AstronomieAntwoorden
Zonnepositie

De positie van de Zon aan de hemel gezien vanaf een planeet (zoals de Aarde) wordt bepaald door vier dingen:

1. de tijd.
2. de beweging van de planeet in zijn baan rond de Zon, die niet met constante snelheid gaat vanwege de excentriciteit van de baan van de planeet.
3. de hoek van de draaias van de planeet ten opzichte van het vlak van de planeetbaan, die niet gelijk is aan 90 graden. Dit veroorzaakt seizoenen.
4. de plaats van de waarnemer op de planeet, die bepaalt hoe hoog de Zon aan de hemel kan staan.

Hieronder geef ik formules die met al deze dingen rekening houden, gebaseerd op de draaiassen van de planeten zoals gedefinieerd door de IAU in "Report of the IAU/IAG Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites: 2000" door P.K. Seidelmann et al. Om de formules simpel te houden heb ik hier en daar kleine effecten verwaarloosd. Onthoud dat je bij elke hoek veelvouden van 360 graden kan optellen zonder zijn richting te veranderen.

Als hieronder een ecliptica of pool of coördinaten zoals eclipticale lengte of declinatie genoemd worden, dan zijn die dingen van toepassing voor de planeet waar de waarnemer is. Zulke coördinaten zijn gebaseerd op de baan of evenaar van die planeet en zijn dus niet identiek met de coördinaten van dezelfde naam die we op Aarde gebruiken. Zo is bijvoorbeeld de ecliptica van Mars, de ecliptica die op Mars van toepassing is, niet gelijk aan de ecliptica van de Aarde, en met een rechte klimming en declinatie uitgerekend voor de Zon gezien vanaf Mars kun je niet terecht in een aardse sterrenatlas.

1. De tijd

Voor dit soort astronomische berekeningen is het handig om de datum en tijd te meten aan de hand van een doorlopende dagnummering. Zo'n dagnummering wordt geleverd door de Juliaanse Datum J. Hoe je die kunt uitrekenen voor een datum in de Gregoriaanse kalender staat beschreven op de Juliaanse Datumrekenpagina. Voor de berekeningen van de zonnepositie moet je de tijd meten in Universele Tijd (UTC), en dus ook de Juliaanse Datum uitdrukken in UTC, zodat bijvoorbeeld JD 2453144,5 overeenkomt met 0 uur UTC op 19 mei 2004, wat gelijk is aan 1 uur MET of 2 uur MEZT op 19 mei 2004.

Alleen voor de Aarde geldt dat de seizoenen zich telkens na ongeveer een kalenderjaar (in de westerse - Gregoriaanse - kalender) herhalen, dus kan alleen voor de Aarde ook het dagnummer d in het kalenderjaar gebruikt worden in plaats van de Juliaanse Datum: d = 1 komt dan overeen met 0:00 UTC op 1 januari, 2 met 0:00 UTC op 2 januari, 32 met 0:00 UTC op 1 februari, en zo verder.

2. De middelbare anomalie

Omdat we de Zon vanaf de planeet bekijken zien we de beweging van de planeet rond de Zon gespiegeld in de schijnbare beweging van de Zon langs de ecliptica, ten opzichte van de sterren.

Als de planeetbaan een perfecte cirkel was, dan zou de planeet gezien vanaf de Zon met een vaste snelheid langs zijn baan bewegen, en dan zou het simpel zijn om de positie van de planeet uit te rekenen (en dus ook de positie van de Zon gezien vanaf de planeet). De positie ten opzichte van het perihelium die de planeet zou hebben als de planeetbaan een cirkel was heet de middelbare anomalie, hieronder weergegeven door het symbool M.

Op de volgende manier kun je de middelbare anomalie van de planeten (gemeten in graden) redelijk goed schatten voor een datum gegeven als een Juliaanse Dagnummer (JD) J:

(Vgl. 1) M = M₀ + M₁*(J − J2000)

(Vgl. 2) J2000 = 2451545

Hierbij dien je M₀ (in graden) en M₁ (in graden per dag) uit de volgende tabel te halen:

Voor de Aarde kun je ook de volgende formule gebruiken:

(Vgl. 3) M = −3.59° + 0.98560° d

waar d de tijd sinds 00:00 UTC aan het begin van de meest recente 1 januari is, gemeten in (hele en gebroken) dagen.

