AstronomieAntwoorden
Verhoudingen van Perioden


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Inleiding ... 2. Het Jaar en de Dag ... 3. De Maand en de Dag ... 4. Het Jaar en de Maand ... 5. Zonsverduisteringen en Maansverduisteringen

1. Inleiding

Voor kalenders en voorspellingen is het van belang om een willekeurig getal te kunnen benaderen met een breuk, een verhouding van twee hele getallen. Een zonnekalender benadert bijvoorbeeld de lengte van het jaar van de seizoenen (bijvoorbeeld het tropische jaar), en een maankalender benadert de lengte van de maand van de maanstanden (de synodische maand). Voor het voorspellen van zonsverduisteringen en maansverduisteringen is het van belang om de verhouding van de lengte van de synodische maand en de draconische maand zo goed mogelijk met een breuk te benaderen.

Als je een benadering gebruikt die niet zo goed is, dan zal een kalender of voorspelling gebaseerd op die benadering al snel uit de pas lopen met het ding waar de benadering voor was. Je wilt dus een benadering gebruiken die zo goed mogelijk is. Hoe je zulke goede benaderingen vindt staat uitgelegd op de bladzijde over het uitgebreide algoritme van Euclides.

2. Het Jaar en de Dag

Het jaar dat gelijk loopt met het gemiddelde van alle seizoenen is het tropische jaar, dat aan het begin van de 21e eeuw 365,2421898 dagen (365 dagen, 5 uren, 48 minuten en 45,20 seconden) lang is. We zoeken goede benaderingen van die waarde om kalenders met hele dagen van te maken.

Tabel 1: Kalenders: Tropisch Jaar in Dagen

dagen jaren speling verschil naam
1 365 1 −5h49m −5h49m egyptisch
2 1461 4 +44m59s +11m15s juliaans
3 10592 29 −33m51s −1m10s
4 12053 33 +11m08s +20s
5 46751 128 −26s −0,2s
6 1227579 3361 +3s +0,0008s

De "speling" geeft aan hoeveel zoveel dagen verschillen van zoveel tropische jaren. Het "verschil" is het verschil tussen de benadering en het echte jaar. Ter vergelijking, de speling voor het gemiddelde kalenderjaar uit de Gregoriaanse kalender (146097 dagen is 400 jaar) is 2 uur en 59 minuten, en het verschil is 27 seconden. Een kalender met 12053 dagen in 33 jaar volgt de seizoenen dus beter dan de Gregoriaanse kalender.

Het jaar dat in de pas loopt met het begin van de lente op het noordelijke halfrond heeft nu een lengte van 365,24237404 dagen (365 dagen, 5 uren, 49 minuten en 1,12 seconden). Goede benaderingen voor dat jaar zijn:

Tabel 2: Kalenders: Maartequinoxjaar in Dagen

dagen jaren speling verschil naam
1 365 1 −5h49m −5h49m egyptisch
2 1461 4 +43m56s +10m59s juliaans
3 10592 29 −41m32s −1m26s
4 12053 33 +2m23s +4s
5 215493 590 −59s −0,1s
6 443039 1213 +25s +0,02s

Het Gregoriaanse jaar probeert de equinox van maart te volgen, maar een kalender gebaseerd op 12053 dagen voor 33 jaar volgt ook de maartequinoxen nauwkeuriger.

3. De Maand en de Dag

De maand van de maanstanden, de synodische maand, is nu 29,530588853 dagen (29 dagen, 12 uren, 44 minuten en 2,88 seconden) lang. Goede benaderingen van die maand met kalenders van dagen zijn:

Tabel 3: Kalenders: Synodische Maand in Dagen

dagen maanden speling verschil
1 29 1 −12h44m −12h44m
2 30 1 +11h16m +11h16m
3 59 2 −1h28m −44m03s
4 443 15 +59m17s +3m57s
5 502 17 −28m49s −1m42s
6 1447 49 +1m39s +2,02s
7 25101 850 −45s −0,053s

De maand van de sterren, de siderische maand, is nu 27,321661548 dagen (27 dagen, 7 uren, 43 minuten en 11,56 seconden) lang. Goede benaderingen hiervoor zijn:

Tabel 4: Kalenders: Siderische Maand in Dagen

dagen maanden speling verschil
1 27 1 −7h43m −7h43m
2 82 3 +50m25s +16m48s
3 765 28 −9m24s −20s
4 3907 143 +3m27s +1,45s
5 8579 314 −2m29s −0,48s
6 12486 457 +58s +0,13s

4. Het Jaar en de Maand

Als we de synodische maand en het tropische jaar willen combineren dan zijn de benaderingen uit de volgende tabel goed. Voor het gemak heb ik er ook het gemiddelde aantal dagen bijgezet: het gemiddelde van de aantallen dagen dat overeenkomt met de gegeven aantallen maanden en jaren. Dat aantal komt niet steeds dichter bij een heel getal, wat aangeeft dat het in het algemeen niet mogelijk is om een periode te vinden die heel nauwkeurig overeenkomt met een heel aantal dagen, maanden, en jaren.

Tabel 5: Kalenders: Tropisch Jaar in Synodische Maanden

maanden jaren speling verschil dagen
1 12 1 −10,9d −10,9d 359.80
2 25 2 +7,8d +3,9d 734.38
3 37 3 −3,1d −24h46m 1094.18
4 99 8 +38,2h +4h46m 2922.73
5 136 11 −36,1h −3h17m 4016.91
6 235 19 +2h04m +6m35s 6939.65
7 4131 334 −41m32s −7,7s 121990.88

5. Zonsverduisteringen en Maansverduisteringen

De eerste paar erg goede benaderingen die we vinden voor de verduisteringen staan in de volgende tabel vermeld. De erg goede benaderingen zijn \(a/b\). De bijbehorende voorspellingsperiode en grote periode (verderop uitgelegd) zijn \(y\) (in jaren) en \(c\) (in jaren). Het aantal te verwachten succesrijke voorspellingen op een rij ligt tussen \(n_1\) en \(n_2\). De fractie van succesrijke voorspellingen van verdere verduisteringen gebaseerd op eerdere verduisteringen en deze periode is \(P\). Erg goede benadering nummer 12 heeft een onbruikbaar grote voorspellingsperiode van 12393,4 jaar.

Tabel 6: Verduisteringsperioden

\({i}\)\({b}\)\({a}\)\({y}\)\({c}\)\({n_1}\)\({n_2}\)\({P}\)naam
1 1 2 0,08 0,5 0 2 0,114
2 5 11 0,4 2,7 1 2 0,230
3 6 13 0,5 22 6 11 0,872 semester
4 41 89 3,3 238 11 17 0,912 hepton
5 47 102 3,8 452 18 27 0,933 octon
6 88 191 7,1 1290 27 42 0,953
7 135 293 10,9 3790 53 79 0,962 tritos
8 223 484 18,0 6790 58 86 0,987 saros
9 358 777 28,9 130200 694 1024 0,966 inex
10 4161 9031 336,4 1564600 715 1055 0,912
11 4519 9808 365,4 56739300 23916 35254 0,921



[AA]

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/verhoudingen.html;
Laatst vernieuwd: 2016-11-28