AstronomieAntwoorden
Samenloopperioden


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Inleiding ... 2. Strikt Periodieke Gebeurtenissen ... 3. Bijna Periodieke Gebeurtenissen met Vaste Perioden ... 4. Bijna Periodieke Gebeurtenissen met Veranderlijke Perioden ... 5. Verwante Gebeurtenissen ... 6. De volgende gebeurtenissen ... 7. Vergelijking met de eclipsberekeningen van Fred Espenak

\( \DeclareMathOperator{\trunc}{trunc} \def\floorratio#1#2{\left\lfloor \frac{#1}{#2} \right\rfloor} \def\ceilratio#1#2{\left\lceil \frac{#1}{#2} \right\rceil} \)

1. Inleiding

Al ten minste 2500 jaar geleden ontdekten astronomen in Babylonië dat zonsverduisteringen en maansverduisteringen vaak terugkeren onder vergelijkbare omstandigheden na een tijdspanne van 223 synodische maanden (geteld volgens de maanstand, niet volgens onze kalender) of ongeveer 6585⅓ dagen. Deze periode wordt tegenwoordig de saros genoemd. Een serie van verduisteringen die elk een saros na de vorige optreden noemen we een sarosserie.

Om een zonsverduistering of maansverduistering te krijgen moeten twee afzonderlijke periodieke gebeurtenissen samen komen, namelijk de juiste maanstand (Nieuwe Maan voor een zonsverduistering, of Volle Maan voor een maansverduistering) en passage van de Maan door een knoop van de baan van de Maan rond de Aarde.

2. Strikt Periodieke Gebeurtenissen

We bestuderen het samenkomen van twee willekeurige periodieke verschijnselen A en B. Als ze samenvallen dan hebben we het combinatie-effect dat we Z noemen. We nemen aan dat gebeurtenis A een periode \( P_A \) heeft en gebeurtenis B een periode \( P_B \) en dat de verhouding van die perioden een breuk is:

\begin{equation} \frac{P_A}{P_B} = γ' = \frac{a}{b} \end{equation}

met \( a \) en \( b \) hele getallen. Dat betekent dat \( b \) perioden \( P_A \) precies gelijk zijn aan \( a \) perioden \( P_B \). Zo lang na een vorige Z zal er een volgende Z zijn. We noemen de periode \( y = b P_A \) de voorspellingsperiode. We nemen aan dat \( a \) en \( b \) geen delers gemeen hebben. Als ze dat wel hebben dan kun je die er eenvoudig uit krijgen door ze er door te delen.

Voor verduisteringen Z is A het bereiken van de juiste maanstand (Volle Maan voor een maansverduistering, Nieuwe Maan voor een zonsverduistering) en B het bereiken van een knoop in de maanbaan. Voor de saros is \( a \) gelijk aan 484, \( b \) gelijk aan 223, en \( y \) gelijk aan iets meer dan 18 jaar.

Als er een A en een B op dezelfde tijd gebeuren dan krijgen we het combinatie-effect Z. Vaak is er een beetje speling zodat A en B een klein tijdsverschil mogen hebben en dan toch een Z geven. We kunnen twee grenzen \( d_1 \) en \( d_2 \) vinden zodat een Z zeker optreedt als het tijdsverschil tussen een A en de dichtstbijzijnde B minder is dan \( d_1 P_B \), en een Z zeker niet optreedt als dat tijdsverschil meer is dan \( d_2 P_B \).

In ons voorbeeld is Z een zonsverduistering of maansverduistering. Voor zulke verduisteringen is \( d_1 \) = 0,090 en \( d_2 \) = 0,117.

Als je vanaf een Z een voorspellingsperiode \( y \) vooruit of achteruit gaat dan vind je weer een Z. Al die gebeurtenissen Z vormen samen een verzameling die we een voorspellingsserie noemen. De verzameling van gebeurtenissen A die bij zo'n voorspellingsserie hoort noemen we ook een voorspellingsserie (voor gebeurtenis A), en net zo is er een voor gebeurtenissen B. In een voorspellingsserie van A of B of Z liggen de verschillende gebeurtenissen van hetzelfde soort precies \( y \) uit elkaar.