3. De excentriciteitsvereffening

De banen van de planeten zijn geen perfecte cirkels, maar ellipsen, en daarom verandert de snelheid van de planeet in zijn baan, en daarmee ook de schijnbare snelheid van de Zon langs de ecliptica door het planeetjaar heen.

De ware anomalie (symbool ν, nu) is de hoekafstand van de planeet tot het perihelium van de planeet, gezien vanaf de Zon. Voor een cirkelbaan zijn de middelbare anomalie en de ware anomalie het zelfde. Het verschil tussen de ware anomalie en de middelbare anomalie noemen we hier de excentriciteitsvereffening, hier genoteerd als C:

(Vgl. 4) ν = M + C

Om de excentriciteitsvereffening of de ware anomalie uit te rekenen uit de middelbare anomalie moet je de Vergelijking van Kepler oplossen. Deze vergelijking kan in het algemeen niet opgelost worden, maar wel kun je benaderingen voor de oplossing vinden die telkens nauwkeuriger zijn. Zie de Rekenpagina voor de Vergelijking van Kepler voor meer informatie. Als de baan veel meer op een cirkel dan op een parabool lijkt, dan is de volgende benadering voldoende nauwkeurig:

(Vgl. 5) C ≈ C₁ sin M + C₂ sin(2 M) + C₃ sin(3 M) + C₄ sin(4 M) + C₅ sin(5 M) + C₆ sin(6 M)

Je kunt de coëfficiënten C₁ tot en met C₆ uit de volgende tabel aflezen. Ze hangen af van de excentriciteit e van de planeetbaan. Als een bepaalde coëfficiënt er niet bij staat dan is hij gelijk aan 0 (tot vier cijfers achter de komma). Mercurius en Pluto hebben banen die het meest van een cirkel afwijken, en hebben daarom de meeste coëfficiënten nodig. De kolom EC toont de maximale fout die je maakt als je de benadering met de coëfficiënten uit de tabel gebruikt.

4. Het perihelium en de helling van de ecliptica

Om de positie van de Zon aan de hemel af te kunnen leiden moeten we weten wat de eclipticale lengtegraad Π van het perihelium van de planeet is ten opzichte van de ecliptica en het lentepunt (de klimmende equinox) van de planeet. De ecliptica van de planeet is het vlak van de baan van de planeet, die een hoek maakt met de baan (ecliptica) van de Aarde (en die hoek heet de inclinatie van de baan). Het lentepunt van de planeet is het punt waar de Zon van zuid naar noord door het vlak van de evenaar van de planeet gaat. Bovendien moeten we de helling ε van de evenaar van de planeet ten opzichte van de baan van de planeet kennen. Deze twee waarden staan voor elke planeet in de volgende tabel, gemeten in graden.

5. De eclipticale coördinaten

De eclipticale lengte λ (lambda) is de positie langs de ecliptica, ten opzichte van het lentepunt (dus de sterren). De middelbare lengte L is de eclipticale lengte die de planeet zou hebben als de baan een perfecte cirkelbaan was. De eclipticale lengte van de planeet, gezien vanaf de Zon, is gelijk aan

(Vgl. 6) λ = ν + Π = M + Π + C = L + C

Als je van de planeet naar de Zon kijkt dan kijk je precies de andere kant op als wanneer je van de Zon naar de planeet kijkt, dus liggen die richtingen 180° uit elkaar. De eclipticale lengte van de Zon, gezien vanaf de planeet, is dus gelijk aan

(Vgl. 7) λzon = ν + Π + 180° = M + Π + C + 180°

De waarde van λzon bepaalt wanneer de (astronomische) seizoenen beginnen: als λzon = 0°, dan begint de lente in het noordelijke halfrond, en de herfst in het zuidelijke halfrond. Elk volgende veelvoud van 90° brengt het begin van het volgende seizoen.

De eclipticale breedte βzon (beta) van de Zon, de loodrechte afstand van de Zon tot de ecliptica, is altijd zo klein dat we hem hier verwaarlozen. Hiermee hebben we nu de eclipticale coördinaten van de Zon te pakken.

