{y, e\} = \Div(fx + t, d) \]

met

\begin{equation} fx + t = dy + e \end{equation}

waar \( f \), \( t \), \( d \) vaste hele getallen zijn met \( f, d \gt 1 \) en \( 0 ≤ e \lt d \) en \( y \), \( x \) wisselende maar wel hele getallen zijn. Het tussenresultaat \( fx + t \) is dan meestal veel groter dan \( x \) en dan het eindresultaat. Dit kan problemen geven op rekenmachines en in computerprogramma's, waarop hele getallen niet groter mogen zijn dan een bepaalde limiet die we hier \( w \) noemen. (Getallen met drijvende komma, zoals 1.234 × 10²⁰, mogen veel groter zijn, maar ook daarvan is de nauwkeurigheid beperkt, en dan moet je bang zijn voor afrondfouten.)

Tussenresultaten groter dan \( w \) geven problemen, dus zou om problemen te voorkomen ongeveer \( |fx| ≤ w \) moeten zijn, dus \(|x| ≤ w/f \), wat veel kleiner is dan \( w \) zelf.

Als \( |t| ≥ d \), dan kunnen we formule \eqref{eq:template}ff omschrijven naar

\begin{align} fx + t \| = fx + \dfloorratio{t}{d} d + \dmod{t}{d} = dy + e \eqavide{eq:mod} \\ y \| = \dfloorratio{fx + t}{d} = \dfloorratio{t}{d} + \dfloorratio{fx + \dmod{t}{d}}{d} \\ e \| = \dmod{fx + t}{d} = \dmod{fx + \dmod{t}{d}}{d} \eqavide{eq:modmod} \end{align}

waarin de tweede term van de laatste twee formules dezelfde vorm heeft als formule \eqref{eq:template}ff, als je \( \dmod{t}{d} \) hernoemt tot een nieuwe \( t \). We nemen hieronder aan dat dat gebeurd is, en dus dat \( 0 ≤ t \lt d \).

Als \( f \gt d \), dan kunnen we formule \eqref{eq:template}ff omschrijven naar

\begin{align} fx + t \| = \dparen{\dfloorratio{f}{d} d + \dmod{f}{d}} x + t = dy + e \eqavide{eq:mod} \\ y \| = \dfloorratio{f}{d} x + \dfloorratio{\dmod{f}{d} x + t}{d} \label{eq:template2} \\ e \| = \dmod{\dmod{f}{d} x + t}{d} \end{align}

Dan mag \( |x| \) ongeveer zo groot zijn als \( w/\dmod{f}{d} \) voordat er problemen komen.

Formules \eqref{eq:template2}ff hebben weer de vorm van formule \eqref{eq:template}ff, als je \( \dmod{f}{d} \) hernoemt tot een nieuwe \( f \). Hieronder nemen we aan dat dat gebeurd is, en dus dat \( f \lt d \).

Als we eerst de deling door \( d \) zouden kunnen doen en pas daarna de vermenigvuldiging met \( f \), dan zouden de tussenresultaten kleiner blijven dan \( x \) zelf. We zouden zoiets als \( f\dfloorratio{x}{d} \) willen berekenen wat ongeveer gelijk is aan \( y \), en dan daar een correctie op toepassen om echt \( y \) te krijgen.

We kunnen formule \eqref{eq:template}ff herschrijven tot

\begin{align} fx + t \| = f\dparen{ \dfloorratio{x}{d} d + \dmod{x}{d}} + t \eqavide{eq:mod} \\ y \| = f\dfloorratio{x}{d} + \dfloorratio{f\dmod{x}{d} + t}{d} \label{eq:detour1} \\ e \| = \dmod{f\dmod{x}{d} + t}{d} \end{align}

Nu is het grootste tussenresultaat niet meer \( fx + t \), dat zo groot kan worden als \( fw \), maar \( f\dmod{x}{d} + t \), dat niet groter kan worden dan \( fd \lt d^2 \).

Formules \eqref{eq:detour1}ff hebben weer de vorm van formule \eqref{eq:template}ff, als je \( \dmod{x}{d} \) hernoemt tot een nieuwe \( x \).

Maar soms is een tussenresultaat van (bijna) \( fd \) ook nog te groot, want een product van twee getallen kan veel groter zijn dan \( w \) ook als de twee getallen apart veel kleiner zijn dan \( w \). Als het product niet groter mag worden dan \( w \), dan mogen beide getallen niet allebei groter zijn dan \( \sqrt{w} \), en dat is een stuk kleiner dan \( w \) zelf. Bijvoorbeeld, voor 32-bitsgetallen is \( w = 2^{31} − 1 = 2147483647 \) en is \( \sqrt{w} ≈ 46341 \), dus zelfs als \( d \) en \( fd \) allebei maar iets groter zijn dan 46431, wat toch niet heel erg groot is, dan is \( fd \) al te groot om in een 32-bitsgetal te passen.

Stel we kiezen een heel getal \( P \gt 0 \) en berekenen daarmee eenmalig

\begin{align} \{Q, R\} \| = \Div(fP, d) \label{eq:PQR} \\ Q \| = \dfloorratio{fP}{d} \\ R \| = \dmod{fP}{d} \end{align}

waarmee

\begin{equation} fP = dQ + R \end{equation}

Bepaal dan voor elke gewenste \( x \)

\begin{align} \{q, r\} \| = \Div(x, P) \\ q \| = \dfloorratio{x}{P} \\ r \| = \dmod{x}{P} \end{align}

zodat

\begin{equation} x = qP + r \end{equation}

en dan

\begin{align} fx + t \| = fqP + fr + t = qdQ + qR + fr + t \\ y \| = \dfloorratio{qdQ + qR + fr + t}{d} = qQ + \dfloorratio{qR + fr + t}{d} \label{eq:detour2} \\ e \| = \dmod{qdQ + qR + fr + t}{d} = \dmod{qR + fr + t}{d} \end{align}

Nu is het grootste tussenresultaat \( m ≡ qR + fr + t \). Om niet in de problemen te komen moet \( \dabs{m} ≤ w \) zijn, dus (omdat \( r \lt P \))

\begin{eqnarray} \dabs{x}\frac{R}{P} + fP + t ≤ w \\ \dabs{x} ≤ X ≡ \dparen{w − fP − t}\dfrac{P}{R} \end{eqnarray}

We hebben \( f \lt d \) dus \( f \) is geen veelvoud van \( d \) dus \( R \gt 0 \).

We zien dat \( 0 \lt P \lt \dfrac{w − t}{f} \) moet zijn, want anders is \( X ≤ 0 \).

We willen het bereik van \( x \) zo groot mogelijk hebben, dus zoeken we \( P \) en \( R \) zodat \( X \) zo groot mogelijk wordt, gegeven \( w \), \( f \), \( t \). \( R \) moet dus liefst klein zijn.

Als \( P \) langzaam toeneemt (steeds met 1) dan varieert \( R = \dmod{fP}{d} \) grillig tussen 0 en \( d − 1 \), dus de waarde van \( R \) is onafhankelijk van de globale grootte van \( P \), en er zijn veel waarden van \( P \) mogelijk voor dezelfde kleinste waarde van \( R \).

Als \( R \) de kleinst mogelijke waarde (groter dan nul) heeft, wat moet dan ongeveer de waarde van \( P \) zijn die de grootste waarde van \( X \) geeft?

Dan is \( X \) een kwadratische functie van \( P \). Als \( P \) elke willekeurige waarde kon hebben dan zou die grootst mogelijk waarde optreden voor

\begin{equation} P = P_0 = \dfrac{w − t}{2f} \end{equation}

en gelijk zijn aan

\begin{equation} \max(X) = \dfrac{\dparen{w − t}^2}{4Rf} = \dfrac{fP_0^2}{R} \end{equation}

Om \( \max(X) ≥ w \) te hebben moet dus zeker

\begin{equation} R ≤ \dfrac{w}{4f}\dparen{1−\dfrac{t}{w}}^2 \label{eq:maxR} \end{equation}

De kleinst mogelijke waarde die \( R \) kan hebben is gelijk aan de grootste gemene deler \( \gcd(f, d) \) van \( f \) en \( d \).

\begin{equation} R = R_1 ≡ \gcd(f, d) \end{equation}

Het Uitgebreide Algoritme van Euclides levert die waarde op, en ook getallen \( x \) en \( y \) zodat

\begin{equation} fx + dy = R \end{equation}

De \( x \) en \( y \) die je dan krijgt zijn in zekere zin het kleinste, maar ook de volgende waarden voldoen (met \( k \) een willekeurig heel getal):

\begin{equation} f\dparen{x + k\dfrac{d}{R}} + d\dparen{y − k\dfrac{f}{R}} = R \end{equation}

Omdat \( R \) een deler is van \( d \) en ook van \( f \) leveren de delingen door \( R \) in deze formule altijd hele getallen op.

De bij elkaar horende mogelijke waarden van \( P \) en \( Q \) zijn dan

\begin{align} P \| = x + k\dfrac{d}{R} \\ Q \| = −y + k\dfrac{f}{R} \end{align}

voor willekeurige hele \( k \) waarvoor \( P, Q \gt 0 \). De kleinste bruikbare positieve \( P \) en de daarbij horende waarde van \( Q \) zijn

\begin{align} P_1 \| = \dmod{x}{d/R_1} \\ Q_1 \| = \dmod{−y}{f/R_1} \end{align}

Deze \( P_1, Q_1, R_1 \) voldoen aan vergelijkingen \eqref{eq:PQR}ff, want

\begin{equation} \dfloorratio{fP_1}{d} = \dfloorratio{dQ_1 + R_1}{d} = Q_1 + \dfloorratio{R_1}{d} = Q_1 \end{equation}

omdat \( \dfloor{R_1/d} = 0 \) omdat \( R_1 = \gcd(f,d) \lt d \) omdat \( f \lt d \). En als \( Q_1 \) past dan past \( R_1 \) ook.

Om \( X \gt 0 \) te krijgen moet zeker gelden \( P ≤ w/f \), dus de grootste bruikbare \( P \) is

\begin{equation} P_\text{max} = \dfrac{w}{f} − \dmod{\dfrac{w}{f} − P_1}{d/R_1} \end{equation}

De stapgrootte tussen opeenvolgende waarden van \( P \) die bij deze \( R \) horen is \( d/R \) dus als \( d/R \gt w/f \) (dus \( fd/R \gt w \)) dan is er misschien helemaal geen acceptabele waarde van \( P \) voor deze \( R \). In dat geval is \( P_\text{max} \lt 0 \).

Als je voor \( R = R_1 \) geen acceptabele waarde van \( P \) kunt vinden, probeer dan een steeds groter veelvoud van \( R_1 \) tot je wel een acceptabele \( P \) vindt. Dat kan, want omdat

\begin{equation} fP_1 − dQ_1 = R_1 \end{equation}

geldt ook

\begin{equation} fnP_1 − dnQ_1 = nR_1 \end{equation}

voor willekeurige \( n \).

Maar \( nP_1 \) mag niet groter zijn dan \( w/f \) dus \( n \) mag niet groter zijn dan \( w/(fP_1) \) en dat is vaak helemaal niet zo groot.

Om toch meer kleine waarden van \( P \) te vinden kunnen we gebruik maken van de modulus-functie. Als we voor \( P \) nemen

\begin{equation} P = \dmod{nP_1}{(d/R_1)} \end{equation}

dan is

\begin{align} \dfrac{nP_1R_1}{d} \| = n\dfrac{R_1}{f}\dfrac{dQ_1 + R_1}{d} \\ P \| = \dfrac{d}{R_1}\dmod{\dfrac{nP_1R_1}{d}}{1} \\ \dfrac{fP}{d} \| = \dfrac{f}{R_1}\dmod{\dfrac{nP_1R_1}{d}}{1} = \dfrac{f}{R_1}\dmod{n\dfrac{R_1}{f}\dfrac{dQ_1 + R_1}{d}}{1} \notag \\ \| = \dmod{nQ_1 + \dfrac{nR_1}{d}}{(f/R_1)} \\ Q \| = \dfloorratio{fP}{d} = \dfloor{\dmod{nQ_1 + \dfrac{nR_1}{d}}{(f/R_1)}} \notag \\ \| = \dmod{\dfloor{nQ_1 + \dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} = \dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} \eqvide{eq:modfloor} \\ R \| = fP − dQ \notag \\ \| = d\dmod{nQ_1 + \dfrac{nR_1}{d}}{(f/R_1)} − d\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} \notag \\ \| = d\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}} + \dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} − d\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} \notag \\ \| = d\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} + d\dmod{\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} \notag \\ \| − \dfrac{fd}{R_1} C\dparen{\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} + \dmod{\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} ≥ \dfrac{f}{R_1}} \notag \\ \| − d\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} \notag \\ \| = d\dmod{\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} \notag \\ \| − \dfrac{fd}{R_1} C\dparen{\dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} + \dmod{\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} ≥ \dfrac{f}{R_1}} \end{align}

Er geldt \( f/R_1 ≥ 1 \) en \( 0 ≤ \dmod{nR_1/d}{1} \lt 1 \) dus de \( \dmod{•}{(f/R_1)} \) daaromheen heeft geen effect, dus

\begin{equation} d\dmod{\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1}}{(f/R_1)} = d\dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1} = \dmod{nR_1}{d} \end{equation}

De formule binnen de \( C(•) \) is net zo om te schrijven tot

\begin{equation} \dmod{nQ_1 + \dfloor{\dfrac{nR_1}{d}}}{(f/R_1)} + \dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1} ≥ \dfrac{f}{R_1} \end{equation}

Er geldt

\begin{align} nQ_1 + \dfloorratio{nR_1}{d} \le \dfrac{f}{R_1} − 1 \\ \dmod{\dfrac{nR_1}{d}}{1} \lt 1 \end{align}

omdat \( nQ_1 \) en \( \dfloor{nR_1/d} \) en ook \( f/R_1 \) hele getallen zijn. Dus de som van die twee is kleiner dan \( f/R_1 \), dus aan de voorwaarde binnen de \( C(•) \) is nooit voldaan, dus die term valt weg. Al met al vinden we

\begin{align} P \| = \dmod{nP_1}{(d/R_1)} \\ Q \| = \dmod{nQ_1 + \dfloorratio{nR_1}{d}}{(f/R_1)} \\ R \| = \dmod{nR_1}{d} \end{align}

Voor de berekening is deze vorm handiger:

\begin{align} P \| = \dmod{nP_1}{(d/R_1)} \\ \{ ρ, R \} \| = \Div(nR_1, d) \\ Q \| = \dmod{nQ_1 + ρ}{(f/R_1)} \end{align}

Zolang geldt \( n \lt d/R_1 \) is \( \dfloor{nR_1/d} = 0 \) en dus \( Q = \dmod{nQ_1}{(f/R_1)} \). Dat zal in de praktijk meestal het geval zijn.