We zullen de voorspellingsseries van B verder negeren, maar daarvoor gaat alles net zo als voor voorspellingsseries van A, behalve dat je de speciale waarden die voor A gelden moet vervangen door de overeenkomende waarden voor B.

We kunnen elke A aan een voorspellingsserie koppelen. Er zijn dan \( b \) verschillende voorspellingsseries. De gebeurtenissen Z zullen niet in alle verschillende voorspellingsseries voorkomen.

Eerst geven we elke A een volgnummer dat 1 hoger is dan het volgnummer van de vorige A. We gebruiken hier \( k \) om het volgnummer van de A aan te geven. Een geschikte formule om het nummer van de voorspellingsserie uit te rekenen is dan

\begin{equation} s ≡ a k + s_0 \pmod{b} \label{eq:sarosnummer} \end{equation}

waarin de \( \bmod b \) betekent "afgezien van veelvouden van \( b \)", en de \( s_0 \) het nummer van de serie is waar \( k \) = 0 in hoort. Als je andersom wilt weten welke \( k \) er allemaal bij de serie met nummer \( s \) horen, dan kun je dat hieruit halen:

\begin{equation} k = l (s - s_0) + n b \label{eq:ks} \end{equation}

waarin \( l \) een getal is zodat \( a l ≡ 1 \pmod{b} \) en \( n \) een volgnummer is dat gebeurtenissen A in een voorspellingsserie telt. In het algemeen is

\begin{equation} l ≡ a^{φ(b) - 1} \pmod{b} \end{equation}

met \( φ(b) \) het aantal niet-negatieve hele getallen kleiner dan \( b \) dat relatief priem is met \( b \).

Bijvoorbeeld, de zonsverduistering van 5 februari 2000 hoort volgens een veelgebruikt schema bij saros nummer 150. Als we aan die Nieuwe Maan \( k \) = 2 toewijzen (zodat de eerste Nieuwe Maan van het jaar 2000 nummer 1 heeft), dan is \( s_0 \) = 74 en wordt de formule om het sarosnummer voor de Nieuwe Maan uit te rekenen

\begin{equation} s = 484 k + 74 = 38 k + 74 \pmod{223} \end{equation}

Andersom zijn alle \( k \) te vinden die bij een bepaalde saros \( s \) horen uit

\begin{equation} k = 135 (s - 74) = 135 s + 45 \pmod{223} \end{equation}

Voor Volle Manen en maansverduisteringen zijn er ook sarosnummers. De maansverduistering van 21 januari 2000 hoort volgens een veelgebruikt schema bij (maan)saros 124. Als we aan die eerste Volle Maan van het jaar 2000 \( k \) = 1 toewijzen, dan is \( s_0 \) = 86 en worden de formules om van \( k \) naar \( s \) of omgekeerd te gaan voor de Volle Maan

\begin{align} s & = 484 k + 86 = 38 k + 86 \pmod{223} \\ k & = 135 (s - 86) = 135 s + 209 \pmod{223} \end{align}

De toestand van gebeurtenissen B op het moment van een A is

\begin{equation} S'_k = S_0 + γ' k \label{eq:b-toestand} \end{equation}

Als \( S'_k \) een heel getal is, dan zijn we precies op een B aangeland, dus dan zijn we ook precies midden in een Z. \( S_0 \) is de B-toestand op het moment dat overeenkomt met \( k \) = 0. Met de definitie

\begin{equation} s'_* = a k + s_0 - b S'_k \label{eq:bestenummer} \end{equation}

vinden we dat

\begin{equation} s'_* = s_0 - b S_0 \end{equation}

en dat is een constante. Het hele getal het dichtste bij \( s'_* \) is het nummer (afgezien van veelvouden van \( b \)) van de serie waarvoor de A en B het dichtste bij elkaar liggen. We noemen die serie de beste serie.

Voor zonsverduisteringen was \( S_0 \) aan het begin van 2000 gelijk aan −0,2775775 en \( s'_* \) toen gelijk aan 135,8998. Voor maansverduisteringen was \( S_0 \) toen gelijk aan −0,1923817 en \( s'_* \) gelijk aan 128,9011.