6. De equatoriale coördinaten

Het equatoriale coördinatenstelsel aan de hemel is verbonden met de draaias van de planeet. De equatoriale coördinaten zijn de rechte klimming α (alfa) en de declinatie δ (delta). De declinatie bepaalt van welke delen van de planeet het object zichtbaar kan zijn, en de rechte klimming bepaalt (samen met andere dingen) wanneer het object zichtbaar is.

Met deze formules kun je uit elipticale coördinaten de equatoriale coördinaten uitrekenen:

(Vgl. 8) sin α cos δ = sin λ cos ε cos β − sin β sin ε

(Vgl. 9) cos α cos δ = cos λ cos β

(Vgl. 10) sin δ = sin β cos ε + cos β sin ε sin λ

Voor de Zon nemen we βzon = 0, dus dan is

(Vgl. 11) αzon = arctan(sin λzon cos ε, cos λzon)

(Vgl. 12) δzon = arcsin(sin λzon sin ε)

Voor later gemak definiëren we vast

(Vgl. 13) αzon = λzon + S

Als ε voldoende dicht bij 0° of 180° is en als we kleine termen verwaarlozen, dan is het verband tussen de rechte klimming αzon en de eclipticale lengte λzon van de Zon gezien vanaf de planeet ongeveer gegeven door

(Vgl. 14) arctan(tan(λ) cos(ε)) = λ − ((¼) ε² + (1⁄24) ε⁴ + (17⁄2880) ε⁶) sin(2 λ) + ((1⁄32) ε⁴ + (1⁄96) ε⁶) sin(4 λ) − (1⁄192) ε⁶ sin(6 λ) + O(ε⁸).

(Vgl. 15) αzon = λzon + S ≈ λzon + A₂ sin(2 λzon) + A₄ sin(4 λzon) + A₆ sin(6 λzon)

en het verband tussen de declinatie δzon en de eclipticale lengte ongeveer

(Vgl. 16) arcsin(sin(λ) sin(ε)) = (ε − (1⁄6) ε³ + (1⁄120) ε⁵) sin(λ) + ((1⁄6) ε³ − (1⁄12) ε⁵) sin(3 λ) + (3⁄40) ε⁵ sin(5 λ) + O(ε⁷)

(Vgl. 17) δzon ≈ D₁ sin(λzon) + D₃ sin(λzon)³ + D₅ sin(λzon)⁵

met A₂, A₄, A₆, D₁, D₃ en D₅ (gemeten in graden) uit de volgende tabel. De kolommen EA en ED geven de maximale fouten die je maakt voor αzon en δzon met deze benaderingen.

De benaderingen voor Uranus zijn niet erg goed, omdat Uranus bijna op zijn kant ligt: Je kunt dan beter de volledige formules gebruiken.

7. De waarnemer

Waar een hemellichaam voor jou aan de hemel staat hangt af van je geografische coördinaten (noorderbreedte φ [phi], westerlengte lw), van de positie van het hemellichaam tussen de sterren (de equatoriale coördinaten α en δ), en van de draaihoek van de planeet op jouw locatie ten opzichte van de sterren. Die laatste is gevat in de sterrentijd θ (theta). De sterrentijd is de rechte klimming die op dat moment op de hemelmeridiaan staat. De sterrentijd is gelijk aan

(Vgl. 18) θ = θ₀ + θ₁ * (J − J2000) − lw

met θ₀ en θ₁ uit de volgende tabel.

8. Horizontale coördinaten

De positie van een hemellichaam aan de hemel wordt gegeven door zijn hoogte h boven de horizon en zijn azimut A. De hoogte is 0° aan de horizon, +90° in het zenit (recht boven je hoofd), en −90° in het nadir (recht onder je voeten). Het azimut is de richting langs de horizon, die wij meten vanaf het zuiden naar het westen. Het zuiden heeft dus azimut 0°, het westen +90°, het noorden +180°, en het oosten +270° (of −90°, dat is hetzelfde). De hoogte en het azimut zijn de horizontale coördinaten. Om uit equatoriale coördinaten horizontale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

(Vgl. 19) sin A cos h = sin H cos δ

(Vgl. 20) cos A cos h = cos H sin φ cos δ − sin δ cos φ

(Vgl. 21) sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H

(Vgl. 22) H = θ − α

(Vgl. 23) A = arctan(sin H, cos H sin φ − tan δ cos φ)

De H is de uurhoek, die aangeeft hoe lang geleden (gemeten in sterrentijd) het hemellichaam precies door de hemelmeridiaan ging.

