AstronomieAntwoorden
Ruimtereizen met Zwaartekracht


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. De Zwaartekrachtswet van Newton ... 2. De Wet van Behoud van Energie ... 3. Wet van Behoud van Impulsmoment ... 4. Tweelichamenprobleem ... 4.1. Het verband tussen de beweging van de twee hemellichamen ... 4.2. De Wet van Behoud van Energie in het Tweelichamenprobleem ... 4.3. De Wet van Behoud van Impulsmoment voor het Tweelichamenprobleem ... 4.4. De Oplossingen van het Tweelichamenprobleem ... 4.5. Cirkelbanen ... 4.6. Ellipsbanen ... 4.7. Paraboolbanen ... 4.8. Hyperboolbanen ... 4.9. Bijna-paraboolbanen ... 4.10. Rechte-lijnbanen ... 4.10.1. Rechte lijn met ontsnappingssnelheid ... 4.10.2. Rechte lijn vanuit stilstand ... 4.11. Samenvatting ... 4.12. Meer lezen? ... 5. Meerlichamenprobleem of n-lichamenprobleem ... 5.1. Draaiende regelmatige veelhoeken ... 6. Ruimtereizen ... 6.1. Hohmannbanen ... 6.2. Zwaartekrachtslingers ... 6.2.1. Een potje tennis ... 6.2.2. En nu met een planeet: de snelheid ten opzichte van de planeet ... 6.2.3. De overgang van zonnedomein naar planeetdomein ... 6.2.4. De baan in het planeetdomein ... 6.2.5. Terug naar het domein van de Zon ... 6.2.6. Grootste en kleinste eindsnelheden ... 6.3. Goedkoopst ontsnappen ... 6.4. Hoe ver zonder zwaartekrachtslingers? ... 6.4.1. Kijk naar de energie ... 6.4.2. Algemeen ... 6.4.3. Vertrek uit cirkelbanen ... 6.5. Alle banen door twee punten ... 6.6. Mikken op een planeet

\( \DeclareMathOperator{\artanh}{artanh} \)

Er valt veel zelf te rekenen aan zwaartekracht, planeetbanen, en ruimtereizen.

1. De Zwaartekrachtswet van Newton

De Zwaartekrachtswet van Newton is geschikt voor berekeningen aan alledaagse zwaartekracht. Als er snelheden aan te pas komen die lijken op de lichtsnelheid (ongeveer 300 000 kilometer per seconde), of als er verschrikkelijk grote nauwkeurigheid vereist is, dan moet je de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein gebruiken, die een stuk ingewikkelder is maar (voor zover we weten) wel helemaal precies, terwijl de Zwaartekrachtswet van Newton in zulke gevallen merkbaar andere (en dus merkbaar foute) resultaten geeft. Maar voor dagelijks gebruik is de Zwaartekrachtswet van Newton voldoende, en die is een stuk eenvoudiger dan de Algemene Relativiteitstheorie.

De Zwaartekrachtswet van Newton geeft de sterkte van de zwaartekracht tussen twee massa's:

\begin{equation} F_g = \frac{GMm}{r^2} \end{equation}

Hierin is \( F_g \) de zwaartekracht, \( G \) de universele gravitatieconstante, \( M \) de ene massa, \( m \) de andere massa, en \( r \) de afstand tussen de zwaartepunten van die massa's. De universele gravitatieconstante heeft de waarde 6,672 × 10−11 als de massa's gemeten worden in kilogrammen (kg), de afstand in meters (m), en de kracht in newtons (N).

Bijvoorbeeld: Wat is de zwaartekracht tussen twee personen van 50 kg elk die op 10 m van elkaar staan? Dan is \( M = m = 50 \text{kg} \) en \( r = 10 \text{m} \), dus

\[ F_g = \frac{6,672×10^{−11} × 50 × 50}{10^2} = 1,668×10^{−9} \text{N} \]

Die kracht komt overeen met een gewicht op Aarde van een hele kleine zandkorrel.

Interessanter dan de zwaartekracht zelf is vaak de versnelling die je dankzij die kracht krijgt, en die is gelijk aan de kracht gedeeld door de massa waarop de kracht werkt (volgens de Tweede Wet van Newton). De versnelling \( g \) van de zwaartekracht is dus

\begin{equation} g = \frac{F_g}{m} = \frac{GM}{r^2} = \frac{μ}{r^2} \label{eq:g} \end{equation}

\begin{equation} μ ≡ G M \label{eq:mu} \end{equation}

Hierin is \( μ \) de zwaartekrachtsparameter van het systeem.

Bijvoorbeeld: Hoe groot is de versnelling van de zwaartekracht aan het oppervlak van de Aarde? De massa van de Aarde is gelijk aan \( M = 5,976×10^{24} \text{kg} \) en de straal (de gemiddelde afstand tussen het centrum en het oppervlak) \( r = 6378 \text{km} = 6 378 000 \text{m} \), dus de zwaartekrachtsversnelling aan het oppervlak van de Aarde is gemiddeld

\[ g = \frac{6,672×10^{−11} × 5,976×10^{24}}{(6,378×10^{6})^2} = 9,80 \text{m/s^2} \]

De versnelling van elk van de personen uit het vorige voorbeeld vanwege hun zwaartekracht is

\[ g = \frac{1,668×10^{−9}}{50} = 3,336×10^{−11} \text{m/s^2} \]

en dat is zeer veel kleiner dan de zwaartekrachtsversnelling aan het aardoppervlak.

Als je de zwaartekrachtsversnelling aan het oppervlak van een andere planeet deelt door die aan het oppervlak van de Aarde, dan vind je

\begin{equation} \frac{g}{g_\text{aarde}} = \frac{M}{M_\text{aarde}} \left( \frac{r_\text{aarde}}{r} \right)^2 \end{equation}

en als je de straal of afstand \( r \) meet in kilometers, dan vind je

\begin{equation} \frac{g}{g_\text{aarde}} = 40 678 880 \frac{M/M_\text{aarde}}{r^2} \end{equation}

Bijvoorbeeld: de Zon heeft 332 946 keer zoveel massa als de Aarde en heeft een straal van 695 990 km. Wat is de zwaartekrachtversnelling aan het oppervlak van de Zon? Dat is

\[ \frac{g_\text{zon}}{g_\text{aarde}} = \frac{40 678 880 × 332 946}{695 990^2} = 27,96 \]

2. De Wet van Behoud van Energie

De Wet van Behoud van Energie (WvBvE) is een natuurkundige wet die stelt dat de totale hoeveelheid energie in een afgesloten systeem (zonder uitwisseling met de buitenwereld) niet kan veranderen. Energie kan van vorm veranderen, en kan doorgegeven worden aan andere delen van het systeem, maar kan niet verdwijnen of verschijnen. Vaak worden verschillende soorten energie onderscheiden: kinetische energie (vanwege snelheid) \( \frac{1}{2} m v^2 \), en potentiële energie (vanwege plaats of toestand), waarvoor de formule afhangt van de situatie.

3. Wet van Behoud van Impulsmoment

De Wet van Behoud van Impulsmoment is een natuurkundige wet die stelt dat de totale hoeveelheid impulsmoment in een afgesloten systeem niet kan veranderen. Impulsmoment per massaeenheid \( \vec{L} \) van een puntmassa is gedefinieerd als

\begin{equation} \vec{L} = m \vec{r} × \vec{v} \end{equation}

waarin \( m \) de massa is, \( \vec{r} \) de vector van de gekozen oorsprong tot aan de positie van de puntmassa, \( \vec{v} \) de snelheid van de puntmassa ten opzichte van de oorsprong is, en × het uitproduct aangeeft.

4. Tweelichamenprobleem

Het tweelichamenprobleem is het probleem van de vaststelling van de beweging van twee hemellichamen waarop alleen de onderlinge newtoniaanse zwaartekracht werkt (dwz. zwaartekracht volgens de zwaartekrachtswet van Newton). Dit "probleem" is inmiddels opgelost, maar het woord wordt nog steeds gebruikt om een situatie aan te geven waarin voor de beweging van een hemellichaam alle krachten verwaarloosd kunnen worden behalve de onderlinge newtoniaanse zwaartekracht tussen dat hemellichaam en één ander hemellichaam — zoals tussen de Zon en een planeet, of tussen een planeet en een maan, of tussen een ruimteschip en een Zon, planeet, of maan.

4.1. Het verband tussen de beweging van de twee hemellichamen

Krachten die alleen tussen de twee hemellichamen werken kunnen de plaats van het gemeenschappelijke zwaartepunt niet veranderen (vanwege de Derde Wet van Newton, die stelt dat elke kracht van A op B een even grote maar tegengesteld gerichte kracht van B op A oproept). Dat betekent dat de banen van de twee hemellichamen dezelfde vorm moeten hebben en dat de twee hemellichamen gezien vanuit het zwaartepunt steeds in precies tegenovergestelde richtingen zijn, op afstanden die omgekeerd evenredig zijn met de massa van de hemellichamen.

We gebruiken subscript \( _1 \) voor het eerste hemellichaam en subscript \( _2 \) voor het tweede hemellichaam. Hun massa's zijn \( m_1 \) en \( m_2 \), hun relatieve massa's ten opzichte van het totaal zijn \( μ_1 \) en \( μ_2 \), hun afstanden tot het gemeenschappelijke zwaartepunt \( r_1 \) en \( r_2 \), en hun baansnelheden \( v_1 \) en \( v_2 \). De totale massa is \( m \), de afstand tussen de twee hemellichamen is \( r \), en de snelheid van de een ten opzichte van de ander is \( v \). Dan geldt

\begin{equation} m_1 = μ_1 m \end{equation}

\begin{equation} m_2 = μ_2 m \end{equation}

\begin{equation} r_1 = μ_2 r \end{equation}

\begin{equation} r_2 = μ_1 r \end{equation}

\begin{equation} v_1 = μ_2 v \end{equation}

\begin{equation} v_2 = μ_1 v \end{equation}

Let op dat \( r_1 \) en \( v_1 \) evenredig zijn met \( μ_2 \), niet met \( μ_1 \) (en net zo met \( _2 \) in plaats van \( _1 \)). Het hemellichaam met de minste massa beweegt het meest (omdat die het eenvoudigst in beweging te krijgen is), dus is de beweging van elk van de twee hemellichamen evenredig met de massa van het andere hemellichaam.

Als de massa van het eerste hemellichaam verschrikkelijk veel groter is dan dat van het tweede hemellichaam, dan is ongeveer \( μ_1 = 1 \) en \( μ_2 = 0 \), dus dan is \( m_1 = m \), \( r_1 = 0 \), \( r_2 = r \), \( v_1 = 0 \) en \( v_2 = v \), dus dan staat het massieve hemellichaam (bijna) stil, en beschrijven \( r \) en \( v \) de beweging van het lichte hemellichaam.

4.2. De Wet van Behoud van Energie in het Tweelichamenprobleem

In het tweelichamenprobleem is de totale hoeveelheid \( E \) van de energie in het systeem die beïnvloed kan worden door de zwaartekracht gelijk aan

\begin{equation} E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{r} \label{eq:Etot} \end{equation}

De eerste twee termen aan de rechterkant zijn de kinetische energie (energie vanwege de snelheid) van de twee hemellichamen, en de derde term is de potentiële zwaartekrachtsenergie (energie vanwege de plaats in een zwaartekrachtsveld).

De Wet van Behoud van Energie zegt dat deze totale hoeveelheid energie \( E \) gelijk blijft (als er geen andere krachten werken dan de zwaartekracht). Met de vergelijkingen uit hoofdstuk 4,1 vinden we

\begin{equation} E = \frac{1}{2} μ_1 μ_2^2 m v^2 + \frac{1}{2} μ_1^2 μ_2 m v^2 - \frac{G μ_1 μ_2 m^2}{r} = μ_1 μ_2 \left( \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G m^2}{r} \right) \end{equation}

\begin{equation} ε ≡ \frac{E}{μ_1 μ_2 m} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{γ}{r} \label{eq:ε} \end{equation}

\begin{equation} γ ≡ G m \end{equation}

Uit deze vergelijkingen volgt dat in een gegeven baan de snelheid afneemt met toenemende afstand \( r \).

Een baan kan open zijn of gesloten. Een open baan is een baan waarin het hemellichaam op willekeurig grote afstand van het andere hemellichaam kan komen. Bij een gesloten baan kan het hemellichaam nooit verder weg van het andere hemellichaam komen dan een bepaalde afstand die voor die baan constant is.

Op oneindig grote afstand r geldt (volgens vergelijking \eqref{eq:ε}) dat

\begin{equation} \frac{1}{2} v²(∞) = ε \end{equation}

Als \( ε ≥ 0 \), dan heeft deze vergelijking de oplossing \( v(∞) = \sqrt{2ε} \), dus dan kan het hemellichaam oneindig ver van het andere komen, dus dan is de baan open. Als \( ε < 0 \), dan heeft deze vergelijking geen oplossing, dus dan kan het hemellichaam niet oneindig ver van het andere komen, dus dan is de baan gesloten. Banen in de vorm van een punt, cirkel, ellips, of eindige lijn zijn gesloten en hebben \( ε < 0 \). Banen in de vorm van een parabool, hyperbool, of oneindige lijn zijn open en hebben \( ε ≥ 0 \).