Als we vergelijking \ref{eq:ks} in vergelijking \ref{eq:b-toestand} stoppen dan vinden we

\begin{equation} S'_k = S_0 + \frac{a}{b} l (s - s_0) + a n = S_0 - \frac{a}{b} s_0 + \frac{a l}{b} s + a n \end{equation}

Als we \( n \) veranderen door er \( ∆n \) bij op te tellen, of \( s \) door er \( ∆s \) bij op te tellen, dan verandert \( S'_k \) met \( ∆S'_k \). Alleen de afstand van \( S'_k \) tot het dichtstbijzijnde hele getal is belangrijk voor het bepalen of er een Z gebeurt, dus kunnen we \( \bmod 1 \) rekenen. Dan vinden we

\begin{equation} ∆S'_k = \frac{a l}{b} ∆s + a ∆n = \frac{1}{b} ∆s \pmod{1} \label{eq:delta-s} \end{equation}

De term \( a ∆n \) verdwijnt omdat dat altijd een heel getal is, en \( \frac{a l}{b} ≡ \frac{1}{b} \pmod{1} \) omdat \( a l ≡ 1 \pmod{b} \) per definitie.

Als van een voorspellingsserie de \( S'_k \) minder dan \( d_1 \) van een heel getal afwijkt, dan is er in die serie zeker een Z. Als de afwijking tussen \( d_1 \) en \( d_2 \) is dan is er soms een Z, en als de afwijking groter is dan \( d_2 \) dan is er zeker geen Z. De beste voorspellingsserie heeft \( s = [s'_*] \). Voor die serie is \( S'_k \) het dichtst bij een heel getal. Uit vergelijking \ref{eq:delta-s} volgt dan dat er in voorspellingsseries waarvan \( s \) ligt tussen \( s'_* - d_1 b \) en \( s'_* + d_1 b \) (inclusief) voor elke A een Z is. In de voorspellingsseries waarvan \( s \) ligt tussen \( s'_* - d_2 b \) en \( s'_* - d_1 b - 1 \) of tussen \( s'_* + d_1 b + 1 \) en \( s'_* + d_2 b \) is er een Z voor sommige maar niet alle A. En als de \( s \) buiten die intervallen ligt dan is er in die voorspellingsserie helemaal geen Z.

Voor zonsverduisteringen was aan het begin van het jaar 2000 sarosserie nummer 136 de beste. De sarosseries waarin verduisteringen voorkomen waren toen 117 tot 156. Voor maansverduisteringen was sarosserie 129 toen de beste, en kwamen verduisteringen voor in sarosseries 109 tot 150.

3. Bijna Periodieke Gebeurtenissen met Vaste Perioden

Hierboven hebben we aangenomen dat de verhouding van de perioden van A en B een breuk was en dat we die breuk precies kenden. Als één of meer van die aannamen niet kloppen, dan kunnen we de verhouding nog wel benaderen met een breuk, maar dan zal onze benadering niet helemaal kloppen met de werkelijkheid. We noemen de echte verhouding van de perioden \( γ \) en blijven \( γ' \) gebruiken voor onze benadering voor de verhouding:

\begin{align} γ & = \frac{P_A}{P_B} \\ γ' & = \frac{a}{b} \end{align}

Het verschil tussen de benadering en de echte verhouding noemen we \( δ \):

\begin{equation} δ = γ' - γ = \frac{a}{b} - γ \end{equation}

Voor de maan hadden we aan het begin van het jaar 2000 dat \( P_A \) = 29,530588853 dagen en \( P_B \) = 13,606110408 dagen, dus \( γ \) = 2,170391681. Als we de saros gebruiken als benadering (dus \( a \) = 484 en \( b \) = 223) dan was \( δ \) aan het begin van 2000 gelijk aan 0,000011906.