9. Zonnedoorgang

De doorgang van een hemellichaam is het moment waarop het door de hemelmeridiaan gaat. Dit wordt ook wel culminatie genoemd. De doorgang van de Zon is het midden van de dag, op 12 uur zonnetijd. De uurhoek H = Hdoel van de Zon is dan gelijk aan 0. We hebben

(Vgl. 24) θ = αzon + Hdoel mod 360°

We houden Hdoel in de formule voor later gemak. Met behulp van deze en voorgaande formules kun je de tijd van de doorgang bepalen door een gok te maken voor een J waarvoor vergelijking 24 klopt, daarvoor θ en αzon uit te rekenen, en dan te kijken of die voldoen aan vergelijking 24. Als ze niet voldoen, dan moet je J aanpassen. Al met al is het een grote zoektocht. Bovendien krijg je uit formule 24 geen begrip voor welke dingen nu het belangrijkste zijn. Zulk begrip krijg je wel als je een benaderde oplossing afleidt door alle kleinere termen te verwaarlozen. Het antwoord is dan niet zo nauwkeurig als de goede oplossing, maar geeft wel duidelijk aan hoe de oplossing er ongeveer uit ziet, is meestal eenvoudiger uit te rekenen, en geeft bovendien een mooie waarde om een zoektocht naar de echte waarde mee te beginnen.

Met vergelijkingen 7, 5, 15 en 18, en met weglating van kleinere termen vinden we

(Vgl. 25) Jdoorgang ≈ J2000 + (Hdoel + M₀ + Π + 180° − θ₀ + lw + C₁ sin M + A₂ sin(2 Lzon))/(θ₁ − M₁) mod 360°/(θ₁ − M₁) = J2000 + J₀ + (Hdoel + lw) * J₃/360° + J₁ sin M + J₂ sin(2 Lzon) mod J₃

waar

(Vgl. 26) Lzon = M + Π + 180°

(Vgl. 27) J₀ = (M₀ + Π + 180° − θ₀) J₃/360° mod J₃

(Vgl. 28) J₁ = C₁ J₃/360°

(Vgl. 29) J₂ = A₂ J₃/360°

(Vgl. 30) J₃ = 360°/(θ₁ − M₁)

Als je λZon al hebt, dan kun je ook die in plaats van LZon nemen in vergelijking 25: dat is nog weer een stukje nauwkeuriger. J₀ geeft de datum en tijd van een middag. J₁ geeft aan hoeveel het tijdstip van de doorgang van de Zon kan variëren vanwege de excentriciteit e van de baan. J₂ geeft aan hoeveel het tijdstip van de middag kan veranderen vanwege de helling ε van de ecliptica. J₃ geeft de gemiddelde lengte van de zonnedag (van doorgang tot doorgang van de Zon). Alle waarden zijn gemeten in aardse dagen van 24 uur.

Om de datum en tijd van een zonnedoorgang in de buurt van Juliaanse Datum J te vinden ga je nu als volgt te werk:

1. Bereken

   (Vgl. 31) n(*) = (J − J2000 − J₀)/J₃ − (Hdoel + lw)/360°

   en neem dan voor n het hele getal dat het dichtste bij n(*) ligt.

2. Bereken dan

   (Vgl. 32) J(*) = J2000 + J₀ + (Hdoel + lw) * J₃/360° + J₃ * n

   Deze J(*) is dan een redelijke schatting voor de datum en tijd van de doorgang in de buurt van J, behalve dat de J₁ en J₂-correcties er nog niet bij zitten.