Om

\begin{equation} X = (w − fP − t)\dfrac{P}{R} \gt 0 \end{equation}

te vinden moet \( P \) voldoende dicht bij \( P_0 = (w − t)/(2f) \) liggen.

Met \( P = \dmod{nP_1}{(d/R_1)} \) is de kleinste positieve waarde \( n_0 \) van \( n \) waarvoor we \( P = P_0 \) krijgen gelijk aan \( n_0 = P_0/P_1 \), en de volgende waarde van \( n \) waarvoor \( P = P_0 \) ligt steeds \( d/P_1R_1 \) hoger dan de vorige, dus de waarden \( n_k \) van \( n \) die \( P = P_0 \) geven zijn

\begin{equation} n_k = \dfrac{P_0}{P_1} + k\dfrac{d}{P_1R_1} \end{equation}

voor hele waarden \( 0 ≤ k \lt d \).

Het hele getal \( [n_k] = \dfloor{n_k + 1/2} \) het dichtste bij \( n_k \) is dan de kandidaat-\( n \). Calculate \( X \) for that value of \( n \) to see if it meets the condition that \( X \gt w \).

Als we formules \eqref{eq:detour1}ff gebruiken dan is het voldoende dat \( X ≥ d \) om alle waarden \( |x| ≤ w \) aan te kunnen, want dan kunnen we formules \eqref{eq:detour1}ff gebruiken om eerst \( |x| \lt d \) te maken. Als we formules \eqref{eq:detour1}ff niet gebruiken, dan moet \( X ≥ w \) zijn om alle waarden \( |x| \lt w \) aan te kunnen.

Er kunnen meerdere combinaties van \( P \), \( Q \) en \( R \) zijn die \( X ≥ w \) of \( X ≥ d \) geven, en die zijn dan allemaal goed genoeg. Binnen die groep geven we weer de voorkeur aan kleine \( P \), \( Q \), \( R \), want dat rekent en leest gemakkelijker.

Ik heb voor alle \( w \) van 3 tot 1024 onderzocht wat de grootste waarden van \( f \) en \( d \) zijn waarvoor oplossingen te vinden zijn met \( X ≥ d \) of \( X ≥ w \), en wat de grootste \( P \), \( Q \), \( R \) en \( X \) zijn voor zulke oplossingen, en het grootste aantal \( c \) oplossingen, en het totale aantal \( N \) van combinaties van \( f \) en \( d \) waarvoor tenminste één oplossing is. Ik vind

\begin{align} \max(f_w) \| ≈ \dfloorratio{w}{4} \\ \max(f_d) \| ≈ \dfloorratio{w}{3} \\ \max(d_w) \| ≈ w − 5 + ⌊w⌉_2 \\ \max(d_d) \| ≈ w − 1 \\ \max(c_w) \| ≈ \dfloorratio{w+8}{16} \\ \max(c_d) \| ≈ \dfloorratio{w−1}{2} \\ \max(P_w) \| ≈ \dfloorratio{w}{2} − 2 + ⌊w⌉_2 \\ \max(P_d) \| ≈ \dfloorratio{w}{2} − 1 \\ \max(Q) \| ≈ \dfloorratio{2\sqrt{w − 1} − 3}{2} \\ \max(R_w) \| ≈ \dfloorratio{\sqrt{w + 1} − 1}{2} \\ \max(R_d) \| ≈ \frac{\sqrt{w(w + 1100)}}{25} \\ \max(X) \| ≈ \dfloorratio{w^2}{8} \\ N_w \| ≈ \frac{1}{5}w^{5/3} \\ N_d \| ≈ \frac{1}{3}w^{5/3} \end{align}

waar de variabelen met subscript \( w \) alleen slaan op \( X \gt w \), die met subscript \( d \) alleen op \( X \gt d \), en die zonder subscript slaan op allebei. De formules voor \( \max(R_d) \), \( N_w \) en \( N_d \) zijn benaderingen; de andere formules zijn exact voor \( 10 ≤ w ≤ 1024 \).

Als we bovenstaande formules extrapoleren naar \( w = 2^{31} − 1 \) (voor waarden met een breedte van 32 bits), dan vinden we ongeveer

\begin{align*} \max(f_w) \| ≈ 5.4×10^8 \\ \max(f_d) \| ≈ 7.2×10^8 \\ \max(d) \| ≈ 2.1×10^9 \\ \max(c_w) \| ≈ 1.3×10^8 \\ \max(c_d) \| ≈ 1.1×10^9 \\ \max(P) \| ≈ 1.1×10^9 \\ \max(Q) \| ≈ 46340 \\ \max(R_w) \| ≈ 23170 \\ \max(R_d) \| ≈ 8.6×10^7 \\ \max(X) \| ≈ 5.8×10^{17} \\ N_w \| ≈ 7.1×10^{14} \\ N_d \| ≈ 1.2×10^{15} \end{align*}

dus als we zoeken naar een oplossing voor \( X ≥ w \) (zodat we formules \eqref{eq:detour1}ff niet nodig hebben) dan hoeven we hooguit 23170 verschillende waarden van \( R \) te proberen. Als zo'n oplossing niet bestaat, dan zoeken we naar een oplossing voor \( X ≥ d \) (waarbij we formules \eqref{eq:detour1}ff wel nodig hebben) en moeten we tot ongeveer 86 miljoen waarden van \( R \) proberen, wat nog steeds veel minder is dan de tot 1100 miljoen waarden van \( P \).

Voor een gegeven \( w \) is er voor lang niet alle combinaties van \( d \) en \( f \) tenminste één oplossing met \( X ≥ w \) of \( X ≥ d \). Bijvoorbeeld, voor \( w = 499 \) zijn er maar 6554 combinaties van \( d \) en \( f \) met tenminste één oplossing met \( X ≥ w \), en 10560 combinaties met tenminste één oplossing met \( X ≥ d \), terwijl er \( \frac{1}{2} (w − 2)×(w − 3) = 123256 \) combinaties zijn met \( 2 ≤ f \lt d \lt w \). Hoe groter \( f \) is, hoe kleiner de kans dat er een oplossing is voor de combinatie van die \( f \) en een willekeurige \( d \gt f \).

Echter, als \( f \) en \( d \) flink kleiner zijn dan \( w \) dan is er wel een goede kans op een oplossing. Bijvoorbeeld, voor \( w = 2^{31} − 1 \) en voor \( f \) en \( d \) in de buurt van \( f ≈ 25920 \) en \( d ≈ 765433 \) is er maar voor ongeveer 1 op de 9100 combinaties van \( f \) en \( d \) geen oplossing met \( X ≥ d \), en voor maar ongeveer 1 op de 54 combinaties geen oplossing met \( X ≥ w \).

12.3. Simpele kalender

We spreken voor het gemak over een kalender met alleen "dagen" en "maanden", waarbij de maanden langer zijn dan dagen, maar de formules werken natuurlijk ook voor andere tijdseenheden. Over kalenders met meer dan twee tijdseenheden hebben we het later.

We geven met \( m \) het maandnummer aan, met \( d \) het dagnummer in de maand, en met \( s \) het doorlopende dagnummer dat het begin- of eindpunt van de berekening is.

12.3.1. Van maand en dagnummer in de maand naar lopende dagnummer

In het simpelste geval is de gemiddelde lengte van de maand gelijk aan \( p \) dagen en zijn alle maanden óf \( ⌊p⌋ \) óf \( ⌊p⌋ + 1 \) dagen lang. We noemen de kortste maandlengte \( q \), en de fractie van de maanden die lang zijn noemen we \( ψ \). Dan

\begin{eqnarray} q \| = \| \dfloor{p} \\ p \| = \| q + ψ \end{eqnarray}

Het doorlopende dagnummer \( s \) hangt op de volgende manier af van maandnummer \( m \) en dagnummer-in-de-maand \( d \):

\begin{eqnarray} σ \| ≡ \| ⌊pm + b⌋ \label{eq:sm} \\ s \| ≡ \| σ + d \label{eq:s} \end{eqnarray}

waarbij \( m, d, s, σ \) hele getallen zijn, en \( p ≥ 1 \) en \( b \) voor een bepaalde kalender vaste waarden hebben. De eerste maand heeft \( m = 0 \) en de eerste dag van de maand heeft \( d = 0 \), want dat rekent eenvoudiger. \( σ \) is het lopende dagnummer van het begin van de maand. Als er waarden van \( σ \) voor verschillende maanden van belang zijn dan schrijven we \( σ[m] \) voor de waarde van \( σ \) die hoort bij maand \( m \).

De eerste dag (\( d = 0 \)) van de eerste maand (\( m = 0 \)) heeft lopende dagnummer \( s = 0 \), dus

\begin{equation} ⌊b⌋ = 0 ⇔ 0 ≤ b \lt 1 \end{equation}

Dus \( b \) moet tussen 0 en 1 zijn (0 kan wel, 1 kan niet).

12.3.2. Maandlengte

De lengte \( L(m) \) van maand \( m \) is

\begin{eqnarray} L(m) \| = \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \| \dfloor{q (m + 1) + ψ (m + 1) + b} − \dfloor{qm + ψm + b} \notag \\ \| = \| q + \dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = \| q + \dfloor{ψm + b} + C\dparen{\dmod{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} − \dfloor{ψm + b} \eqavide{eq:splitfloor} \notag \\ \| = \| q + C\dparen{\dmod{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} \end{eqnarray}

Elke maand is \( q \) of \( q + 1 \) dagen lang. Maand \( m \) is lang (met \( q + 1 \) dagen) als \( \dmod{ψx + b}{1} ≥ 1 − ψ \). Gemiddeld is er een lange maand na elke

\begin{equation} Q = \frac{1}{ψ} \label{eq:Q} \end{equation}

maanden, maar dat is niet altijd een heel getal, dus in de praktijk is het aantal maanden tussen twee opeenvolgende lange maanden gelijk aan \( ⌊Q⌋ \) of \( ⌈Q⌉ \).

Ook geldt

\begin{align} L(m) \| = q + \dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = q + ψm + ψ + b − \dmod{ψm + b + ψ}{1} − \dparen{ψm + b − \dmod{ψm + b}{1}} \notag \\ \| = q + ψ + \dmod{ψm + b}{1} − \dmod{ψm + b + ψ}{1} \notag \\ \| = p + \dmod{ψm + b}{1} − \dmod{ψm + b + ψ}{1} \end{align}

12.3.3. Maandpatroon verschuiven

Hiermee krijgen we een bepaald patroon van lange en korte maanden. Stel dat dat precies het patroon is dat we willen, behalve dat het \( ∆m \) maanden verschoven moet worden. Dus als \( σ_* \) bij de oude kalender hoort (met \( b_* \)) en \( σ \) bij de nieuwe kalender (met \( b = b_* + ∆b \)) dan willen we dat voor alle waarden van \( m \) geldt dat

\begin{equation} σ(m + 1) − σ(m) = σ_*(m + ∆m + 1) − σ_*(m + ∆m) \end{equation}

Nu geldt

\begin{align} \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + 1) + b} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{pm + b + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{\dfloor{pm + b} + \dmod{pm + b}{1} + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{pm + b} + \dfloor{\dmod{pm + b}{1} + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{pm + b}{1} + p} \end{align}

en net zo

\begin{align} \| σ_*(m + ∆m + 1) − σ_*(m + ∆m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + ∆m + 1) + b_*} − \dfloor{p(m + ∆m) + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{pm + p∆m + b_* + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{\dfloor{pm + p∆m + b_*} + \dmod{pm + p∆m + b_*}{1} + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{pm + p∆m + b_*} + \dfloor{\dmod{pm + p∆m + b_*}{1} + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{pm + b_* + p∆m}{1} + p} \end{align}

dus we krijgen wat we willen als

\begin{equation} b = \dmod{b_* + p∆m}{1} \end{equation}

12.3.4. Van lopende dagnummer naar maand en dagnummer in de maand

We gaan van lopende maandnummer \( m \) en dagnummer \( d \) in de maand naar lopende dagnummer \( s \) via een formule zoals

\begin{equation} s = \dfloor{pm + v} + d = σ + d \label{eq:sv} \end{equation}

waar \( v \) een willekeurig getal is. Formule \eqref{eq:s} is zoals formule \eqref{eq:sv} als \( v = b \). We zoeken voor \( m \) uit \( s \) een formule zoals

\begin{equation} m = \dceilratio{s + u − p}{p} = \dceilratio{s + u}{p} − 1 \end{equation}

Voor welke \( u \) werkt dit?

\begin{align} m \| = \dceilratio{s + u − p}{p} \notag \\ \| = \dceilratio{\dfloor{pm + v} + d + u − p}{p} \eqavide{eq:s} \notag \\ \| = \dceilratio{d + u + pm + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} \notag \\ \| = m + \dceilratio{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} \end{align}

dus dan moet gelden

\begin{eqnarray} \dceilratio{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} = 0 \notag \\ −1 \lt \dfrac{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} ≤ 0 \notag \\ −p \lt d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p ≤ 0 \notag \\ \dmod{pm + v}{1} − v − d \lt u ≤ \dmod{pm + v}{1} − v − d + p \end{eqnarray}

Dit moet gelden voor all waarden van \( d \) en \( m \) die in de kalender kunnen voorkomen. Voor de linkerongelijkheid \( … \lt u \) betekent dit dat we de kleinste waarde van \( d \) invullen die kan voorkomen, want hogere waarden van \( d \) voldoen eerder aan die ongelijkheid dan lagere waarden. Dus daar kunnen we \( d = 0 \) invullen.