We kunnen nog steeds vergelijking \ref{eq:sarosnummer} gebruiken om het nummer van de voorspellingsserie uit te rekenen. Voor de toestand van B op het moment van een A moeten we vergelijking \ref{eq:b-toestand} aanpassen tot

\begin{equation} S_k = S_0 + γ k \label{eq:b-toestand-2} \end{equation}

en voor het nummer van de beste voorspellingsserie passen we vergelijking \ref{eq:bestenummer} aan tot

\begin{equation} s_* = a k + s_0 - b S_k \label{eq:bestenummer-2} \end{equation}

waaruit volgt dat

\begin{equation} s_* = b δ k + s_0 - b S_0 = b δ k + s'_* \end{equation}

Nu is \( s_* \) geen constante meer, dus verschuift het interval van voorspellingsseries waarin Z voorkomen in de loop der tijd, met een snelheid van 1 per periode \( \frac{P_A}{b δ} \).

Die periode is nu voor zonsverduisteringen en maansverduisteringen ongeveer 30 jaar.

De voorspellingsseries die rond een gegeven moment gebeurtenissen Z leveren zullen dat niet voor altijd doen. Als ze gebeurtenissen Z leveren dan noemen we ze actief en anders inactief. Elke voorspellingsserie zal in de loop van de tijd wisselen tussen actief en inactief en weer terug in een grote periode die we aangeven met \( c \) en die gelijk is aan

\begin{equation} c = \frac{P_A}{δ} \end{equation}

Vergelijking \ref{eq:delta-s} wordt nu

\begin{equation} ∆S_k = l \left( \frac{a}{b} - δ \right) ∆s + (a - b δ) ∆n = \left( \frac{1}{b} - l δ \right) ∆s - b δ ∆n \pmod{1} \label{eq:sk-bijna} \end{equation}

Als \( b δ ∆n \) kleiner is dan \( d_1 \), dan is er zeker een Z, en als het groter is dan \( d_2 \) dan is er zeker geen Z. Hieruit volgt dat een actieve periode van een voorspellingsserie tussen de \( \frac{2 d_1}{b δ} \) en \( \frac{2 d_2}{b δ} \) gebeurtenissen Z bevatten.

Als je naar een andere \( s \) gaat dan ga je niet alleen naar een andere voorspellingsserie maar ook (met vergelijking \ref{eq:ks}) naar een andere \( k \), dus naar een andere tijd. In het vorige hoofdstuk was dat niet belangrijk, omdat de voorspellingsseries daar niet van de tijd afhingen (omdat de voorspellingsperiode precies goed was), maar hier is dat wel belangrijk. We willen kijken wat er met \( S_k \) gebeurt als je naar een andere voorspellingsserie gaat zonder dat je naar een andere datum gaat. Dat kan, want uit vergelijking \ref{eq:ks} volgt dat \( ∆k = l ∆s + b ∆n \) dus \( ∆k = 0 \) als \( ∆n = -\frac{l}{b} ∆s \). Als we dat in vergelijking \eqref{eq:sk-bijna} stoppen dan vinden we, net als bij strikt periodieke gebeurtenissen:

\begin{equation} ∆S_k = \frac{1}{b} ∆s \pmod{1} \end{equation}

Hieruit volgt dat er tussen de \( 2 d_1 b \) en \( 2 d_2 b \) voorspellingsseries tegelijk actief zijn.

De grote periode van de saros is 6790 jaar (ongeveer 377 sarossen), en elke actieve periode van een sarosserie omvat tussen de 70 en de 86 verduisteringen. Voor zons- en maansverduisteringen zijn er elk tussen de 40 en de 52 sarosseries tegelijk actief.

Omdat voorspellingsseries nu wisselen tussen actief en inactief is het interessant om elke aparte actieve periode een eigen voorspellingsserienummer te geven. Dat kan, want vergelijking \ref{eq:sarosnummer} heeft \( \bmod b \) erin, dus staat het ons vrij om elke actieve periode uit een gegeven voorspellingsserie een nummer te geven dat \( b \) hoger is dan de vorige periode. Bijvoorbeeld met

\begin{equation} s = \left( \left( a k + s_0 - \left\lfloor s_* - \frac{b}{2} \right\rfloor \right) \bmod b \right) + \left\lfloor s_* - \frac{b}{2} \right\rfloor \label{eq:sarosnummer-2} \end{equation}

Omdat \( (x×y) \bmod b = ((x \bmod b)×(y \bmod b)) \bmod b \) mag je de \( a k \) uit formule \ref{eq:sarosnummer-2} desgewenst vervangen door \( (a \bmod b)×(k \bmod b) \). Dat kan handig zijn om de rekengetallen zo klein mogelijk te houden als \( k \) heel groot wordt.