Er is verband tussen de lengte van de halve lange as en de totale energie per massaeenheid:

\begin{equation} ε = -\frac{γ}{2a} \label{eq:e-bound} \end{equation}

Deze formule kan ook gebruikt worden als \( ε \) positief is (dwz. voor hyperboolbanen): dan is \( a \) negatief.

4.3. De Wet van Behoud van Impulsmoment voor het Tweelichamenprobleem

Voor het tweelichamenprobleem kiezen we de oorsprong in het gemeenschappelijke zwaartepunt van de twee hemellichamen. Dan kunnen we het impulsmoment \( L \) schrijven als

\begin{equation} L = m_1 v_{\text{t1}} r_1 + m_2 v_{\text{t2}} r_2 \end{equation}

waarin \( v_{\text{t1}} \) de component van de snelheid \( v_1 \) loodrecht op de richting naar de oorsprong is, en net zo \( v_{\text{t2}} \) de tangentiële component van \( v_2 \) is. Volgens de Wet van Behoud van Impulsmoment is deze \( L \) constant.

Het teken van het impulsmoment \( L \) hangt er van af of de beweging met de klok mee of tegen de klok in is. We kiezen ervoor dat draaiing tegen de klok in positief is, en draaiing met de klok mee dus negatief. Dit geldt dan ook voor de tangentiële snelheden.

Met de vergelijkingen uit hoofdstuk 4,1 vinden we

\begin{equation} v_{\text{t1}} = v_{\text{t}} μ_2 \end{equation}

\begin{equation} v_{\text{t2}} = v_{\text{t}} μ_1 \end{equation}

\begin{equation} L = μ_1 μ_2 m v_{\text{t}} r \end{equation}

\begin{equation} l ≡ \frac{L}{μ_1 μ_2 m} = v_{\text{t}} r \label{eq:l} \end{equation}

De totale energie en het totale impulsmoment hangen dus alleen af van de relatieve positie \( r \) en snelheden \( v \), \( v_\text{t} \) van de hemellichamen ten opzichte van elkaar, en niet expliciet van hun positie of snelheid ten opzichte van het gemeenschappelijke zwaartepunt. Met behulp van bovenstaande vergelijkingen kun je uit de gemeenschappelijke positie of snelheid de positie of snelheid van beide hemellichamen ten opzichte van het zwaartepunt uitrekenen.

4.4. De Oplossingen van het Tweelichamenprobleem

De oplossing van het tweelichamenprobleem luidt dat de hemellichamen zullen bewegen langs banen die kegelsneden zijn: cirkels, ellipsen, parabolen, hyperbolen, rechte lijnen, of een punt. Beide hemellichamen volgen een baan van dezelfde vorm (bijvoorbeeld alletwee een ellips met dezelfde verhouding van lengte en breedte), waarvan de afmeting omgekeerd evenredig is met de massa van het hemellichaam. De banen van de twee hemellichamen liggen in hetzelfde vlak en delen een brandpunt, en gezien vanuit dat gedeelde brandpunt zijn beide hemellichamen altijd in tegenovergestelde richtingen.

Allebei de hemellichamen trekken hun banen rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt. In de meeste praktijkgevallen heeft één van de twee hemellichamen veel meer massa dan de andere. Als de massa van het kleine hemellichaam te verwaarlozen is ten opzichte van die van het grote hemellichaam, dan ligt het gemeenschappelijke zwaartepunt in het midden van het grote hemellichaam en is de baan van het grote hemellichaam verwaarloosbaar klein. We zullen voor het gemak aannemen dat we zo'n geval hebben, met een ruimteschip dat rond de Zon draait, maar de resultaten kunnen met behulp van de vergelijkingen uit hoofdstuk 4,1 e.v. ook gebruikt worden als beide hemellichamen meer vergelijkbare massa's hebben.

Fig. 1: Diagram van een oplossing van het tweelichamenprobleem
Fig. 1: Diagram van een oplossing van het tweelichamenprobleem
Figuur 1 toont een typische oplossing (een ellips) in het rood. De baan is rond de Zon (aangegeven in geel) in het centrum C, dat een brandpunt van de kegelsnede is. Punt P is het perifocus en punt Q het apofocus (alleen gesloten banen hebben een apofocus). \( q \) is de afstand PC tussen het perifocus en de Zon, en \( Q \) de afstand CA tussen de Zon en het apofocus. De ware anomalie \( ν \) (nu) is de richting van het ruimteschip, gezien vanaf de Zon en gemeten tegen de klok in vanaf het perifocus.

Toepasselijke snelheden zijn aangegeven in het groen voor twee punten K en L op dezelfde afstand \( r \) van het centrum. De totale snelheid \( v \) is de snelheid van het ruimteschip langs de baan. De tangentiële snelheid \( v_\text{t} \) is de component van de totale snelheid die loodrecht op de richting naar het centrum gericht is. Deze wordt positief gemeten tegen de klok in (zoals in het plaatje, gezien vanaf het centrum) en negatief als het met de klok mee is. De radiële snelheid \( v_\text{r} \) is de component van de totale snelheid die langs de richting naar het centrum gericht is. Deze wordt positief gemeten van het centrum vandaan, en negatief naar het centrum toe. De hoek \( α \) (alfa) geeft aan hoeveel je vanaf de tangentiële richting moet draaien in de richting weg van de Zon om bij de bewegingsrichting van het ruimteschip te komen, en kan niet groter zijn dan 90°.

Voor een kegelsnede (en dus voor alle oplossingen van het tweelichamenprobleem) geldt

\begin{equation} r = \frac{a(1 - e²)}{1 + e \cos ν} \label{eq:r} \end{equation}

waarin \( r \) de afstand van de Zon tot het ruimteschip is, \( a \) de lengte van de halve lange as, \( e \) de excentriciteit, en \( ν \) (nu) de ware anomalie. De waarden van \( a \) en \( e \) hangen af van de vorm en grootte van de baan.

Als \( ν = 0 \) dan vinden we de perifocusafstand \( q \), en als \( ν = 180° \) dan vinden we de apofocusafstand (als \( e < 1 \))

\begin{equation} q = a(1 - e) \label{eq:q}\end{equation}

\begin{equation} Q = a(1 + e) \label{eq:Q} \end{equation}

Door vergelijkingen \eqref{eq:Etot} en \eqref{eq:r} te combineren vinden we voor de snelheid \( v \) van het ruimteschip ten opzichte van de Zon

\begin{equation} v = v_\text{ae} \sqrt{1 + 2 e \cos ν + e^2} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{ae} = ±\sqrt{\frac{γ}{a(1 - e^2)}} \label{eq:vae} \end{equation}

waarbij het teken van \( v_\text{ae} \) (en dus ook van \( v \)) bepaald wordt door de draairichting: + voor beweging tegen de klok in, en − voor beweging met de klok mee.

De snelheden in het perifocus en het apofocus zijn

\begin{equation} v(q) = v_\text{ae} (1 + e) \label{eq:vq} \end{equation}

\begin{equation} v(Q) = v_\text{ae} (1 - e) \label{eq:vQ} \end{equation}

In het perifocus is \( v = v_\text{t} \) dus vinden we met behulp van vergelijking \eqref{eq:l}

\begin{equation} l = v_\text{t} r = v(q)q = v_\text{ae} a(1 - e^2) = ±\sqrt{γa(1 - e^2)} \label{eq:l2} \end{equation}

Hieruit volgt voor de tangentiële snelheid

\begin{equation} v_\text{t} = \frac{l}{r} = v_\text{ae} (1 + e \cos ν) \label{eq:vt} \end{equation}

Met behulp van de Wet van Pythagoras vinden we

\begin{equation} v_\text{r}^2 = v^2 - v_\text{t}^2 \end{equation}

en daaruit

\begin{equation} v_\text{r} = v_\text{ae} e \sin ν \label{eq:vr} \end{equation}

Het teken van \( v_\text{r} \) volgt niet uit de Wet van Pythagoras, maar klopt in deze formule.

We vinden ook de volgende formules:

\begin{equation} v_\text{k} ≡ \sqrt{\frac{γ}{r}} \label{eq:vk} \end{equation}

\begin{equation} ψ ≡ \frac{v}{v_\text{k}} \end{equation}

\begin{equation} χ ≡ \frac{v_\text{t}}{v} \end{equation}

\begin{equation} ρ ≡ \frac{v_\text{r}}{v} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{ae} = \frac{γ}{v_\text{t}r} = \frac{v_\text{k}^2}{v_\text{t}} = \frac{v_\text{k} χ}{ψ} \end{equation}

\begin{equation} e \cos ν = \frac{v_\text{t}}{v_\text{ae}} - 1 = \frac{v_\text{t}^2r}{γ} - 1 = \frac{v_\text{t}^2}{v_\text{k}^2} - 1 = χ^2ψ^2 - 1 \end{equation}

\begin{equation} e \sin ν = \frac{v_\text{r}}{v_\text{ae}} = \frac{v_\text{t}v_\text{r}r}{γ} = \frac{v_\text{t}v_\text{r}}{v_\text{k}^2} = χρψ^2 \end{equation}

\begin{equation} δ = \frac{2γ}{r} - v^2 = 2v_\text{k}^2 - v^2 = v_\text{k}^2 (2 - ψ^2) \end{equation}

\begin{equation} e^2 = 1 - \frac{r^2 v_\text{t}^2 δ}{γ^2} = 1 - \frac{v_\text{t}^2δ}{v_\text{k}^4} = 1 - χ^2ψ^2 (2 - ψ^2) \label{eq:toe2} \end{equation}

\begin{equation} a = \frac{γ}{δ} = \frac{γ}{2v_\text{k}^2 - v^2} = \frac{rv_\text{k}^2}{2v_\text{k}^2 - v_\text{t}^2 - v_\text{r}^2} = \frac{r}{2 - ψ^2} \label{eq:toa} \end{equation}

\( δ \) (delta) is gelijk aan 0 als het ruimteschip precies de lokale ontsnappingssnelheid heeft (en dus een paraboolbaan volgt). \( δ \) is positief als het ruimteschip de ontsnappingssnelheid niet haalt (en dus een cirkelbaan of ellipsbaan volgt), en negatief als het ruimteschip meer dan de ontsnappingssnelheid heeft (en dus een hyperboolbaan volgt).

Voor de hoek \( α \) (alfa) tussen de tangentiële richting en de totale snelheid vinden we

\begin{equation} \sin α = \frac{e \sin(ν)}{\sqrt{1 + 2 e \cos ν + e^2}} \end{equation}

\begin{equation} \tan α = \frac{e \sin(ν)}{|1 + e \cos ν|} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{t} = v \cos α \end{equation}

\begin{equation} v_\text{r} = v \sin α \end{equation}

De hoeksnelheid \( ω \) van de ware anomalie, gemeten in radialen per seconde, is gelijk aan

\begin{equation} ω = \frac{v_\text{t}}{r} = \frac{v_\text{ae}^3}{γ} (1 + e \cos ν)^2 \end{equation}

Hieruit volgt voor de baanperiode \( P \) (de periode waarin de baan eenmaal wordt doorlopen), mits \( e < 1 \) (dus voor cirkelbanen en ellipsbanen),

\begin{equation} P = \frac{2π}{\sqrt{γ}} a^{3/2} \label{eq:jaar} \end{equation}

Dat het kwadraat van de baanperiode evenredig is met de derde macht van de lengte van de halve lange as is de Derde Wet van Kepler.

4.5. Cirkelbanen

Voor een cirkelbaan geldt

\begin{equation} e = 0 \end{equation}

\begin{equation} r = q = Q = a \end{equation}

\begin{equation} v = ±\sqrt{\frac{γ}{r}} \label{eq:cirkel} \end{equation}

\begin{equation} v(q) = v(Q) = v_\text{t} = v \end{equation}

\begin{equation} v_\text{r} = 0 \end{equation}

\begin{equation} α = 0 \end{equation}

4.6. Ellipsbanen

Fig. 2: Ellipsbaan
Fig. 2: Ellipsbaan
Figuur 2 toont een ellipsbaan in het rood, rond de Zon C (in een brandpunt van de ellips) aangegeven in het geel. P is het perifocus en A het apofocus.

Fig. 3: Ellipsen met verschillende excentriciteiten
Fig. 3: Ellipsen met verschillende excentriciteiten
De vorm van een ellipsbaan wordt bepaald door de excentriciteit \( e \), die voor een ellipsbaan tussen 0 en 1 ligt.Figuur 3 laat ellipsen zien met de halve lange as gelijk aan 1 en excentriciteiten van 0 (cirkel) tot 0,95 in stappen van 0,05. Het vierkantje geeft één van de brandpunten van elke ellips aan.

Uit vergelijkingen \eqref{eq:q} en \eqref{eq:q} volgt

\begin{equation} a = \frac{Q + q}{2} \label{eq:a} \end{equation}

\begin{equation} e = \frac{Q - q}{Q + q} \label{eq:e} \end{equation}

Verder gelden alle formules uit hoofdstuk 4,4.