Voor de rechterongelijkheid \( u ≤ … \) moeten we de grootste waarde van \( d \) invullen die kan voorkomen, want lagere waarden van \( d \) voldoen eerder aan die ongelijkheid dan hogere waarden. Dus daar kunnen we \( d = L(m) − 1 \) invullen, het dagnummer-in-de-maand van de laatste dag van maand \( m \). Dat schrijven we om naar een hier handigere vorm.

\begin{align} L(m) \| = σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + 1) + v} − \dfloor{pm + v} \notag \\ \| = \dparen{pm + v + p − \dmod{pm + v + p}{1}} − \dparen{pm + v − \dmod{pm + v}{1}} \notag \\ \| = p + \dmod{pm + v}{1} − \dmod{pm + v + p}{1} \end{align}

Daarmee vinden we

\begin{equation*} \dmod{pm + v}{1} − v \lt u ≤ \dmod{pm + v}{1} − v − \dparen{p + \dmod{pm + v}{1} − \dmod{pm + v + p}{1} − 1} + p \end{equation*}

\begin{equation} \dmod{pm + v}{1} − v \lt u ≤ \dmod{pm + v + p}{1} − v + 1 \end{equation}

Voor de linkerongelijkheid \( … \lt u \) moeten we de grootst mogelijke waarde van \( \dmod{pm + v}{1} \) aanhouden. Die is net kleiner dan 1, dus als we daar 1 invullen dan mag de \( \lt \) veranderen in \( ≤ \). Voor de rechterongelijkheid \( u ≤ … \) moeten de kleinst mogelijke waarde van \( \dmod{pm + v + p}{1} \) aanhouden, en dat is 0. Daarmee vinden we

\begin{equation} 1 − v ≤ u ≤ 1 − v \end{equation}

Voor die ongelijkheden is precies één oplossing:

\begin{equation} u = 1 − v \end{equation}

dus

\begin{equation} m = \dceilratio{s + 1 − v − p}{p} = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 \label{eq:svtom} \end{equation}

Het was hiervoor nodig om de eis \( d ≤ L(m) − 1 \) te gebruiken. Als we in plaats daarvan \( d \lt L(m) \) hadden gebruikt dan hadden we geen oplossing gevonden. Dat betekent dat je misschien het verkeerde antwoord vindt als \( s \) een gebroken getal is dat hoort bij een moment tijdens de laatste dag van de maand.

De overgang van de ene waarde van \( m \) naar de andere gebeurt als

\[ \dfrac{s + 1 − v − p}{p} \]

precies een heel getal (laten we het \( μ \) noemen) is, dus als

\[ s = pμ + p + v − 1 = p(μ + 1) + v − 1 \]

\( p \) en \( v \) hoeven geen hele getallen te zijn, dus hoeft die \( s \) waar formule \eqref{eq:svtom} naar een nieuwe maand gaat dat ook niet te zijn.

Dus moet in formule \eqref{eq:svtom} \( s \) een heel getal zijn, anders vind je misschien het verkeerde maandnummer \( m \).

En dan kunnen we ook \( d \) vinden.

\begin{align} pm \| = p\dceilratio{s + 1 − v}{p} − p \notag \\ \| = p\dparen{\dfrac{s + 1 − v}{p} + \ddom{\dfrac{s + 1 − v}{p}}{1}} − p \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = s + 1 − v − p + \ddom{s + 1 − v}{p} \\ d \| = s − \dfloor{pm + v} \notag \\ \| = s − \dfloor{s + 1 − p + \ddom{s + 1 − v}{p}} \notag \\ \| = −\dfloor{1 − p + \ddom{s + 1 − v}{p}} \eqavide{eq:minusfloor} (s ∥ 1) \notag \\ \| = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − v}{p}} \eqavide{eq:minusceil} \end{align}

Dus als we \( s + 1 − v \) scheiden in

\begin{equation} s + 1 − v = pμ − δ = p\dceilratio{s + 1 − v}{p} − \ddom{s + 1 − v}{p} \end{equation}

dan

\begin{align} m \| = μ − 1 \label{eq:mviaμ} \\ d \| = \dceil{p − 1 − δ} \label{eq:dviaδ} \end{align}

We kunnen dit omschrijven voor gebruik met de \( \Div \)-functie, via

\begin{equation}\{−μ,δ\} = \Div(−(s + 1 − v), p)\end{equation}

Voor de simpele kalender is \( v = b \) dus dan

\begin{align} \{−μ,δ\} \| = \Div(−(s + 1 − b), p) \\ m \| = μ − 1 = \dceilratio{s + 1 − b}{p} − 1 \label{eq:ynaarx} \\ d \| = \dceil{p − 1 − δ} = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − b}{p}} \end{align}

12.4. Met alleen hele getallen

Rekenmachines en computers rekenen meestal met een beperkt aantal cijfers achter de komma, dus kun je last krijgen van afrondingsfouten. Als \( (s + 1 − b)/p = 6.99999999998 \) maar door een hele kleine afrondfout denkt je rekenmachine dat \( (s + 1 − b)/p = 7.00000000001 \), dan vindt je rekenmachine dat \( \dceil{(s + 1 − b)/p} = 7 \) in plaats van 6, en dan vind je de verkeerde maand.

Het omvormen van formules met \( ⌈•⌉ \) of \( ⌈•⌋_1 \) naar formules met \( ⌊•⌋ \) of \( ⌊•⌉_1 \) of \( \Div \) is gemakkelijker als alleen hele getallen worden gebruikt, want voor willekeurige hele getallen \( x \) en \( y \) (\( y \gt 0 \)) geldt

\begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \eqavide{eq:ceil2floor} \\ \ddom{x}{y} \| = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \eqavide{eq:ddom2dmod} \end{align}

Als de gemiddelde lengte \( p \) een breuk is, dan kunnen we afrondingsfouten ontlopen door de formules om te schrijven tot formules met breuken. We stellen

\begin{align} p \| = \dfrac{f}{g} = q + \dfrac{h}{g} \\ q \| = \dfloorratio{f}{g} \\ h \| = \dmod{f}{g} \end{align}

met \( f \), \( g \) hele getallen groter dan nul. Dan vinden we, voor een willekeurige waarde \( x \),

\begin{equation} \dmod{x}{f/g} = \dmod{x}{p} = p\dmod{\dfrac{x}{p}}{1} = \dfrac{f \dmod{\dfrac{gx}{f}}{1}}{g} = \dfrac{\dmod{gx}{f}}{g} \label{eq:gmodp} \end{equation}

en net zo

\begin{equation} \ddom{x}{f/g} = \dfrac{\ddom{gx}{f}}{g} \label{eq:gdomp} \end{equation}

Van maand \( m \) en dag \( d \) naar lopende dagnummer \( s \) gaat dan via

\begin{equation} t ≡ vg \end{equation}

\begin{align} s \| = \dfloor{pm + v} + d \notag \\ \| = \dfloor{\dfrac{fm + vg}{g}} + d \notag \\ \| = \dfloor{\dfrac{fm + t}{g}} + d \end{align}

waarbij we eisen dat ook \( t \) een heel getal is. Als \( v \) een breuk is kun je dat altijd voor elkaar krijgen door de juiste keuze van \( g \).

Voor de lengte van de maand vinden we

\begin{equation} L(m) = q + C\dparen{\dmod{hm + t}{g} ≥ g − h}\end{equation}

Voor de berekening van \( m \) en \( d \) uit \( s \) vinden we:

\begin{align} m \| = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 = \dceilratio{gs + g − t}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g − t − 1}{f} \eqavide{eq:ceil2floor} (t,g,s,f ∥ 1) \label{eq:ynaarx2} \\ d \| = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − v}{p}} \notag \\ \| = \dceilratio{f − g − \ddom{gs + g − t}{f}}{g} \eqavide{eq:gdomp} \notag \\ \| = \dfloorratio{f − g − \ddom{gs + g − t}{f} − 1}{g} + 1 \eqavide{eq:ceil2floor} (t,g,s,f ∥ 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{f − g − (f − 1 − \dmod{gs + g − t − 1}{f}) − 1}{g} + 1 \eqavide{eq:ddom2dmod} \notag \\ \| = \dfloorratio{\dmod{gs + g − t − 1}{f}}{g} \eqavide{eq:ddom2dmod} \end{align}

Samenvattend, van lopende maandnummer \( m \) en dagnummer \( d \) in de maand naar lopende dagnummer \( s \):

\begin{equation} s = \dfloorratio{fm + t}{g} + d \end{equation}

en van \( s \) naar \( m \) en \( d \):

\begin{align} w \| = gs + g − t − 1 \\ m \| = \dfloorratio{w}{f} \label{eq:ynaarxr} \\ d \| = \dfloorratio{\dmod{w}{f}}{g} \end{align}

Nu kun je alle berekeningen doen met breuken, die geen cijfers achter de komma hebben en dus geen afrondfouten geven.

12.5. Erg ongelijke maanden

Hierboven namen we aan dat een lange maand maar één dag langer was dan een korte maand, maar dat verschil mag best groter zijn. Stel dat korte maanden \( q \) dagen lang zijn en dat lange maanden \( q + r \) dagen lang zijn, met \( q\), \( r \) hele getallen groter dan nul, en dat een fractie \( ψ \) (tussen 0 en 1) van de maanden lang is. Dan is de gemiddelde lengte van een maand gelijk aan

\begin{equation} p = q + rψ \end{equation}

dagen. De formule om het doorlopende dagnummer \( σ \) van de eerste dag van maand \( m \) uit te rekenen is dan

\begin{equation} σ = qm + r\dfloor{ψm + b} \label{eq:sm2} \end{equation}

Als we daarin \( r = 1 \) invullen dan krijgen we

\begin{eqnarray} σ \| = \| qm + \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = \| \dfloor{(q + ψ)m + b} \notag \\ \| = \| \dfloor{pm + b} \end{eqnarray}

dus hetzelfde als formule \eqref{eq:sm}.

Met formule \eqref{eq:sm2} is de lengte \( L(m) \) van maand \( m \)

\begin{eqnarray} L(m) \| = \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \| q(m + 1) + r\dfloor{ψ(m + 1) + b} − (qm + r\dfloor{ψm + b}) \notag \\ \| = \| q + rC\dparen{\dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b}} \notag \\ \| = \| q + rC\dparen{\ddom{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} \eqavide{eq:splitfloor} \end{eqnarray}

dus de lange maanden zijn de maanden waarvoor \(\ddom{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1\), net als eerder bij de simpele kalender.

De formule om het doorlopende dagnummer \( s \) te berekenen uit maandnummer \( m \) en dagnummer-in-de-maand \( d \) is dan

\begin{eqnarray} s \| = \| σ + d \notag \\ \| = \| qm + r⌊ψm + b⌋ + d \label{eq:xnaary3} \end{eqnarray}

Hoe gaan we nu de andere kant op? Daartoe vergelijken we het doorlopende dagnummer dat uit vergelijking \eqref{eq:xnaary3} komt voor de eerste dag (\( d = 0 \)) van maand \( m \) met het doorlopende dagnummer dat voor dezelfde \( m \) komt uit de meest vergelijkbare simpelste kalender. We schrijven de uitkomst voor de gewenste kalender als \( σ \), en voor de simpelere vergelijkingskalender als \( σ_* \).

\begin{align} σ \| = qm + r\dfloor{ψm + b} \\ σ_* \| = qm + \dfloor{r(ψm + b)} = \dfloor{pm + rb} \label{eq:σ*} \\ ∆σ ≡ σ_* − σ \| = \dfloor{r(ψm + b)} − r\dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = r(ψm + b) − \dmod{r(ψm + b)}{1} − \dparen{r(ψm + b) − r\dmod{ψm + b}{1}} \notag \\ \| = r\dmod{ψm + b}{1} − \dmod{r(ψm + b)}{1} \notag \\ \| = r\dmod{ψm + b}{1} − \dmod{r\dmod{ψm + b}{1}}{1} \notag \\ \| = \dfloor{r\dmod{ψm + b}{1}} \end{align}

Voor dit verschil geldt

\begin{equation} 0 \le σ_* − σ \le r − 1 \end{equation}

dus het begin van maand \( m \) in de doelkalender is tussen \( 0 \) en \( r − 1 \) dagen (inclusief) voor het begin van maand \( m \) in de simpele kalender.