3. Bereken voor J(*) wat M en Lzon zijn en dan de verbeterde schatting voor de datum en tijd van de doorgang uit

   (Vgl. 33) Jdoorgang ≈ J(*) + J₁ sin M + J₂ sin(2 Lzon)

4. Als je grotere precisie wilt, bereken dan de uurhoek H voor Jdoorgang en neem dan Jdoorgang + (Hdoel − H)/360° * J₃ als verbeterde benadering voor Jdoorgang. Je kunt dit herhalen tot Jdoorgang niet meer verandert.
5. Jdoorgang is een Juliaans Dagnummer, dat dagen telt en gelijk is aan een heel nummer om 12:00 UTC. Dus een Juliaans Dagnummer zoals 2453096,9898 dat eindigt met ,9898 is ,0102 voor het volgende hele getal, dus 0,0102 dagen = 0,0102*24 = 0,245 uur = 0,0102*24*60 = ongeveer 15 minuten voor 12:00 UTC, dus ongeveer 11:45 UTC.

10. Tijdsvereffening

Hierboven hebben we uitgerekend hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat, uitgedrukt in de Aardse tijdschaal van de Juliaanse Datum. Daarmee weet je nog niet hoe laat dat bij jou op de klok zou zijn, en die tijdschaal is zeker niet zo handig als je op een andere planeet zit waar de dag een andere lengte heeft dan de dag op Aarde waar de Juliaanse Datum op gebaseerd is.

Als je geen interesse hebt in het omrekenen naar tijden en data op andere planeten, dan wil je weten hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat op jouw planeet volgens jouw klok, die verbonden is met jouw zonnetijd en het seizoen op jouw planeet. Zonnetijd is de tijd bepaald door de Zon. Drie verschillende soorten zonnetijd zijn van belang:

• De ware zonnetijd is een tijdschaal waarop de Zon elke dag om precies 12:00:00 uur het hoogst aan de hemel staat, maar niet elke dag precies even lang hoeft te duren (gemeten aan de hand van iets dat zich van de stand van de Zon aan de hemel niets aantrekt, zoals atoomtijd of planeetgebeurtenissen aan de hemel). Je kunt de ware zonnetijd aflezen van een goed afgestelde zonnewijzer.
• De middelbare zonnetijd is een tijdschaal die gemiddeld in de pas loopt met de ware zonnetijd maar waarop elke dag precies even lang duurt. Gemiddeld over vele planeetdagen en planeetjaren staat de Zon om 12:00:00 middelbare zonnetijd het hoogst aan de hemel. Je kunt de middelbare zonnetijd aflezen van een goed afgestelde klok of horloge. Deze tijd wordt in deze bladzijden vaak de "lokale tijd" genoemd.
• De officiële kloktijd die je in het dagelijkse leven gebruikt is de middelbare zonnetijd van een bepaalde meridiaan die bij jouw tijdzone hoort. Het verschil tussen de officiële kloktijd en de middelbare zonnetijd van een plaats hangt alleen af van het verschil tussen de geografische lengtegraad van die plaats en de lengtegraad van de meridiaan waar de officiële kloktijd op gebaseerd is.

Het antwoord op hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat hangt er dus helemaal van af welke tijdschaal je gebruikt. In ware zonnetijd is het antwoord "altijd om precies 12 uur", maar verder is ware zonnetijd helemaal niet handig. Je hebt er bijvoorbeeld niets aan als de Zon niet schijnt of achter de wolken zit, en een mechanische klok of horloge wordt veel ingewikkelder als hij ware zonnetijd moet aanwijzen. In middelbare zonnetijd is het antwoord "gemiddeld om 12 uur", maar kan het van dag tot dag van 12 uur afwijken. In officiële kloktijd is het antwoord "gemiddeld op een bepaald uur" dat van je plaats afhangt en op de meeste plekken wel ongeveer in de buurt van 12 uur is.

Hoe groot is nu het verschil tussen de middelbare zonnetijd en de ware zonnetijd? Dat heet de tijdsvereffening. De tijdsvereffening is hoeveel je bij de ware zonnetijd ("zonnewijzertijd") moet tellen om de middelbare zonnetijd ("lokale tijd") te krijgen.

