AstronomieAntwoorden
Verschijnselen in het Horizontale Coördinatenstelsel

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

\( \def\floorratio#1#2{\left\lfloor \frac{#1}{#2} \right\rfloor} \def\ceilratio#1#2{\left\lceil \frac{#1}{#2} \right\rceil} \)

Deze bladzijde beschrijft hoe je voor een hemellichaam kunt uitrekenen:

• Hoe hoog boven de horizon is het hemellichaam op een bepaald moment?
• In welke richting langs de horizon staat het hemellichaam op een bepaald moment?
• Wanneer bereikt het hemellichaam een bepaalde hoogte boven (of onder) de horizon? Bijvoorbeeld, wanneer komt het op of gaat het onder?
• Wanneer staat het hemellichaam in een bepaalde richting langs de horizon? Bijvoorbeeld, wanneer staat het hemellichaam precies in het oosten?
• Al deze momenten in een gekozen periode. Bijvoorbeeld, wanneer komt het hemellichaam allemaal op in de periode van 8 tot en met 10 januari 2007?

Om deze algoritmen te kunnen gebruiken moet je voor het gewenste hemellichaam voor elk moment kunnen uitrekenen of schatten wat zijn equatoriale coördinaten (rechte klimming \( α \) en declinatie \( δ \)) zijn. Zie hiervoor bijvoorbeeld de bladzijde over posities aan de hemel.

1. Horizontale coördinaten

De positie van een hemellichaam aan de hemel wordt gegeven door zijn hoogte \( h \) boven de horizon en zijn azimut \( A \). De hoogte is 0° aan de horizon, +90° in het zenit (recht boven je hoofd), en −90° in het nadir (recht onder je voeten). Het azimut is de richting langs de horizon, die wij meten vanaf het zuiden naar het westen. Het zuiden heeft dus azimut 0°, het westen +90°, het noorden +180°, en het oosten +270° (of −90°, dat is hetzelfde). De hoogte en het azimut zijn de horizontale coördinaten. Om uit equatoriale coördinaten horizontale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

\begin{align} \sin A \cos h \| = \sin H \cos δ \\ \cos A \cos h \| = \cos H \cos δ \sin φ - \sin δ \cos φ \\ \sin h \| = \sin δ \sin φ + \cos δ \cos φ \cos H \label{eq:h} \\ H \| = θ - α \label{eq:Hα} \\ A \| = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ - \tan δ \cos φ) \label{eq:A} \end{align}

De \( H \) is de uurhoek, die aangeeft hoe lang geleden (gemeten in sterrentijd) het hemellichaam precies door de hemelmeridiaan ging. We meten deze hier in graden, net als de rechte klimming \( α \) en de sterrentijd \( θ \). Soms worden ze gemeten in uren in plaats van in graden, met 15° = 1 uur. Als \( H \) tussen 0° en 180° ligt, dan moet \( A \) ook tussen 0° en 180° liggen.

Om uit horizontale coördinaten equatoriale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

\begin{align} \sin H \cos δ \| = \sin A \cos h \\ \cos H \cos δ \| = \cos A \cos h \sin φ + \sin h \cos φ \\ \sin δ \| = \sin h \sin φ - \cos h \cos φ \cos A \label{eq:δ} \\ α \| = θ - H \label{eq:αH} \\ H \| = \arctan(\sin A, \cos A \sin φ + \tan h \cos φ) \label{eq:H} \end{align}

De Rekenpagina over Sterrentijd legt uit hoe je de sterrentijd \( θ \) voor een bepaald moment kunt uitrekenen (en omgekeerd).

2. Doorgang

De doorgang is het moment waarop het hemellichaam door de hemelmeridiaan gaat, die van het noorden via het zenit naar het zuiden loopt. Het hemellichaam bereikt dan zijn grootste hoogte boven de horizon. De uurhoek \( H \) is dan gelijk aan nul. Als \( α \) de rechte klimming van het hemellichaam is, dan geldt op het moment \( t_\text{door} \) waarop het hemellichaam zijn doorgang heeft:

\begin{equation} θ_\text{door} = α \label{eq:door} \end{equation}

De Rekenpagina over Sterrentijd leert dat de kloktijd uit de sterrentijd kan worden berekend met