De gemiddelde hoeksnelheid \( n \) (gezien vanaf het brandpunt) in een ellipsbaan, gemeten in radialen per tijdseenheid, is gelijk aan

\begin{equation} n = \sqrt{\frac{γ}{a^3}} \end{equation}

Als \( t \) de tijd is sinds de laatste passage door het perifocus, dan is de middelbare anomalie \( M \) gelijk aan

\begin{equation} M = nt = \sqrt{\frac{γ}{a^3}} t \label{eq:muitt} \end{equation}

De excentrische anomalie \( E \) wordt bepaald door de Vergelijking van Kepler:

\begin{equation} M = E - e \sin E \label{eq:kepler} \end{equation}

Als je hieruit de excentrische anomalie \( E \) berekend hebt, dan volgt de ware anomalie \( ν \) (nu) uit

\begin{equation} \cos ν = \frac{e - \cos E}{e \cos E - 1} \end{equation}

\begin{equation} \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \tan\left( \frac{1}{2}E \right) \label{eq:half-e} \end{equation}

Andersom is

\begin{equation} \cos E = \frac{e + \cos ν}{1 + e \cos ν} \end{equation}

\begin{equation} \tan\left( \frac{1}{2}E \right) = \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \label{eq:νtoE} \end{equation}

De afstand \( r \) vanaf de Zon is dan

\begin{equation} r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos ν} = a(1 - e \cos E) \label{eq:ruite} \end{equation}

4.7. Paraboolbanen

Fig. 4: Paraboolbaan
Fig. 4: Paraboolbaan
Figuur 4 toont een paraboolbaan in het rood, rond de Zon C (in een brandpunt van de parabool) aangegeven in het geel. P is het perifocus.

Voor een paraboolbaan geldt

\begin{equation} a = ∞ \end{equation}

\begin{equation} ε = 0 \end{equation}

\begin{equation} e = 1 \end{equation}

\begin{equation} r = \frac{2 q}{1 + \cos ν} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{ae} = ±\sqrt{\frac{γ}{2q}} \end{equation}

\begin{equation} v = v_\text{ae} \sqrt{2 + 2 \cos ν} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{t} = v_\text{ae} (1 + \cos ν) \end{equation}

\begin{equation} v_\text{r} = v_\text{ae} \sin ν \end{equation}

\begin{equation} \sin α = \frac{\sin(ν)}{\sqrt{2 + 2 \cos ν}} \end{equation}

ofwel de snelheid is overal √2 maal zo groot als de lokale keplersnelheid.

De hoeksnelheid \( n \) (gezien vanaf het brandpunt) in het perifocus van een paraboolbaan, gemeten in radialen per tijdseenheid, is gelijk aan

\begin{equation} n = \sqrt{\frac{2γ}{q^3}} \end{equation}

Als \( t \) de tijd is sinds de laatste passage door het perifocus, dan is de middelbare anomalie \( M \) gelijk aan

\begin{equation} M = nt = \sqrt{\frac{2γ}{q^3}} t \label{eq:parabool-m} \end{equation}

De ware anomalie wordt dan bepaald door

\begin{equation} \frac{1}{2}M = \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) + \frac{1}{3} \tan^3\left( \frac{1}{2}ν \right) \end{equation}

(Dit is een vorm van de Vergelijking van Barker.) De oplossing voor \( ν \) volgt uit

\begin{equation} \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) = u - \frac{1}{u} \label{parabool-nu} \end{equation}

\begin{equation} u = \left( \sqrt{W^2 + 1} + W \right)^{1/3} \label{eq:u} \end{equation}

\begin{equation} W = \frac{3}{4}M \end{equation}

De afstand \( r \) vanaf de Zon is dan

\begin{equation} r = \frac{2q}{1 + \cos ν} = q \left( 1 + \tan^2\left( \frac{1}{2}ν \right) \right) \end{equation}

4.8. Hyperboolbanen

Fig. 5: Hyperboolbaan
Fig. 5: Hyperboolbaan
Figuur 5 toont een (kromme) hyperboolbaan in het rood, rond de Zon in brandpunt C van de hyperbool in het geel. P is het perifocus.

Fig. 6: Hyperboolbanen met verschillende excentriciteiten
Fig. 6: Hyperboolbanen met verschillende excentriciteiten
De vorm van de baan hangt af van de excentriciteit \( e \). Figuur 6 toont hyperboolbanen met vaste halve lange as \( a = −1 \) en met excentriciteiten toenemend van 1,05 tot 2 in stappen van 0,05. De baan voor excentriciteit 1,05 is aangegeven in blauw.

De formules uit hoofdstuk 4,4 gelden ook voor hyperboolbanen, maar alleen als \( a < 0 \). Meestal komt \( a \) (negatief) in formules voor vermenigvuldigd met \( 1 - e \) (ook negatief), dus is het produkt dan weer positief.

Op grote afstand van het hemellichaam loopt de baan steeds dichter langs twee lijnen, de asymptoten van de hyperbool, die in het plaatje het zwarte kruis vormen met snijpunt X. De (loodrechte) afstand BC van het hemellichaam tot de asymptoten noemen we \( b \), in de eerste figuur aangegeven in het blauw. Deze is gelijk aan

\begin{equation} b = ±\sqrt{a^2(1 - e^2)} = ±|a|\sqrt{e^2 - 1} \end{equation}

We gebruiken het teken van \( b \) (+ of −) om aan te geven aan welke kant het ruimteschip langs komt.

De halve openingshoek \( γ \) (gamma) staat aangegeven in de figuur in het cyaan en is gelijk aan

\begin{equation} γ = \arccos\left( \frac{1}{e} \right) \end{equation}

Deze hoek varieert tussen 0° (voor \( e ↓ 1 \)) en 90° (voor \( e → ∞ \)).

De afstand van het hemellichaam C tot het kruispunt X van de asymptoten noemen we \( c \), aangegeven in de figuur in het groen. Deze is gelijk aan

\begin{equation} c = \frac{|b|}{\sin(γ)} = |a|e = \frac{qe}{e - 1} \end{equation}

Als een ruimteschip in deze figuur langs de hyperbool van "boven" komt en dan naar "onderen" vertrekt, dan is de richting van het ruimteschip over een hoek \( δ \) (delta) veranderd, in de figuur aagegeven in het geel. Deze hoek is gelijk aan

\begin{equation} δ = 180° - 2γ = \arccos\left( 1 - \frac{2}{e^2} \right) = \arcsin\left( \frac{2b}{e^2|a|} \right) \label{eq:delta} \end{equation}

Deze hoek varieert tussen 180° (voor \( e ↓ 1 \)) en 0° (voor \( e → ∞ \)). Het volgt uit de geometrie van de situatie of de draaiing over deze hoek linksom of rechtsom is.

Voor een hyperboolbaan geldt dat \( ε > 0 \). Als we de snelheid op oneindig grote afstand \( v_∞ \) noemen, dan vinden we

\begin{equation} v^2 = v_∞^2 + \frac{2γ}{r} \end{equation}

\begin{equation} v_∞^2 = -\frac{γ}{a} \label{eq:hyp-e} \end{equation}

\begin{equation} l = v_\text{t} r = v(q) q = \sqrt{γa(1 - e^2)} = \frac{γ \sqrt{e^2 - 1}}{v_∞} = v_∞b \label{eq:hyp-L} \end{equation}

De standaardhoeksnelheid \( n \) in een hyperboolbaan is gelijk aan

\begin{equation} n = \sqrt{\frac{γ}{|a|^3}} \end{equation}

Als \( t \) de tijd is sinds de passage door het perifocus, dan is de middelbare anomalie \( M \) gelijk aan

\begin{equation} M = nt = \sqrt{\frac{γ}{|a|^3}} t \end{equation}

De excentrische anomalie \( H \) wordt bepaald door

\begin{equation} M = e \sinh H - H \label{eq:kepler_h} \end{equation}

Als je hieruit de excentrische anomalie \( H \) berekend hebt, dan volgt de ware anomalie \( ν \) uit

\begin{equation} \cos ν = \frac{e - \cosh H}{e \cosh H - 1} \end{equation}

\begin{equation} \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) = \sqrt{\frac{e + 1}{e - 1}} \tanh\left( \frac{1}{2}H \right) \end{equation}

Andersom is

\begin{equation} \cosh H = \frac{e + \cos ν}{1 + e \cos ν} \end{equation}

\begin{equation} \tanh\left( \frac{1}{2}H \right) = \sqrt{\frac{e - 1}{e + 1}} \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \label{eq:νtoH} \end{equation}

De afstand \( r \) vanaf de Zon is dan

\begin{equation} r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos ν} = a(1 - e \cosh H) \end{equation}

4.9. Bijna-paraboolbanen

Fig. 7: Banen met vaste perifocusafstand
Fig. 7: Banen met vaste perifocusafstand
De formules om de ware anomalie \( ν \) uit de tijd \( t \) sinds de laatste passage door het perifocus uit te rekenen zien er nogal verschillend uit voor ellipsen (\( e < 1 \)), parabolen (\( e = 1 \)) en hyperbolen (\( e > 1 \)), maar als de excentriciteit \( e \) heel dicht bij 1 ligt dan zijn die drie soorten banen op het oog maar heel moeilijk uit elkaar te houden als je alleen het stuk dicht bij het perifocus ziet, zoals bijvoorbeeld het geval is voor veel kometen die maar eenmaal dicht bij de Zon komen. Figuur 7 toont banen met vaste perifocusafstand \( q = 1 \) en met excentriciteiten die toenemen van 0 (cirkel) via 1 (parabool) tot 2 (hyperbool) in stappen van 0,1. De cirkel en ellipsen zijn zwart, de parabool is blauw en de hyperbolen zijn rood getekend.

Op de bladzijde over de Vergelijking van Kepler wordt uitgelegd hoe je die vergelijking kunt oplossen, en worden benaderingen gegeven voor onder meer het bijna-parabolische geval.

4.10. Rechte-lijnbanen

In vergelijking \eqref{eq:g} is \( g \) de versnelling en dus (min) de tweede afgeleide \( r'' \) (naar de tijd) van de afstand \( r \). Hiermee kunnen we vergelijking \eqref{eq:g} ook schrijven als

\begin{equation} r'' r^2 = -G M = -γ \end{equation}

Het minteken is nodig omdat de zwaartekracht naar beneden werkt (tegen de richting van de toename van \( r \) in).

4.10.1. Rechte lijn met ontsnappingssnelheid

Voor een baan die een rechte lijn is kunnen we in één geval de formule vinden die de plaats als een functie van de tijd geeft. Als we de eenvoudige testoplossing \( r = b t^n \) proberen, dan vinden we voor de eerste afgeleide (naar de tijd)

\begin{equation} r′ = n b t^{n-1} \end{equation}

en voor de tweede afgeleide naar de tijd

\begin{equation} r'' = n(n-1) b t^{n-2} \end{equation}

en dus

\begin{equation} n(n-1) b t^{n-2} (b t^n)^2 = n(n-1) b^3 t^{3n-2} = -γ \end{equation}

De rechterzijde van de vergelijking is constant, dus moet de linkerzijde dat ook zijn, maar dat kan alleen als \( 3n - 2 = 0 \) ofwel als \( n = 2/3 \). Voor die waarde van \( n \) vereenvoudigt de laaste vergelijking tot \( (−2/9) b^3 = -γ \) ofwel \( b = ((9/2) γ)^{1/3} \). Hiermee vinden we de volgende oplossing voor de beweging langs een rechte lijn (in het tweelichamenprobleem):

\begin{equation} r = \left( \frac{9}{2} \right)^{1/3} (t\sqrt{γ})^{2/3} ≅ 1,651 (t\sqrt{γ})^{2/3} \end{equation}

Als \( t = 0 \) dan vinden we \( r = 0 \), dus is \( t = 0 \) het moment waarop het ruimteschip op zijn rechte lijn het centrum van de Zon passeert (als het ruimteschip zonder problemen door de Zon zou kunnen bewegen en alle massa van de Zon op één punt in haar centrum zat).

De snelheid \( r' \) van deze oplossing is

\begin{equation} r' = n b t^{n-1} = \left( \frac{4γ}{3t} \right)^{1/3} \end{equation}

Als \( t → ±∞ \) dan \( r' → 0 \), dus deze oplossing is degene waarbij de snelheid in het oneindige naar nul gaat, ofwel waar de totale energie \( ε \) precies gelijk is aan nul. Deze oplossing is daarmee een speciaal geval van de beweging langs een paraboolbaan. Voor deze oplossing heeft het ruimteschip overal precies de ontsnappingssnelheid die bij die plaats past.

4.10.2. Rechte lijn vanuit stilstand

Als we beginnen vanuit stilstand, dan kunnen we de baan opvatten als een oneindig dunne ellipsbaan, met de excentriciteit gelijk aan 1. In dat geval kunnen we geen formule vinden die de plaats als een functie van de tijd geeft, maar wel een formule die de tijd als een functie van de plaats geeft.

