AstronomieAntwoorden
Evolutie van Maanbaan


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Impulsmoment ... 1.1. Definitie en formules ... 1.2. Nu ... 2. Energie ... 2.1. Definitie en formules ... 2.2. Nu ... 3. Evolutie ... 3.1. Modellen

\( \newcommand{\dd}[2]{\frac{\text{d}#1}{\text{d}#2}} \)

1. Impulsmoment

1.1. Definitie en formules

Het impulsmoment \( \vec{L} \) van een puntmassa, ten opzichte van een bepaalde oorsprong, is gelijk aan

\begin{equation} \vec{L} = \vec{r} × m \vec{v} \label{eq:lvec} \end{equation}

waar \( \vec{r} \) de vector van de oorsprong tot de plek van de puntmassa is, \( m \) de massa en \( \vec{v} \) de snelheid van de puntmassa.

We laten de invloed van de Zon (die hier minder is) buiten beschouwing, en bekijken alleen de Aarde en de Maan in hun banen rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt. Ter versimpeling nemen we aan dat die banen cirkels zijn. Dan versimpelt vergelijking \ref{eq:lvec} tot

\begin{equation} L = m v r = m r^2 Ω \end{equation}

als de afstand \( r \) gemeten wordt ten opzichte van het centrum van de cirkelbanen (dus ten opzichte van het zwaartepunt van het systeem), en met \( Ω \) de draaihoeksnelheid in radialen per seconde. Ook nemen we voor het gemak aan dat de Aarde en de Maan bolvormig en puntsymmetrisch zijn.

Voor bolvormige puntsymmetrische voorwerpen is het draaiimpulsmoment \( L' \) gelijk aan

\begin{equation} L' = α m R^2 ω \end{equation}

waarin \( m \) de totale massa is, \( ω \) de draaihoeksnelheid (radialen per seconde), \( R \) de straal, en \( α \) een dimensieloos getal dat aangeeft hoe sterk de massa naar het centrum geconcentreerd is. Voor een homogene bol (met overal dezelfde massadichtheid) is \( α = 0,4 \). Als de massa meer naar het centrum geconcentreerd is dan is \( α < 0,4 \).

We gebruiken subscript ₁ voor de Aarde en ₂ voor de Maan. De massa's zijn \( m_1 \) en \( m_2 \). De relatieve massa's (ten opzichte van het totaal) zijn \( μ_1 \) en \( μ_2 \). De stralen zijn \( R_1 = 6378 \text{ km} \) en \( R_2 = 1738 \text{ km} \). De afstanden tot het gemeenschappelijke zwaartepunt zijn \( r_1 \) en \( r_2 \). De siderische draaiperioden (rond hun as) zijn \( T_1 \) en \( T_2 \). De siderische baanperiode is \( P \). De baansnelheden zijn \( v_1 \) en \( v_2 \). De siderische baanhoeksnelheid is \( Ω \). De siderische draaihoeksnelheden zijn \( ω_1 \) en \( ω_2 \). De "massaconcentratiecoëfficiënten" zijn \( α_1 = 0,3306 \) en \( α_2 = 0,392 \).

Er geldt:

\begin{align} r & = r_1 + r_2 \\ m & = m_1 + m_2 = 6,0472×10^{24} \text{ kg} \\ μ_1 & = \frac{m_1}{m} = 0,98785 \\ μ_2 & = \frac{m_2}{m} = 0,012151 \\ r_1 & = r μ_2 \\ r_2 & = r μ_1 \\ Ω & = \frac{2π}{P} \\ v_1 & = r_1 Ω = \frac{2π r_1}{P} = \frac{2π μ_2 r}{P} \\ v_2 & = r_2 Ω = \frac{2π r_2}{P} = \frac{2π μ_1 r}{P} \\ v & = v_1 + v_2 \\ v_1 & = v μ_2 \\ v_2 & = v μ_1 \\ ω_1 & = \frac{2π}{T_1} \label{eq:T_1toω_1} \\ ω_2 & = \frac{2π}{T_2} \end{align}

en, uit de Derde Wet van Kepler,

\begin{align} P & = \frac{2π}{\sqrt{Gm}} r^{3/2} \\ Ω & = \sqrt{\frac{Gm}{r^3}} \end{align}

waarin \( G \) de Universele Zwaartekrachtsconstante is, gelijk aan 6,67259 × 10−11 en \( a \) de halve lange as van de baan; en, omdat de Maan altijd dezelfde kant aan ons toont,

\begin{equation} T_2 = P ⇔ ω_2 = Ω \end{equation}

In het Aarde-Maansysteem is dan het volgende impulsmoment te vinden:

baanimpulsmoment \( L_1 \) van de Aarde

\begin{equation} L_1 = m_1 r_1^2 Ω = \sqrt{G m^3 r} μ_1 μ_2^2 \end{equation}

draaiimpulsmoment \( L_1' \) van de Aarde

\begin{equation} L_1' = α_1 m_1 R_1^2 ω_1 \end{equation}

baanimpulsmoment \( L_2 \) van de Maan

\begin{equation} L_2 = m_2 r_2^2 Ω = \sqrt{G m^3 r} μ_1^2 μ_2 \end{equation}

draaiimpulsmoment \( L_2' \) van de Maan

\begin{equation} L_2' = α_2 m_2 R_2^2 ω_2 = α_2 m_2 R_2^2 Ω = α_2 μ_2 R_2^2 \sqrt{\frac{G m^3}{r^3}} \end{equation}

totaal \( L_\text{tot} \)

\begin{equation} L_\text{tot} = L_1 + L_1' + L_2 + L_2' = μ_2 \sqrt{G m^3 r} \left( μ_1 + α_2 \left( \frac{R_2}{r} \right)^2 \right) + α_1 m_1 R_1^2 ω_1 \label{eq:ltot} \end{equation}

1.2. Nu

Voor de huidige situatie hebben we \( T_1 = 86164,091 \text{ s} \), \( T_2 = P = 2360591,5 \text{ s} \) en \( r = 384748 \text{ km} \). Als we alle waarden invullen dan vinden we \( L_\text{tot} \) = 3,4458 × 1034 kgm²/s. Als we dan delen door het totaal van de impulsmomenten, dan vinden we:

\(L_1\) 0,01008
\(L_1'\) 0,1700
\(L_2\) 0,8199
\(L_2'\) 6,7206 × 10−6

Dus het meeste impulsmoment zit in de baan van de Maan (82%) en in de draaiing van de Aarde (17%).

2. Energie

2.1. Definitie en formules

De (kinetische) energie die in bewegingssnelheid zit is voor een massa \( m \) met snelheid \( v \)

\begin{equation} E = \frac{1}{2} m v^2 \end{equation}

De (kinetische) energie die in draaisnelheid zit is voor een puntsymmetrisch bolvormig voorwerp met massa \( m \), straal \( R \), hoekdraaisnelheid \( ω \), en massaconcentratiecoëfficiënt \( α \)

\begin{equation} E' = \frac{1}{2} α m R^2 ω^2 \end{equation}

De (potentiële) energie vanwege de plaatsen in het zwaartekrachtsveld is voor twee massa's \( m_1 \) en \( m_2 \) op afstand \( r \) van elkaar

\begin{equation} U = -\frac{G m_1 m_2}{r} \end{equation}

Met dezelfde symbolen als in hoofdstuk 1 is de totale energie \( E \) in het Aarde-Maansysteem gelijk aan de som van de volgende:

energie vanwege de baansnelheid van de Aarde

\begin{equation} E_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} μ_1 μ_2^2 m v^2 \end{equation}

energie vanwege de draaisnelheid van de Aarde

\begin{equation} E_1' = \frac{1}{2} α_1 m_1 R_1^2 ω_1^2 = \frac{1}{2} α_1 μ_1 m R_1^2 ω_1^2 \end{equation}

energie vanwege de baansnelheid van de Maan

\begin{equation} E_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} μ_1^2 μ_2 m v^2 \end{equation}

energie vanwege de draaisnelheid van de Maan

\begin{equation} E_2' = \frac{1}{2} α_2 m_2 R_2^2 ω_2^2 = \frac{1}{2} α_2 m_2 R_2^2 Ω^2 = \frac{1}{2} \frac{α_2 μ_2 R_2^2 G m^2}{r^3} \end{equation}

energie vanwege de plaats van de Aarde en de Maan in het zwaartekrachtsveld

\begin{equation} U = -\frac{G m_1 m_2}{r} = -\frac{μ_1 μ_2 G m^2}{r} \end{equation}

totaal \( E_\text{tot} \)

\begin{equation} E_\text{tot} = E_1 + E_1' + E_2 + E_2' + U = μ_2 \frac{G m^2}{2r} \left( α_2 \left( \frac{R_2}{r} \right)^2 - μ_1 \right) + \frac{1}{2} α_1 m_1 R_1^2 ω_1^2 \label{eq:etot} \end{equation}

De energie is gelijk aan nul als de Aarde en de Maan op oneindige afstand van elkaar staan en niet meer om elkaar of om hun eigen as draaien.