Bijvoorbeeld, saros 114 was actief tussen de jaren 651 en 1931, en zal dat weer zijn ongeveer tussen de jaren 7400 en 8700. De nieuwe maan met \( k = 75422 \) hoort bij saros 114, want

\[ ak + s_0 = 484×75422 + 74 = 36504322 = 114 \pmod 223 \]

maar die \( k \) valt in het jaar 8097, ver voorbij het einde van de meest recente actieve periode van saros 114 (die eindigde in 1931). We zouden aan die \( k \) dus graag het sarosnummer 114 + 223 = 337 toekennen om aan te geven dat het in dezelfde serie zit als 114 maar één grote periode later is.

Dan is

\[ s_* = bδk + s'_* = 223×0,000011906×75422 + 135,8998 = 336,1481 \]

en hierboven zagen we dat \( s = 114 \bmod 223 \). Met formule \ref{eq:sarosnummer-2} vinden we

\begin{align*} \left\lfloor s_* - \frac{b}{2} \right\rfloor & = \left\lfloor 336,1481 - \frac{223}{2} \right\rfloor \\ & = ⌊225,1481⌋ = 225 \\ s & = ((484×75422 + 74 - 225) \bmod 223) + 225 \\ & = (36504097 \bmod 223) + 225 = 112 + 225 = 337 \end{align*}

Het tussenresultaat 36504097 is groot, maar we mogen de \( \bmod b \) ook apart toepassen op de factoren binnen de formule die zelf \( \bmod b \) is, dus

\begin{align*} s & = (((484 \bmod 223)×(75422 \bmod 223) + 74 - 225) \bmod 223 + 225 \\ & = (38×48 + 74 - 225) \bmod 223 + 225 \\ & = 1673 \bmod 223 + 225 = 112 + 225 = 337 \end{align*}

Als \( s_* \) gelijk is aan een heel getal, dan vallen de A en B in die voorspellingsserie precies samen, dus dan zijn we bij het midden van die actieve periode aangekomen. \( s_* \) is gelijk aan een bepaalde \( s \) (een heel getal) als \( k \) gelijk is aan

\begin{equation} k_s = \frac{s - s_0 + b S_0}{b δ} = \frac{s - s'_*}{b δ} \end{equation}

Voor zonsverduisteringen en de saros vinden we

\begin{equation} k_s = (s - 135,8998)×376,6284 \end{equation}

en voor maansverduisteringen

\begin{equation} k_s = (s - 128,9011)×376,6284 \end{equation}

Deze \( k_s \) hoeft geen heel getal te zijn en hoeft niet eens bij voorspellingsserie \( s \) te horen, maar de \( k \) uit voorspellingsserie \( s \) die het dichtste bij \( k_s \) ligt is geeft het midden van die serie aan. Hiermee geven we volgnummers

\begin{equation} m = \left[ \frac{k - k_s}{b} \right] \label{eq:m} \end{equation}

aan de verschillende Z uit een voorspellingsserie. In die formule moet de \( k \) wel bij voorspellingsserie \( s \) passen (te vinden met vergelijking \ref{eq:ks}). Als \( m \) gelijk is aan 0, dan zijn we bij het midden van de actieve periode aangeland. Als \( m \) groter is dan 0 dan zijn we al voorbij het midden, en als \( m \) kleiner is dan 0 dan zijn we nog voor het midden.

Voor de zonsverduistering van 5 februari 2000 (\( s \) = 150, \( k \) = 2) vinden we dan \( k_s \) gelijk aan 5310,537 en \( m \) = −24. Deze zonsverduistering is dus een hele vroege in zijn serie, want er volgen er nog 23 in die serie voor het midden van de serie bereikt is.

Voor de maansverduistering van 21 januari 2000 (\( s \) = 124, \( k \) = 1) vinden we \( k_s \) = −1845,891 en \( m \) = +8. Die maansverduistering is dus al voorbij het midden van zijn sarosserie.