Ook kunnen we voor dat geval eenvoudig vinden hoe lang het duurt om helemaal naar beneden te vallen, want dan hebben we precies de helft van een compleet rondje afgelegd. Als \( e = 1 \) dan is \( q = 0 \) en dus \( a = Q/2 \) en daarmee is de baanperiode \( (1/2)^{3/2} \) keer zo lang als voor de cirkelbaan die het verste punt van de rechte lijn raakt. Het vallen duurt de helft van die periode, dus \( (1/2)^{5/2} ≅ 0,1768 ≅ 6/34 \) keer zo lang als voor de cirkelbaan. Vanaf de aardbaan naar het centrum van de Zon vallen (als alle massa van de Zon op één punt was samengebald) zou dus ongeveer 6/34 jaar duren, ofwel ongeveer 64 dagen.

We gebruiken de formules die hierboven (sectie 4,5) gegeven werden voor ellipsen. Als we vanuit stilstand beginnen dan moeten we in het apofocus zijn, dus bij \( r = Q \). Met \( e = 0 \) vinden we

\begin{equation} a = Q/2 \label{eq:aq2} \end{equation}

Uit vergelijking \eqref{eq:ruite} volgt dan

\begin{equation} \cos E = 1 - \frac{2r}{Q} \end{equation}

en dan zijn we nog vrij om te kiezen of \( E \) positief of negatief moet zijn. Uit vergelijking \eqref{eq:kepler} volgt dan

\begin{equation} M = E - \sin E = ±\left( \arccos\left( 1 - \frac{2r}{Q} \right) - \sqrt{1 - \left( 1 - \frac{2r}{Q} \right)^2} \right) \end{equation}

en dan met vergelijking \eqref{eq:muitt}

\begin{equation} t = \sqrt{\frac{Q^3}{8γ}} M = ±\sqrt{\frac{Q^3}{8γ}} \left( \arccos\left( 1 - \frac{2r}{Q} \right) - \sqrt{1 - \left( 1 - \frac{2r}{Q} \right)^2} \right) \end{equation}

Voor elke afstand \( r \) tussen 0 en \( Q \) kunnen we hiermee uitrekenen welke tijd \( t \) daarmee overeenkomt.

Voor \( r = 0 \) vinden we \( t = 0 \) en voor \( r = Q \) vinden we \( t = ±π√(Q^3/8γ) \). We kiezen voor het minteken, zodat we kijken naar inval vanaf \( r = Q \), die begint vanuit stilstand op \( t = -π√(Q^3/8γ) \) en eindigt bij \( r = 0 \) op \( t = 0 \).

Als we stellen

\begin{equation} τ = 1 + \frac{t}{π\sqrt{\frac{Q^3}{8γ}}} \end{equation}

dan is

\begin{equation} τ = 1 - \frac{1}{π} \left( \arccos\left( 1 - \frac{2r}{Q} \right) - \sqrt{1 - \left( 1 - \frac{2r}{Q} \right)^2} \right) \end{equation}

en dan begint het vallen op \( τ = 0 \) en duurt het tot \( τ = 1 \). De periode in een cirkelbaan op afstand \( Q \) is gelijk aan \( P_Q = 2π\sqrt{Q^3/γ} \) dus is ook

\begin{equation} τ = 1 - \frac{4t\sqrt{2}}{P_Q} ≅ 1 - \frac{5,657 t}{P_Q} \end{equation}

Bijvoorbeeld: Hoe lang duurt het om de helft van de afstand te vallen? Dan is \( r = Q/2 \), dus \( τ = 1 - (1/π) (\arccos(0) - \sqrt{1 - 0^2}) = 1 - (1/π) (π/2) = 1/2 \), dus de helft van de afstand vallen neemt ook de helft van de tijd.

We hebben nu een formule om \( t \) uit te rekenen als we \( r \) kennen, maar die kunnen we niet omkeren om dan \( r \) uit te rekenen als we \( t \) kennen. Dit is hetzelfde probleem dat we ook hebben met de Vergelijking van Kepler.

Wel kunnen we daarvoor een benaderingsformule vinden. Ik vond

\begin{equation} r = Q\sqrt{1 - 2,23 τ^2 + 4,58 τ^3 - 6,62 τ^4 + 3,27 τ^5} \end{equation}

die een standaardafwijking heeft ten opzichte van de echte oplossing van 0,006 \( Q \), en een grootste afwijking van 0,014 \( Q \).

De snelheid kan worden uitgerekend uit vergelijkingen \eqref{eq:ε}, \eqref{eq:e-bound} en \eqref{eq:aq2}, en dan vinden we

\begin{equation} v = \sqrt{\frac{2γ (Q - r)}{Qr}} \end{equation}

4.11. Samenvatting

De volgende tabel toont wat eigenschappen van de verschillende soorten banen. \( ε \) is de totale energie, \( e \) de excentriciteit, en \( L \) het impulsmoment.

type εeL
cirkel <0 0 ≠ 0
ellips <0 0 < [e] < 1 ≠ 0
parabool 0 1 ≠ 0
hyperbool >0 >1 ≠ 0
lijn >-∞ 0
punt
-∞     
0

4.12. Meer lezen?

//www.tamuk.edu/math/scott/stars/docs/classical.pdf

//adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-data_query?bibcode=1985JBAA...95..113M&link_type=GIF&db_key=AST

5. Meerlichamenprobleem of n-lichamenprobleem

Het meerlichamenprobleem is het probleem van de vaststelling van de beweging van meer dan twee hemellichamen waarop alleen de onderlinge newtoniaanse zwaartekracht werkt (dwz. zwaartekracht volgens de zwaartekrachtswet van Newton). Het blijkt dat dit probleem niet in het algemeen oplosbaar is (dwz. dat je formules kunt vinden waaruit je voor zo'n geval voor alle lichamen voor alle tijden de posities kunt uitrekenen), en de beweging van de lichamen zelfs chaotisch kan zijn (zodat hele kleine veranderingen in de beginsituatie enorme grote veranderingen kunnen geven in de posities na verloop van tijd).

5.1. Draaiende regelmatige veelhoeken

Het meerlichamenprobleem is wel oplosbaar als de lichamen precies even zwaar zijn en een regelmatige veelhoek vormen en de snelheid van elk lichaam in het vlak van de veelhoek ligt en loodrecht staat op de richting naar het midden van de veelhoek en precies de juiste grootte heeft, want dan legt ieder lichaam een even grote cirkelbaan rond het midden van de veelhoek af. Het is natuurlijk bijzonder onwaarschijnlijk dat zo'n geval in het Heelal te vinden is, dus is dit geval in de praktijk niet erg interessant.

We rekenen uit hoe groot die snelheid moet zijn. We definiëren een regelmatige veelhoek met \( n \) hoeken waarvan het midden de coördinaten (0,0) heeft. De coördinaten van de punten van de veelhoek (dwz. de hemellichamen) zijn

\begin{equation} x_k = r \cos\left( \frac{2πk}{n} \right) \end{equation}

\begin{equation} y_k = r \sin\left( \frac{2πk}{n} \right) \end{equation}

waarbij alle hoeken gemeten worden in radialen en \( k \) van 0 tot \( n - 1 \) loopt en de verschillende hemellichamen aangeeft. De situatie is symmetrisch dus is de grootte van de zwaartekrachtsversnelling van alle hemellichamen gelijk en zijn ze allemaal naar het midden van de veelhoek gericht. We kiezen ervoor om de versnelling uit te rekenen voor het hemellichaam met \( k = 0 \). Dat hemellichaam heeft coördinaten \( (r,0) \) en de versnelling wijst naar het midden bij (0,0), dus heeft de versnelling alleen een component in de x-richting.

Volgens Newton is die versnelling gelijk aan

\begin{equation} a_x = ∑_k \frac{Gm (x_k - x_0)}{|r_{k0}|^3} \end{equation}

waarbij \( m \) de massa van elk van de hemellichamen is, de som over \( k \) van 1 tot \( n - 1 \) is, en \( r_{k0} \) de afstand tussen hemellichamen \( k \) en 0 is.

\begin{equation} \begin{split} r_k0 & = \sqrt{(x_k - x_0)^2 + (y_k - y_0)^2} \\ & = \sqrt{(x_k - r)^2 + y_k^2} \\ & = \sqrt{2r\left( 1 - \cos\left( \frac{2πk}{n} \right) \right)} \end{split} \end{equation}

Hieruit volgt voor de grootte van de versnelling

\begin{equation} \begin{split} |a_x| & = ∑_k \frac{Gm}{r^2} \frac{1 - \cos\left( \frac{2πk}{n} \right)}{\left( 2 - 2\cos\left( \frac{2πk}{n} \right) \right)^{3/2}} \\ & = \frac{Gm}{2^{3/2}r^2} ∑_k \frac{1}{\sqrt{1 - \cos\left( \frac{2πk}{n} \right)}} \end{split} \end{equation}

Die versnelling moet gelijk zijn aan de centrifugaalversnelling, die gedefinieerd is door

\begin{equation} a_c = \frac{v^2}{r} \end{equation}

waarin \( v \) de snelheid loodrecht op de richting naar het centrum van de cirkel is. Hieruit volgt

\begin{equation} v^2 = r|a_x| = \frac{Gm}{2^{3/2}r} ∑_k \frac{1}{\sqrt{1 - \cos\left( \frac{2πk}{n} \right)}} \end{equation}

We stellen de snelheid gelijk aan \( v = c_n \sqrt{GM/r} \) waarbij \( M = nm \) de totale massa van alle lichamen samen is, en \( c_n \) van het aantal lichamen \( n \) afhangt. De volgende tabel toont wat resultaten.

ncn
2 \[\frac{1}{2\sqrt{2}}\] 0,3535
3 \[\frac{1}{3}\sqrt[4]{3}\] 0,4387
4 \[\frac{1}{4}\sqrt{1 + 2\sqrt{2}}\] 0,4892
5 \[\frac{\sqrt[4]{2}}{10}\sqrt{\sqrt{25 − 5\sqrt{5}} + 5\sqrt{5 − \sqrt{5}} − (−5 + \sqrt{5})\sqrt{5 + \sqrt{5}}}\] 0,5247
10 0,6215
100 0,8677
1000 1,0580
104 1,2190
105 1,3610
106 1,4896

Er zijn twee kolommen voor \( c_n \): eentje die de formule geeft (voor \( n \) tot 5) en eentje die ongeveer de waarde geeft. De formule wordt steeds ingewikkelder naarmate het aantal lichamen toeneemt, dus laten we die voor grote aantallen niet meer zien.

6. Ruimtereizen

We rekenen nu aan ruimtereizen van één planeet naar een andere. Behalve de twee planeten en het ruimteschip is ook de Zon van belang, dus dit is tenminste een vierlichamenprobleem, waarvoor in het algemeen geen precieze oplossing te vinden is. Wel kunnen we een oplossing benaderen.

Het is heel duur om massa de ruimte in te brengen dus is het zaak om een route te vinden waarvoor je zo min mogelijk stuwmiddel nodig hebt, wat overeen komt met zo klein mogelijke snelheidsveranderingen (ten opzichte van wat je gratis van de zwaartekracht krijgt).

Je hebt uiteraard stuwmiddel nodig om vanaf je thuisplaneet de ruimte in te gaan. Bovendien heb je stuwmiddel nodig om bij je doelplaneet je snelheid af te stemmen op die van die planeet, want anders vlieg je daar zo tegenaan of zo voorbij.

6.1. Hohmannbanen

Een Hohmannbaan is een elliptische baan waarvan de perifocus in de baan van de ene planeet ligt en de apofocus in de baan van de andere planeet. Zo'n baan is vaak de goedkoopste ― maar banen uit het Interplanetaire Transportnetwerk dat in 1997 ontdekt werd kunnen nog goedkoper zijn.

Fig. 8: Hohmannbaan
Fig. 8: Hohmannbaan
Figuur 8 toont een Hohmannbaan in rood, die de kleine baan (van planeet 1) onderaan raakt en de grote baan (van planeet 2) bovenaan. De blauwe bollen geven de posities van de planeten aan wanneer het ruimteschip van planeet 1 vertrekt, en de gele bol toont de positie van planeet 2 wanneer het ruimteschip daar aan komt.

De truuk van een Hohmannbaan is om de raket slechts tweemaal even aan te zetten: eenmaal om vanuit de baan van planeet 1 om te schakelen op de Hohmannbaan, en nog eenmaal als je vanuit de Hohmannbaan wilt overschakelen naar de baan van planeet 2.

We noemen de straal van de baan van planeet 1 \( r_1 \) en die van planeet 2 \( r_2 \). Dan zijn de halve lange as en excentriciteit van de Hohmannbaan (volgens vergelijkingen \eqref{eq:a} en \eqref{eq:e})

\begin{equation} a_\text{h} = \frac{r_2 + r_1}{2} \end{equation}

\begin{equation} e_\text{h} = \frac{|r_2 - r_1|}{r_2 + r_1} \end{equation}

In de volgende formules komen hier en daar ± en ∓ voor; neem steeds het bovenste teken (+ of −) voor een reis verder van de Zon af en het onderste teken (− of +) voor een reis dichter naar de Zon toe.