Voor die simpelere kalender gebaseerd op \( σ_* \) hebben we formule \eqref{eq:svtom} om het maandnummer uit te rekenen uit het lopende dagnummer:

\[ m_*(s) = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 \]

Dat betekent dat

\begin{equation} m_↑ = m_*(s + \max(∆σ)) = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \end{equation}

groter of gelijk is aan het goede maandnummer. En

\begin{equation} m_↓ = m_*(s + \min(∆σ)) = \dceilratio{s + \min(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \end{equation}

is kleiner of gelijk is aan het goede maandnummer.

Met \( m_↑ \) vinden we

\begin{equation} d_↑ = s − σ(m_↑) \end{equation}

Als \( d_↑ \lt 0 \) dan is \( m_↑ \) te groot. Als \( d_↑ \ge 0 \) dan hebben we het juiste maandnummer gevonden, maar die \( d_↑ \) is waarschijnlijk niet het juiste dagnummer.

Kunnen we een recept vinden om \( d \) uit te rekenen met een vast aantal stappen? Zoiets als

\begin{align} m_↑ \| ≡ \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \\ d_↑ \| = s − σ(m_↑) \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

waar \( ξ \) de correctie is die we moeten toepassen op \( m_↑ \) om \( m \) te vinden. We kunnen niet in alle gevallen \( ξ \) in één keer vinden, maar soms wel als \( ξ = 0 \) of \( ξ = 1 \), dus als het verschil tussen \( m_↑ \) en \( m \) hooguit 1 is.

We moeten dan hebben dat \( ξ = 0 \) als \( d_↑ ≥ 0 \) en dat \( ξ = −1 \) als \( d_↑ \lt 0 \). Dat suggereert zoiets als

\begin{equation} ξ = \dfloorratio{d_↑}{Ξ} \end{equation}

want dat geeft \( ξ = 0 \) als \( 0 \le d_↑ \lt Ξ \) en geeft \( ξ = −1 \) als \( −Ξ \le d_↑ \lt 0 \). Wat voor waarde moeten we dan gebruiken voor \( Ξ \)? Dat hangt af van de grootste en kleinste waarden die \( d_↑ \) kan hebben, dus laten we die afleiden.

\begin{align} s \| = σ(m) + d \notag \\ \| = σ_*(m) − ∆σ(m) + d \notag \\ \| = \dfloor{pm + v} − ∆σ(m) + d \notag \\ \| = pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d \end{align}

dus

\begin{align} m_↑ − m \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 − m \notag \\ \| = \dceilratio{pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 − m \notag \\ \| = \dceilratio{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} − 1 \end{align}

Altijd geldt \( 0 \lt 1 − \dmod{•}{1} \le 1 \) en \( \max(∆σ) − ∆σ(m) \ge 0 \) en \( d ≥ 0 \) dus is het stuk tussen \( \dceil{} \) altijd groter dan 0, dus \( m_↑ − m ≥ 0 \) zoals gewenst. Wanneer is zeker \( m_↑ − m ≤ 1 \)? Dan moet

\begin{align*} \dceilratio{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} ≤ 2 \\ \dfrac{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} ≤ 2 \\ 1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d ≤ 2p \end{align*}

De grootste waarde die \( d \) kan hebben is \( \max(L) − 1 \), dus we hebben zeker \( m_↑ − m \le 1 \) als

\begin{equation} ρ ≡ \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p ≤ 0 \label{eq:singlepass} \end{equation}

Als \( m_↑ = m \) dan is de kleinste waarde van \( d_↑ \) gelijk aan 0 en de grootste gelijk aan \( \max(L) − 1 \).

Als \( m_↑ = m + 1 \) dan

\begin{align} d_↑ \| = s − σ(m_↑) \notag \\ \| = s − σ(m + 1) \notag \\ \| = \dparen{pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d} \notag \\ \| − \dparen{pm + v + p − \dmod{pm + v + p}{1} − ∆σ(m + 1)} \notag \\ \| = d − p + \dparen{\dmod{pm + v + p}{1} − \dmod{pm + v}{1}} + ∆σ(m + 1) − ∆σ(m) \notag \\ \| \gt 0 − p + \min\dparen{\dmod{pm + v + p}{1} − \dmod{pm + v}{1}} + \min(∆σ(m + 1) − ∆σ(m)) \notag \\ \| = −p + (\dmod{p}{1} − 1) + \min(∆σ(m + 1) − ∆σ(m)) \eqavide{eq:domp} \notag \\ \| = −p + \dmod{p}{1} − 1 + \min(L_*(m) − L(m)) \notag \\ \| = −\dfloor{p} − 1 + \min(L_*(m) − L(m)) \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| ≥ −\dfloor{p} − 1 + \min(L_*) − \max(L) \notag \\ \| = −\dfloor{p} − 1 + \dfloor{p} − \max(L) \notag \\ \| = −1 − \max(L) \notag \\ d_↑ \| \gt −1 − \max(L) \\ d_↑ \| ≥ −\max(L) \end{align}

dus

\begin{equation} −\max(L) ≤ d_↑ ≤ \max(L) − 1 \end{equation}

Voor

\[ ξ = \dfloorratio{d_↑}{Ξ} \]

hebben we dan nodig dat aan allebei de volgende eisen is voldaan:

\begin{align*} \dfloorratio{−\max(L)}{Ξ} = −1 \\ \dfloorratio{\max(L) − 1}{Ξ} = 0 \end{align*}

Allebei die eisen zijn gelijkwaardig met

\begin{equation} Ξ ≥ \max(L) \end{equation}

Dus als we

\begin{equation} Ξ = \max(L) \end{equation}

gebruiken (of een grotere waarde) dan voldoen we aan beide voorwaarden.

Samengevat, als

\[ ρ = \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p ≤ 0 \]

dan

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \\ d_↑ \| = s − σ_↑ = s − σ(m_↑) \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{\max(L)} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

Met

\begin{align*} v \| = rb \\ \max(∆σ) \| = r − 1 \\ \min(∆σ) \| = 0 \\ \max(L) \|= q + r \\ p \| = q + rψ \end{align*}

vinden we

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + r − rb}{p} − 1 \label{eq:ynaarx3} \\ d_↑ \| = s − σ_↑ = s − σ(m_↑) \\ ρ \| = 2r(1 − ψ) − 1 − q \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + r} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

dus \( ρ ≤ 0 \) komt overeen met

\begin{equation} r ≤ \dfrac{1}{2} \dfrac{q + 1}{1 − ψ} ≥ q + 1 \end{equation}

Als \( ρ \gt 0 \) dan werkt bovenstaand recept niet altijd dus dan is dat recept niet geschikt. Zie dan hoofdstuk 12.7.

Als \( p = \dfrac{f}{g} \), \( ψ = \dfrac{h}{g}\) en \( b = \dfrac{t}{g} \) breuken zijn (\( f, g, h, t \) zijn hele getallen met \( f \gt g \gt 0 \), \( 0 \le h, t \lt g \)) dan vinden we

\begin{align} s \| = σ + d = qm + r\dfloorratio{hm + t}{g} + d \label{eq:xnaary3r} \\ m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\max(∆σ) + g − gv}{f} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\max(∆σ) + g − t}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g\max(∆σ) + g − t − 1}{f} \eqavide{eq:ceil2floor} \\ ρ \| = 2r\dparen{1 − \dfrac{h}{g}} − 1 − q \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − r\dfloorratio{hm_↑ + t}{g} \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + r} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − qm − r\dfloorratio{hm + t}{g} \end{align}

12.6. Veel soorten ongelijke maanden

Nu laten we toe dat er nog meer verschillende maandsoorten zijn met verschillende lengtes. In formule \eqref{eq:xnaary3} gaf \( \dfloor{ψm + b} \) het patroon van lange maanden (met verschuiving naar wens). We laten nu een willekeurig aantal van die patronen toe, elk met hun eigen lengteverschil \( r_i \) (dat positief of negatief mag zijn), voorkomstfractie \( 0 \lt ψ_i \lt 1 \) en verschuiving \( b_i \). Dan vinden we

\begin{align} σ \| = qm + \sum_{i}r_i \dfloor{ψ_im + b_i} \\ s = σ + d \| = qm + \sum_{i}r_i \dfloor{ψ_im + b_i} + d \label{eq:xnaary4} \end{align}

De afleiding van de formule in omgekeerde richting gaat analoog aan die van formule \eqref{eq:ynaarx3}. We vinden

\begin{align} σ_* \| = qm + \dfloor{\sum_i r_i (ψ_i m + b_i)} \notag \\ \| = \dfloor{pm + \sum_i r_i b_i} \notag \\ \| = pm + \sum_i r_i b_i − \dmod{\sum_i r_i \dparen{ψ_i m + b_i}}{1} \label{eq:σ*∑} \eqavide{eq:mod} \\ ∆σ = σ_* − σ \| = \dfloor{\sum_{i}r_{i}(ψ_{i}m + b)} − \sum_{i} r_{i}\dfloor{ψ_{i}m + b_{i}} \notag \\ \| = \dfloor{\sum_{i} r_{i}\dmod{ψ_{i}m + b_{i}}{1}} \eqavide{eq:dmoddiff1} \notag \end{align}

dus

\begin{align} v \| = \sum_i r_ib_i \\ \max(L) \| ≤ q + \sum_{r_i \gt 0} r_i \\ \max(∆σ) \| ≤ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − 1 \\ \min(∆σ) \| ≥ \sum_{r_i \lt 0} r_i \\ ρ \| = \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p \notag \\ \| ≤ 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} \end{align}

We mogen voor \( \max(L) \) in onderstaande formules best een hogere waarde invullen, zoals de waarde die hierboven aan de rechterkant van \( \max(L) ≤ \) staat, en net zo voor de andere ongelijkheden. We doen daarom hieronder voor het gemak alsof die ongelijkheden gelijkheden zijn.

En dus

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{s + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \sum_i r_i b_i}{p} − 1 \label{eq:ynaarx4} \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − \sum_i r_i\dfloor{ψ_i m_↑ + b_i} \\ ρ \| = 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} \end{align}

Als \( ρ ≤ 0 \) dan schelen \( m \) en \( m_↑ \) hooguit 1. Die eis komt overeen met

\begin{align} 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| + \dparen{\sum_{i} |r_i|} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \sum_{r_i \gt 0} r_i \| ≤ q + 1 + 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} − \dparen{\sum_{i} |r_i|} \eqavide{eq:singlepass} \end{align}

Dan

\begin{align} ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + \sum_{r_i \gt 0} r_i} \\ m \| = m_↑ + ξ \label{eq:xζ4} \\ d \| = s − qm − \sum_i r_i\dfloor{ψ_i m + b_i} \end{align}

Als alle \( ψ_i = h_i/g_i \) en \( b_i = t_i/g_i \), en als aan eis \eqref{eq:singlepass} is voldaan

\begin{align} p \| = q + \sum_i r_iψ_i = q + \sum_i \dfrac{r_i h_i}{g_i} \\ g \| = \lcm(g_i) \\ γ_i \| = \dfrac{g}{g_i} \\ f \| = pg = gq + \sum_i γ_i r_i h_i \\ s \| = qm + \sum_i r_i\dfloorratio{h_im + t_i}{g_i} + d \label{eq:xnaary4r} \\ m_↑ \| = \dceilratio{s + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i r_i b_i}}{f/g} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i γ_i r_i t_i}}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i γ_i r_i t_i} − 1}{f} \label{eq:ynaarx4r} \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − \sum_i r_i\dfloorratio{h_im_↑ + t_i}{g_i} \\ ρ \| = 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i \dfrac{r_i h_i}{g_i}} \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + \sum_{r_i \gt 0} r_i} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − qm − \sum_i r_i\dfloorratio{h_im + t_i}{g_i} \end{align}

\( g \) is het kleinste gemene veelvoud van de noemers van alle \( ψ_i \) en \( b_i \).

12.7. Heel erg ongelijke maanden

Voorgaande methoden voor het berekenen van de kalenderdatum uit het doorlopende dagnummer voor kalenders met erg ongelijke maanden gingen er van uit dat de variatie in maandlengtes voldoende klein is dan het maandnummer berekend met de overeenkomstige simpele kalender hooguit eentje fout is: \( 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_iψ_i} ≤ 0 \). Wat nu als aan die voorwaarde niet voldaan is?

In dat geval zul je de juiste maand moeten vinden door te zoeken. Probeer eerst maandnummer \( m_↑ \) en reken de bijbehorende \( d_↑\) en \( ξ \) uit. Is deze \( ξ \lt 0 \)? Trek dan 1 af van \( m_↑ \) en probeer opnieuw, net zo lang tot \( ξ = 0 \): dan heb je de juiste \( m \) gevonden.

Pas op! In eerdere hoofdstukken telden we \( ξ \) op bij \( m_↑ \) om het maandnummer te corrigeren, maar hier zijn we er niet zeker van dat we dan nooit een te klein maandnummer vinden. Een te groot maandnummer is eenvoudig te herkennen (dan is \( d_↑ \lt 0 \)) maar een te klein maandnummer niet. Dus hier moeten we niet \( ξ \) erbij tellen. Als \( ξ \lt 0 \), trek dan 1 af van het maandnummer en probeer het met dat nieuwe maandnummer, net zo lang tot \( ξ = 0 \).

Je kunt deze procedure desgewenst ook gebruiken als wel aan eis \eqref{eq:singlepass} is voldaan.