\begin{align} t \| = \frac{θ - θ_p - L_0 - L_1 ∆J_d}{θ_1} = \frac{θ}{θ_1} + t_d \pmod{t_\text{s}} \label{eq:lokaal} \\ t_d \| = -\frac{θ_p + L_0 + L_1 ∆J_d}{θ_1} \pmod{t_\text{s}} \\ θ_p \| ≈ θ_1 t_z - l_\text{w} \pmod{t_\text{s}} \\ L_0 \| = 99,967794687° \\ L_1 \| = 0,98564736628603° \\ θ_1 \| ≈ 15,04106864026192° \\ t_\text{s} \| = \frac{360°}{θ_1} ≈ 23,93446959 \end{align}

als we negeren dat \( θ_p \) en \( θ_1 \) en dus ook \( t_\text{s} \) een beetje van de tijd afhangen. Met vergelijking \ref{eq:door} geeft dat

\begin{equation} t_\text{door} = \frac{α}{θ_1} + t_d \pmod{t_\text{s}} \label{eq:doortijd} \end{equation}

Als \( α \) van de tijd afhangt (dus niet constant is), dan moet \( α \) in vergelijking \ref{eq:doortijd} uitgerekend zijn voor het tijdstip gegeven door \( ∆J_d \) en \( t_\text{door} \), dus dan hebben we \( t_\text{door} \) nodig voor we \( t_\text{door} \) kunnen uitrekenen. Dit is zeker het geval voor de Zon, Maan en planeten. (Voor heel nauwkeurige berekeningen hangen \( θ_p \), \( θ_1 \) en \( t_\text{s} \) ook van de tijd af, dus dan moet je de tijd ook al weten voor je hem kunt uitrekenen, zelfs als \( α \) wel constant is.)

Als \( α \) maar langzaam met de tijd verandert, dan kun je net doen alsof hij toch constant is. Je maakt dan wel een fout, maar die is dan maar klein.

Hoofdstuk 3 beschrijft twee manieren waarop je in het algemeen gevallen kunt behandelen waarin de gezochte grootheid (hier de tijd) niet tot slechts één voorkomen in de vergelijking beperkt kan worden.

3. Zoekmethoden

Stel, je moet een waarde \( x \) vinden waarvoor geldt

\begin{equation} x = f(x) \label{eq:xfx} \end{equation}

voor een bepaalde functie \( f \). Hoe vind je die \( x \) ― als die bestaat (wat niet voor elke functie \( f \) het geval is)?

Hieronder leg ik een paar zoekmethoden uit waarmee je dit geval kunt behandelen.

3.1. De herhalingsmethode

Als in de buurt van \( x = x_0 \) de functie \( f(x) \) minder snel stijgt of daalt dan functie \( x \) doet (ofwel: als \( |f'(x)| < 1 \)), dan kun je steeds dichter bij \( x_0 \) komen door in die buurt te beginnen en dan steeds de uitkomst weer opnieuw in de functie \( f \) te stoppen. Dus: \( x_2 = f(x_1) \), en dan \( x_3 = f(x_2) \), en dan \( x_4 = f(x_3) \), en zo verder, totdat de \( x \) die je er in stopt en de \( x \) die er weer uit komt niet meer merkbaar van elkaar verschillen: dan heb je een goede schatting voor \( x_0 \) te pakken.

Als in de buurt van \( x = x_0 \) de functie \( f(x) \) sneller stijgt of daalt dan functie \( x \) (ofwel: als \( |f'(x)| > 1 \)), dan kun je de herhalingsmethode niet toepassen op functie \( f \), maar wel op zijn omgekeerde of inverse \( f^\text{inv} \), als je die kunt bepalen (wat niet altijd kan). Voor een functie \( f \) en zijn omgekeerde \( f^\text{inv} \) geldt

\begin{equation} f^\text{inv}(f(x)) = f(f^\text{inv}(x)) = x \end{equation}

Als je al een redelijke schatting \( x \) weet voor \( f \), dan is dezelfde waarde meestal ook een goede beginwaarde voor \( f^\text{inv} \).

Als de functie soms snel stijgt of daalt en soms niet, dan is het belangrijk om een goede beginwaarde van \( x \) te kiezen die al voldoende dicht bij de gewenste waarde \( x_0 \) ligt.

Er kan meer dan één waarde van \( x \) zijn waarvoor vergelijking \ref{eq:xfx} geldt. Welke waarde je dan vindt als je de herhalingsmethode gebruikt hangt af van de beginwaarde.

3.2. De inperkmethode

Hierbij gaat het om het vinden van een nulpunt, waar

\begin{equation} g(x) = 0 \label{eq:g} \end{equation}

voor de gewenste functie \( g \). Als we stellen dat

\begin{equation} g(x) ≡ f(x) - x \label{eq:gf} \end{equation}

dan zijn de oplossingen van vergelijking \ref{eq:g} dezelfde als die van vergelijking \ref{eq:xfx}.