Formule \ref{eq:m} hangt op twee manieren van \( k \) af: eenmaal omdat \( k \) er expliciet in staat, en eenmaal omdat \( k_s \) via \( s \) ook van \( k \) afhangt. Met formule \ref{eq:sarosnummer} erbij kunnen we wat meer zeggen over hoe \( m \) direct van \( k \) afhangt.

\begin{align} m' & ≡ \frac{k - k_s}{b} \\ m & = [m'] \end{align}

\begin{equation} \begin{split} m' & = \frac{k - k_s}{b} \\ & = \frac{k - \frac{s - s'_*}{bδ}}{b} \\ & = \frac{k - \frac{ak + s_0 \bmod b - s'_*}{bδ}}{b} \\ & = \frac{k - \frac{ak + s_0 - s'_*}{bδ}}{b} \bmod \frac{1}{bδ} \\ & = \left( 1 - \frac{a}{bδ} \right) \frac{k}{b} + \frac{s'_* - s_0}{b^2δ} \bmod \frac{1}{bδ} \\ & = -\frac{γk}{bδ} + \frac{s'_* - s_0}{b^2δ} \bmod \frac{1}{bδ} \\ & = \frac{-γk + \frac{s'_* - s_0}{b} \bmod 1}{bδ} \end{split} \label{eq:m'} \end{equation}

Bijvoorbeeld, voor de saros van zonsverduisteringen hebben we \( a = 484 \), \( b = 223 \), \( γ = 2,170391681 \), \( δ = 0,000011906 \), \( s'_* = 135,8998 \), en daarmee

\begin{align*} m' & = \frac{−2,170391681k + 0,27758 \bmod 1}{223×0,000011906} \\ & = (−0,170391681k + 0,27758 \bmod 1)×376,6284 \\ & = −64,1743454k + 104,54 \bmod 376,6284 \end{align*}

Voor maansverduisteringen is de formule hetzelfde behalve dat de 104,54 vervangen moet worden door 72.46.

Voor de zonsverduistering van 5 februari 2000 (\( k \) = 2) vinden we dan

\[ m' = −64,1743454×2 + 104,54 \bmod 376,6284 = −23,81 \bmod 376,6284 \]

en daarmee \( m = [m'] = −24 \). Voor de maansverduistering van 21 januari 2000 (\( k \) = 1) vinden we dan

\[ m' = −64,1743454×1 + 72,45 \bmod 376,6284 = 8,28 \bmod 376,6284\]

dus \( m = [m'] = +8 \).

4. Bijna Periodieke Gebeurtenissen met Veranderlijke Perioden

Hierboven hebben we aangenomen dat de verhouding van de perioden een constante is, maar in de praktijk zal die verhouding vaak met de tijd veranderen. Als de verandering langzaam is dan kunnen we er toch nog wat mee zonder hele ingewikkelde formules te hoeven gebruiken. We nemen aan dat de verhouding \( γ \) geen constante is maar varieert volgens

\begin{equation} γ_k = γ_0 + γ_1 k \end{equation}

De enige belangrijke aanpassingen ten opzichte van het geval met constante perioden zijn in formules waarin \( δ \) of \( S_k \) voorkomen. We vinden

\begin{align} δ & = \frac{a}{b} - γ_0 - γ_1 k = δ_0 - γ_1 k \\ S_k & = S_0 + γ_0 k + \frac{1}{2} γ_1 k^2 \\ s_* & = a k + s_0 - S_k = b δ_0 k - \frac{1}{2} b γ_1 k^2 + s'_* \end{align}

Om de beste Z van voorspellingsserie \( s \) te vinden moet je nu een vierkantsvergelijking oplossen:

\begin{equation} -\frac{1}{2} b γ_1 k_s^2 + b δ_0 k_s + s'_* - s = 0 \end{equation}

De oplossing is

\begin{equation} k_s = \frac{δ_0}{γ_1} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{2γ_1}{bδ_0^2}(s - s'_*)} \right) \end{equation}