Het grootste aantal maandnummers dat je misschien moet nakijken voordat je de goede gevonden hebt is gelijk aan de maximale waarde die \( m_↑ − m_↓ \) kan bereiken, plus 1.

\begin{align} m_↑ − m_↓ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − \dceilratio{s + \min(∆σ) + 1 − v}{p} \\ \| ≤ \dceilratio{\max(∆σ) − \min(∆σ)}{p} + 1 \eqavide{eq:ceildiffrange} \end{align}

dus het aantal maanden dat je hooguit hoeft te proberen is ten hoogste

\begin{equation} N = \dceilratio{\max(∆σ) − \min(∆σ)}{p} + 2 \end{equation}

Voor een kalender met twee maandlengtes wordt dat

\begin{equation} N = \dceilratio{r − 1}{p} + 2 \end{equation}

en voor een kalender met meer maandlengtes

\begin{align} N \| ≤ \dceilratio{\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i}}{p} + 2 \\ \| = \dceilratio{\sum_i |r_i|}{p} + 2 \end{align}

12.8. Maandlengtes zonder intern patroon

In het voorgaande beschouwden we kalenders waarvan de maandlengtes uit te drukken zijn als de som van verschillende patronen, bijvoorbeeld met elke tweede maand een dag extra en bovendien elke derde maand nog eens twee dagen extra, zodat elke zesde maand in totaal drie dagen extra krijgt. Maar wat nu als de maandlengtes zichzelf na een bepaald aantal herhalen maar er verder geen patroon in te ontdekken valt?

De kalender heeft \( f \) dagen in \( g \) maanden, met een gemiddelde maandlengte gelijk aan \( p = f/g \) dagen. Het verband tussen het lopende dagnummer \( s \) en het lopende maandnummer \( m \) is een trapfunctie: na een (wisselend) aantal dagen neemt het maandnummer toe met één. Zo'n trede van één die gebeurt net vóór dag \( a \) en zich elke \( f \) dagen weer herhaalt krijgen we met een functie

\begin{equation} \dfloorratio{s − a}{f} + 1 = \dfloorratio{s + f − a}{f} \end{equation}

De \( + 1 \) zorgt ervoor dat de uitkomst 0 is voor \( s \lt a \) en 1 voor \( s ≥ a \).

Als er \( g \) maanden zijn, elk met hun eigen \( a_i \) (voor \( i \) van 0 tot en met \( g − 1 \)), dan is hun gecombineerde effect

\begin{equation} \sum_{i=0}^{g−1} \dparen{\dfloorratio{s − a_i}{f} + 1} = g + \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s − a_i}{f} = \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s + f − a_i}{f} \end{equation}

We willen zoals gewoonlijk dat maand \( m = 0 \) begint als \( s = 0 \), dus dan moet \( a_0 = 0 \) zijn.

Als de opeenvolgende maandlengtes gelijk zijn aan \( L_i \), dan zit de eerste trede bij \( a_0 = 0 \), de tweede bij \( a_1 = a_0 + L_0 = L_0 \), de derde bij \( a_2 = a_1 + L_1 = L_0 + L_1 \), en in het algemeen

\begin{equation} a_i = \sum_{j=0}^{i-1} L_j \end{equation}

Daarmee is

\begin{equation} m = \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s + f − \sum_{j=0}^{i−1} L_j}{f} \label{eq:willekeurigynaarx} \end{equation}

De andere kant op hebben we ook treden, maar nu wisselen dagen en maanden van rol als lengte en hoogte van de treden. Daarmee wordt de formule voor het lopende dagnummer \( σ \) van de eerste dag van maand \( m \):

\begin{equation} σ = \sum_{i=0}^{g−1} L_i \dfloorratio{m + g − 1 − i}{g} \end{equation}

De formule om van het lopende maandnummer \( m \) en het dagnummer-in-de-maand \( d \) te gaan naar lopende dagnummer \( s \) (allen beginnend bij 0) is dan (met \( i \) die loopt van 0 tot en met \( g − 1 \))

\begin{equation} s = σ + d = \sum_{i=0}^{g−1} m_i \dfloorratio{m + g − 1 − i}{g} + d \label{willekeurigxnaary} \end{equation}

Deze formules zijn (als je de sommaties uitschrijft) een stuk langer dan de formules die we eerder afleidden voor kalenders met interne patronen, dus het is voordelig als je voor een kalender zulke interne patronen herkent, maar lang niet alle kalenders hebben zulke patronen.

De simpele kalender uit hoofdstuk 12.3 heeft \( s = \dfloor{pm + b} + d \). Om die kalender het begin van maand \( m \) op lopende dag \( s \) te laten leggen moeten we dus hebben \( s = \dfloor{pm + b} \) waaruit volgt dat \( s ≤ pm + b \lt s + 1 \) ofwel (voor \( m \gt 0 \)) \( (s − b)/m ≤ p \lt (s + 1 − b)/m \). We weten dat \( 0 ≤ b \lt 1 \), dus

\[ \frac{s − 1}{m} \lt \frac{s − b}{m} \le p \lt \frac{s + 1 − b}{p} \le \frac{s + 1}{p} \]

dus

\begin{equation} \frac{s − 1}{m} \lt p \lt \frac{s + 1}{m} \label{eq:beperkp} \end{equation}

Niet elke \( p \) die hieraan voldoet geeft een simpele kalender, maar als een \( p \) hieraan niet voldoet voor tenminste één van de maanden dan is er zeker geen simpele kalender voor deze maandlengtes.

12.9. Combinaties van rechte lijnen

Het is zeldzaam dat een kalender volledig bepaald is door alleen één periode \( p \), dus meestal moet je verschillende perioden combineren. Stel we hebben formules voor twee perioden:

\begin{align} y_1 \| = D_1(\{ x_1, z_1 \}) \\ y_2 \| = D_2(\{ x_2, z_2 \}) \end{align}

We gebruiken hier geen \( m \), \( d \) en \( s \) omdat we de vrijheid willen hebben om andere kalendereenheden dan maanden en dagen te gebruiken. \( x \) telt de grotere eenheid, en \( y \) en \( z \) tellen de kleinere eenheid. \( y \) is het lopende aantal van die kleinere eenheid, en \( z \) is het aantal van die kleinere eenheid sinds het begin van de meest recente grotere eenheid. Relatie \( D_1 \) zegt dat je \( y_1 \) uit kunt rekenen uit \( x_1 \) en \( z_1 \), en net zo voor \( D_2 \).

De andere kant op hebben we

\begin{align} \{ x_1, z_1 \} \| = U_1(y_1) \\ \{ x_2, z_2 \} \| = U_2(y_2) \end{align}

waar \( U \) en \( D \) elkaars inverse zijn:

\begin{align} y \| = D(U(y)) \\ \{ x, z \} \| = U(D(\{ x, z \})) \end{align}

Om van de kalenderdatum naar het lopende dagnummer te gaan passen we eerst \( D_1 \) toe en dan \( D_2 \). Er zijn twee manieren om deze te combineren: We kunnen de \( y_1 \) gelijk stellen aan \( z_2 \), of aan \( x_2 \). In het eerste geval hebben de twee relaties dezelfde schrikkeleenheden, bijvoorbeeld dagen. In het tweede geval hebben de twee perioden verschillende schrikkeleenheden (bijvoorbeeld soms een extra dag voor de eerste, en soms een extra maand voor de tweede). Als de grotere periode helemaal geen schrikkeleenheden nodig heeft, dan mag je kiezen welke combinatiemethode je wilt gebruiken.

Laten we het eerste geval de "vlakke" combinatie noemen, omdat de schrikkeleenheid hetzelfde blijft, en het tweede geval de "getrapte" combinatie, omdat de schrikkeleenheid een trapje hoger gaat.

De combinatie van maanden en jaren is in de meeste (misschien alle?) zonnekalenders (zoals de Gregoriaanse kalender, de Juliaanse kalender en de Egyptische kalender) vlak, dus van de eerste soort. Een maand kan een dagje korter of langer zijn dan een andere maand (en precies één maand kan veel korter zijn), en een jaar kan een dagje korter of langer zijn dan een ander jaar. De lengte van een jaar hangt niet af van de lengte van de maanden, want de regels voor de lengte van het jaar hangen af van het jaartal maar niet van een maandnummer.

De combinatie van maanden en jaren in een zongebonden maankalender (zoals de Joodse en Babylonische kalenders) kan vlak zijn met erg ongelijke jaarlengtes (\( r \gt 1 \)), of getrapt (dan meestal met \( r = 1 \)). Een maand kan een dagje korter of langer zijn dan een andere maand, en een jaar kan een maand korter of langer zijn dan een ander jaar. (Voor de vlakke combinatie kan één maand van het jaar een stuk korter zijn.) Op deze manier kun je twee afzonderlijke (astronomische) verschijnselen volgen: de beweging van de Zon (met het jaar), en de beweging van de Maan (met de maand). Als de combinatie getrapt is dan hangt de lengte van een jaar af van de lengte van de maanden, want de lengte van het jaar is dan een bepaald aantal maanden, niet een bepaald aantal dagen.

Niet-zongebonden maankalenders (zoals de administratieve Islamitische kalender) doen meestal niet aan schrikkeljaren, dus dan werken allebei de combinatiemethoden.

Als een kalender meer dan twee belangrijke grote perioden heeft met schrikkelregels (bijvoorbeeld niet alleen voor de maand en het jaar, maar ook voor de eeuw), dan is het mogelijk dat sommige combinaties vlak zijn en andere combinaties getrapt.

Als we met meer dan één periode rekening moeten houden dan is het voor het omrekenen van een doorlopend dagnummer naar een kalenderdatum rekentechnisch belangrijk dat de nummering binnen elk zulke periode begint bij 0.

12.9.1. Vlakke combinatie

In dit geval is \( z_2 = y_1 \), dus we vinden

\begin{align} y_1 \| = D_1\dparen{\{x_1, z_1\}} \\ y_2 \| = D_2\dparen{\{x_2, z_2\}} = D_2\dparen{\{x_2, D_1\dparen{\{x_1, z_1\}}\}} \label{eq:vlak} \end{align}

en omgekeerd

\begin{align} \{ x_2, z_2 \} \| = U_2(y_2) \label{eq:vlakr} \\ \{ x_1, z_1 \} \| = U_1(z_2) \end{align}

of, schematisch

  x₂ ──────────┐
  x₁ ┐         │
  z₁ ┴ y₁ = z₂ ┴ y₂

De onderste rij heeft de kleinste kalendereenheid, meestal dagen. Steeds hogere rijen hebben steeds grotere tijdseenheden, bijvoorbeeld maanden en jaren. \( x_2 \) zou dan bijvoorbeeld het jaartal zijn, \( x_1 \) het maandnummer in het jaar, \( z_1 \) het dagnummer in de maand, \( y_1 \) het dagnummer in het jaar, en \( y_2 \) het lopende dagnummer.

Voor het berekenen van de kalenderdatum uit het doorlopende dagnummer moeten we eerst de grotere periode berekenen (\( x_2 \), \( z_2 \)), en daarna de kleinere (\( x_1 \), \( z_1 \)).

12.9.2. Getrapte combinatie

In dit geval is \( x_2 = y_1 \), dus we vinden

\begin{align} y_1 \| = D_1\dparen{\{x_1, z_1\}} \\ y_2 \| = D_2\dparen{\{x_2, z_2\}} = D_2\dparen{D_1\dparen{\{x_1, z_1\}, z_2}} \end{align}

en omgekeerd

\begin{align} \{x_2, z_2\} \| = U_2(y_2) \\ \{x_1, z_1\} \| = U_1(x_2) \end{align}

of, schematisch

  x₁ ┐
  z₁ ┴ y₁ = x₂ ┐
  z₂ ──────────┴ y₂

Hier kan bijvoorbeeld \( x_1 \) het jaartal zijn, \( z_1 \) het maandnummer in het jaar, \( z_2 \) het dagnummer in de maand, \( y_1 \) het doorlopende maandnummer, en \( y_2 \) het doorlopende dagnummer.

12.10. Gelijktijdige cycli

In de meeste kalenders zijn er hogere en lagere perioden, en verandert het nummer van een hogere periode veel minder vaak dan het nummer van een lagere periode. Op de 7e dag van de 3e maand volgt de 8e dag van de 3e maand − het maandnummer verandert veel minder vaak dan het dagnummer.

Sommige kalenders hebben verschillende perioden die gelijktijdig oplopen. Ook de meestgebruikte kalenders hebben vaak zo'n geval, in de vorm van weekdagen en dagen van de maand. Als het een dag later wordt, dan verandert het dagnummer in de maand en ook de weekdag. Op maandag de 7e volgt dinsdag de 8e − het dagnummer en de weekdag veranderen even snel.

We hebben de weekdag niet nodig om een bepaalde dag uniek aan te wijzen (30 augustus 2011 wijst precies één dag aan, daarvoor hoeven we niet te weten dat dat een dinsdag was), dus komt de weekdag vaak niet voor in kalenderberekeningen. Echter, er zijn ook kalenders (bijvoorbeeld de kalenders van Midden-Amerika) waarin gelijktijdige perioden wel gebruikt worden om een bepaalde dag aan te wijzen. Hieronder bekijken we zulke gevallen.

Stel, een kalender gebruikt gelijktijdig perioden \( p_i \) (allemaal hele getallen groter dan 1) voor \( i \) van 1 tot en met \( n \). Het dagnummer in elke periode begint bij 0. We schrijven een datum in die kalender als \( \{x\} = \{x_1,x_2,…,x_n\} \), waarin \( x_i \) het dagnummer uit periode \( i \) is. Als \( x_i \) gelijk is aan \( p_i − 1 \), dan heeft de volgende dag weer \( x_i = 0 \).

