AstronomieAntwoorden
Gezamelijke Planeetperioden


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. De Methode ... 2. Het Nut

Stel, je hebt een aantal planeten die elk in een zekere tijd (de periode) rond de Zon gaan, bijvoorbeeld in 100/100, 188/100, en 1187/100 jaar voor de Aarde, Mars en Jupiter (nauwkeurig tot op 1/100 jaar). Na hoeveel tijd zijn ze allemaal weer terug in dezelfde positie?

1. De Methode

Elke planeet keert weer terug naar dezelfde positie als er een veelvoud van zijn periode voorbij is, dus na elk veelvoud van 1 jaar voor de Aarde (dus bijvoorbeeld 1 of 2 of 3 jaar), na elk veelvoud van 1,88 jaar voor Mars (dus bijvoorbeeld 1,88 of 3,76 of 5,64 jaar), en na elk veelvoud van 11,87 jaar voor Jupiter (dus bijvoorbeeld 11,87 of 23,74 of 35,61 jaar). Ze keren weer allemaal tegelijk naar dezelfde posities terug na tijden die een veelvoud zijn van de perioden van alle planeten. De kortste tijd waarna ze weer allemaal terugkeren naar dezelfde positie is dus de kleinste van die veelvouden die niet nul is, en dat heet het kleinst gemene veelvoud (hierna afgekort tot k.g.v.) van alle perioden.

De methode die ik hieronder beschrijf om het k.g.v. van een verzameling getallen te vinden werkt alleen als alle getallen hele getallen zijn. Voor perioden van planeten betekent dat dat je een basisperiode moet kiezen die een heel aantal keren in alle perioden past en dan de perioden moet meten als een heel aantal keren die basisperiode. Hierbij kan er een kleine afrondingsfout optreden, en die kun je kleiner maken door een kleinere basisperiode te nemen. Voor ons voorbeeld kunnen we bijvoorbeeld een basisperiode van 1/100 jaar nemen. Dan zijn de perioden van de planeten gelijk aan 100, 188 en 1187.

Hier is de eerste methode om het k.g.v. van een aantal getallen te berekenen:

  1. Schrijf elk van de getallen als de vermenigvuldiging van getallen (delers, factoren) die zo klein mogelijk zijn. Als je alle factoren met elkaar vermenigvuldigt dan moet daar het getal weer uitkomen.
  2. Neem voor elke factor het grootste aantal uit elk van de getallen en stop dat in een aparte lijst van factoren.
  3. Het k.g.v. van de getallen is gelijk aan het product van de aparte lijst van factoren.

Bijvoorbeeld: 100 = 2×2×5×5 en heeft dus tweemaal 2 en tweemaal 5. 188 = 2×2×47 dus heeft het tweemaal 2 en eenmaal 47. 1187 heeft geen andere factoren dan 1187. We nemen nu van elke factor het grootste aantal, dus tweemaal 2, tweemaal 5, eenmaal 47 en eenmaal 1187. Dat geeft samen 2×2×5×5×47×1187 = 5578900 basisperioden, ofwel 55.789 jaar.

Het vergt nogal wat werk om de delers van getallen te vinden. Het is daarom aantrekkelijk om een andere methode te gebruiken waarvoor je die factoren niet nodig hebt. Bijvoorbeeld een methode die werkt via de grootste gemene deler.

De delers van een getal zijn de hele getallen waar je dat getal door kunt delen zonder dat er een rest overblijft. De grootste gemene deler (afgekort tot g.g.d.) van een aantal getallen is de grootste deler die ze allemaal gemeen hebben.

Als je naar maar twee getallen kijkt, dan is het product van die twee getallen gelijk aan het product van de g.g.d. en het k.g.v. van die getallen, maar dit geldt in het algemeen niet voor de g.g.d. en k.g.v. van meer dan twee getallen. Voor twee getallen kun je dus het k.g.v. vinden door het product van de getallen te delen door de g.g.d. van de getallen.

Voor de berekening van de g.g.d. van twee getallen bestaat een mooie methode die geen zoeken vergt:

  1. Bepaal de rest als je het grootste getal deelt door het kleinste.
  2. Als die rest gelijk is aan nul, dan is het kleinste getal de g.g.d.
  3. Als de rest niet gelijk is aan nul, gooi dan het grootste getal weg. Je hebt nu weer twee getallen (het vroegere kleinste, en de berekende rest). Ga hiermee weer naar stap 1.

Bijvoorbeeld, wat is de g.g.d. van 100 en 188? 188 gedeeld door 100 is 1 met rest 88, en dat is niet nul, dus gooien we de 188 weg. Nu hebben we 100 en 88. 100 gedeeld door 88 is 1 met rest 12, dus gooien we de 100 weg. Nu hebben we 88 en 12. 88 gedeeld door 12 is 7 met rest 4, dus gooien we de 88 weg. Nu hebben we 12 en 4. 12 gedeeld door 4 is 3 met rest 0, dus we zijn klaar en de g.g.d. is 4.

Met deze g.g.d. kun je dan het k.g.v. van de twee getallen uitrekenen. Het k.g.v. van 100 en 188 is gelijk aan het product van de getallen gedeeld door de g.g.d., dus 100×188/4 = 4700.