Als \( |s - s'_*| \) veel kleiner is dan \( \left| \frac{bδ_0^2}{2γ_1} \right| \), dan is de oplossing ongeveer gelijk aan

\begin{align} k_s & = \frac{s - s'_*}{bδ_0} + \frac{γ_1 (s - s'_*)^2}{2b^2δ_0^3} \\ k_s & ≡ k_{s0} + k_{s1} \\ k_{s0} & ≡ \frac{s - s'_*}{bδ_0} \\ k_{s1} & ≡ \frac{γ_1 (s - s'_*)^2}{2b^2δ_0^3} \end{align}

De berekening van \( m' \) gaat dan in een paar stappen:

\begin{align} m' & = m_0' + m_1' \\ m_0' & = \frac{k - k_{s0}}{b} \notag \\ & = -\frac{γ_0k}{bδ_0} + \frac{s'_* - s_0}{b^2δ_0} \bmod \frac{1}{bδ_0} \notag \\ & = \frac{-γ_0k + \frac{s'_* - s_0}{b} \bmod 1}{bδ_0} \\ m_1' & = -\frac{k_{s1}}{b} = -\frac{γ_1(k - bm_0')^2}{2bδ_0} \end{align}

Dus bereken eerst \( m' \) uit formule \ref{eq:m'} alsof \( γ = γ_0 \) en noem die \( m_0' \), en bereken dan \( m_1' \) als correctie op \( m_0' \).

Voor de saros is \( γ_1 \) ongeveer gelijk aan \( −1,2×10^{−11} \) dus is \( \frac{bδ_0^2}{2γ_1} \) gelijk aan ongeveer −1300. Voor sarosnummers veel kleiner dan 1300 kunnen we dus de vorige vergelijkingen gebruiken, die dan worden (voor zonsverduisteringen):

\begin{align*} k_s & = (s - 135,8998) × 376,6284 - 0,071482 (s - 135,8998)^2 \\ m_0' & = −64,1743454k + 104,54 \bmod 376,6284 \\ m_1' & = 2,3×10^{−9} (k - 223m_0')^2 \\ m' & = m_0' + m_1' \end{align*}

Voor de zonsverduistering van 5 februari 2000 (\( k = 2 \)) vinden we dan \( k_s \) = 5296,324 en nog steeds \( m \) = −24. Voor maansverduisteringen zijn de formules hetzelfde als voor zonsverduisteringen, behalve dat je 128,9011 in plaats van 135,8998 moet gebruiken, en 72.45 in plaats van 104.54.

5. Verwante Gebeurtenissen

Stel dat je bij elke gebeurtenis A een verwante gebeurtenis A′ kunt vinden die \( ε P_A \) later is dan A, met \( ε a \) een heel getal. Dan vind je voor combinatiegebeurtenissen Z′ van A′ en B hetzelfde soort gedrag als voor de combinatiegebeurtenissen Z van A en B, en kun je voor A′ en Z′ dezelfde formules gebruiken als voor A en Z, behalve dat sommige constanten anders zijn. Je kunt daarvoor bijvoorbeeld \( k + ε \) in de formules voor A en Z invullen in plaats van \( k \). De formule om het voorspellingsserienummer uit te rekenen wordt dan

\begin{equation} s′ = a (k + ε) + s_0 = a k + (s_0 + a ε) \bmod b \end{equation}

Je vindt dan dat de beste voorspellingsserie voor strikt periodieke Z en Z′ precies hetzelfde nummer (\( s'_* \)) hebben, dus is voor zowel Z als Z′ (bijna) dezelfde verzameling van voorspellingsserienummers actief.

Voor maansverduisteringen als verwanten van zonsverduisteringen (met \( ε = \frac{1}{2} \)) zou je dan \( s_{0\text{maan}} = s_{0\text{zon}} + 484×\frac{1}{2} = s_{0\text{zon}} + 19 = 93 \bmod 223 \) vinden, maar zoals we eerder zagen is volgens het veelgebruikte schema voor maansverduisteringen \( s_{0\text{maan}} \) = 86, dus het veelgebruikte schema loopt 93 - 86 = 7 sarossen achter, en dat klopt precies met het verschil tussen de nummers van de beste sarosseries voor zonsverduisteringen en maansverduisteringen die we eerder vonden voor het jaar 2000, namelijk 136 en 129.