We vonden hierboven (vergelijking 24) voor het moment dat de Zon het hoogst aan de hemel staat (tijdens zijn doorgang) dat θ = αZon mod 360°. Voor de rechte klimming αZon van de Zon vonden we αZon = L + C + S. Voor de sterrentijd θ gemeten in graden stellen we een alternatieve formule op:

(Vgl. 34) θ = L + t + 180° mod 360°

Hierin is t de middelbare zonnetijd gemeten in graden (0° = middernacht, 180° = middag). De verklaring voor deze formule is als volgt: Het verschil tussen de sterrentijd en de zonnetijd is een weerspiegeling van de beweging van de planeet rond de Zon en legt dus in een planeetjaar 360° af. Bovendien is de sterrentijd verbonden met de regelmatige draaiing van de planeet rond zijn as, die niets merkt van de wisselende snelheid waarmee de planeet rond de Zon draait (waar de excentriciteit e tussen zit) of van de positie van de Zon boven of onder de hemelevenaar (waar de inclinatie ε van de ecliptica tussen zit). Daarom is de sterrentijd verbonden met de middelbare lengtegraad L van de Zon, die in een planeetjaar met vaste snelheid 360° toeneemt en onafhankelijk is van e en ε. Tijdens de dalende nachtevening (als λZon = L = 180°) is de sterrentijd gelijk aan de middelbare zonnetijd, dus is de extra 180° in de formule nodig. Tijdens een planeetdag neemt θ 360° toe (draait de planeet eenmaal rond zijn as) plus een beetje meer of minder omdat de sterrentijd iets sneller of langzamer loopt dan de middelbare zonnetijd, maar dat verschil zit al in de L.

Als we nu θ gelijk stellen aan αZon dan vinden we

(Vgl. 35) L + t + 180° = θ = αZon = L + C + S mod 360°

ofwel

(Vgl. 36) t = 180° + C + S mod 24

De tijdsvereffening ∆t is gelijk aan het verschil tussen t en 180° (omdat 180° overeenkomt met 12:00:00 lokale middelbare zonnetijd):

(Vgl. 37) ∆t = C + S

Als je de tijdsvereffening in graden deelt door 15 dan krijg je de tijdsvereffening in uren.

C hangt af van de excentriciteit e van de planeetbaan en van de middelbare anomalie M van de planeet, oftewel waar de planeet is ten opzichte van zijn perihelium. S hangt af van de inclinatie ε van de ecliptica van de planeet en van de lengte λZon van de Zon, oftewel van het seizoen. Een eerste-orde benadering is:

(Vgl. 38) ∆t ≈ C₁ sin M + A₂ sin(2 λZon)

waarbij we vele kleinere termen verwaarloosd hebben. De volgende tabel toont de amplitudes, dus de grootste bijdragen die de C en S termen geven aan de tijdvereffening voor elke planeet, gemeten in planeetminuten.

Voor de Aarde zijn de invloeden van de baan (C) en het seizoen (S) ongeveer even groot; voor Uranus en Neptunus is de invloed van het seizoen veel groter dan die van de baan; en voor de andere planeten is de invloed van de baan veel groter dan die van het seizoen.

11. Zonsopkomst en zonsondergang

Voor de uurhoek die overeenkomt met h = 0 vinden we:

(Vgl. 39) H = arccos(−tan δ tan φ)

Er zijn twee oplossingen: voor zonsondergang geldt H en voor zonsopkomst −H. Door de eerder gevonden relaties in te vullen en kleine termen te negeren vinden we

(Vgl. 40) H ≈ 90° + H₁ sin λzon tan φ + H₃ (sin λzon)³ tan φ * (3 + (tan φ)²) + H₅ (sin λzon)⁵ tan φ * (15 + 10 (tan φ)² + 3 (tan φ)⁴)

met

(Vgl. 41) H₁ = ε − (1⁄6) ε³ + (1⁄120) ε⁵

(Vgl. 42) H₃ = (1⁄6) ε³ − (1⁄12) ε⁵

(Vgl. 43) H₅ = (1⁄40) ε⁵

waarbij je ε moet meten in radialen in plaats van in graden. Je rekent om van graden naar radialen door het aantal graden te vermenigvuldigen met π/180 ≈ 0.017453292.

De waarden van H₁, H₃ en H₅ staan voor alle planeten in de volgende tabel, gemeten in graden. Voor Uranus en Pluto is het twijfelachtig dat de benaderingen wel redelijke resultaten geven.

