AstronomieAntwoorden
Lagrangepunten


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. De posities ... 2. De stabiliteit ... 2.1. L₄ en L₅ ... 3. Meer Lezen?

1. De posities

Als twee hemellichamen in banen rond een gezamelijk zwaartepunt bewegen dan zijn er vijf punten die met de twee hemellichamen meebewegen waarin de zwaartekracht van de twee hemellichamen en de centripetaalkracht van de baan van zo'n punt rond het zwaartepunt precies in evenwicht zijn. Die vijf punten heten de lagrangepunten, genoemd naar meneer Lagrange die ze voor het eerst uitrekende. Als een klein en licht (niet zwaar) voorwerp precies in zo'n punt is en precies de juiste beginsnelheid heeft in precies de juiste richting, dan zal zo'n voorwerp zonder zijn aandrijving te gebruiken op dat punt blijven, dus die punten kunnen interessant zijn om satellieten neer te zetten die een vaste oriëntatie ten opzichte van de twee hemellichamen moeten hebben.

De vijf lagrangepunten kunnen verdeeld worden in twee groepen. De eerste drie punten (L₁ tot L₃) liggen op de rechte lijn die door het midden van de twee hemellichamen gaat. De laatste twee punten (L₄ en L₅) vormen gelijkbenige driehoeken met de twee hemellichamen, en zijn dus even ver van elkaar en van elk van de hemellichamen. Hier leiden we de preciese posities van de eerste drie lagrangepunten af voor het geval dat het voorwerp in zo'n punt een verwaarloosbare massa heeft en dat de banen van de twee hemellichamen cirkels zijn.

De posities worden bepaald door de oplossingen van de vergelijking

\begin{equation} x - \frac{(1 - μ)(x - μ)}{|x - μ|^3} - \frac{μ(x + 1 - μ)}{|x + 1 - μ|^3} = 0 \label{eq:hoofd} \end{equation}

waar \( x \) de positie op de lijn door de twee hemellichamen is in eenheden van de afstand tussen de twee hemellichamen, en \( μ \) (mu) de verhouding van de massa van het lichtste hemellichaam tot de totale massa van beide hemellichamen samen is. \( μ \) is altijd tussen 0 en ½. Het primaire (zwaarste) hemellichaam is op positie \( x₁ = μ \) en het secondaire (minder zware) hemellichaam is op \( x₂ = μ - 1 \).

We behandelen de absolute waarden door ze te vervangen door hun argument te vermenigvuldigen met een factor die of +1 of −1 is, afhankelijk van het teken van de formule. Bijvoorbeeld, \( |x| \) zou worden vervangen door \( s×x \) en aan \( s \) kan naderhand de waarde +1 worden gegeven als \( x \) positief of nul is, of −1 als \( x \) negatief is. Zulke vervangingen leiden tot een equivalente vergelijking die van de vijfde orde is in \( x \) en van de vierde orde in \( μ \), nadat de gemeenschappelijke noemer geschrapt is (want die is alleen gelijk aan nul op de posities van de twee hemellichamen en die posities zijn voor een ander voorwerp natuurlijk al op fysieke gronden uitgesloten):

\begin{align} & -s_2 - 2 s_2 x - s_2 x^2 + s_1 s_2 x^3 + 2 s_1 s_2 x^4 + s_1 s_2 x^5 \notag \\ & + μ (3 s_2 + 4 s_2 x + (-s_1 + s_2 - 2 s_1 s_2) x^2 - 6 s_1 s_2 x^3 - 4 s_1 s_2 x^4) \notag \\ & + μ^2 (−3 s_2 + (2 s_1 - 2 s_2 + s_1 s_2) x + 6 s_1 s_2 x^2 + 6 s_1 s_2 x^3) \notag \\ & + μ^3 (-s_1 + s_2 - 2 s_1 s_2 x - 4 s_1 s_2 x^2) + μ^4 s_1 s_2 x = 0 \end{align}

waar \( s_1 \) het teken is van \( x - μ \) en \( s_2 \) het teken van \( x + 1 - μ \).