We noemen \( g(x) \) hier de "afwijking". We zoeken naar een \( x \) waarvoor de afwijking gelijk is aan 0. De methode werkt dan als volgt:

1. Vind twee waarden \( x_1 \) en \( x_2 \) met afwijkingen \( g_1 = g(x_1) \) en \( g_2 = g(x_2) \) waarvan er één positief is en de andere negatief (dus \( g_1 g_2 < 0 \)). Dan weet je zeker dat er tenminste één nulpunt of singulariteit van \( g(x) \) tussen \( x_1 \) en \( x_2 \) ligt. Een nulpunt betekent een oplossing van vergelijking \ref{eq:g} en dus (via vergelijking \ref{eq:gf}) ook van vergelijking \ref{eq:xfx}. Een singulariteit is een plek waar de waarde van de functie oneindig groot wordt (in dit geval oneindig positief aan de ene kant en oneindig negatief aan de andere kant) en is geen oplossing van vergelijkingen \ref{eq:g} en \ref{eq:xfx}.

2. Maak een schatting \( x_3 \) voor de oplossing, ergens tussen \( x_1 \) en \( x_2 \) in. Je kunt bijvoorbeeld het gemiddelde van de twee nemen:

   \begin{equation} x_3 = \frac{x_1 + x_2}{2} \end{equation}

   of sneller gaan door de afwijkingen mee te laten werken:

   \begin{equation} x_3 = \frac{g_2 x_1 - g_1 x_2}{g_2 - g_1} \label{eq:schat} \end{equation}

3. Bepaal de afwijking \( g_3 = g(x_3) \).

4. Als \( g_3 \) gelijk is aan 0 (binnen de nauwkeurigheid van je berekeningen), dan ben je klaar, en is \( x_3 \) een oplossing van vergelijking \ref{eq:g} en dus (via \ref{eq:gf}) ook van vergelijking \ref{eq:xfx}. Als het teken (plus of min) van \( g_3 \) gelijk is aan het teken van \( g_1 \) (dus \( g_1 g_3 > 0 \)), vervang dan \( x_1 \) door \( x_3 \) (en \( g_1 \) door \( g_3 \)). Vervang anders \( x_2 \) door \( x_3 \) (en \( g_2 \) door \( g_3 \)).

5. Ga nu terug naar de stap 2.

Ook bij deze method is het vinden van goede beginwaarden belangrijk, maar het maakt niet uit hoe snel de functie stijgt of daalt, als er maar geen singulariteit in het gekozen interval ligt.

Als \( g(x) \) een lineare functie is (dus \( g \) neemt eenparig met \( x \) toe of af), dan is de eerste \( x_3 \) (uit vergelijking \ref{eq:schat}) al meteen het gewenste antwoord. Dat was voor de herhalingsmethode niet zo.

Je kunt formule \ref{eq:schat} ook gebruiken zelfs als \( x_1 \) en \( x_2 \) aan dezelfde kant van de gewenste \( x \) liggen, maar dan is er geen garantie dat je een oplossing zult vinden. Als \( g_1 g_2 > 0 \), vervang dan de \( x \) waar de grootste \( |g| \) bij hoort door \( x_3 \).

3.3. Toepassing op de doorgang

4. Een bepaalde hoogte

Wanneer bereikt het hemellichaam een bepaalde hoogte \( h_0 \)? Stel dat we de coördinaten \( α \) en \( δ \) kennen voor het moment gegeven door \( ∆J_d \) en \( t \). Uit formule \ref{eq:h} leiden we de uurhoek \( H \) af:

\begin{align} q \| = \frac{\sin h_0 - \sin φ \sin δ}{\cos φ \cos δ} = \frac{\sin h_0}{\cos φ \cos δ} - \tan φ \tan δ \label{eq:q} \\ H \| = \arccos(q) \label{eq:H_h} \end{align}

Deze \( H \) kan alleen uitgerekend worden als \( −1 ≤ q ≤ +1 \), ofwel als \( |q| ≤ 1 \). Als \( |q| \) groter is dan 1, dan bereikt een hemellichaam met die declinatie \( δ \) gezien vanaf die plek nooit hoogte \( h_0 \). Als \( q > 1 \), dan blijft het hemellichaam op grotere hoogte dan \( h_0 \), en als \( q < −1 \), dan blijft het hemellichaam op kleinere hoogte dan \( h_0 \).