Je kunt dan als volgt het k.g.v. van meer dan twee getallen berekenen:

  1. Bepaal het k.g.v. van de eerste twee getallen.
  2. Bepaal dan telkens het k.g.v. van het vorige k.g.v. en het volgende getal.
  3. Het laatste k.g.v. is het k.g.v. van alle getallen samen.

Het k.g.v. van 100, 188 en 1187 vind je dan als volgt: Het k.g.v. van 100 en 188 is 4700. Het k.g.v. van 4700 en 1187 is 5578900, dus is het k.g.v. van 100, 188 en 1187 gelijk aan 5578900.

Het k.g.v. van een stel getallen is ten minste zo groot als het grootste van de getallen, en is ten hoogste zo groot als het product van al die getallen. Als je het k.g.v. van een groot aantal willekeurige getallen wilt berekenen dan is er een goede kans dat het antwoord zó groot is dat het niet meer in je rekenmachine past. Het k.g.v. van alle getallen van 90 tot 100 is zelf bijvoorbeeld een getal met 16 cijfers. In zo'n geval is de methode met de factoren nog wel te gebruiken. Hier zijn bijvoorbeeld de factoren van de perioden (basis 1/100 jaar) van alle planeten:

24
= 
2×2×2×3
61
= 
61
100
= 
2×2×5×5
188
= 
2×2×47
1187
= 
1187
2946
= 
2×2×491
8401
= 
31×271
16479
= 
3×3×1831
24769
= 
17×31×47

Het k.g.v. van al die getallen is dus gelijk aan 2×2×2×3×3×5×5×17×31×47×61×271×491×1187×1831 = 786.503.499.835.444.655.400 en de gezamelijke periode (tot op 1/100 jaar) gelijk aan 7.865.034.998.354.446.554 jaar.

2. Het Nut

Als de perioden die gecombineerd worden niet al van nature veelvouden zijn van een gezamelijke basisperiode, dan is de lengte van de gecombineerde periode heel gevoelig voor de gekozen basisperiode, en heeft dan in de praktijk niet zoveel betekenis.

In het ongunstigste geval hebben de perioden helemaal geen delers gemeen, en dan is het k.g.v. gelijk aan het product van de perioden (gemeten in eenheden van de basisperiode). Stel nu dat we de basisperiode tienmaal zo klein maken. Dan wordt het getal dat de periode aangeeft van een planeet tienmaal zo groot, gemeten in eenheden van die tienmaal kleinere basisperiode. Het product van die perioden wordt dan net zoveel factoren tien groter als er planeten zijn. Aan het eind reken je het product weer terug naar gewone tijd, door het met de basisperiode te vermenigvuldigen, maar die basisperiode was tienmaal zo klein geworden, dus raak je weer een factor tien kwijt.

Als je de combinatie van \( n \) perioden uitrekent en de basisperiode \( f \) maal zo klein maakt, dan zal in het ongunstigste geval de combinatie \( n - 1 \) factoren \( f \) groter worden, ofwel \( f^{n-1} \) maal zo groot. De combinatie van de perioden van de negen planeten hierboven gaat in het ongunstigste geval met een factor 100.000.000 omhoog elke keer als je de basisperiode 10 maal kleiner maakt.

Als \( P_0 \) het product van de perioden is (zonder eerst te delen door een basisperiode), dan is de combinatieperiode \( P \) (berekend volgens bovenstaande methode) in het ongunstigste geval gelijk aan \( P_\text{max} \):

\begin{equation} P_\text{max} = \frac{P_0}{b^{n-1}} \label{eq:p} \end{equation}

Voor de planeten hierboven is \( P_0 \) gelijk aan ongeveer 335 miljoen (3.35 × 108). We gebruikten daar \( b = 0,01 \) jaar en we hebben \( n = 9 \) planeten, dus is \( P_\text{max} = 3.35×10^{24} \) jaar, en dit wordt 108 maal zoveel elke keer als je \( b \) een factor 10 kleiner maakt.

Hieronder staat een grafiek die de decimale logaritme van de combinatieperiode \( P \) van de negen planeten laat zien als een functie van de gekozen basisperiode \( b \) voor drieduizend willekeurig gekozen basisperioden tussen 0,0001 en 0,1 jaar. De aangenomen perioden van de planeten waren (in dagen):

87,96934; 224,70069; 365,256366; 686,9600; 4333,2867; 10756,1995; 30707,4896; 60223,3528; 90613,3055

In de grafiek zijn zowel \( b \) als \( P \) gemeten in juliaanse jaren "(a)". De getallen langs de vertikale as geven ongeveer aan "hoeveel nullen" er in de periode staan. De stippellijn geeft de resultaten van formule \ref{eq:p}, dus voor het ongunstigste geval. Het is duidelijk dat \( P \) die stippellijn volgt: Hoe kleiner je \( b \) kiest, hoe groter \( P \) wordt. Deze resultaten geven geen aanwijzingen dat er meer structuur zit in de perioden van de planeten dan in een even grote verzameling van willekeurige getallen.

[Combinatieperioden]



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/periode.html;
Laatst vernieuwd: 2016−02−07