De snelheden in de Hohmannbaan aan het begin van de reis (op \( r_1 \)) en aan het eind van de reis (op \( r_2 \)) zijn, volgens vergelijkingen \eqref{eq:vq} en \eqref{eq:vq},

\begin{equation} v_\text{h1} = v_\text{ae} (1 ± e) \end{equation}

\begin{equation} v_\text{h2} = v_\text{ae} (1 ∓ e) \end{equation}

\begin{equation} v_\text{ae} = ±\sqrt{\frac{γ}{a(1 - e^2)}} \end{equation}

De snelheden in de cirkelbanen zijn, volgens vergelijking \eqref{eq:cirkel},

\begin{equation} v_1 = \sqrt{\frac{γ}{r_1}} = v_\text{ae} \sqrt{1 ± e} \end{equation}

\begin{equation} v_2 = \sqrt{\frac{γ}{r_2}} = v_\text{ae} \sqrt{1 ∓ e} \end{equation}

De snelheidsverschillen die je met je raketmotoren moet opwekken zijn dus

\begin{equation} ∆v_1 = v_\text{h1} - v_1 = v_\text{ae} \left( 1 ± e - \sqrt{1 ± e} \right) \end{equation}

\begin{equation} ∆v_2 = v_2 - v_\text{h2} = v_\text{ae} \left( \sqrt{1 ∓ e} - (1 ∓ e) \right) \end{equation}

Het totale snelheidsverschil is een maat voor de kosten, en is

\begin{equation} ∆v_\tot = |∆v_1| + |∆v_2| = |∆v_1 + ∆v_2| = v_\text{ae} (±2e + \sqrt{1 ∓ e} - \sqrt{1 ± e}) \end{equation}

Voor een Hohmannbaan van de Aarde naar Mars (waarbij we even voor het gemak doen alsof die cirkelbanen hebben) hebben we \( r_1 = 1 \text{AE} \) en \( r_2 = 1,5237 \text{AE} \), dus

\begin{eqnarray*} a_\text{h} & = \frac{1 + 1,5237}{2} = 1,2619 \text{AE} \\ e_\text{h} & = \frac{1,5237 - 1}{1,5237 + 1} = 0,2075 \\ v_\text{ae} & = \sqrt{\frac{γ}{a(1 - e^2)}} = 27,1 \text{km/s} \end{eqnarray*}

(met \( \sqrt{γ} \) gelijk aan 29,8 km/s voor alle banen rond de Zon als \( a \) gemeten wordt in AE). Daaruit volgen

\begin{eqnarray*} v_\text{h1} & = v_\text{ae} (1 + 0,2075) = 1,208 v_\text{ae} = 32,7 \text{km/s} \\ v_\text{h2} & = v_\text{ae} (1 - 0,2075) = 0,792 v_\text{ae} = 21,5 \text{km/s} \\ v_1 & = v_\text{ae} \sqrt{1 + 0,2075} = 1,099 v_\text{ae} = 29,8 \text{km/s} \\ v_2 & = v_\text{ae} \sqrt{1 - 0,2075} = 0,890 v_\text{ae} = 24,1 \text{km/s} \\ ∆v_1 & = 32,7 - 29,8 = 2,9 \text{km/s} \\ ∆v_2 & = 24,1 - 21,5 = 2,6 \text{km/s} \\ ∆v_\text{tot} & = 5,6 \text{km/s} \end{eqnarray*}

Het is simpel om de reistijd \( t_\text{h} \) in een Hohmannbaan tussen twee planeten te berekenen, want dat is precies de helft van de baanperiode van de hele ellips, en die volgt uit vergelijking \eqref{eq:jaar}.

\begin{equation} t_\text{h} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{4π^2}{γ}} a_\text{h}^{3/2} = \sqrt{\frac{π^2}{γ}} a_\text{h}^{3/2} \end{equation}

Voor Hohmannbanen rond de Zon is \( \sqrt{4π^2/γ} \) gelijk aan 1 jaar/AE3/2, dus dan \( t_\text{h}/[\text{jaar}] = (a_\text{h}/[\text{AE}])^{3/2} \).

De Hohmannbaan van de Aarde naar Mars neemt \( \frac{1}{2} × 1,2619^{3/2} = 0,7088 \) jaar of ongeveer 259 dagen.

Een reis naar een andere planeet via een Hohmannbaan kan niet op elk willekeurig moment beginnen, want de reistijd is vast (voor planeten in cirkelbanen) en je wilt natuurlijk wel dat de andere planeet aan het eind van de Hohmannbaan staat precies als je ruimteschip daar ook is, dus moet je op precies het goede moment vertrekken. Wanneer is dat?

Eerst kijken we naar de relatieve positie van de twee planeten. We meten posities langs de banen in graden, en de twee planeten zijn in dezelfde relatieve positie als de lijn door die twee planeten ook door het midden van de Zon gaat. We definiëren dat de positie van planeet 1 op tijdstip \( t = 0 \) gelijk is aan 0. Dan zijn de posities \( φ_1, φ_2 \) van planeten als een functie van de tijd

\begin{equation} φ_1(t) = n_1 t \pmod{360°} \end{equation}

\begin{equation} φ_2(t) = n_2 t + φ_0 \pmod{360°} \end{equation}

\begin{equation} n_1 = \sqrt{\frac{γ}{2π}} r_1^{−3/2} \end{equation}

\begin{equation} n_2 = \sqrt{\frac{γ}{2π}} r_2^{−3/2} \end{equation}

waar \( t \) de tijd is, \( φ_0 \) de positie van planeet 2 op tijd \( t = 0 \) (zie de figuur hierboven), en \( n_1, n_2 \) de hoeksnelheden van de planeten zijn (in graden per tijdseenheid). De "mod 360°" betekent dat veelvouden van 360° in het resultaat er niet toe doen: als je 2,4 keer de baan hebt afgelegd (dus 2,4 keer 360° rond) dan ben je op dezelfde plek als wanneer je maar 0,4 keer de baan hebt afgelegd (dus 0,4 keer 360° rond).

Als afstanden gemeten worden in AE en tijden in jaren, en als we naar Hohmannbanen rond de Zon kijken, dan is \( \sqrt{\frac{γ}{2π}} \) gelijk aan 360.

Er is een samenstand als \( φ_1 \) en \( φ_2 \) gelijk zijn, afgezien van hele banen. Dan moet de snellere planeet één baan meer hebben afgelegd dan de langzamere planeet, dus

\begin{equation} φ_1 = φ_2 ⇔ n_1 t = n_2 t + φ_0 \pmod{360°} ⇔ t = \frac{φ_0}{n_1 - n_2} \pmod{\frac{360°}{n_1 - n_2}} \label{eq:conj} \end{equation}

dus de tijd tussen twee opeenvolgende samenstanden is

\begin{equation} t_\text{c} = \frac{360°}{n_1 - n_2} \end{equation}

We stellen de tijd \( t \) gelijk aan 0 als ons ruimteschip de baan van planeet 1 verlaat. Na een tijd \( t_\text{h} \) (zie vergelijking \eqref{eq:th}) bereikt het ruimteschip de baan van planeet 2, aan de andere kant van de Zon. Dat betekent dat op \( t = t_\text{h} \) de positie van planeet 2 gelijk zou moeten zijn aan \( φ_2 = 180° \pmod{360°} \). Hieruit en met vergelijking \eqref{eq:conj} vinden we de waarde van \( φ_0 \) (dwz. waar planeet 2 moet zijn als we de reis vanaf planeet 1 beginnen):

\begin{equation} φ_0 = 180° - n_2 t_\text{h} \pmod{360°} \end{equation}

Stel dat we planeet 2 weer verlaten op tijd \( t = t_2 \). Dan willen we dat planeet 1 precies aan de andere kant van de Zon aankomt precies als ons ruimteschip daar ook aan komt, dus

\begin{equation} \begin{split} φ_1(t_2 + t_\text{h}) & = φ_2(t_2) + 180° \pmod{360°} \\ & ⇒ n_1 t_2 + n_1 t_\text{h} = n_2 t_2 + φ_0 + 180° \pmod{360°} \\ & ⇒ (n_1 - n_2) t_2 = -n_1 t_\text{h} + φ_0 + 180° = -(n_1 + n_2) t_\text{h} \pmod{360°} \\ & ⇒ t_2 = -\frac{n_1 + n_2}{n_1 - n_2} t_\text{h} \mod \frac{360°}{n_1 - n_2} = t_\text{c} \end{split} \end{equation}

dus komt er een nieuwe mogelijkheid om terug te keren na elke periode \( t_\text{c}\), zoals te verwachten was.

Voor het retourtje van de Aarde naar Mars vonden we eerder \( t_\text{h} = 0,7087 \) jaar (259 dagen), en vinden we nu

\begin{align*} n_1 & = 360 \text{graden/jaar} \\ n_2 & = 360 × 1,5237^{−3/2} = 191,4 \text{graden/jaar} \\ φ_0 & = 180° - 191,4° × 0,7087 = 44,3° \pmod{360°} \\ t_\text{c} & = \frac{360}{360 - 191,4} = 2,1353 \text{jaar} = 780 \text{dagen} \\ t_2 & = -\frac{360 + 191,4}{360 - 191,4} × 0,7087 = −2,3180 \mod 2,1353 \text{jaar} \end{align*}

De eerste \( t_2 \) na \( t = t_\text{h} \) valt op \( t_2 = −2,3180 + 2×2,1353 = 1,9526 \) jaar (713 dagen). Een retourtje Mars vanaf de Aarde zou dus in totaal tenminste 972 dagen duren.

Waar staat planeet 2 op het moment dat het ruimteschip vanaf planeet 1 vertrekt? De afstand \( Δ_{12} \) van planeet 2 tot planeet 1 is op dat moment

\begin{equation} Δ_{12} = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos φ_0} \end{equation}

De elongatie \( ψ \) van planeet 2 gezien vanaf planeet 1 (zie de voorgaande figuur) wordt dan bepaald door

\begin{equation} \sin ψ = \frac{r_2}{Δ_{12}} \sin φ_0 \end{equation}

Voor de reis van de Aarde naar Mars vinden we \( Δ_{12} = \sqrt{1^2 + 1,5237^2 - 2×1×1,5237×\cos(44,3°)} = 1,0688 \text{AE} \) en \( ψ = \arcsin((1,5237/1,0688) × \sin(44,3°)) = 85,2° \), dus we kunnen zo'n reis naar Mars via een Hohmannbaan beginnen als Mars ongeveer 85 graden van de Zon verwijderd is, gezien vanaf de Aarde. Mars staat dan ten oosten van de Zon, dus is dan 's avonds zichtbaar.

6.2. Zwaartekrachtslingers

Het kan veel stuwmiddel schelen als je onderweg naar een verre planeet eerst op de juiste manier langs één of meer andere planeten vliegt, want die andere planeten kunnen je dan een zogenaamde zwaartekrachtsslinger geven.

6.2.1. Een potje tennis

Dit werkt ongeveer op dezelfde manier als voor een bal die met een tennisracket geslagen wordt. In het ideale geval (als de botsing volledig elastisch is en als we andere effecten − zoals de zwaartekracht − even uitschakelen en als de bal het racket niet blijvend beïnvloed) is de snelheid waarmee de bal het racket weer verlaat even groot als de snelheid waarmee de bal het racket raakt − als die snelheden van de bal gemeten worden ten opzichte van het racket. (Als de botsing niet volledig elastisch is, dan zal de uitgaande snelheid minder zijn dan de ingaande snelheid.)

Stel dat het racket een horizontale snelheid \( v_\text{r} \) naar rechts heeft ten opzichte van de grond, en dat de bal een snelheid \( v_1 \) naar rechts heeft. (Snelheden naar rechts tellen we positief, en snelheden naar links negatief.) Dan is de ingaande snelheid \( v_2 \) van de bal (ten opzichte van het racket) gelijk aan

\begin{equation} v_2 = v_1 - v_\text{r} \end{equation}

De uitgaande snelheid \( v_3 \) (ten opzichte van het racket) is even groot maar in de tegengestelde richting, dus

\begin{equation} v_3 = -v_2 = v_\text{r} - v_1 \end{equation}

De snelheid ten opzichte van de grond is \( v_\text{r} \) groter dan de snelheid ten opzichte van het racket, dus is de terugkeersnelheid \( v_4 \) ten opzichte van de grond gelijk aan

\begin{equation} v_4 = v_3 + v_\text{r} = 2 v_\text{r} - v_1 \end{equation}

Als het racket stil staat (\( v_\text{r} = 0 \)), dan is \( v_4 = -v_1 \) dus dan is de terugkeersnelheid van de bal even groot (maar in tegengestelde richting) als de heensnelheid. Maar als het racket zelf ook beweegt, dan zal de terugkeersnelheid anders zijn dan de heensnelheid. Je kunt de bal na de slag sneller laten gaan (ten opzichte van de grond) door het racket tegen de bal in te slaan. Als je in plaats daarvan het racket in dezelfde richting beweegt als de bal, dan zal de bal na de slag juist langzamer gaan (als hij het racket nog wel kan inhalen).