Zonsopkomst is het moment waarop de bovenkant van de zonneschijf 's morgens de horizon raakt. Zonsondergang is hetzelfde, maar dan 's avonds. Om de tijden van zonsopkomst en zonsondergang te kunnen berekenen moet je behalve met de eerder genoemde zaken ook met de volgende dingen rekening houden:

1. De zon ziet er niet uit als een punt maar als een schijf, dus als het midden van de zonneschijf onder gaat (h = 0) dan is de helft van de zonneschijf nog boven de horizon. De grootte van de Zon moet meegenomen worden in de berekening.
2. De dampkring van de planeet (als de planeet er een heeft) buigt licht naar beneden zodat een voorwerp iets hoger aan de hemel lijkt te staan dan het zonder de dampkring zou doen. De buiging van het licht is het sterkste nabij de horizon, waar het licht door de scherende inval door het meeste lucht heeft moeten reizen. Op Aarde is de buiging aan de horizon gezien vanaf zeeniveau gemiddeld ongeveer 0.57°. Dat betekent dat een hemellichaam dat met de dampkring erbij net onder ging zonder die dampkring al 0.57° onder de horizon zou zijn geweest.

Om voor deze twee effecten te compenseren kun je h voor zonsopkomst en zonsondergang gelijk stellen aan de h₀ uit de volgende tabel (gemeten in graden), in plaats van 0°. Voor de Aarde is de straalbreking meegeteld, maar voor de andere planeten niet omdat die of geen dampkring van betekenis hebben of eentje die zo dicht is dat je de Zon vanaf het oppervlak helemaal niet kunt zien. De tabel geeft ook de gemiddelde diameter dZon van de zonneschijf (gemeten in graden).

Met behulp van vergelijking 21 kun je dan de uurhoek vinden:

(Vgl. 44) H = arccos((sin h₀ − sin φ sin δ)/(cos φ cos δ))

Ook hier weer geldt H voor zonsondergang en −H voor zonsopkomst. Zet Hdoel gelijk aan de waarde van H voor zonsondergang of −H voor zonsopkomst, en dan kun je met vergelijkingen 25 e.v. de tijden van zonsopkomst en zonsondergang uitrekenen, net als voor de zonnedoorgang.

Als je zonsopkomst of zonsondergang ziet vanaf grote hoogte dan zijn er nog twee effecten die je mee moet tellen:

3. De horizon lijkt lager te zijn. Op Aarde is de horizonverlaging in graden is ongeveer gelijk aan de de wortel van de hoogte in kilometers, en is dus voor een hoogte van 10 km gelijk aan 3,2°.
4. Er is meer straalbreking omdat het zonlicht langs de grond scheert maar dan weer omhoog door de dampkring moet om bij de waarnemer te komen. De totale straalbreking is ten hoogste tweemaal zo groot als hij op zeeniveau is, en ik verwacht dat de straalbreking vanaf straaljagerkruishoogte (10 km) rond de Aarde bijna dat maximum haalt en dus ongeveer 0,5° extra is ten opzichte van zeeniveau.

De correctie ∆H op vergelijking 39 die nodig is voor de grote Zon en de dampkring is bij benadering gelijk aan

(Vgl. 45) ∆H ≈ −h₀/√(cos(φ)² − sin(δzon)²)

Voor waarnemers op de grond in Nederland en België (met φ ongeveer 50°) is dit ongeveer 5 tot 6 minuten.

12. De duur van zonsopkomst en zonsondergang

Om de duur van de zonsondergang of zonsopkomst uit te rekenen moet je het moment uitrekenen dat de bovenkant van de Zon de horizon raakt, zoals hierboven beschreven (met h₀), en ook het moment dat de onderkant van de Zon de horizon raakt. Om die laatste uit te rekenen moet je in plaats van h₀ h₀ + d₀ invullen.