Als we een \( H \) hebben, dan is een schatting voor de tijd \( t_\text{op} \) waarop het hemellichaam door hoogte \( h_0 \) omhoog gaat

\begin{align} H_\text{op} \| = -H = -\arccos(q) \\ θ_\text{op} \| = α + H_\text{op} = α - \arccos(q) \pmod{360°} \\ t_\text{op} \| = t_d + \frac{α - \arccos(q)}{θ_1} = t_\text{door} - \frac{\arccos(q)}{θ_1} \pmod{24} \end{align}

en voor het tijdstip \( t_\text{onder} \) waarop het hemellichaam door hoogte \( h_0 \) naar beneden gaat

\begin{align} H_\text{onder} \| = +H = +\arccos(q) \\ θ_\text{onder} \| = α + H_\text{onder} = α + \arccos(q) \pmod{360°} \\ t_\text{onder} \| = t_d + \frac{α + \arccos(q)}{θ_1} = t_\text{door} + \frac{\arccos(q)}{θ_1} \pmod{24} \end{align}

Deze tijdstippen zijn alleen helemaal goed als de equatoriale coördinaten \( α \) en \( δ \) niet met de tijd veranderen. Als ze dat wel doen (zoals voor Zon, Maan en planeten), dan moeten we de precieze tijden vinden met behulp van een zoekmethode zoals uitgelegd in hoofdstuk 3. Je kunt dan als afwijking het verschil tussen de uitgerekende hoogte \( h \) (uit formule \ref{eq:h}) en de gewenste hoogte \( h_0 \) nemen, of anders het verschil tussen het tijdstip uitgerekend met bovenstaande formules en het tijdstip waarvoor de equatoriale coördinaten \( α, δ \) waren uitgerekend.

5. Een bepaalde richting

Wanneer staat het hemellichaam in de richting gegeven door azimut \( A_0 \)? Dat kunnen we als volgt uitrekenen (aldus vergelijkingen \ref{eq:D1}ff in hoofdstuk 7):

\begin{align} s \| = \cos A_0 \cos δ \\ c \| = -\sin A_0 \cos δ \sin φ \\ a \| = -\sin A_0 \sin δ \cos φ \\ D \| = s^2 + c^2 - a^2 = \cos^2(δ) - \sin^2(A_0) \cos^2(φ) \\ p \| = a + c \\ q_1 \| = s + \sqrt{D} \\ q_2 \| = s - \sqrt{D} \\ f_1 \| = 2pq_1 \\ g_1 \| = p^2 - q_1^2 \\ f_2 \| = 2pq_2 \\ g_2 \| = p^2 - q_2^2 \\ H_1 \| = \arctan(f_1, g_1) \\ H_2 \| = \arctan(f_2, g_2) \end{align}

Als \( D \lt 0 \) of als \( f = g = 0 \) dan zijn er geen oplossingen. Als \( D = 0 \) en niet \( f = g = 0 \) dan is er één oplossing. Als \( D \gt 0 \) dan zijn er twee oplossingen, waarvan er misschien eentje fout is, als daarvoor \( f = g = 0 \) of \( f\sin(A_0) \lt 0 \).

Fig. 1: hemelbewegingsdiagram

Als \( |δ| < |φ| \), dan kan het hemellichaam in alle richtingen staan, en staat het ongeveer elke dag eenmaal in elke richting. Als \( |δ| ≥ |φ| \), dan kan het hemellichaam niet in alle richtingen staan, maar moet voldoende dicht in de buurt van 0° of 180° staan.

Aan figuur 1 kun je zien dat in dat geval elk azimut dat voor kan komen ongeveer elke dag tweemaal voorkomt, eenmaal op een grotere hoogte (in de bovenste helft van het pad) en eenmaal op een kleinere hoogte (in de onderste helft van het pad).

6. Alle momenten

We hebben hierboven gezien hoe je een moment kunt uitrekenen waarop een bewegend hemellichaam een bepaalde hoogte of richting bereikt, gegeven één of twee beginschattingen. Als je alle momenten wilt weten waarop het hemellichaam binnen een zeker periode de gewenste hoogte of richting bereikt, dan kun je niet beginschattingen nemen met zomaar een vaste afstand, want omdat de hemellichamen tussen de sterren langs de hemel bewegen zal het aantal keren dat het gewenste verschijnsel voorkomt in één zo'n periode niet altijd hetzelfde zijn. De Maan en planeten hebben bijvoorbeeld op de meeste kalenderdagen één doorgang, maar heel soms twee of geeneen.