We leren van dit potje tennis dat bij een botsing tussen een licht en een zwaar voorwerp de eindsnelheid van het lichte voorwerp ook af hangt van de snelheid van het zware voorwerp. Als je de juiste strategie gebruikt, dan kan het lichte voorwerp snelheid winnen.

6.2.2. En nu met een planeet: de snelheid ten opzichte van de planeet

Als een ruimteschip voorbij een planeet vliegt (zonder zijn motoren te gebruiken), dan is dat te vergelijken met een elastische botsing. Als het ruimteschip eenmaal in het domein van de planeet is, dan zal het gezien vanaf de planeet een hyperboolbaan rond de planeet volgen. Vanwege de Wet van Behoud van Energie en vanwege de afwezigheid van weerstand in de ruimte zal het ruimteschip geen energie kwijtraken en uiteindelijk weer met dezelfde snelheid (maar in een andere richting) ten opzichte van de planeet weg vliegen.

Stel, het ruimteschip vliegt in een baan rond de Zon met halve lange as \( a \) en excentriciteit \( e \) en nadert de planeet die in een cirkelbaan op afstand \( r \) van de Zon draait. Hoe snel gaat het ruimteschip dan ten opzichte van de planeet?

De formules uit hoofdstuk 4,4 geven voor het ruimteschip

\begin{equation} v = v_\text{ae} \sqrt{1 + 2 e \cos ν + e^2} \end{equation}

\begin{equation} v_\text{t} = v \cos α \end{equation}

\begin{equation} v_\text{r} = v \sin α \end{equation}

De snelheid \( v_0 \) van de planeet is, volgens vergelijking \eqref{eq:cirkel}, gelijk aan

\begin{equation} v_0 = ±\sqrt{\frac{γ}{r}} \end{equation}

waarbij het teken aangeeft of de planeet tegen de klok in (positief) of met de klok mee (negatief) rond de Zon draait.

De tangentiële snelheid \( v_\text{tp} \) van het ruimteschip ten opzichte van de planeet is dan

\begin{equation} v_\text{tp} = v_\text{t} - v_0 = v \cos(α) - v_0 \end{equation}

De radiële snelheid \( v_\text{rp} \) van het ruimteschip ten opzichte van de planeet is gelijk aan

\begin{equation} v_\text{rp} = v_\text{r} = v \sin α \end{equation}

want de snelheid van de planeet heeft geen radiële component. De totale snelheid \( v_\text{p} \) ten opzichte van de planeet is dan (weer volgens Pythagoras)

\begin{equation} \begin{split} v_\text{p} & = \sqrt{v_\text{rp}^2 + v_\text{tp}^2} \\ & = \sqrt{v_\text{r}^2 + (v_\text{t} - v_0)^2} \\ & = \sqrt{v^2 + v_0^2 - 2 v_\text{t} v_0} \\ & = \sqrt{v^2 + v_0^2 - 2 v v_0 \cos α} \end{split} \end{equation}

6.2.3. De overgang van zonnedomein naar planeetdomein

We hebben nu uitgerekend hoe snel het ruimteschip ten opzichte van de planeet zou bewegen op de plaats van de planeet als de planeet geen massa en dus geen zwaartekracht had, maar de planeet heeft wel massa en zwaartekracht (en anders zouden we van die planeet geen zwaartekrachtsslinger kunnen krijgen dus was hij dan niet interessant voor het huidige probleem). Het in formules uitrekenen van de beweging van het ruimteschip onder invloed van de zwaartekracht van zowel de Zon als de planeet kan in het algemeen niet gedaan worden, dus gaan we hier aannames maken die wel ongeveer maar niet helemaal waar zijn maar die wel de berekeningen een stuk simpeler maken.

We gebruiken de volgende aannames:

  1. De massa van het ruimteschip is te verwaarlozen vergeleken met de massa van de planeten en de Zon.
  2. Als het ruimteschip "ver" van de planeten is dan telt alleen de zwaartekracht van de Zon. Het ruimteschip is dan in het domein van de Zon.
  3. Als het ruimteschip "dicht bij" één van de planeten is dan telt alleen de zwaartekracht van die planeet. Het ruimteschip is dan in het domein van die planeet.
  4. De zonnedomeinbaan van het ruimteschip raakt (bij de planeetbaan) de asymptoot van de planeetdomeinbaan van het ruimteschip. Zie hieronder.
  5. De snelheid van het ruimteschip op oneindig grote afstand van de planeet als de Zon geen invloed had is gelijk in grootte en richting aan de snelheid van het ruimteschip op de plaats van de planeet als de planeet geen invloed had.

en hieruit volgt een methode om over te stappen van het zonnedomein naar het planeetdomein:

  1. Bereken de snelheid (qua grootte en richting) die het ruimteschip nabij de planeet zou hebben ten opzichte van de planeet als de planeet geen invloed had (dus nog in het domein van de Zon).
  2. Stel deze snelheid (qua grootte en richting) gelijk aan de snelheid op oneindige afstand in een hyperboolbaan rond de planeet als de Zon geen invloed had (dus in het domein van de planeet).

Fig. 9: Overgangsbaan
Fig. 9: Overgangsbaan
Figuur 9 illustreert aanname 4. De gele baan is die van de planeet (die nu op punt C is). De blauwe baan geeft aan hoe het ruimteschip zou bewegen als er geen planeet was maar wel de Zon. De rode baan geeft aan hoe het ruimteschip zou kunnen bewegen als de Zon er niet was (maar de planeet wel). De rode baan is zo gekozen dat de toepasselijke asymptoot van die baan (de zwarte lijn) in het snijpunt van die asymptoot en de planeetbaan (bij punt D) raakt aan de blauwe baan.

De echte baan van het ruimteschip (onder de gelijktijdige invloed van de zwaartekracht van zowel de Zon als de planeet) zal iets zijn dat lijkt op de groene baan uit de figuur. Als het ruimteschip nog heel ver van de planeet is (in het domein van de Zon), dan volgt die baan de blauwe ("alleen de Zon") baan. Als het ruimteschip heel dicht bij de planeet is (in het domein van de planeet), dan lijkt de groene baan juist veel op de rode ("alleen de planeet") baan, net alsof het ruimteschip is overgestapt van de blauwe naar de rode baan.

Om aan te geven dat aanname 4 een benadering is heb ik de groene baan niet helemaal met de rode laten samenvallen.

6.2.4. De baan in het planeetdomein

Volgens aanname 5 stellen we de snelheid \( v_\text{p} \) ten opzichte van de planeet gelijk aan de snelheid \( v_{∞\text{p}} \) van de hyperboolbaan in het planeetdomein. Dan vinden we met behulp van formule \eqref{eq:hyp-e}

\begin{equation} v^2 + v_0^2 - 2 v v_0 \cos α = v_{∞\text{p}}^2 = -\frac{γ_\text{p}}{a_\text{p}} \label{eq:e-planet} \end{equation}

waar \( γ_\text{p} \) de zwaartekrachtsparameter van de planeet is (zoals \( γ \) die van de Zon is) en \( a_\text{p} \) voor de hyperboolbaan rond de planeet geldt (zoals \( a \) voor de baan rond de Zon is). We nemen aan dat \( a_\text{p} \) negatief is en de baan rond de planeet dus een hyperboolbaan is. Als \( a_\text{p} \) positief was, dan zou de baan rond de planeet een ellips zijn, wat in tegenspraak is met aanname 4. In zo'n geval voldoen de huidige aannames niet.

Hiermee hebben we nog niet de excentriciteit \( e_\text{p} \) van de hyperbool gevonden. Deze hangt er van af hoe dicht bij de planeet het ruimteschip komt. We drukken dit uit in de zogenaamde botsingsparameter \( b \), die aangeeft hoe dicht bij de planeet het ruimteschip zou komen als de planeet het ruimteschip niet aan zou trekken.

Uit vergelijkingen \eqref{eq:hyp-e} en \eqref{eq:hyp-L} volgt

\begin{equation} e_\text{p}^2 = 1 + p^2 \end{equation}

waar

\begin{equation} p ≡ \frac{v_{∞\text{p}}^2b}{γ_\text{p}} \label{eq:p} \end{equation}

Hoe groter \( p \) is, hoe minder de planeet de richting van het ruimteschip beïnvloed.

Met vergelijking \eqref{eq:delta} vinden we dan de hoek waarover de richting van het ruimteschip veranderd wordt (waarbij het van de geometrie afhangt of die hoek draaiing linksom of rechtsom aangeeft):

\begin{equation} δ = \arccos\left( 1 - \frac{2}{e_\text{p}^2} \right) = \arccos\left( \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} \right) = 2 \arctan\left( \frac{1}{p} \right) \label{eq:delta-p} \end{equation}

De limietgevallen zijn

\begin{equation} p ↓ 0 ⇒ δ → 180° - \frac{360° p}{π} \end{equation}

\begin{equation} p → ∞ ⇒ δ → \frac{360°}{pπ} \end{equation}

De perifocusafstand volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:e-planet} en \eqref{eq:q}:

\begin{equation} q = a_\text{p}(1 - e_\text{p}) = \frac{b}{p} (\sqrt{1 + p^2} - 1) \end{equation}

De limietgevallen zijn

\begin{equation} p ↓ 0 ⇒ q → \frac{1}{2} b p \end{equation}

\begin{equation} p → ∞ ⇒ q → b - \frac{b}{p} \end{equation}

De snelheid in het perifocus volgt dan uit vergelijking \eqref{eq:hyp-L}

\begin{equation} v_\text{p}(q) = \frac{v_∞ p}{\sqrt{p^2 + 1} - 1} \end{equation}

De limietgevallen zijn

\begin{equation} p ↓ 0 ⇒ v_\text{p}(q) → \frac{2v_∞}{p} \end{equation}

\begin{equation} p → ∞ ⇒ v_\text{p}(q) → v_∞ \left( 1 + \frac{1}{p} \right) \end{equation}

6.2.5. Terug naar het domein van de Zon

Het ruimteschip vliegt langs de planeet, zijn richting verandert over een hoek \( δ \), en dan vliegt het ruimteschip weer weg van de planeet, terug naar het domein van de Zon. De overgang van het domein van de planeet naar dat van de Zon behandelen we hetzelfde als de eerdere overgang van het domein van de Zon naar dat van de planeet.

De radiële en tangentiële snelheden van het ruimteschip ten opzichte van de planeet na de ontmoeting met de planeet zijn over een hoek \( δ \) gedraaid ten opzichte van voor de ontmoeting (waarbij het teken van \( δ \) op dezelfde manier is bepaald als voor \( α \)):

\begin{equation} v_\text{tp2} = v_\text{tp} \cos δ + v_\text{rp} \sin δ = v \cos(α - δ) - v_0 \cos δ \end{equation}

\begin{equation} v_\text{rp2} = -v_\text{tp} \sin δ + v_\text{rp} \cos δ = v \sin(α - δ) + v_0 \sin δ \end{equation}

De overeenkomstige snelheden ten opzichte van de Zon zijn

\begin{equation} v_\text{t2} = v_\text{tp2} + v_0 = v \cos(α - δ) + v_0 (1 - \cos δ) \end{equation}

\begin{equation} v_\text{r2} = v_\text{rp2} = v \sin(α - δ) + v_0 \sin δ \end{equation}

De totale snelheid \( v_2 \) ten opzichte van de Zon is dan bepaald door

\begin{equation} v_2^2 = v_\text{t2}^2 + v_\text{r2}^2 = v^2 + 2v_0^2(1 - \cos δ) + 2 v v_0 (\cos(α - δ) - \cos α) \end{equation}

De lengte van de halve lange as \( a_2 \) na de ontmoeting volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:Etot} en \eqref{eq:e-bound}

\begin{equation} a_2 = \left( \frac{2}{r} - \frac{v_2^2}{γ} \right)^{−1} = \frac{γr}{2γ - v_2^2r} = \frac{v_\text{k}^2r}{2v_\text{k}^2 - v_2^2} \end{equation}

en de excentriciteit \( e_2 \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:l} en \eqref{eq:l2}

\begin{equation} \begin{split} e_2 & = \sqrt{1 - \frac{v_\text{t2}^2 r^2}{γa_2}} \\ & = \sqrt{1 - \frac{v_\text{t2}^2 r^3}{2γ - v_2^2 r}} \\ & = \sqrt{1 - \frac{v_\text{t2}^2}{v_\text{k}^4} (2v_\text{k}^2 - v_2^2)} \\ & = \sqrt{1 - \frac{v_\text{t2}^2}{v_\text{k}^2} \frac{r}{a_2}} \end{split} \end{equation}

6.2.6. Grootste en kleinste eindsnelheden

Wat zijn de grootst en kleinst mogelijke waarden van \( v_2 \) als we \( α \) en \( δ \) vrij kunnen variëren? De uiterste waarden zijn

\({n}\)\({δ}\)\({α}\)\({|v_2| (v v_0 > 0)}\)\({|v_2| (v v_0 < 0)}\)
1 0 0 \({|v|}\)\({|v|}\)
2 180° 0 \({|v - 2 v_0|}\)\({|v + 2 v_0|}\)
3 \({±δ_0}\)\({-α_0}\)\({v\sqrt{4 v_0^2 - v^2}}\)
4 \({±δ_0}\)\({+α_0}\)0

waar

\begin{equation} δ_0 = \arccos\left( 1 - \frac{v^2}{2v_0^2} \right) \end{equation}

\begin{equation} α_0 = \arccos\left( \frac{v}{2 v_0} \right) \end{equation}

Fig. 10: Eindsnelheden
Fig. 10: Eindsnelheden
Figuur 10 toont de verschillende gevallen.