We zoeken nu benaderingen voor de oplossingen voor \( x \) van deze vijfde-orde vergelijking door aan te nemen dat \( μ \) klein is ten opzichte van 1. In dat geval is de nulde-orde term (zonder een \( x \)) \( -s_2 \) de dominante term en moet het gecompenseerd worden om de hele vergelijking in balans te houden. Een verschuiving in de oorsprong van \( x \) zou dat wel eens voor elkaar kunnen krijgen.

Als we \( x \) vervangen door \( a + ε \) en dan alle nulde-orde termen in zowel \( ε \) (epsilon) als \( μ \) bijeen vergaren dan vinden we:

\begin{equation} -s_2 (a + 1)^2 + a^3 s_1 s_2 (a + 1)^2 = 0 \end{equation}

en dat heeft de oplossingen \( a = −1 \) en \( a = +s_1 \), dus oplossingen voor ons probleem liggen nabij \( a = −1 \) en \( a = +1 \) (de laatste alleen als \( s_1 = +1 \) ofwel als \( x \gt μ \)).

Eerst bestuderen we de oplossing nabij \( x = +1 \). We vervangen \( x \) door \( 1 + ε \) in vergelijing \ref{eq:hoofd} en nemen aan dat \( ε \) veel kleiner is dan 1. In dat geval zijn \( s_1 \) en \( s_2 \) allebei gelijk aan +1. Omdat \( ε \) en \( μ \) allebei veel kleiner zijn dan 1 wordt de grootste bijdrage aan het resultaat geleverd door de termen die van de laagste orde in \( μ \) en \( ε \) zijn (dus die de minste factoren \( ε \) en \( μ \) hebben). Als we alleen de dominante termen met \( ε \) en \( μ \) behouden dan vinden we \( ε = \frac{5}{12} μ \) en dat voldoet aan de beperking op \( x \) die eerder gesteld werd (\( x \gt μ \)), dus onze eerste benaderde oplossing voor de positie van een lagrangepunt (en wel L₃) is \( x = 1 + \frac{5}{12} μ \).

We nemen nu aan dat de oplossing de vorm \( x = 1 + a_1 μ + a_2 μ^2 + a_3 μ^3 + a_4 μ^4 + \text{kleinere termen} \) heeft, stoppen dit in vergelijking \ref{eq:hoofd} (met \( s_1 = s_2 = +1 \)), stellen de coëfficiënten van elke orde van \( μ \) gelijk aan nul, en lossen dan op voor \( a_1 \) tot en met \( a_4 \). We vinden \( a_1 = \frac{5}{12} \), \( a_2 = 0 \), \( a_3 = -\frac{1127}{20736} \), \( a_4 = -\frac{7889}{248832} \). Omdat het primaire hemellichaam op \( x = μ \) is is de positie van L₃ ten opzichte van het primaire hemellichaam (tot op de vierde orde van \( μ \)) gelijk aan

\begin{equation} L_3 = 1 - \frac{7}{12} μ - \frac{1127}{20736} μ^3 - \frac{7889}{248832} μ^4 \end{equation}

Nu kijken we naar de oplossingen nabij \( x = −1 \). De oplossing \( x = −1 \) vonden we voor \( μ = ε = 0 \) en die oplossing is gelijk aan de positie van het secundaire hemellichaam. We willen graag de posities van de lagrangepunten kennen ten opzichte van het secundaire hemellichaam, dus vervangen we \( x \) door \( −1 + μ + ε \) in vergelijking \ref{eq:hoofd}. Deze vervanging past bij \( x = −1 \) voor \( μ = ε = 0 \). Door alleen de dominante termen in \( μ \) en \( ε \) te behouden vinden we de benaderde oplossing \( ε = \left( \frac{μ}{3} \right)^{1/3} \). We stellen \( z = \left( \frac{μ}{3} \right)^{1/3} \), dan \( μ = 3 z^3 \), en we benaderen \( ε = a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4 + \text{kleinere termen} \). Als we dit in vergelijking \ref{eq:hoofd} stoppen dan vinden we een vergelijking in de \( a \)-termen en \( z \) tot de zesde orde. Door de coëfficiënten van elke orde van \( z \) gelijk te stellen aan nul en dan op te lossen voor de \( a \)-coëfficiënten vinden we dat voor \( s_2 = 1 \) de enige oplossing met alleen reële waarden gelijk is aan \( a_1 = 1 \), \( a_2 = -\frac{1}{3} \), \( a_3 = -\frac{1}{9} \), \( a_4 = \frac{58}{81} \). Voor \( s_2 = −1 \) vinden we \( a_1 = −1 \), \( a_2 = -\frac{1}{3} \), \( a_3 = \frac{1}{9} \), \( a_4 = -\frac{50}{81} \). Deze waarden passen bij de beperkingen voor \( s_2 = +1 \) en \( s_2 = −1 \), respectievelijk, dus de afstanden van L₁ en L₂ tot het secundaire hemellichaam zijn