12.10.1. Van doorlopend dagnummer naar datum

Om een doorlopend dagnummer \( s \) om te rekenen naar \( \{x\} \) kunnen we dan de volgende formule gebruiken:

\begin{equation} x_i = ⌊s + a_i⌉_{p_i} = (s + a_i) \bmod p_i \label{eq:cycli} \end{equation}

Hierin is \( a_i \) de waarde die \( x_i \) krijgt als \( s = 0 \). Die waarde hangt af van de kalender.

12.10.2. Van datum naar doorlopend dagnummer

Het is een stuk lastiger om de andere kant op te gaan. Dan moeten we een \( s \) vinden zodat voor alle \( i \) aan vergelijking \eqref{eq:cycli} voldaan is, ofwel

\begin{equation} s ≡ x_i − a_i \pmod{p_i} \end{equation}

We definiëren

\begin{equation} c_i = x_i − a_i \end{equation}

We bekijken eerst het geval \( n = 2 \). Dan moeten we \( s \) oplossen uit

\begin{align} s \| ≡ c_1 \pmod{p_1} \label{eq:c1} \\ s \| ≡ c_2 \pmod{p_2} \label{eq:c2} \end{align}

Er zijn alleen oplossingen als

\begin{equation} c_1 ≡ c_2 \pmod{g} \end{equation}

waar

\begin{equation} g = \gcd(p_1, p_2) \end{equation}

de grootste gemene deler van \( p_1 \) en \( p_2 \) is, dus we nemen aan dat hieraan voldaan is. Dan zijn er getallen \( n_1, n_2 \) te vinden waarvoor geldt

\begin{equation} g = n_1 p_1 + n_2 p_2 \end{equation}

en dan zijn de oplossingen

\begin{equation} s ≡ \dfrac{c_1 n_2 p_2 + c_2 n_1 p_1}{g} \pmod{\dfrac{p_1 p_2}{g}} \label{eq:cyclitoj} \end{equation}

De tellers van deze breuken bevatten een deler \( g \) dus deze delingen leveren altijd hele getallen op.

Let op! Formule \eqref{eq:cyclitoj} geeft alleen zinnige resultaten voor \( \{x\} \) die ook echt in de kalender voorkomen. Als \( g \) niet gelijk is aan 1, dan komen niet alle mogelijke \( \{x\} \) voor. Als je een \( \{x\} \) invult die niet in de kalender voorkomt, dan komt er toch een redelijk uitziend resultaat uit de formule, maar dat klopt dan niet.

12.10.3. Meer dan twee cycli

Met behulp van formule \eqref{eq:cyclitoj} komt uit \( s ≡ c_1 \pmod{p_1} \) en \( s ≡ c_2 \pmod{p_2} \) een andere formule \( s ≡ C_2 \pmod{P_2} \) met

\begin{align} C_2 \| ≡ \dfrac{c_1n_2p_2 + c_2n_1p_1}{\gcd(p_1, p_2)} \\ P_2 \| ≡ \dfrac{p_1p_2}{\gcd(p_1, p_2)} \end{align}

Die formule heeft weer dezelfde vorm als de twee formules waar we mee begonnen, dus kunnen we die formule weer op dezelfde manier combineren met \( s ≡ c_3 \pmod{p_3} \), en zo door tot we alle \( p_i \) gehad hebben. Uiteindelijk vinden we een formule die weer diezelfde vorm heeft \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \) en dat is dan de uiteindelijke oplossing.

De procedure is dan als volgt. Gegeven \( x_i \), \( p_i \), \( a_i \) voor \( i \) van 1 tot en met \( n \),

1. Zet

   \begin{align*} C_1 \| = x_1 − a_1 \\ P_1 \| = p_1 \end{align*}

2. Voor \( i \) van 2 tot en met \( n \):

   1. Bereken \( g_i = \gcd(P_{i−1}, p_i) \), de grootste gemene deler van \( P_{i−1} \) en \( p_i \).

   2. Vind \( n_i, m_i \) zodat

      \[ g_i = n_i P_i + m_i p_i \]

   3. Zet

      \begin{align*} C_i \| = \dfrac{C_{i−1} m_i p_i + c_i n_i P_{i−1}}{g_i} \\ P_i \| = \dfrac{P_{i−1}p_i}{g_i} \end{align*}

3. De oplossing is

   \begin{equation} s ≡ C_n \pmod{P_n} \label{eq:cycle} \end{equation}

12.10.4. Naar één oplossing

Omdat de datum \( \{x\} \) gegeven is als een serie posities in zich herhalende kringlopen is er een oneindig aantal dagen die bij die datum passen. Voor het doorlopende dagnummer \( s \) dat overeenkomt met datum \( \{x\} \) vonden we formule \eqref{eq:cycle}, die een oplossing geeft \( \bmod P_n \). Als je een dagnummer \( s \) gevonden hebt dat hoort bij datum \( \{x\} \), dan kun je willekeurige veelvouden van \( P_n \) daar bijtellen of aftrekken en dan heb je weer een dagnummer dat hoort bij datum \( \{x\} \). Hoe kiezen we de juiste?

Om de juiste oplossing te kiezen uit de oneindige verzameling van mogelijke oplossingen moeten we extra informatie gebruiken. Een toepasselijke manier is om de oplossing te zoeken die het dichtste bij een door ons gekozen datum \( s_0 \) ligt. Je kunt "het dichtste bij" hier op tenminste vier manieren uitleggen:

• de laatste op of voor \( s_0 \)
• de eerste op of na \( s_0 \)
• de laatste voor \( s_0 \)
• de eerste na \( s_0 \)

We bekijken die een voor een, voor \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \).

12.10.4.1. De laatste op of voor

We zoeken de laatste \( s \) op of voor \( s_0 \) die voldoet aan \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \). Dan, met \( k \) een heel getal,

\begin{align} s_0 − P_n \| \lt s ≤ s_0 \\ s_0 − P_n \| \lt C_n + kP_n ≤ s_0 \\ \frac{s_0 − C_n}{P_n} − 1 \| \lt k ≤ \frac{s_0 − C_n}{P_n} \end{align}

Er is maar één heel getal \( k \) dat aan deze ongelijkheid voldoet, namelijk

\begin{equation} k = \dfloorratio{s_0 − C_n}{P_n} \end{equation}

en daarmee

\begin{align} s \| = C_n + P_n \dfloorratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = C_n + P_n \dparen{\frac{s_0 − C_n}{P_n} − \mod1ratio{s_0 − C_n}{P_n}} \notag \\ \| = C_n + (s_0 − C_n) − P_n \mod1ratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = s_0 − \dmod{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = s_0 − ((s_0 − C_n) \bmod P_n) \label{eq:nearestle} \end{align}

12.10.4.2. De eerste op of na

We zoeken de eerste \( s \) op of na \( s_0 \) die voldoet aan \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \). Dan, met \( k \) een heel getal,

\begin{align} s_0 \| ≤ s \lt s_0 + P_n \\ s_0 \| ≤ C_n + kP_n \lt s_0 + P_n \\ \dfrac{s_0 − C_n}{P_n} \| ≤ k \lt \dfrac{s_0 − C_n}{P_n} + 1 \end{align}

Er is maar één heel getal \( k \) dat aan deze ongelijkheid voldoet, namelijk

\begin{equation} k = \dceilratio{s_0 − C_n}{P_n} \end{equation}

en daarmee

\begin{align} s \| = C_n + P_n \dceilratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = C_n + P_n \dparen{\dfrac{s_0 − C_n}{P_n} + \dom1ratio{s_0 − C_n}{P_n}} \notag \\ \| = C_n + (s_0 − C_n) + P_n \dom1ratio{s_0 − C_n}{P_n} \\ \| = s_0 + \ddom{s_0 − C_n}{P_n} \\ \| = s_0 + \dmod{C_n − s_0}{P_n} \\ \| = s_0 + ((C_n − s_0) \bmod P_n) \label{eq:nearestge} \end{align}

12.10.4.3. de laatste voor

De laatste \( s \) voor \( s_0 \) is één \( P_n \) eerder dan de eerste \( s \) op of na \( s_0 \), dus

\begin{equation} s = s_0 − P_n − \dmod{s_0 − C_n}{P_n} \end{equation}

12.10.4.4. De eerste na

De eerste \( s \) na \( s_0 \) is één \( P_n \) later dan de laatste \( s \) op of voor \( s_0 \), dus

\begin{align} s \| = s_0 + P_n + ⌈s_0 − C_n⌋_{P_n} \\ \| = s_0 + P_n + ⌊C_n − s_0⌉_{P_n} \end{align}

12.11. Samenvatting

Deze samenvatting noemt dagen en maanden, maar geldt ook voor andere tijdseenheden. We onderscheiden vier verschillende moeilijkheidsgraden: van 1 tot 4 worden de formules ingewikkelder maar kunnen ze ook meer gevallen aan.

1. De simpelste kalender heeft twee verschillende maandlengtes, waarbij de grotere één groter is dan de kleinere, en heeft geen verschuiving van het patroon van maandlengtes. Maand 0 is altijd een korte maand, en maand \( g − 1 \) (de laatste maand voor alles zich weer herhaalt) is altijd een lange maand.

2. Kalendertype 2 is gelijk aan kalendertype 1, behalve dat ook verschuiving van het patroon van maandlengtes toegestaan is.

3. Kalendertype 3 is gelijk aan kalendertype 2, maar nu kan het lengteverschil tussen de maandlengtes meer dan één zijn.

4. Kalendertype 4 is gelijk aan kalendertype 3, maar laat meer dan twee verschillende maandlengtes toe.

De tabel hieronder vat de kalenderformules samen, en maakt gebruik van de volgende definities:

• \( q \) is het aantal dagen in de kortste maand. \( q \) is een heel getal groter dan nul.

• \( p \) is de gemiddelde lengte van het oneindige aantal maanden dat deze kalender beschrijft (zelfs als door een vlakke combinatie met een andere kalender in de praktijk slechts een beperkt aantal maanden gebruikt wordt). \( p \) is groter dan nul, maar is meestal geen heel getal.

• \( f \), \( g \) zijn de teller en noemer uit \( p = f/g \). Het zijn hele getallen groter dan nul.

• \( h/g \), \( h_i/g_i \) is de fractie van het oneindige aantal maanden dat de afwijkende maandlengte (ongelijk aan \( q \)) heeft. \( h, h_i, g_i \) zijn hele getallen groter dan nul.

• \( r \), \( r_i \) is het verschil tussen een maandlengte en de basismaandlengte \( q \). Het zijn hele getallen groter dan nul.

• \( t/g \), \( t_i/g_i \) geeft aan over hoeveel maanden het patroon van maandlengtes verschoven wordt ten opzichte van het simpelste geval. Het zijn hele getallen. Alleen de waarden 0 tot \( g \) zijn belangrijk; waarde \( t + g \) heeft hetzelfde effect als waarde \( t \).

• \( γ_i = g/g_i \) is een factor die nodig is als niet alle \( g_i \) gelijk zijn.

• \( m \) is het doorlopende maandnummer. Het is een heel getal, en kan negatief, nul, of positief zijn.

• \( σ \) is het doorlopende dagnummer van het begin van maand \( m \). Het is een heel getal, en kan negatief, nul, of positief zijn.

• \( ξ \) is een correctie die je bij het maandnummer \( m \) op moet tellen om een betere schatting te krijgen voor het maandnummer. Dit is alleen van belang voor kalendertypes 3 en 4.

• \( d \) is het aantal dagen sinds het begin van de huidige maand, \( d = s − σ \).

 #     

Kalendertype 1 is als kalendertype 2 maar met \( t = 0 \).

Voor kalendertypen 3 en 4 geeft de formule voor \( m \) een bovengrens voor het maandnummer. De algemene procedure om het juiste maandnummer te vinden is dan:

Probeer de \( m \) die uit de formule in de tabel komt. Reken de bijbehorende \( σ\) uit en daarna \( d = s − σ \) en \( ξ \). Als \( ξ \) gelijk is aan 0 dan ben je klaar. Trek anders 1 af van \( m \) \(\) en probeer opnieuw.

Als \( ρ ≤ 0 \) dan hoef je \( ξ \) hooguit één maal uit te rekenen. Anders kunnen meer keren nodig zijn.

Als er meer dan twee tijdsperioden in het spel zijn, dan moeten verschillende kalenderniveaus gecombineerd worden.

13. Afleiding voor specifieke kalenders

Bijna alle kalenders onderscheiden drie basisperioden: dagen, maanden en jaren. Met één kalenderniveau (rechte lijn) kun je twee perioden verbinden, dus voor drie perioden zijn tenminste twee kalenderniveaus nodig.

We geven verderop voor elke kalenderberekening een diagram. We leggen die diagrammen uit aan de hand van dit voorbeeld:

  j ───────────┐ ┌─ a₁ ──────────┐
               (1)               │
  m ─(−1)─ m₀ ─┘ └─ m₁ ─┐        │
  d ─(−1)─ d₀ ─────────(2)─ d₁ ─(3)─ s ─(+J₀)─ J

De kalenderdatum met jaar, maand, dag \( j, m, d \) staat helemaal links, en het CJDN \( J \) staat rechts. De symbolen tussen haakjes, zoals (1) en (+J₀), geven een bewerking aan. De andere symbolen, zoals a₁ en d₁, geven tussenresultaten aan. De lijnen geven aan welke tussenresultaten uit de ene bewerking worden gebruikt in de andere bewerking. De tussenresultaten met namen met een a erin (zoals a₁) zijn gemeten in jaren, die met m zijn gemeten in maanden, en die met d, s, of J zijn gemeten in dagen. Namen met een c erin (zoals c₁, niet in bovenstaand diagram) zijn gemeten in eeuwen van 100 jaren. De bewerkingen met grotere eenheden staan hoger in het diagram dan die met kleinere eenheden.