Geval 1 heeft \( δ = 0 \) dus dan wordt de baan van het ruimteschip helemaal niet beïnvloed door de planeet. Dit is niet interessant.

De \( α \) van geval 2 betekent dat de baan van het ruimteschip (in het domein van de Zon) raakt aan de baan van de planeet, net als voor een Hohmannbaan. De \( δ \) is zo groot mogelijk (want een groter getal betekent een kleinere hoek in de tegenovergestelde richting), wat betekent dat het ruimteschip na de ontmoeting met de planeet precies de andere kant op gaat (ten opzichte van de planeet) dan waar hij vandaan kwam. Dit is in de praktijk niet mogelijk, want daarvoor moet volgens vergelijking \eqref{eq:delta-p} \( p \) gelijk zijn aan nul, wat volgens vergelijking \eqref{eq:p} betekent dat dan óf \( v_{∞p} \) nul moet zijn (maar dat kan alleen als de snelheid van het ruimteschip in grootte en richting gelijk is aan die van de planeet, maar dan kan het ruimteschip niet van ver weg komen), óf de botsingsparameter \( b \) nul moet zijn (maar dan botst het ruimteschip op de planeet).

Gevallen 3 en 4 zijn alleen mogelijk als \( |v| ≤ 2|v_0| \) en als bovendien de planeet en het ruimteschip in dezelfde richting draaien (allebei met de klok mee, of allebei tegen de klok in), dus als de snelheid \( v \) van het ruimteschip ten opzichte van de Zon minder dan tweemaal de snelheid van de planeet is.

De allergrootste eindsnelheid die mogelijk is wordt gehaald in geval 2, als het ruimteschip net voor de ontmoeting tegen de planeet in beweegt. In dat geval is de eindsnelheid (ten opzichte van de Zon, weer ver van de planeet) gelijk aan \( |v| + 2 |v_0| \) (maar volgens de uitleg van hierboven kan deze snelheid in de praktijk niet helemaal gehaald worden).

De allerkleinste eindsnelheid die gehaald kan worden is gelijk aan 0, en dat wordt gehaald als

Als de eindsnelheid inderdaad 0 is dan zal het ruimteschip in de Zon vallen.

6.3. Goedkoopst ontsnappen

Stel, je hebt een ruimteschip en een beperkte hoeveelheid stuwmiddel (brandstof). Als je je snelheid boven de lokale ontsnappingssnelheid kunt brengen, dan kun je aan de Zon ontsnappen en op willekeurig grote afstand komen.

Uit vergelijkingen \eqref{eq:ε} en \eqref{eq:e-bound} volgt voor de snelheid \( v \) in een gesloten baan

\begin{equation} v^2 = \frac{2γ}{r} - \frac{γ}{a} \label{eq:vv} \end{equation}

mits \( r ≤ 2a \) (maar dat is altijd het geval voor een gesloten baan). Een baan met \( ε = -γ/2a = 0 \) is er een waarin het ruimteschip steeds precies de lokale ontsnappingssnelheid heeft, dus geldt voor de lokale ontsnappingssnelheid \( v_\text{ontsnap} \)

\begin{equation} v_\text{ontsnap}^2 = \frac{2γ}{r} \end{equation}

Voor het verschil \( ∆v = v_\text{ontsnap} - v \) vinden we dan

\begin{equation} ∆v = \sqrt{\frac{γ}{a}} (\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}) \end{equation}

\begin{equation} x = \frac{2a}{r} \end{equation}

Deze \( ∆v \) is monotoon stijgend met \( r \) en altijd groter dan nul (voor gesloten banen), dus treden de extreme waarden op voor de grootst en kleinst mogelijke waarden van \( r \) voor de baan, oftewel in het perihelium en aphelium van de baan. \( ∆v \) is het kleinst in het perihelium en het grootst in het aphelium.

Als je dus in een gesloten baan met zo min mogelijk inspanning uit het Zonnestelsel wilt ontsnappen zonder van zwaartekrachtslingers gebruik te maken, dan moet je in het perihelium van je baan je motoren aanzetten zodat je vooruit versneld wordt (in de richting waarin je toch al ging). Je moet uiteraard wel genoeg versnellen, anders ontsnap je niet. Om vanuit de aardbaan te ontsnappen uit het Zonnestelsel moet je je voorwaartse snelheid met tenminste ongeveer 12 km/s = 44,000 km/h laten toenemen. Dat is niet weinig!

6.4. Hoe ver zonder zwaartekrachtslingers?

Als je te weinig stuwmiddel hebt om (zonder zwaartekrachtslingers) uit het Zonnestelsel te ontsnappen, hoe ver kun je dan komen?

6.4.1. Kijk naar de energie

Eerst zoeken we een bovengrens door naar de energie te kijken. Uit vergelijking \eqref{eq:vv} volgt dan voor een gesloten baan altijd \( r < 2a \), dus kan het aphelium ook nooit verder weg van de Zon zijn dan op afstand \( 2a \). We schrijven vergelijking \eqref{eq:toa} om tot

\begin{equation} \frac{a}{r} = \frac{1}{2 - ψ^2} \end{equation}

Als we \( a \) bij gelijkblijvende \( r \) en \( γ \) zo groot mogelijk willen maken dan moeten we \( ψ \) zo groot mogelijk maken en dus \( v \) zo groot mogelijk. Met een beperkte hoeveelheid stuwmiddel krijgen we \( v \) zo groot mogelijk door te versnellen in de richting waarin we toch al gingen. Als we voldoende stuwmiddel hebben voor een snelheidsverandering \( v_\text{s} ≡ σv_\text{k} \), dan krijgen we voor de nieuwe halve lange as \( a_2 \)

\begin{equation} \frac{a_2}{r} = \frac{1}{2 - (ψ + σ)^2} \end{equation}

en daarmee de volgende bovengrens \( Q_2 \) aan het aphelium

\begin{equation} \frac{Q_2}{r} < \frac{2}{2 - (ψ + σ)^2} \end{equation}

Bijvoorbeeld, als we in een cirkelbaan op \( r = 1 \) AE van de Zon (ongeveer de aardbaan) de motoren aanzetten en daarmee vlug een extra snelheid toevoegen ter grootte van 0,1 maal de baansnelheid (ofwel ongeveer 3 km/s extra), dan zijn \( v = v_\text{k} \) en \( v_\text{s} = 0,1 v_\text{k} \), en daarmee \( ψ = 1 \) en \( σ = 0,1 \), en dan vinden we \( Q_2 < 2/(2 - 1,1^2) = 2,53 \) AE. Verder dan 2,53 AE zullen we dus zeker niet van de Zon komen. Dit is een bovengrens, dus het echte aphelium kan nog wel eens een stuk dichter bij de Zon zijn.

6.4.2. Algemeen

Kunnen we het aphelium nog beter bepalen? Uit vergelijking \eqref{eq:r} volgt dat

\begin{equation} a (1 - e^2) = r (1 + e \cos ν) \end{equation}

en \( a (1 - e^2) \) is constant voor de hele baan, en dus ook in het aphelium. We vinden

\begin{equation} Q (1 - e) = r (1 + e \cos ν) ⇒ \frac{Q}{r} = \frac{1 + e \cos ν}{1 - e} \end{equation}

Je krijgt dus het verste aphelium als je (voor vaste excentriciteit \( e \)) zorgt dat je na de stuwing in het perihelium van de nieuwe baan zit (waar \( ν = 0 \) dus \( \cos ν = 1 \)), of als je (voor vaste ware anomalie \( ν \)) voor de grootste excentriciteit zorgt. Echter, die \( e \) en \( ν \) hangen allebei af van de richting en grootte van de stuwing, dus kunnen we ze niet allebei naar believen kiezen, dus weten we nog niet genoeg.

In het algemeen is de apheliumafstand \( Q \) gelijk aan

\begin{equation} \frac{Q}{r} = \frac{1 + \sqrt{1 - χ^2ψ^2 (2 - ψ^2)}}{2 - ψ^2} \label{eq:Qalg} \end{equation}

Ook hier hebben we twee grootheden (\( χ \) en \( ψ \)) die elk van de grootte en richting van de stuwing afhangen, dus uit deze formule kunnen we in het algemeen niet direct afleiden wat de beste stuwrichting is om het verste aphelium te krijgen. De beste manier om de stuwrichting te vinden die het verste aphelium oplevert is daarom om vergelijking \eqref{eq:Qalg} te gebruiken voor verschillende richtingen en dan te kijken welke richting de grootste \( Q \) geeft.

Ik heb een aantal willekeurige voorbeelden doorgerekend en vond dat de richting waarin je de stuwing moet doen om de grootste \( Q \) te krijgen niet altijd hetzelfde is en vaak ook niet hetzelfde als de richting waarin je ruimteschip net voor de stuwing bewoog. Als de stuwing groeit naar de waarde waarboven je uit het Zonnestelsel kunt ontsnappen, dan wordt de optimale stuwingshoek wel de richting waarin je toch al bewoog. Dat past bij wat we hierboven vonden (in hoofdstuk 6,3).

6.4.3. Vertrek uit cirkelbanen

Het algemene geval geeft dus geen eenvoudige antwoorden. Het eenvoudigere geval waarin we beginnen in een cirkelbaan geeft dat wel: in dat geval kun je het beste versnellen in de richting waarin je toch al ging. Dan is \( χ = 1 \) en dus (uit vergelijking \eqref{eq:Qalg})

\begin{equation} \frac{Q}{r} = \frac{1 + \sqrt{1 - ψ^2 (2 - ψ^2)}}{2 - ψ^2} = \frac{1 + |ψ^2 - 1|}{2 - ψ^2} \end{equation}

Als \( ψ < 1 \) dan vinden we \( Q/r = 1 \): dat is het geval als je afremt in plaats van te versnellen, en dan ga je niet verder weg van de Zon maar juist er dichter bij, en dan is je vertrekplek op afstand \( r \) het aphelium van je nieuwe baan. Dit geval is niet interessant voor ons, dus nemen we aan dan \( ψ ≥ 1 \). Dan vinden we

\begin{equation} \frac{Q}{r} = \frac{ψ^2}{2 - ψ^2} \end{equation}

In de beginsituatie is \( ψ = 1 \) en dus \( Q = r \). Nu passen we een snelheidstoename van \( v_\text{s} = σv_\text{k} \) toe zodat \( ψ = 1 + σ \) wordt. Dan vinden we

\begin{equation} e = 2σ + σ^2 \end{equation}

\begin{equation} Q = r \frac{1 + e}{1 - e} \end{equation}

Omgekeerd is

\begin{equation} e = \frac{Q - r}{Q + r} \end{equation}

\begin{equation} σ = \sqrt{1 + e} - 1 \end{equation}

Bijvoorbeeld, als we in een cirkelbaan op 1 AE van de Zon (ongeveer de aardbaan) de motoren aanzetten en daarmee vlug een extra snelheid toevoegen ter grootte van 0,1 maal de baansnelheid (ofwel ongeveer 3 km/s extra), dan komen we in een baan met \( e = 2×0,1 + 0,1^2 = 0,21 \) en \( Q = 1×(1 + 0,21)/(1 - 0,21) = 1,53 \) AE.

Dit is hetzelfde geval als in het vorige voorbeeld, waar we een bovengrens van 2,53 AE vonden. Hier vinden we het "echte" aphelium, dat inderdaad onder de bovengrens blijft, maar wel wat ver daaronder, dus die bovengrens is ruim. Echter, de formules voor die bovengrens gelden voor vertrek uit elke soort gesloten baan, terwijl de formules net hierboven alleen gelden voor vertrek uit een cirkelbaan.

Als we vanuit een cirkelbaan op \( r = 1 \) AE in een baan willen komen met \( Q = 1,53 \) AE, dan moeten we hebben \( e = (1,53 - 1)/(1,53 + 1) = 0,21 \) en \( σ = (√(1 + 0,21) - 1) = 0,1 \) dus \( v_\text{s} = 0,1 v_\text{k} \).