\begin{align} L_1 & = z - \frac{1}{3} z^2 - \frac{1}{9} z^3 + \frac{58}{81} z^4 \\ L_2 & = z + \frac{1}{3} z^2 - \frac{1}{9} z^3 + \frac{50}{81} z^4 \end{align}

met

\begin{equation} z = \left( \frac{μ}{3} \right)^{1/3} \end{equation}

2. De stabiliteit

Wat gebeurt er als je een klein beetje van een Lagrangepunt vandaan gaat? Als je dan (zonder voortstuwing) oneindig lang dicht in de buurt van het Lagrangepunt blijft, dan is het Lagrangepunt stabiel. Als je uiteindelijk steeds verder van het punt raakt, dan is het Lagrangepunt onstabiel. Om zelfs maar in eerste (lineaire) benadering de stabiliteit van Lagrangepunten uit te kunnen rekenen heb je differentiaalrekening en complexe getallen nodig, en het gaat wat ver om dat hier uit te leggen. Ik zal de grote lijn schetsen en de resultaten geven.

De berekening verloopt ongeveer als volgt: Eerst bepaal je wat voor krachten er werken als je een klein stukje in een willekeurige richting van het Lagrangepunt vandaan gaat, waarbij je alle termen verwaarloost die van de tweede of hogere orde zijn in de afstand tot het Lagrangepunt. Dan kijk je wat er gebeurt als je een standaardoplossing probeert met voor elke coördinaat een eigen beginamplitude maar wel voor allemaal dezelfde exponentiële groeisnelheid (die een complex getal mag zijn).

Als het blijkt dat de groeisnelheid een imaginair deel heeft, dan draait de oplossing rond het Lagrangepunt. Als de groeisnelheid een negatief reëel deel heeft, dan neemt de afstand tot het Lagrangepunt af en is het punt stabiel. Als de groeisnelheid een positief reëel deel heeft, dan neemt de afstand tot het Lagrangepunt toe en is het punt onstabiel. Als de groeisnelheid een reëel deel gelijk aan nul heeft, dan blijft de afstand tot het Lagrangepunt beperkt en dan is het punt stabiel.

2.1. L₄ en L₅

Voor Lagrangepunten L₄ en L₅ is de beweging loodrecht op het baanvlak een oscillatie met de periode van de Keplerbanen van de twee lichamen en het Lagrangepunt. Voor de beweging in het baanvlak zijn de mogelijke groeisnelheden \( λ \) oplossingen van

\begin{equation} λ^4 + λ^2 + \frac{27}{4} μ(1 - μ) = 0 \end{equation}

Dit heeft complexe oplossingen die onstabiel zijn, en zuiver imaginaire oplossingen die stabiel zijn (volgens de lineare analyse). De grens ligt bij \( μ = μ_0 = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}} ≈ 0,0385209 ≈ \frac{1}{25,95993} \): voor grotere waarden van \( μ \) zijn L₄ en L₅ onstabiel, en voor kleinere waarden zijn ze stabiel. In de volgende tabel geef ik oplossingen voor een aantal waarden van \( μ \). \( t_2 \) geeft de tijd waarna de afstand tot het Lagrangepunt verdubbelt, in eenheden van de periode van het systeem. \( t_+ \) en \( t_- \) geven de twee omlooptijden die bij de oplossing horen, ook in eenheden van de periode van het systeem. De andere twee kolommen geven bepaalde combinaties van de tijden en \( μ \) die voor hele kleine waarden van \( μ \) naar vaste waarden gaan. Waar \( t_2 \) ontbreekt is hij gelijk aan oneindig; dat betekent dat de oplossing stabiel is (in de lineare analyse).