2.2. Nu

Als we alle huidige waarden invullen dan vinden we een totaal van 1,7522 × 1029 J. (Ter vergelijking: dat is ongeveer 1700 keer zoveel als heel Nederland in 2004 verbruikte.) Als we alle waarden door het totaal delen dan vinden we

\(E_1\) 0,002637
\(E_1'\) 1,2171
\(E_2\) 0,2144
\(E_2'\) 1,7560 × 10−6
\(U\) −0,4341

dus de meeste snelheidsenergie zit in de draaiing van de Aarde en (ongeveer vijf keer minder groot) in de baansnelheid van de Maan.

3. Evolutie

Formule \ref{eq:ltot} bevat slechts twee vrije parameters: de afstand \( r \) tussen Aarde en Maan, en de draaihoeksnelheid \( ω_1 \) van de Aarde, die te maken heeft met de rotatieperiode \( T_1 \) van de Aarde, ofwel met de lengte van de dag. De andere parameters, zoals de massafractie \( μ_1 \) van de Aarde of de massaconcentratiecoëfficiënt \( α_2 \) van de Maan, horen bij de voorwerpen en niet bij hun beweging, dus verwachten we dat die constant blijven. De draaihoeksnelheid (of rotatieperiode) van de Maan is geen vrije parameter, omdat we aangenomen hebben dat die altijd gelijk is aan de baanhoeksnelheid (of baanperiode), zoals nu. De getijdekrachten hebben er voor gezorgd dat die twee perioden nu gelijk zijn, dus kunnen ze er ook voor zorgen dat ze gelijk blijven.

Formule \ref{eq:ltot} laat zich omschrijven tot

\begin{align} ω_1 & = \frac{L - μ_2 \sqrt{G m^3 r} \left(μ_1 + α_2 \left( \frac{R_2}{r} \right)^2 \right)}{α_1 m_1 R_1^2} = A - Br^{1/2} - Cr^{−3/2} \label{eq:abc} \\ A & = \frac{L}{α_1 m_1 R_1^2} = 0,0004289129 \\ B & = \frac{μ_1 μ_2 \sqrt{G m^3}}{α_1 m_1 R_1^2} = 1,814881×10^{−8} \\ C & = \frac{α_2 μ_2 R_2^2 \sqrt{G m^3}}{α_1 m_1 R_1^2} = 21754,2 \end{align}

waarmee we kunnen uitrekenen welke draaihoeksnelheid \( ω_1 \) van de Aarde hoort bij een afstand \( r \) tussen Aarde en Maan. De draaiperiode \( T_1 \) volgt dan uit vergelijking \ref{eq:T_1toω_1}.

3.1. Modellen

Volgens moderne theorieën van de getijden levert de belangrijkste component van de getijden van de Maan op de Aarde (het zogenaamde M2-getijde) veranderingen in de halve lange as \( a \) van de baan van de Maan evenredig met

\begin{equation} \dd{r}{t} ∝ \frac{(ω_1 - Ω) τ}{r^5} \end{equation}

waar \( τ \) de vertragingstijd aangeeft waarmee de getijden van de Aarde achterlopen bij de getijdekrachten van de Maan.

Op het moment neemt de afstand van de Maan tot de Aarde met ongeveer 3,7 cm per jaar toe. Als we aannemen dat de vertragingstijd \( τ \) gelijk blijft, dan kunnen we met behulp van de \( ω_1 \) en \( Ω \) van vandaag de evenredigheidsconstante uitrekenen en dan vinden we het model

\begin{equation} \dd{r}{t} = 1,41×10^{38} \frac{ω_1 - Ω}{r^5} \label{eq:drdt} \end{equation}

Een procedure om hiermee het verleden en de toekomst uit te rekenen is nu als volgt:

  1. Maak een rij met afstanden \( r \), bijvoorbeeld met vaste tussenruimte, lopend tussen een redelijke benedengrens en bovengrens (bijvoorbeeld de 13938 km en 554523 km die we eerder vonden).
  2. Reken voor elke \( r \) uit de rij \( \dd{r}{t} \) uit volgens formule \ref{eq:drdt}.
  3. Als het verschil tussen opvolgende \( r \) gelijk is aan \( ∆r \), dan is een schatting voor de tijd die de Maan er over doet om van de lagere naar de hogere \( r \) te gaan gelijk aan \( ∆t = \frac{∆r}{\left( \dd{r}{t} \right)} \).
  4. Als je nu alle \( ∆t \) optelt voor de eerste tot de gewenste \( r \) dan heb je een schatting voor hoeveel tijd de Maan nodig heeft om van de eerste naar de gewenste \( r \) te gaan. Trek daar de tijd af die hoort bij de \( r \) van vandaag, en dan heb je de tijd ten opzichte van vandaag. Als je overal SI-eenheden gebruikt dan is die tijd gemeten in seconden.



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/maanbaan.html;
Laatst vernieuwd: 2016−02−07