De oplossing voor dit probleem is om de beginschattingen aan te passen aan de beweging van het hemellichaam, zodat de reeks van beginschattingen gemiddeld in de pas loopt met de beweging van het hemellichaam.

We zagen hierboven dat om het tijdstip van een horizontaal verschijnsel uit te rekenen je altijd begint met het uitrekenen van de dichtstbijzijnde doorgang. Het gewenste verschijnsel kan niet meer dan ongeveer 12 uur voor of na de bijbehorende doorgang zijn, want daarbuiten begint het domein van de vorige of volgende doorgang al weer. Onze eerste taak is dus om alle doorgangen te bepalen in de gewenste tijdsperiode.

We zagen hierboven dat we een doorgang hebben als \( H ≡ α - θ = 0 \pmod{360°} \).

We willen \( H \) zo berekenen dat hij voor elke volgende doorgang precies 360° groter is, want dan kun je uit de \( H \) van twee momenten uitrekenen hoeveel doorgangen er tussen die twee momenten waren of zijn. Hoe doe je dat?

6.1. Reconstructie uit mod-waarden

Stel, je hebt een serie van waarden \( x_i \) en een serie \( m_i \) en je wilt daaruit een serie \( y_i \) afleiden waarvoor geldt

\begin{equation} y_i = x_i \pmod{P} \end{equation}

\begin{equation} m_i - \frac{1}{2}P ≤ y_{i+1} - y_i < m_i + \frac{1}{2}P \end{equation}

\begin{equation}0 ≤ y_1 < P\end{equation}

Ofwel: de verwachte stijging van de \( y_i \) ligt tussen \( m_i - \frac{1}{2}P \) en \( m_i + \frac{1}{2}P \). In de praktijk zullen vaak alle \( m_i \) aan elkaar gelijk zijn.

Als je zoekt naar de kleinst mogelijke verschillen \( y_{i+1} - y_i \), stel dan \( m_i = 0 \): dan liggen de verschillen tussen \( -\frac{1}{2}P \) en \( +\frac{1}{2}P \).

Als je weet dat de \( y_i \) alleen maar kunnen toenemen, dan krijg je de kleinst mogelijke verschillen als \( m_i = \frac{1}{2}P \).

Je kunt de \( y_i \) met het volgende algoritme vinden:

1. Bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

   \begin{equation} d_i = x_{i + 1} - x_i \end{equation}

2. Bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

   \begin{equation}e_i = \left[ \frac{d_i - m_i}{P} \right] \end{equation}

   waarbij \( [ \, ] \) naar boven of beneden afronden naar het dichtsbijzijnde hele getal aangeeft.

3. Stel dan \( s_1 = \floorratio{x_1}{P} \) (\( ⌊ \, ⌋ \) betekent naar beneden afronden naar het dichtstbijzijde hele getal) en bereken voor \( i \) van 1 tot \( n - 1 \):

   \begin{equation} s_{i + 1} = s_i + e_i \end{equation}

4. Bereken dan

   \begin{equation} y_i = x_i - P s_i \end{equation}

De \( s_i \) meet hoeveel maal je een nieuwe cyclus \( \bmod P \) begint.

6.2. Hoe lang gaat dat goed?

Als je een goede \( m_i \) bij je \( x_i \) kunt geven, dan kun je de goede \( y_i \) vinden zelfs als er vele perioden \( P \) tussen opeenvolgende \( y_i \) zitten. Echter, dit gaat niet oneindig lang goed.

Stel dat we van \( y \) weten dat die toeneemt met de tijd met een snelheid die ligt tussen \( μ - δ \) en \( μ + δ \) per tijdseenheid, en stel dat we \( x = y \mod P \) weten voor een stel tijdstippen die steeds \( ∆t \) uit elkaar liggen. Dan weten we dat de bijbehorende opeenvolgende \( y \) groeien met tussen \( (μ - δ)∆t \) en \( (μ + δ)∆t \) per meting. We kunnen dan in de reconstructiemethode \( m_i = μ∆t \) zetten, waarmee we zeggen dat we aannemen dat de toename van \( y \) tussen \( μ∆t - \frac{1}{2}P \) en \( μ∆t + \frac{1}{2}P \) ligt. Deze aanname klopt niet meer als \( δ∆t ≥ \frac{1}{2}P \), dus als we stellen \( m_i = μ∆t \) dan moeten we zorgen dat

\begin{equation} ∆t < \frac{P}{2δ} \end{equation}

Deze schatting is gebaseerd op de aanname dat de afwijkingen ten opzichte van \( μ \) allemaal dezelfde kant op zijn. Als de afwijkingen periodiek of willekeurig zijn, dan zullen ze elkaar deels opheffen dus dan duurt het langer voor de totale afwijking te groot wordt. De schatting hierboven is dus een ondergrens: als je je aan die schatting houdt dan zit je zeker goed, maar misschien werkt het in de praktijk ook wel met grotere \( ∆t \).