13. Aarde

Voor op Aarde kunnen we alles bij elkaar de volgende benaderingen opstellen (met uitkomsten in uren UTC):

(Vgl. 46) tdoorgang ≈ 12h00m + lw/15° + 24 * (J₀ + J₁ sin M + J₂ sin 2 LZon) = 12h01m + lw/15° + 7,6m sin M − 9,9m sin 2 LZon

(Vgl. 47) top ≈ tdoorgang − H/15° ≈ 6h00m + lw/15° + 24 * (J₀ + J₁ sin M + J₂ sin 2 LZon) − (H₁ tan φ sin LZon + H₃ tan φ (3 + (tan φ)²) (sin LZon)³)/15° = 6h01m + lw/15° + 7,6m sin M − 9,9m sin 2 LZon − (1h31m tan φ sin LZon + 2,2m tan φ (3 + (tan φ)²) (sin LZon)³ + ∆H/15°)

(Vgl. 48) tonder ≈ tdoorgang + H/15° ≈ 18h00m + lw/15° + 24 * (J₀ + J₁ sin M + J₂ sin 2 LZon) + (H₁ tan φ sin LZon + H₃ tan φ (3 + (tan φ)²) (sin LZon)³)/15° = 18h01m + lw/15° + 7,6m sin M − 9,9m sin 2 LZon + (1h31m tan φ sin LZon + 2,2m tan φ (3 + (tan φ)²) (sin LZon)³ + ∆H/15°)

14. Nederland

Voor een plek op φ = 50° en lw = −5° (midden in Nederland) vinden we bij benadering, gemeten in middeleuropese wintertijd (MET, gelijk aan UTC plus één uur):

(Vgl. 49) top ≈ 6h34m − 1h48,6m sin L − 13,2m sin(L)³ + 7,6m sin M − 9,9m sin(2 L)

(Vgl. 50) tdoorgang ≈ 12h40m + 7,6m sin M − 9,9m sin(2 L)

(Vgl. 51) tonder ≈ 18h46m + 1h48,6m sin L + 13,2m sin(L)³ + 7,6m sin M − 9,9m sin(2 L)

Deze formules zijn, hoewel het benaderingen zijn, toch best wel nauwkeurig. Een vergelijking, voor alle dagen van het jaar 2000, tussen de tijden uitgerekend volgens de complete formules en de tijden uitgerekend volgens bovenstaande benaderingen levert verschillen van hooguit 3,5 minuten voor de tijden van zonsopkomst en zonsondergang, en minder dan een minuut voor de tijd van doorgang.

15. Lokale afhankelijkheid van plaats

Uit voorgaande formules kunnen we afleiden hoe de tijden van zonsopkomst, doorgang, en zonsondergang afhangen van de plaats (in de buurt van een gekozen plek). De tijden van zonsopkomst, doorgang van de Zon, en zonsondergang (gemeten in een vaste tijdzone) worden elk 4 minuten vroeger voor elke graad dat je naar het oosten gaat. Dat komt overeen met 2.16/cos φ seconden per kilometer. De tijd van doorgang (dus de middag) hangt niet af van de breedtegraad. Bovendien wordt zonsopkomst vroeger en zonsondergang later met een aantal minuten per graad dat je naar het noorden gaat dat ongeveer gelijk is aan 1.59 sin(L)/cos(φ)² en dat is weer gelijk aan ongeveer 0.86 sin(L)/cos(φ)² seconden per kilometer. De verschuiving van tijden van zonsopkomst en zonsondergang met de breedtegraad is het grootst aan het begin van de zomer en de winter. Aan het begin van de lente en de herfst is het 0, dus dan hangen de tijden van zonsopkomst en zonsondergang niet af van de breedtegraad (net zo min als die van de doorgang).

16. Vergelijking met planetariumprogramma's

De planetariumprogramma's Redshift 3 en Redshift 5 en de huidige procedure (AA) geven de volgende waarden voor het azimut en de hoogte van de Zon aan de hemel op JD 2451545,0 (1-1-2000, 12:00 UTC) gezien vanaf de plaats met de lengtegraad en breedtegraad gelijk aan nul op elk van de planeten:

En hier zijn vergelijkbare resultaten voor JD 2453097,0 (1-4-2004, 12:00 UTC):

Als je in acht neemt dat de Redshift-programma's azimut tellen vanaf het noorden en ik vanaf het zuiden (waarbij een verschil van 180° hoort), dan lijken de resultaten binnen ongeveer een graad op elkaar, behalve dat de positie vanaf Jupiter berekend door Redshift 5 heel anders is dan die berekend door Redshift 3 of door mij, terwijl de resultaten van Redshift 3 en mij wel bij elkaar passen. Ik denk daarom dat Redshift 5 daar een fout maakt.

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/zonpositie.html;
Laatst vernieuwd: 2012-10-18