6.5. Alle banen door twee punten

Fig. 11: Banen door 2 punten
Fig. 11: Banen door 2 punten
Stel dat planeten 1 en 2 op afstanden \( r_1 \) en \( r_2 \) van de Zon staan en gezien vanaf de Zon op hoekafstand \( φ \) van elkaar. Welke banen gaan dan door allebei die planeten heen? \( a(1 - e^2) \) is constant voor zo'n baan, dus leiden we uit vergelijking \eqref{eq:r} voor zo'n baan af dat \( r (1 + e \cos ν) \) constant is en dus

\begin{equation} r_2 - r_1 = e (r_1 \cos ν_1 - r_2 \cos ν_2) \end{equation}

waarin \( ν_1 \) en \( ν_2 \) de ware anomalieën van planeten 1 en 2 zijn, waarvoor dan moet gelden

\begin{equation} ν_2 - ν_1 = φ \end{equation}

Met verdere definities

\begin{align} r_- & ≡ \frac{1}{2}(r_2 - r_1) \\ r_+ & ≡ \frac{1}{2}(r_2 + r_1) \\ ν_- & ≡ \frac{1}{2}(ν_2 - ν_1) = \frac{1}{2}φ \\ ν_+ & ≡ \frac{1}{2}(ν_2 + ν_1) \end{align}

kunnen we bovenstaande formule omschrijven naar

\begin{equation} \begin{split} 2r_- & = e (2r_+ \sin ν_+ \sin ν_- - 2r_- \cos ν_+ \cos ν_-) \\ & = e (2r_+ \sin ν_+ \sin \frac{1}{2}φ - 2r_- \cos ν_+ \cos \frac{1}{2}φ) \end{split} \end{equation}

ofwel

\begin{equation} e = \frac{r_-}{r_+ \sin ν_+ \sin \frac{1}{2}φ - r_- \cos ν_+ \cos \frac{1}{2}φ} \label{eq:e2} \end{equation}

We namen aan dat we \( r_1 \), \( r_2 \) en \( φ \) al kenden, dus zijn \( r_+ \) en \( r_- \) ook bekend, en zijn in bovenstaande vergelijking alleen de excentriciteit \( e \) van de baan en de gemiddelde ware anomalie \( ν_+ \) van de twee planeten nog onbekend. Die gemiddelde ware anomalie zegt waar het perihelium van de baan ligt ten opzichte van de twee planeten.

Als we nu een bepaalde waarde voor \( ν_+ \) kiezen dan vinden we uit vergelijking \eqref{eq:e2} welke excentriciteit \( e \) daarbij hoort.

We hebben voor vergelijking \eqref{eq:r} aangenomen dat de excentriciteit \( e \) niet negatief was, dus moeten we negatieve \( e \) weggooien. Om een baan met even grote maar positieve \( e \) te vinden kun je dan planeten 1 en 2 verwisselen of anders 180° optellen bij \( ν_+ \).

Door weer vergelijking \eqref{eq:r} te gebruiken voor planeet 2 vinden we dan

\begin{equation} a = r_2 \frac{1 + e \cos ν_2}{1 - e^2} = r_2 \frac{1 + e \cos\left( ν_+ + \frac{1}{2}φ \right)}{1 - e^2} \end{equation}

Als \( e > 1 \) (hyperboolbaan) dan moet \( a < 0 \) zijn, anders krijg je de verkeerde tak van de hyperbool te pakken. (In het algemeen moet dus \( e ≥ 0 \) en \( a (1 - e) > 0 \) zijn.)

Je vind acceptabele \( e \) en \( a \) als \( ν_+ \) hooguit 90° verschilt van

\begin{equation} ν_0 = \arctan(r_+ \sin ν_+, -r_- \cos ν_-) \end{equation}

en bovendien \( ν_+ \) aan dezelfde kant van 0° en 180° ligt als \( ν_0 \). Bijvoorbeeld, als \( ν_0 = 41° \), dan vind je acceptabele \( e \) en \( a \) (ofwel: acceptabele banen) voor \( ν_+ \) tussen 0° en 131°.

Dan hebben we \( a \) en \( e \) en weten we waar het perihelium ligt (een hoek \( ν_+ + \frac{1}{2}φ \) vóór planeet 2 en \( ν_+ - \frac{1}{2}φ \) vóór planeet 1), dus dan ligt de hele baan vast. Door \( ν_+ \) te variëren krijgen we alle mogelijke banen die door beide planeten gaan.

Bijvoorbeeld, op 1 november 2007 (0h UTC) stonden de Aarde en Mars op \( r_1 = 0,9927 \) AE en \( r_2 = 1,5079 \) AE van de Zon en op \( φ = 27,0° \) van elkaar (gezien vanaf de Zon). Dan vinden we \( r_- = (1,5079 - 0,9927)/2 = 0,2576 \) en \( r_+ = (1,5079 + 0,9927)/2 = 1,2503 \), en daarmee \( e = 0,2576/(0,2919 \sin ν_+ - 0,2505 \cos ν_+) \) en \( a = 1,5079 (1 + e \cos(ν_+ + 13,5°))/(1 - e^2) \).

Ook vinden we \( ν_0 = \arctan(0,2919, −0,2505) = 130,6° \), dus hoeven we alleen te kijken naar \( ν_+ \) tussen 130,6° − 90° = 40,6° en 180°. Enige gevallen zijn getekend in figuur 11, waarin blokje A de Zon aangeeft, B de Aarde en C Mars. Zwarte banen zijn gesloten (\( e < 1 \)) en blauwe banen zijn open (\( e > 1 \)).

De reistijden tussen de twee planeten in al die banen vinden we als volgt. Als \( e < 1 \), bereken dan (uit vergelijkingen \eqref{eq:muitt}, \eqref{eq:kepler} en \eqref{eq:νtoE})

\begin{align} E_1 & = 2 \arctan\left( \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan\left( \frac{1}{2}ν_1 \right) \right) \\ M_1 & = E_1 - e \sin E_1 \\ t_1 & = \frac{P M_1}{2π} = \frac{a^{3/2} M_1}{\sqrt{γ}} \end{align}

Pas wel op: \( E_1 \) en \( M_1 \) moeten in deze formules gemeten worden in radialen, niet in graden, want anders kloppen de uitkomsten niet. 1 radiaal is gelijk aan 180/π graden.

Als \( e > 1 \), bereken dan (uit vergelijkingen \eqref{eq:kepler_h} en \eqref{eq:νtoH})

\begin{align} H_1 & = 2 \artanh\left( \sqrt{\frac{e - 1}{e + 1}} \tan\left( \frac{1}{2}ν_1 \right) \right) \\ M_1 & = e \sinh H_1 - H_1 \\ t_1 & = \frac{P M_1}{2π} = \frac{|a|^{3/2} M_1}{\sqrt{γ}} \end{align}

Pas wel op: hier wordt niet alleen de "gewone" \( \tan \)-functie gebruikt, maar ook de hyperbolische \( \artanh \) en \( \sinh \)-functies.

Omdat \( a \), \( e \) en \( ν_1 \) afhangen van \( ν_+ \), doet \( t_1 \) dat ook.

Doe soortgelijke berekeningen voor planeet 2. De reistijd is dan

\begin{equation} ∆t = t_2 - t_1 \end{equation}

Als wij voor het vorige voorbeeld \( ν_+ = 126,0° \) kiezen, dan vinden we \( e = 0,2576/(0,2919 \sin(126°) - 0,2505 \cos(126°)) = 0,6719 \) en \( a = 1,5079 (1 + 0,6719 × \cos(126° + 13,5°))/(1 - 0,6719) = 1,3444 \) AE. \( 0 < e < 1 \), dus dit is een ellipsbaan.

Voor het ruimteschip als het bij planeet 1 is vinden we dan \( ν_1 = v_+ - ν_- = 126,0° - 13,5° = 112,5° \), \( E_1 = 2 \arctan(√((1 - 0,6719)/(1 + 0,6719)) \tan(\frac{1}{2} × 112,5°)) = 1,1708 \) radialen, \( M_1 = 1,1708 - 0,6719 × \sin(1,1708) = 0,5519 \) radialen, \( t_1 = 1,3444^{3/2} × 0,5519 / 2π = 0,1369 \) jaar. (Als we \( a \) meten in AE en \( t \) in jaren, dan is in ons Zonnestelsel \( P = a^{3/2} \).)

Voor het ruimteschip als het bij planeet 2 is vinden we dan \( ν_2 = v_+ + ν_- = 126,0° + 13,5° = 139,5° \), \( E_2 = 2 \arctan(√((1 - 0,6719)/(1 + 0,6719)) \tan(\frac{1}{2} × 139,5°)) = 1,7527 \) radialen, \( M_2 = 1,7527 - 0,6719 × \sin(1,7527) = 1,0918 \) radialen, \( t_2 = 1,3444^{3/2} × 1,0918 / 2π = 0,2709 \) jaar.

En voor de reistijd vinden we dan \( ∆t = 0,2709 - 0,1369 = 0,1340 \) jaar.

Als wij daarna \( ν_+ = 72,0° \) kiezen, dan vinden we \( e = 0,2576/(0,2919 \sin(72°) - 0,2505 \cos(72°)) = 1,2868 \) en \( a = 1,5079 (1 + 1,2868 × \cos(72° + 13,5°))/(1 - 1,2868) = −2,5314 \) AE. \( e > 1 \) en \( a < 0 \), dus dit is een hyperboolbaan.

Voor het ruimteschip als het bij planeet 1 is vinden we dan \( ν_1 = v_+ - ν_- = 72,0° - 13,5° = 58,5° \), \( H_1 = 2 \arctanh(√((1,2868 - 1)/(1,2868 + 1)) \tan(\frac{1}{2} × 58,5°)) = 0,4020 \), \( M_1 = 1,2868 × \sinh(0,4020) - 0,4020 = 0,1293 \) radialen, \( t_1 = 2,5314^{3/2} × 0,1293 / 2π = 0,0829 \) jaar.

Voor het ruimteschip als het bij planeet 2 is vinden we dan \( ν_2 = v_+ + ν_- = 72,0° + 13,5° = 85,5° \), \( H_2 = 2 \arctanh(√((1,2868 - 1)/(1,2868 + 1)) \tan(\frac{1}{2} × 85,5°)) = 0,6797 \) radialen, \( M_2 = 1,2868 × \sin(0,6797) - 0,6797 = 0,2639 \) radialen, \( t_2 = 2,5314^{3/2} × 0,2639 / 2π = 0,1691 \) jaar.

En voor de reistijd vinden we dan \( ∆t = 0,0829 - 0,1691 = 0,0862 \) jaar.

6.6. Mikken op een planeet

Het is wel mooi dat we alle banen door twee posities kunnen uitrekenen, maar de reistijd om langs zo'n baan van een planeet naar een andere planeet te reizen is voor elke baan anders, dus als je tegelijk ruimteschepen langs al die banen van de ene planeet laat vertrekken in de richting van het tweede punt, dan zullen ze niet allemaal tegelijk bij dat tweede punt aankomen. De tweede planeet beweegt dus zal die maar eventjes in dat tweede punt zijn. Alleen het ruimteschip dat precies op dat moment ook bij dat tweede punt aankomt zal bij de planeet komen. In de laatste voorbeelden hierboven vonden we reistijden groter dan nul, maar de posities van de twee planeten waren berekend voor hetzelfde tijdstip, dus als het ruimteschip na de berekende reistijd bij de gekozen plek aankomt dan is de tweede planeet daar niet meer, dus mist het ruimteschip de planeet.

Je moet een bepaalde gewenste reistijd kiezen om uit te kunnen rekenen waar de doelplaneet na die reistijd zal staan. Je hebt dan twee punten waar je baan doorheen moet gaan: je huidige positie, en de positie van de doelplaneet na de gewenste reistijd. Er is dan een hele verzameling van banen die door beide punten gaan, maar elke baan uit die verzameling heeft een andere reistijd tussen die twee punten. Je kunt die reistijd pas uitrekenen als je de baan gekozen hebt, en dan kun je pas kijken of de reistijd in die baan gelijk is aan de gewenste reistijd die je aan het begin koos. Als de reistijd in de gekozen baan niet gelijk is aan de gewenste reistijd, dan zul je in die baan de doelplaneet missen. Het is dus een grote zoektocht om een baan te vinden die de doelplaneet raakt.

De procedure is dus als volgt:

  1. Kies een reistijd \( ∆t \).
  2. Bereken waar planeet 1 is op de gewenste vertrektijd \( t_0 \) en waar planeet 2 zal zijn op tijd \( t_0 + ∆t \). We hebben nodig: de afstand \( r_1 \) tussen de Zon en planeet 1 (op tijdstip \( t_0 \)), de afstand \( r_2 \) tussen de Zon en planeet 2 (op tijdstip \( t_0 + ∆t \)), en de hoekafstand \( φ \) tussen planeet 2 (op tijdstip \( t_0 + ∆t \)) en planeet 1 (op tijdstip \( t_0 \)) gezien vanaf de Zon.
  3. Bereken nu voor alle mogelijke banen door die twee punten (door \( ν_+ \) te variëren, zie hoofdstuk 6,5) wat de reistijd tussen de planeten in die baan is.
  4. Zoek de \( ν_+ \) waarvoor de bijbehorende baan een reistijd geeft gelijk aan \( ∆t \).

In plaats van voor "alle" banen de reistijd uit te rekenen kun je ook proberen meer gericht naar de gewenste oplossing te zoeken, bijvoorbeeld met een van de zoekmethoden beschreven op de rekenbladzijde over horizontale verschijnselen.



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/zwaartekracht.html;
Laatst vernieuwd: 2017-04-24