6.3. Toepassing op doorgangen

Voor Zon, Maan en planeten neemt de uurhoek \( H \) altijd toe met de tijd. De gemiddelde uurhoektoename per dag ligt dicht bij 360°. Stel dat je \( H \)-waarden hebt die na elke \( ∆t \) dagen gemeten of berekend zijn. Dan is de verwachte \( H \)-toename per meting gelijk aan ongeveer \( 360° × ∆t \), dus dan kun je de reconstructiemethode gebruiken met \( m_i = 360° × ∆t \).

Gebaseerd op berekeningen voor de jaren 2000 − 4737 moet \( ∆t \) niet groter zijn dan aangegeven in de volgende tabel, als je \( m_i = 360° × ∆t \) stelt. De tabel toont ook de toename \( ∆α \) van de rechte klimming in graden per dag en de toename \( ∆H \) van \( H \) per dag.

Het probleem is dus het grootste voor de Maan, wat wel te verwachten was omdat de Maan het snelst ten opzichte van de sterren langs de hemel trekt. Als we tenminste één \( H \) per 21 dagen hebben dan kunnen we met behulp van de reconstructiemethode (met \( m_i = 360° × ∆t \)) vinden hoeveel doorgangen er zijn geweest.

Het aantal doorgangen \( n \) tussen \( H_1 \) en \( H_2 \) is gelijk aan

\begin{align} n \| = n_2 - n_1 + 1 \\ n_1 \| = ⌈H_1⌉ \\ n_2 \| = ⌊H_2⌋ \end{align}

waar \( ⌊ \, ⌋ \) naar beneden afronden naar het dichtstbijzijnde hele getal aangeeft, en \( ⌈ \, ⌉ \) naar boven afronden naar het dichtstbijzijnde getal aangeeft.

Je kunt nu op verschillende manieren eerste schattingen voor de tijden van doorgangen bepalen. Eén manier is om de toename van \( H \) met de tijd te benaderen met eenparige toename. Als we daarvoor \( t_1 \), \( t_2 \), \( H_1 = H(t_1) \) en \( H_2 = H(t_2) \) gebruiken, dan vinden wij

\begin{align} H(t) \| = a t + b \\ a \| = \frac{H_2 - H_1}{t_2 - t_1} \\ b \| = \frac{H_1 t_2 - H_2 t_1}{t_2 - t_1} \end{align}

De doorgangen gebeuren als \( H = 360° k \) waarin \( k \) een heel getal is. Als we \( H(t) = 360° k \) stellen dan vinden we

\begin{align} t \| = c k + d \\ c \| = \frac{360°}{a} = 360° \frac{t_2 - t_1}{H_2 - H_1} \\ d \| = -\frac{b}{a} = -(t_2 - t_1)\frac{H_1 t_2 - H_2 t_1}{H_2 - H_1} \end{align}

Als het tijdsverschil \( t_2 - t_1 \) zo groot is dat je bang bent dat een lineare benadering te veel van het echte uurhoekverloop afwijkt (als het tijdsverschil tenminste zo groot als \( ∆t \) uit tabel 3), dan kun je de lineare benadering om de eerste doorgang in de gewenste periode te vinden (voor \( k = 1 \), dus \( t = c + d = \frac{360° - b}{a} \)), en daarna steeds eerst met behulp van de huidige benadering de echte tijd van de doorgang uitrekenen, en dan daar \( c \) bijtellen om de eerste benadering voor de volgende doorgang te vinden, enzovoorts.

7. Afleiding: van azimut naar uurhoek

7.1. Inleiding

Gegeven de equatoriale coördinaten van een hemellichaam en de geografische coördinaten van de waarnemer, wat is de uurhoek \( H \) waarop dat hemellichaam azimut \( A \) bereikt? Formule \ref{eq:H} kunnen we daarvoor niet gebruiken, want die vereist dat we de hoogte \( h \) van het hemellichaam boven de horizon al weten. Formule \ref{eq:A} bevat alleen zaken die we al wel kennen, dus dat is een betere basis. Die formule was

\begin{equation} A = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ - \tan δ \cos φ) \label{eq:A1} \end{equation}

wat betekent dat \( \sin A \) en \( \sin H \) hetzelfde teken hebben, dus \( \sin(A)\sin(H) ≥ 0 \). Uit vergelijking \ref{eq:A1} volgt

\begin{equation} \tan A = \frac{\sin H}{\cos H \sin φ - \tan δ \cos φ} \label{eq:A2} \end{equation}