Tabel 1: Lagrangepuntperioden

\(μ\) \(t_2\) \(t_+\) \(t_+^2μ\) \(t_-\) \((1-t_-)/μ\)
0,5 2,282 1,054 0,5559 1,054 0,1087
0,4 2,321 1,062 0,4513 1,062 0,1554
0,3 2,455 1,088 0,3549 1,088 0,2922
0,2 2,778 1,140 0,2599 1,140 0,6995
0,15 3,120 1,184 0,2101 1,184 1,224 Pluto - Charon
0,1 3,860 1,250 0,1563 1,250 2,503
0,05 7,928 1,370 0,09379 1,370 7,392
0,04 21,368 1,408 0,07928 1,408 10,20
0,039 37,410 1,412 0,07777 1,412 10,57
0,0385209 1,414 0,07704 1,414 10,75
0,035 1,686 0,09954 1,242 6,911
0,03 1,930 0,1117 1,169 5,641
0,02 2,524 0,1274 1,089 4,455
0,0123 3,331 0,1365 1,048 3,932 Aarde - Maan
0,01 3,727 0,1389 1,038 3,807
0,001 12,136 0,1473 1,003 3,412
0,000955 12,421 0,1473 1,003 3,410 Zon - Jupiter
0,0001 38,479 0,1481 1,000 3,379
10−05 121,713 0,1481 1,000 3,375
3 × 10−06 222,220 0,1481 1,000 3,375 Zon - Aarde
0
4/27 1 −27/8

De \( t_+ \) en \( t_- \) voor \( μ = μ_0 \) zijn gelijk aan \( \sqrt{2} \).

Bijvoorbeeld, de Maan heeft 0,0123 maal zoveel massa als de Aarde, dus is in het systeem van de Aarde en de Maan \( μ \) gelijk aan 0,0123. Dat is kleiner dan \( μ_0 \) dus zijn L₄ en L₅ in het Aarde-Maansysteem stabiel. De omlooptijden in de buurt van die Lagrangepunten zijn gelijk aan 3,331 en 1,048 maal de periode van het systeem, dus zoveel siderische maanden. Op kleine afstand van zo'n Lagrangepunt zul je rond dat punt zwerven met een combinatie van allebei die perioden. In ons zonnestelsel heeft alleen het Pluto-Charonsysteem een massaverhouding die zo hoog is dat hun L₄ en L₅ linear onstabiel zijn.

De lineare stabiliteitsanalyse gaat er van uit dat een kleine verandering in de beginsituatie een navenant kleine verandering in de eindsituatie tot gevolg heeft. Dit is niet per sé zo als de ene omlooptijd precies een veelvoud is van de andere, want dan kun je een "schommeleffect" krijgen. Je kunt iemand op een schommel alleen goed aan het schommelen krijgen als je haar telkens een zetje geeft net als zij weer vooruit gaat, dus als jouw zetgeefperiode telkens precies een veelvoud is van haar schommelperiode. Hoewel je telkens een klein zetje geeft gaat de schommel uiteindelijk toch flink heen en weer, omdat alle kleine zetje bij elkaar optellen. Als je in plaats daarvan de schommel soms een zetje geeft als zij vooruit gaat maar ook soms als zij achteruit gaat, dan zal het effect van die zetjes uitmiddelen tot nul. Dat gebeurt als jouw zetgeefperiode geen veelvoud is van de schommelperiode.

De uitkomsten van de lineare stabiliteitsanalyse zijn dus niet zonder meer te vertrouwen als de ene omloopperiode precies een veelvoud is van de andere omloopperiode. Een niet-lineare stabiliteitsanalyse leert dat de Lagrangepunten toch niet stabiel zijn als de verhouding van de omloopperioden gelijk is aan 2 of 3, en dat is als \( μ \) gelijk is aan \( \frac{1}{2} - \frac{1}{90}\sqrt{1833} ≈ 0,0243 \) of aan \( \frac{1}{2} - \frac{1}{30}\sqrt{213} ≈ 0,0135 \).

3. Meer Lezen?



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/lagrange.html;
Laatst vernieuwd: 2016−02−07