De bewerkingen waarvoor een plus- of minteken tussen de haakjes staat geven de betreffende optelling of aftrekking aan als je van links (kalenderdatum) naar rechts (CJDN) gaat. Dus (+J₀) betekent dan dat je \( J_0 \) erbij telt. Als je van rechts (CJDN) naar links (kalenderdatum) gaat dat doe je juist het omgekeerde, dus dan betekent (+J₀) dat je \( J_0 \) er vanaf trekt.

Voor een bewerking waarvoor een getal zonder plus- of minteken tussen de haakjes staat geeft dat getal het volgnummer van de bewerking aan. Meer details van die bewerking worden dan later gegeven. De meeste van zulke bewerkingen (zoals hier bewerkingen 2 en 3) gaan van één naar twee getallen of omgekeerd, en komen overeen met één kalenderniveau uit het vorige hoofdstuk. En soms is er een bewerking (hier bewerking 1) die twee getallen aanpast, dus van twee getallen naar weer twee getallen gaat. Als het getal tussen ronde haken () staat dan gaat het om een kalenderniveau van type 1 of 2. Als het getal tussen rechte haken [] staat dan gaat het om een kalenderniveau van type 3 of 4.

Laten we kijken naar de maand \( m \). Gaand van links naar rechts komen we eerst bij (−1) dus er wordt 1 vanaf getrokken en dat levert \( m_0 \) op. Die gaat samen met \( j\) in bewerking 1 en dat levert \( a_1 \) (gemeten in jaren) en \( m_1 \) (gemeten in maanden) op. \( m_1 \) gaat naar bewerking 2, samen met \( d_0 \), en levert \( d_1 \) op. Die gaat samen met \( a_1 \) naar bewerking 3 en levert \( s \) op. Daar wordt \( J_0 \) bijgeteld en dan krijgen we het eindresultaat \( J \).

Je kunt het diagram ook van rechts naar links lezen. We beginnen met CJDN \( J \) aan de rechterkant. Gaand naar links komen we eerst bij (+J₀) dus er wordt \( J_0 \) van afgetrokken (omdat we van rechts naar links gaan) en dan vinden we \( s \). Die gaat in bewerking 3 en die levert \( a_1 \) en \( d_1 \) op. Die \( d_1 \) gaat in bewerking 2 en daar komen \( d_0 \) en \( m_1 \) uit. \( m_1 \) gaat samen met \( a_1 \) in bewerking 1 en daar komen \( j \) en \( m_0 \) uit. Dan komen we bij (−1) dus wordt er 1 bij opgeteld (omdat we van rechts naar links gaan) en dan vinden we \( m \).

In onderstaande berekeningen gebruiken we soms tussenresultaten die niet in die diagrammen staan. Die geven we aan met \( α_i \) als ze gemeten zijn in jaren, \( μ_i \) als ze gemeten zijn in maanden, \( δ_i \) als ze gemeten zijn in dagen, en \( ω_i \) als ze gemeten zijn in een andere eenheid. Die namen kunnen voor de tegengestelde kalenderrichtingen voor verschillende zaken gebruikt worden, dus \( α_1 \) in de beschrijving van hoe je van kalenderdatum naar lopende dagnummer gaat kan iets anders betekenen dan \( α_1 \) in de beschrijving van hoe je van lopende dagnummer naar kalenderdatum gaat.

13.1. De Juliaanse kalender

13.1.1. Van Juliaanse datum naar CJDN (1)

In de Juliaanse kalender volgt op drie gewone jaren van 365 dagen een schrikkeljaar van 366 dagen. Deze periode van vier jaren bevat dus 3×365 + 366 = 1461 dagen. Elke periode van vier jaren heeft dezelfde volgorde van maanden met hun maandlengtes.

Alle maanden hebben 30 of 31 dagen, behalve februari die er 28 of 29 heeft. Die extra-korte maand februari is een beetje een probleem, want die zorgt ervoor dat we te maken hebben met maar liefst vier verschillende maandlengtes. Dat lossen we op door februari te zien als laatste maand van het rekenjaar. Dan wordt maart rekenmaand 0 van het rekenjaar, en is de daaropvolgende februari rekenmaand 11 van datzelfde rekenjaar. We combineren een kalenderniveau tussen maanden en dagen met een kalenderniveau tussen jaren en dagen, en dan maken we met dat tweede kalenderniveau de lengte van het jaar zo dat de laatste rekenmaand (dus februari) toch korter wordt dan 30 dagen.

De berekeningen zijn schematisch zoals in het volgende diagram. We gaan nu van links naar rechts. Het jaar

  j ───────────┐ ┌─ a₁ ──────────┐
               (1)               │
  m ─(−1)─ m₀ ─┘ └─ m₁ ─┐        │
  d ─(−1)─ d₀ ─────────(2)─ d₁ ─(3)─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's (zoals in het vorige hoofdstuk) is

1. Eerst verschuiven we maanden en dagen zodat de eerste beginnen met waarde 0. 1 januari komt dan overeen met \( m_0 = 0, d_0 = 0 \).

   \begin{align} m_0 \| = m − 1 \\ d_0 \| = d − 1 \end{align}

2. Berekening 1 verschuift het maandnummer en jaarnummer zodat maart de eerste rekenmaand (maand \( m_1 = 0 \)) van het rekenjaar \( a_1 \) is in plaats van januari:

   \begin{align} \{ α_1, m_1 \} \| = \Div(m_0 − 2, 12) \\ a_1 \| = j + α_1 \end{align}

   \({j}\)	\({m}\)	\({a_0}\)	\({a_1}\)	\({m_1}\)
   0	1	−1	−1	10
   0	2	−1	−1	11
   0	3	0	0	0
   0	10	0	0	7
   0	11	0	0	8
   0	12	0	0	9
   1	1	−1	0	10
   1	2	−1	0	11
   1	3	0	1	0

3. Berekening 2 berekent het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar uit het rekenmaandnummer \( m_1 \) en het dagnummer \( d_0 \) sinds het begin van de rekenmaand:

   \begin{equation} d_1 = \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d_0 = 30 m_1 + \dfloorratio{3 m_1 + 2}{5} + d_0 \end{equation}

   Dit is een kalenderniveau van type 2, met \( f = 153, g = 5, q = 30, h = 3, t = 2 \).

   \({m}\)	\({d}\)	\({m_1}\)	\({d_0}\)	\({d_1}\)	\({L}\)
   1	1	10	0	306	31
   1	2	10	1	307
   1	31	10	30	336
   2	1	11	0	337	?
   2	2	11	1	338
   2	28	11	27	364
   2	29	11	28	365
   3	1	0	0	0	31
   4	1	1	0	31	30
   5	1	2	0	61	31
   6	1	3	0	92	30
   7	1	4	0	122	31
   8	1	5	0	153	31
   9	1	6	0	184	30
   10	1	7	0	214	31
   11	1	8	0	245	30
   12	1	9	0	275	31
   12	31	9	30	305	30

   In bovenstaande tabel geeft \( L \) de lengte van de betreffende maand aan. De lengte van de laatste rekenmaand van het jaar (dus februari) is aangegeven als "?" omdat die bepaald wordt door de lengte van het jaar, en die is niet steeds hetzelfde.

4. Berekening 3 berekent het lopende dagnummer \( s \) sinds het begin van rekenjaar 0 uit het rekenjaar \( a_1 \) en het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar:

   \begin{equation} s = \dfloorratio{1461 a_1}{4} + d_1 \end{equation}

   Dit is een kalenderniveau van type 2, met \( f = 1461, g = 4, q = 365, h = 1, t = 0 \).

   \({a_1}\)	\({s}\)	\({L}\)
   0	0	365
   1	365	365
   2	730	365
   3	1095	366
   4	1461

   In bovenstaande tabel geeft \( L \) de lengte van het betreffende jaar aan: 3 jaren van 365 dagen elk, gevolgd door een jaar van 366 dagen ― het schrikkelaar. Na die 4 jaren herhaalt de boel zich.

5. En dan tellen we er de CJDN van het begin van rekenjaar 0 (dus 1 maart van jaar 0) nog bij, en dat is 1721118:

   \begin{equation} J = s + J_0 = s + 1721118 \end{equation}

We kunnen voorgaande stappen samenvoegen tot

\begin{align} \{ a_2, m_1 \} \| = \Div(m ― 3, 12) \\ J \| = \dfloorratio{1461\dparen{j + a_2}}{4} + \dfloorratio{153m_1 + 2}{5} + d + 1721117 \end{align}

13.1.2. Van CJDN naar Juliaanse datum (1)

Hiervoor doorlopen we de omgekeerde procedure als hierboven.

  j ───────────┐ ┌─ a₁ ──────────┐
               (1)               │
  m ─(−1)─ m₀ ─┘ └─ m₁ ─┐        │
  d ─(−1)─ d₀ ─────────(2)─ d₁ ─(3)─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's (zoals in het vorige hoofdstuk) is

1. Eerst bepalen we het lopende dagnummer \( s \) door van de CJDN \( J \) van de gewenste datum de CJDN van het begin van rekenjaar 0 af te trekken.

   \begin{equation} s = J − J_0 = J − 1721118 \end{equation}

2. Berekening 3 berekent uit het lopende dagnummer \( s \) het rekenjaar \( a_1 \) en het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van dat rekenjaar.

   \begin{align} \{ a_1, ω_1 \} \| = \Div(4s + 3, 1461) \\ d_1 \| = \dfloorratio{ω_1}{4} \end{align}

3. Berekening 2 berekent de rekenmaand \( m_1 \) en dagnummer \( d_0 \) sinds het begin van de rekenmaand uit dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar.

   \begin{align} \{ m_1, ω_2 \} \| = \Div(5d_1 + 2, 153) \\ d_0 \| = \dfloorratio{ω_2}{5} \end{align}

4. Berekening 1 verschuift het maandnummer en jaarnummer zodat januari en niet maart maand 0 is.

   \begin{align} \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ j \| = a_1 + α_1 \end{align}

5. En als laatste verschuiven we het maandnummer en dagnummer zodat ze beginnen bij 1 en niet 0.

   \begin{align} m \| = m_0 + 1 \\ d \| = d_0 + 1 \end{align}

We kunnen dit een beetje indikken:

\begin{align} \{ a_1, ω_1 \} \| = \Div(4J − 6884469, 1461) \\ \{ m_1, ω_2 \} \| = \Div\dparen{5\dfloorratio{ω_1}{4} + 2, 153} \\ \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ j \| = a_1 + α_1 \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ω_2}{5} + 1 \end{align}

13.1.3. Van Juliaanse datum naar CJDN (2)

We kunnen ook een getrapte combinatie van kalenders gebruiken; dan hebben we een kalenderniveau nodig dat van een doorlopend maandnummer naar een doorlopend dagnummer gaat, rekening houdend met schrikkeljaren. Dan is er geen hoger kalenderniveau meer dat een te lange laatste maand afkapt, dus moeten de formules ook gelden voor hele grote doorlopende maandnummers.

De berekeningen zijn schematisch als volgt:

  j ────────────┐
  m ─(−1)─ m₀ ─(1)─ m₁ ─┐
  d ─(−1)─ d₀ ─────────[2]─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's is

1. Eerst verschuiven we maanden en dagen zodat de eerste beginnen met waarde 0. 1 januari komt dan overeen met \( m_0 = 0, d_0 = 0 \).

   \begin{align} m_0 \| = m − 1 \\ d_0 \| = d − 1 \end{align}

2. Berekening 1 rekent het jaartal \( j \) en het maandnummer \( m_0 \) sinds het begin van het jaar om naar een doorlopend maandnummer \( m_1 \), maar dat is erg simpel:

   \begin{equation} m_1 = 12j + m_0 \end{equation}

   Dit is een kalenderniveau van type 2, met \( f = 12, g = 0, q = 12, h = 0, t = 0 \). Omdat \( t = 0 \) is het ook een kalenderniveau van type 1.

3. Berekening 2 moet het doorlopende maandnummer \( m_1 \) omrekenen naar een doorlopend dagnummer \( s \). Van de 12 maanden van een jaar zijn er 7 lang, met elk 31 dagen, dus hebben we een formule zoals \( \dfloor{(7(m_1 + a))/12} \) nodig (dat zich elke 12 maanden herhaalt), maar wat moet dan de waarde van \( a \) zijn?

   With \( a = 0 \) we get the values

   \({m_1}\)	\({\dfloorratio{7m_1}{12}}\)	∆
   0	0	0
   1	0	1
   2	1	0
   3	1	1
   4	2	0
   5	2	1
   6	3	1
   7	4	0
   8	4	1
   9	5	0
   10	5	1
   11	6	1
   12	7

   Elke keer dat die waarde eentje groter wordt was de maand daarvoor een lange maand, dus deze waarden betekenen dat de afwisseling tussen korte (K) en lange (L) maanden was: K L K L K L L K L K L L, maar wij zoeken L K L K L K L L K L K L, want juli en augustus (de 7e en 8e maanden) zijn allebei lang. Dat krijgen we als we het patroon verschuiven over −1 maand (eentje naar links), dus \( a = −1 \). Dan is \( t = \dmod{fa}{g} = \dmod{−7}{12} = 5 \), dus vinden we \( \dfloor{(7m_1 + 5)/12} \).