We kunnen vergelijking \ref{eq:A2} herschikken tot

\begin{equation} \sin H - \tan A \sin φ \cos H = - \tan A \tan δ \cos φ \label{eq:AtoHprobleem}\end{equation}

7.2. Algemene lineare combinatie van sin en cos

De laatste vergelijking heeft de vorm

\begin{equation} s \sin x + c \cos x = a \end{equation}

waarvan we dan oplossingen voor \( x \) willen weten, gegeven \( s \), \( c \) en \( a \). We substitueren

\begin{align} t \| = \tan\left( \frac{1}{2}x \right) \\ \cos x \| = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \sin x \| = \frac{2t}{1 + t^2} \end{align}

Dan krijgen we

\begin{equation} \frac{2st}{1 + t^2} + \frac{c(1 - t^2)}{1 + t^2} = a \end{equation}

dat te herschikken is tot

\begin{equation} (a + c)t^2 - 2 s t + a - c = 0 \end{equation}

Deze tweedegraadsvergelijking in \( t \) heeft oplossingen

\begin{equation} t = \frac{s ± \sqrt{D}}{a + c} \end{equation}

als \( D ≥ 0 \):

\begin{equation} D = s^2 + c^2 - a^2 \end{equation}

en dan

\begin{equation} x = 2 \arctan t \end{equation}

Echter, \( t = \arctan\left( \frac{1}{2}x \right) \) kan oneindig groot worden, wat wel eens vervelend is. \( \sin(x) \) en \( \cos(x) \) zijn nooit groter dan 1, en daaruit kunnen we \( x \) vinden met behulp van de speciale arctan-functie met twee argumenten.

\begin{align} x \| = \arctan(\sin x, \cos x) \\ \| = \arctan\left( \frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) \end{align}

Omdat \( 1 + t^2 \) altijd positief is mogen we de twee argumenten van de arctan-functie daarmee vermenigvuldigen en verandert de uitkomst dan niet.

\begin{align} x \| = \arctan(2t, 1 - t^2) \\ \| = \arctan\left( 2\frac{s ± \sqrt{D}}{a + c}, 1 - \left( \frac{s ± \sqrt{D}}{a + c} \right)^2 \right) \\ \| = \arctan\left( 2\frac{s ± \sqrt{D}}{a + c}, \frac{(a + c)^2 - \left( s ± \sqrt{D} \right)^2}{(a + c)^2} \right) \end{align}

Nu kan het delen door \( a + c \) nog een probleem zijn, want dat kan gelijk zijn aan 0 en dan krijgen we oneindige resultaten, of zelfs 0/0 wat geen uitkomst heeft. \( (a + c)^2 \) is nooit negatief, dus kunnen we daar weer allebei de argumenten van de arctan-functie mee vermenigvuldigen en veranderen we daarmee de uitkomst niet.

\begin{equation} x = \arctan\left( 2(a + c)\left( s ± \sqrt{D} \right), (a + c)^2 - \left( s ± \sqrt{D} \right)^2 \right) \end{equation}

Nu hebben we geen last meer van oneindige getallen, behalve als \( s \), \( c \) of \( a \) zelf oneindig kunnen worden.

7.3. Toepassing op het probleem

Nu kunnen we vergelijking \ref{eq:AtoHprobleem} oplossen.

\begin{align} x \| = H \\ s \| = 1 \\ c \| = -\tan A \sin φ = -\frac{\sin A \sin φ}{\cos A} \\ a \| = -\tan A \cos φ \tan δ = -\frac{\sin A \cos φ \sin δ}{\cos A \cos δ} \end{align}

De delingen door \( \cos A \) en \( \cos δ \) zijn ongewenst, want die kunnen gelijk zijn aan 0 en dat geeft problemen. Als we \( s \), \( c \) en \( a \) allemaal met dezelfde factor (niet gelijk aan 0) vermenigvuldigen dan blijven de oplossingen \( x \) hetzelfde. Als we ze alledrie vermenigvuldingen met \( \cos A \cos δ \) dan zijn we de delingen kwijt. Dan

\begin{align} x \| = H \\ s \| = \cos A \cos δ \\ c \| = -\sin A \cos δ \sin φ \\ a \| = -\sin A \sin δ \cos φ \end{align}

en dan

\begin{align} D \| = s^2 + c^2 - a^2 = \cos^2(δ) - \sin^2(A)\cos^2(φ) \label{eq:D1} \\ p \| = a + c \\ q_1 \| = s + \sqrt{D} \\ q_2 \| = s - \sqrt{D} \\ f_1 \| = 2pq_1 \\ g_1 \| = p^2 - q_1^2 \\ f_2 \| = 2pq_2 \\ g_2 \| = p^2 - q_2^2 \\ H_1 \| = \arctan( f_1, g_1 ) \\ H_2 \| = \arctan( f_2, g_2 ) \end{align}

