AstronomieAntwoorden: Tijd van kleinste afstand

AstronomieAntwoorden
Tijd van kleinste afstand


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. De methode ... 2. De afleiding

\(\def\|{&}\) \( \DeclareMathOperator{\del}{∆\!} \newcommand\ds{\displaystyle} \)

Deze bladzijde legt uit hoe je de tijd kunt uitrekenen waarop de afstand het kleinst is, en wat die afstand is, uit een serie metingen of berekeningen van hoe de afstand verandert met de tijd, van iets dat in een rechte lijn beweegt.

1. De methode

Fig. 1: Elongatie van Saturnus (15 dagen)
Fig. 1: Elongatie van Saturnus (15 dagen)
Figuur 1 toont de elongatie (in graden) van Saturnus tussen 17 november en 2 december 2018, met een datapunt per dag. De x-as toont het aantal dagen sinds 1 januari 2018. Het is duidelijk dat de elongatie zijn kleinste waarde bereikt voor \(t\) ergens tussen 328 en 330, maar waar precies? In deze figuur wordt het laagste punt bereikt voor \(t = 329\), maar het zou wel heel toevallig zijn als de elongatie zijn kleinste waarde zou bereiken precies op het ene tijdstip van de dag waarvoor wij een meting hebben.

Als je de positie van Saturnus aan de hemel bekijkt ten opzichte van die van de Zon, dan passeert Saturnus de Zon langs ongeveer een rechte lijn, en de elongatie is de afstand tussen de Zon en Saturnus.

Als je de afstand \( r \) kent voor drie tijdstippen \( t_0 − τ \), \( t_0 \) en \( t_0 + τ \) dan kun je de kleinste afstand \( d \) en het tijdstip \( t_\text{min} \) waarop die bereikt wordt schatten met

\begin{eqnarray} v & = & \frac{\sqrt{r(t_0 − τ)^2 − 2 r(t_0)^2 + r(t_0 + τ)^2}}{τ\sqrt{2}} \\ l_0 & = & \frac{r(t_0 + τ)^2 − r(t_0 − τ)^2}{4vτ} \\ d & = & \sqrt{r(t_0)^2 − l_0^2} \\ t_\text{min} & = & t_0 − \frac{l_0}{v} \end{eqnarray}

Bijvoorbeeld, de meetwaarden uit de grafiek voor \( t \) van 328 tot 330 zijn

\({t}\)\({r(t)}\)
328 0.8990879
329 0.6809476
330 1.1668921

Daarmee vinden we

\begin{eqnarray*} t_0 & = & 329 \\ v & = & \frac{\sqrt{0.8990879^2 − 2 × 0.6809476^2 + 1.1668921^2}}{1\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{1.12426171}}{\sqrt{2}} = 0.7882313 \\ l_0 & = & \frac{1.1668921^2 − 0.8990879^2}{4 × 0.7882313 × 1} = \frac{0.5532783}{3.1529251} = 0.1754889 \\ d & = & \sqrt{0.6809476^2 − 0.1754889^2} = \sqrt{0.4328960} = 0.6579483 \\ t_\text{min} & = & 329 − \frac{0.1754889}{0.7882313} = 328.7773738 \end{eqnarray*}

dus de schatting is dat de kleinste afstand 0.6579483° is en wordt bereikt als \( t \) gelijk is aan 328.7773738.

Fig. 2: Elongatie van Saturnus (2 dagen)
Fig. 2: Elongatie van Saturnus (2 dagen)
Figuur 2 toont de elongatie van Saturnus voor de twee dagen rondom de tijd van de kleinste afstand. De kruisjes tonen de afstanden na steeds een dag (\( τ = 1 \)), net als in de vorige figuur. De getrokken lijn verbindt de afstanden met een interval van 0,1 dag (\( τ = 0.1 \)). Het blokje toont de tijd en waarde van de minimale afstand zoals berekend uit de drie kruisjes. Dit klopt heel goed met het laagste punt van de getrokken lijn.

De schatting van de tijd en grootte van de kleinste afstand is precies goed als de beweging kan worden beschreven als met constante snelheid langs een rechte lijn. Als de snelheid langzaam varieert, of de beweging is langs een bijna maar niet helemaal rechte lijn, dan zal de schatting wel ongeveer maar niet precies goed zijn.

Ter vergelijking: De schatting voor de kleinste afstand gebaseerd op de drie dichtstbijzijnde meetpunten met een tijdinterval van 0,1 dagen (\( τ = 0.1 \)) in plaats van 1 dag is dat die gelijk is aan 0.6579986° en wordt bereikt als \( t \) gelijk is aan 328.7775848, dus dat scheelt voor de afstand maar 0,00005° en voor de tijd maar 0,0002 dagen of 18 seconden. Dat geeft een indruk van de nauwkeurigheid van de schatting gebaseerd op het tijdinterval van 1 dag.

2. De afleiding

Stel, een rechte lijn loopt langs maar niet door punt A. Het punt waar de lijn het dichtst bij punt A komt noemen we punt B. De afstand tussen A en B noemen we \( d \): dat is de kortste afstand die een punt op de lijn kan hebben tot punt A. We maken van de rechte lijn een getallenlijn, met de 0 op punt B en met dezelfde lengteëenheid als voor \( d \). Een punt bij getal \( l \) op die lijn heeft dan afstand \( r \) tot punt A gelijk aan

\begin{equation} r = \sqrt{d^2 + l^2} \end{equation}

Een voorwerp beweegt over de lijn met vaste snelheid \( v \). We hebben drie opeenvolgende metingen van de afstand \( r = r(t) \), voor tijdstippen \( t \) gelijk aan \( t_0 − τ \), \( t_0 \) en \( t_0 + τ \). De overeenkomstige posities op de lijn zijn

\begin{equation} l = l(t) = l_0 + v(t − t_0) \end{equation}

Dan geldt

\begin{equation} \begin{split} r(t) & = & \sqrt{d^2 + l(t)^2} \\ & = & \sqrt{d^2 + (l_0 + vt)^2} \end{split} \end{equation}

dus

\begin{eqnarray} r(t_0 − τ) & = & \sqrt{d^2 + (l_0 − vτ)^2} \\ r(t_0) & = & \sqrt{d^2 + l_0^2} \\ r(t_0 + τ) & = & \sqrt{d^2 + (l_0 + vτ)^2} \end{eqnarray}

Hieruit leiden wij \( d \), \( l_0 \) en \( v \) af. We vinden

\begin{eqnarray} 2 v^2τ^2 & = & r(t_0 + τ)^2 − 2 r(t_0)^2 + r(t_0 − τ)^2 \\ 4 l_0vτ & = & r(t_0 + τ)^2 − r(t_0 − τ)^2 \\ d^2 & = & r(t_0)^2 − l_0^2 \end{eqnarray}

dus

\begin{eqnarray} v & = & \frac{\sqrt{r(t_0 − τ)^2 − 2 r(t_0)^2 + r(t_0 + τ)^2}}{τ\sqrt{2}} \\ l_0 & = & \frac{r(t_0 + τ)^2 − r(t_0 − τ)^2}{4vτ} \\ d & = & \sqrt{r(t_0)^2 − l_0^2} \end{eqnarray}

Het moment \( t_\text{min} \) waarop de kleinste afstand bereikt wordt heeft per definitie \( l = 0 \), dus

\begin{eqnarray} 0 & = & l_0 + vt_\text{min} \\ t_\text{min} & = & −\frac{l_0}{v} \end{eqnarray}



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/kleinsteafstandtijd.html;
Laatst vernieuwd: 2018-07-04