   Dan zijn alle maanden goed, behalve februari (\( m_1 = 1 \)) want die krijgt dan 30 dagen maar moet er 28 hebben in een gewoon jaar of 29 in een schrikkeljaar. We trekken 2 dagen af van elke februari met de formule \( −2\dfloor{(m_1 + 10)/12} \). We tellen er in het eerste van elke vier jaar weer 1 dag bij met de formule \( \dfloor{(x_2 + 46)}{48} \). Al met al vinden we

   \begin{equation} s = 30m_1 + \dfloorratio{7m_1 + 5}{12} − 2\dfloorratio{m_1 + 10}{12} + \dfloorratio{m_1 + 46}{48} + d_0 \end{equation}

   Dit is kalendertype 4 met

   \( q = 30 \), \( g = 48 \), \( \{ r_1, h_1, t_1, g_1 \} = \{ 1, 7, 5, 12 \} \), \( \{r_2, h_2, t_2, g_2 \} = \{ −2, 1, 10, 12 \} \), \( \{ r_3, h_3, t_3, g_3 \} = \{ 1, 1, 46, 48\} \).

4. En dan tellen we nog de CJDN van het begin van jaar 0 (1 january van het jaar 0) er bij op, en dat is 1721058.

   \begin{equation} J = s + J_0 = s + 1721058 \end{equation}

Dit dikt in tot

\begin{align} m_1 \| = 12j + m − 1 \\ J \| = 30m_1 + \dfloorratio{7m_1 + 5}{12} − 2\dfloorratio{m_1 + 10}{12} + \dfloorratio{m_1 + 46}{48} + d + 1721057 \end{align}

13.1.4. Van CJDN naar Juliaanse datum (2)

De berekeningen zijn schematisch als volgt:

  j ────────────┐
  m ─(−1)─ m₀ ─(1)─ m₁ ─┐
  d ─(−1)─ d₀ ─────────[2]─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's is

Hiervoor doorlopen we dezelfde procedure als hierboven, maar in de omgekeerde richting. Eerst berekenen we het lopende dagnummer \( s \) door van de CJDN \( J \) van de gezochte datum de CJDN \( J_0 \) van het begin van jaar 0 af te trekken.

\begin{equation} s = J − J_0 = J − 1721058 \end{equation}

Berekening 2 levert het lopende maandnummer \( m_1 \) en het dagnummer \( d_0 \) sinds het begin van de maand op uit het lopende dagnummer \( s \).

We hebben

\begin{align} μ_1 \| = \dfloorratio{gs + g\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i γ_i r_i t_i} − 1}{f} \notag \\ \| = \dfloorratio{48s + 48×2 − (4×1×5 + 4×−2×10 + 1×1×46) − 1}{1461} \notag \\ \| = \dfloorratio{48s + 109}{1461} \notag \\ δ_1 \| = s − 30μ_1 − \dfloorratio{7μ_1 + 5}{12} + 2\dfloorratio{μ_1 + 10}{12} − \dfloorratio{μ_1 + 46}{48} \end{align}

Omdat \( ρ ≤ 0 \) mogen we de procedure met het vaste aantal stappen gebruiken. Dan

\begin{align} m_1 \| = μ_1 + \dfloorratio{δ_1}{32} \\ d_0 \| = s − 30m_1 − \dfloorratio{7m_1 + 5}{12} + 2\dfloorratio{m_1 + 10}{12} − \dfloorratio{m_1 + 46}{48} \end{align}

Berekening 1 gaat van lopend maandnummer \( m_1 \) naar jaarnummer \( j \) en maandnummer \( m_0 \) sinds het begin van het jaar. Dit is een kalenderniveau van type 1.

\begin{equation} \{ j, m_0 \} = \Div(m_1, 12) \end{equation}

En als laatste verschuiven we het maandnummer en dagnummer zodat ze beginnen bij 1 en niet 0.

\begin{align} m \| = m_0 + 1 \\ d \| = d_0 + 1 \end{align}

13.2. De Gregoriaanse kalender

13.2.1. Van Gregoriaanse datum naar CJDN (1)

De Gregoriaanse kalender is gelijk aan de Juliaanse kalender, behalve in de regels wanneer februari 29 dagen heeft in plaats van 28. In de Juliaanse kalender heeft februari elk vierde jaar 29 dagen, als het jaartal deelbaar is door 4. In de Gregoriaanse kalender geldt dezelfde regel, behalve dat februari toch 28 dagen heeft als het jaartal deelbaar is door 100, behalve als het jaartal deelbaar is door 400, want dan heeft februari toch weer 29 dagen.

Om Gregoriaanse jaren met een enkele rechte lijn met een enkel patroon te benaderen moeten de schrikkelwaarden terugkomen na elke \( ⌊Q⌋ \) of \( ⌈Q⌉ \) perioden (voor een gunstige \( Q \); zie vergelijking \eqref{eq:Q}). Helaas passen de schrikkelregels van de Gregoriaanse kalender daar niet bij, want die zeggen dat de tijd tussen twee schrikkeljaren soms 4 jaar is en soms 8 jaar.

De volgende \( p \) zouden in aanmerking kunnen komen:

• 146097 dagen in 400 jaar → \( p = f/g = 146097/400 \). Dit levert 85 stukken met elke 4 jaar een schrikkeljaar, maar ook 12 stukken met elke 5 jaar een schrikkeljaar. Dat komt niet overeen met de Gregoriaanse kalender, dus met dit geval kunnen we de Gregoriaanse kalender niet berekenen.

• 146097 dagen in 100 perioden van 4 jaar → \( p = f/g = 146097/100 \). Dit levert 2 stukken met elke 33 perioden (van 4 jaar) een schrikkeldag minder (1460 dagen in plaats van 1461 dagen), en 1 stuk met 34 perioden. De Gregoriaanse kalender heeft 2 stukken met elke 25 perioden (van 4 jaar) een schrikkeldag minder en dan een stuk van 50 perioden met aan het eind een schrikkeldag minder. Ook niet geschikt, dus.

• 36524 dagen in 100 jaar → \( p = f/g = 36524/100 \). Dit levert 20 stukken met elke 4 jaar een schrikkeljaar, maar ook 4 stukken met elke 5 jaar een schrikkeljaar. Ook niet geschikt, dus.

• 146097 dagen in 4 perioden van 100 jaar → \( p = f/g = 146097/4 \). Dit levert 3 perioden van 36524 dagen en 1 periode van 36525 dagen, en dat klopt wel.

• 36525 dagen in 100 jaar → \( p = f/g = 36525/100 \). Dit levert 25 stukken met elke 4 jaar een schrikkeljaar. Dat klopt, behalve dat we soms al na 36524 dagen stoppen.

We kunnen nu met de 146097/4-lijn de perioden van 100 jaar vinden, en dan met de 36525/100-lijn de jaren in de 100-jaarperiode, en dan (net als voor de Juliaanse kalender) met de 153/5-lijn de maanden. 1 maart van het jaar 0 in de Gregoriaanse kalender komt overeen met \( J_0 = 1721120 \). De berekeningen zijn zoals getoond in het volgende diagram:

                         ┌── c₁ ──────────┐
  j ───────────┐ ┌─ a₁ ─(2)─ a₂ ─┐        │
               (1)               │        │
  m ─(−1)─ m₀ ─┘ └─ m₁ ─┐        │        │
  d ─(−1)─ d₀ ─────────(3)─ d₁ ─(4)─ d₂ ─(5)─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's is

De stappen zijn nu als volgt, van de Gregoriaanse kalender naar het CJDN:

1. Eerst verschuiven we maanden en dagen zodat de eerste beginnen met waarde 0. 1 januari komt dan overeen met \( m_0 = 0, d_0 = 0 \).

   \begin{align} m_0 \| = m − 1 \\ d_0 \| = d − 1 \end{align}

2. Berekening 1 verschuift het maandnummer en jaarnummer zodat maart de eerste rekenmaand (maand \( m_1 = 0 \)) van het rekenjaar \( a_1 \) is in plaats van januari, net als voor de Juliaanse kalender (13.1.1):

   \begin{align} \{ α_1, m_1 \} \| = \Div(m_0 − 2, 12) \\ a_1 \| = j + α_1 \end{align}

3. Berekening 2 rekent het rekeneeuwnummer \( c_1 \) en jaarnummer \( a_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw uit uit het rekenjaarnummer \( a_1 \).

   \begin{equation} \{ c_1, a_2 \} = \Div(a_1, 100) \end{equation}

4. Berekening 3 berekent het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar uit het rekenmaandnummer \( m_1 \) en het dagnummer \( d_0 \) sinds het begin van de rekenmaand:

   \begin{equation} d_1 = \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d_0 = 30 m_1 + \dfloorratio{3 m_1 + 2}{5} + d_0 \end{equation}

5. Berekening 4 rekent het dagnummer \( d_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw uit uit het jaarnummer \( a_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw en het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar.

   \begin{equation} d_2 = \dfloorratio{36525 a_2}{100} + d_1 \end{equation}

6. Berekening 5 rekent het lopende dagnummer \( s \) uit uit het rekeneeuwnummer \( c_1 \) en het dagnummer \( d_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw.

   \begin{equation} s = \dfloorratio{146097 c_1}{4} + d_2 \end{equation}

7. En dan tellen we er de CJDN van het begin van rekenjaar 0 (dus 1 maart van jaar 0) nog bij, en dat is 1721120:

   \begin{equation} J = s + J_0 = s + 1721120 \end{equation}

Samengevoegd en ingedikt geeft dat:

\begin{align} \{ α_1, m_1 \} \| = \Div(m − 3, 12) \\ \{ c_1, a_2 \} \| = \Div(j + α_1, 100) \\ J \| = \dfloorratio{146097 c_1}{4} + \dfloorratio{36525 a_2}{100} + \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

13.2.2. Van CJDN naar Gregoriaanse datum (1)

Nu gaan we weer de andere kant op, met dezelfde kalenderniveaus als hierboven.

                         ┌── c₁ ──────────┐
  j ───────────┐ ┌─ a₁ ─(2)─ a₂ ─┐        │
               (1)               │        │
  m ─(−1)─ m₀ ─┘ └─ m₁ ─┐        │        │
  d ─(−1)─ d₀ ─────────(3)─ d₁ ─(4)─ d₂ ─(5)─ s ─(+J₀)─ J

De samenvatting van de kalenderniveau's is

1. Eerst trekken we het CJDN dat hoort bij lopende dagnummer 0 af van het CJDN om het lopende dagnummer te vinden:

   \begin{equation} s = J − J_0 = J − 1721120 \end{equation}

2. Berekening 5 haalt uit lopende dagnummer \( s \) het rekeneeuwnummer \( c_1 \) en het dagnummer \( d_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw:

   \begin{align} \{ c_1, ω_1 \} \| = \Div(4s + 3, 146097) \\ d_2 \| = \dfloorratio{ω_1}{4} \end{align}

3. Berekening 4 haalt uit dagnummer \( d_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw het jaartal \( a_2 \) sinds het begin van de rekeneew en het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar.

   \begin{align} \{ a_2, ω_2 \} \| = \Div(100d_2 + 99, 36525) \\ d_1 \| = \dfloorratio{ω_2}{100} \end{align}

4. Berekening 3 splitst het dagnummer \( d_1 \) sinds het begin van het rekenjaar in het maandnummer \( m_1 \) sinds het begin van het rekenjaar en het dagnummer \( d_0 \) sinds het begin van de rekenmaand.

   \begin{align} \{ m_1, ω_3 \} \| = \Div(5d_1 + 2, 153) \\ d_0 \| = \dfloorratio{ω_3}{5} \end{align}

5. Berekening 2 voegt het rekeneeuwnummer \( c_1 \) en het rekenjaarnummer \( a_2 \) sinds het begin van de rekeneeuw samen tot het rekenjaarnummer \( a_1 \).

   \begin{equation} a_1 = 100c_1 + a_2 \end{equation}

6. Berekening 1 verschuift het rekenmaandnummer \( m_1 \) en rekenjaarnummer \( a_1 \) zodat januari in plaats van maart de eerste maand van het jaar is.

   \begin{align} \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ j \| = a_1 + α_1 \end{align}

7. En dan verschuiven we het maandnummer en het dagnummer zodat de eersten nummer 1 hebben in plaats van 0.

   \begin{align} m \| = m_0 + 1 \\ d \| = d_0 + 1 \end{align}

Dit dikt een klein beetje in tot:

\begin{align} \{ c_1, ω_1 \} \| = \Div(4J − 6884477, 146097) \\ \{ a_2, ω_2 \} \| = \Div\dparen{100\dfloorratio{ω_1}{4} + 99, 36525} \\ \{ m_1, ω_3 \} \| = \Div\dparen{5\dfloorratio{ω_2}{100} + 2, 153} \\ \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ j \| = 100c_1 + a_2 + α_1 \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ω_3}{5} + 1 \end{align}

13.2.3. Van Gregoriaanse datum naar CJDN (2)

We kunnen toe met twee kalenderniveaus en vlakke combinatie als we kalendertype 4 gebruiken voor het bovenste niveau, met meerdere maandlengtes. Dan is voor dat bovenste niveau

\begin{align*} q \| = 365 \\ g \| = 400 \\ \{d_1,h_1,s_1\} \| = \{1,100,0\} \\ \{d_2,h_2,s_2\} \| = \{−1,4,0\} \\ \{d_3,h_3,s_3\} \| = \{1,1,0\} \end{align*}

Het onderste kalenderniveau is hetzelfde als hierboven, dus