Als \( D \gt 0 \) dan vinden we twee oplossingen voor \( H \). Voldoen die ook alletwee aan vergelijking \ref{eq:A1}? Eén manier om daar achter te komen is door ze alletwee in formule \ref{eq:A1} in te vullen en te kijken of er dan een ware bewering staat. Maar we kunnen ook al eerder oplossingen uitsluiten. Het teken van \( \sin H \) moet gelijk zijn aan het teken van \( \sin A \), dus als \( f \sin A \lt 0 \) dan is die \( H \) niet juist.

Laten we alle gevallen aflopen.

Als \( |δ| = 90° \), en \( |φ| = 90° \) of \( \sin A = 0 \), dan is \( s = c = a = 0 \) dus \( D = f = g = 0 \) en dan is \( H \) niet uit te rekenen ― maar dat is terecht want dan staat het hemellichaam altijd op dezelfde plek aan de hemel (in het zenit of het nadir) en niet alleen voor een bepaalde \( H \).

Als \( |φ| \lt |δ| = 90° \) en \( \sin A ≠ 0 \) dan is \( s = c = 0 \) en \( a ≠ 0 \) dus \( D \lt 0 \) dus dan is er geen oplossing. Dat klopt, want als \( |δ| = 90° \) dan staat het hemellichaam in een hemelpool en die heeft altijd \( \sin A = 0 \).

Als \( |φ| ≤ |δ| \lt 90° \), dan draait het hemellichaam rondjes rond de dichtsbijzijnde hemelpool en dan kan het niet bij elke \( A \) staan, maar komt in azimut niet verder dan een bepaalde afstand \( A_x ≤ 90° \) weg van die hemelpool, met

\begin{equation} A_x = \arcsin\left( \frac{\cos^2 δ}{\cos^2 φ} \right) \end{equation}

Voor \( A \) op minder dan \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool geldt \( D \gt 0 \) en dan zijn er twee \( H \) die ook allebei juist zijn. Voor \( A \) op precies \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool geldt \( D = 0 \) en dan is er één \( H \), die dan ook juist is. Voor \( A \) op meer dan \( A_x \) vanaf het azimut van de dichtstbijzijnde hemelpool is \( D \lt 0 \) en dan zijn er geen oplossingen.

Als \( |δ| \lt |φ| \lt 90° \), dan draait het hemellichaam (schuin en misschien ruim) om het zenit en het nadir heen en kan \( A \) elke waarde aannemen. In dat geval is altijd \( D \gt 0 \) dus zijn er twee oplossingen, en is ook \( f_1f_2 \lt 0 \) dus heeft maar één van die twee oplossingen hetzelfde teken als \( \sin(A) \) en is daarmee juist, namelijk die waarvoor \( f\sin(A) \gt 0 \), als \( \sin(A) ≠ 0 \).

\( \sin(A) = 0 \) is een speciaal geval: Als \( \sin A = 0 \) (als het hemellichaam precies in het noorden of precies in het zuiden staat) en \( |δ| \lt 90° \), dan is \( c = a = 0 \), en \( s = \cos(δ) \) (als \( A = 0° \)) of \( s = -\cos(δ) \) (als \( A = 180° \)), dus \( D \gt 0 \) en \( f = 0 \), en \( g = 0 \) of \( g = −2\cos^2(δ) \lt 0 \). \( f = g = 0 \) geeft geen oplossing, dus dan blijft \( g \lt f = 0 \) over, dus \( H = \arctan(0,−1) = 180° \).

Samenvattend, als \( D \lt 0 \) of \( f = g = 0 \) dan is er geen oplossing. Als \( D = 0 \) en niet \( f = g = 0 \) dan is er één oplossing en die is juist. Als \( D \gt 0 \) dan zijn er twee oplossingen en alleen die waarvoor \( f\sin(A) \gt 0 \) of niet \( f = g = 0 \) is juist.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/horizontaal.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19