6. De volgende gebeurtenissen

Stel, gebeurtenis A of Z gebeurt voor een bepaalde \( k \), waarbij een bepaalde saros \( s \) en \( m \) horen. Wanneer zijn dan andere interessante gebeurtenissen A of A' of Z of Z'?

Tabel 1 vat deze regels samen.

Tabel 1: Volgende gebeurtenissen

\(∆s\) \(∆k\) \(∆m\)
A \(a \bmod b\) 1 \(≈ γ/bδ\)
A 0 \(b\) +1
A +1 \(l\) \(≈ γl/bδ\)
A −1 \(b - l\) \(≈ γ(b - l)/bδ\)
A' \(aε \bmod b\) 0
Z \(a \bmod b\) 1? \(≈ γ/bδ?\)
Z \(ab/(a \bmod b)\) \(b/(a \bmod b)?\) \(≈ γ/(a \bmod b)δ?\)

Voor zonsverduisteringen en maansverduisteringen en de Saros vinden we

\(∆k\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
\(∆s\) 0 38 76 −109 −71 −33 5 43 81
\(∆m\) 0 −64 −128 +184 120 56 −8 −73 −137

en \( ⌊2d_2b⌋ = 52 \), dus als \( |∆s| ≤ 52 \) dan is er \( ∆k \) maanden na een zonsverduistering of maansverduistering een kans op weer een zonsverduistering of maansverduistering.

\(∆s\) \(∆k\) \(∆m\)
A 38 1 ≈ −64
A 0 223 1
A +1 135 ≈ −1
A −1 88 ≈ 2
A' 19 0 ≈ −89
Z 38 1? ≈ −64?
Z 5 6? ≈ −8?

7. Vergelijking met de eclipsberekeningen van Fred Espenak

De "Five Millennium Catalog of Solar Eclipses" uit november 1999 door Fred Espenak (http://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEcat5/SEcatalog.html) meldt alle 11897 zonsverduisteringen tussen de jaren −1999 en +3000, inclusief hun datum en sarosnummer. De "Five Millennium Catalog of Lunar Eclipses" uit november 1999 door Fred Espenak (http://eclipse.gsfc.nasa.gov/LEcat5/LEcatalog.html) meldt alle 12186 maansverduisteringen in dezelfde periode, inclusief hun datum en sarosnummer.

(Voor de zonsverduisteringen ontdekte ik dat de sarosnummers van 4 daarvan in de catalogus fout zijn: de sarosnummers van de zonsverduisteringen van maart −1791, oktober −1737, januari −485 en oktober 1175 in de catalogus zijn 0 maar moeten zijn −9, −4, 33 en 91. De zonsverduisteringen zijn in de catalogus goed gesorteerd op datum, maar de maansverduisteringen niet.)

Ik heb voor al die verduisteringen de \( k \) uitgerekend (uit de datum) en ook \( m \) en \( s \) met behulp van de formules van hierboven. "Mijn" sarosnummer \( s \) is gelijk aan die uit de catalogus, behalve voor de vier zonsverduisteringen die ik hierboven noemde. Voor opeenvolgende zonsverduisteringen en opeenvolgende maansverduisteringen uit de catalogi vind ik alleen de volgende combinaties van \( ∆s \), \( ∆k \) en \( ∆m \):

\(∆s\) \(∆k\) \(∆m\)
38 1 −68…−63
−33 5 55…59
5 6 −9…−8

Op elke zonsverduistering volgt ½ of 5½ maand later een maansverduistering. Voor de eerstvolgende maansverduistering die volgt op elke zonsverduistering vind ik (met elke \( ∆x = x_\text{Maan} - x_\text{Zon} \))

\(∆s\) \(∆k\) \(∆m\)
12 0 −34…−31
−21 5 23…25

Op elke maansverduistering volgt ½ of 5½ maand later een zonsverduistering. Voor de eerstvolgende zonsverduistering die volgt op elke maansverduistering vind ik (met elke \( ∆x = x_\text{Zon} - x_\text{Maan} \))

\(∆s\) \(∆k\) \(∆m\)
26 1 −34…−31
−7 6 23…25



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/saros.html;
Laatst vernieuwd: 2016−02−07