AstronomieAntwoorden
Het Juliaanse Dagnummer

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

\( \DeclareMathOperator{\trunc}{trunc} \DeclareMathOperator{\Div}{div} \DeclareMathOperator{\gcd}{gcd} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\bdom}{dom} \def\dfloor#1{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \def\dceil#1{\left\lceil #1 \right\rceil} \def\dround#1{\left[ #1 \right]} \def\dparen#1{\left( #1 \right)} \def\dmod#1#2{\left\lfloor #1 \right\rceil_{#2}} \def\ddom#1#2{\left\lceil #1 \right\rfloor_{#2}} \def\dabs#1{\left| #1 \right|} \def\dfloorratio#1#2{\dfloor{\dfrac{#1}{#2}}} \def\dceilratio#1#2{\dceil{\dfrac{#1}{#2}}} \def\mod1ratio#1#2{\left\lfloor \dfrac{#1}{#2} \right\rceil_1} \def\dom1ratio#1#2{\left\lceil \dfrac{#1}{#2} \right\rfloor_1} \def\eqvide#1{\qquad\text{(vide \eqref{#1})}} \def\eqavide#1{\|\text{(vide \eqref{#1})}} \)

In sterrenkundige formules waar de datum in voorkomt is het onhandig om die datum te meten in jaren, maanden, en dagen, vooral ook omdat niet alle jaren evenveel dagen bevatten en ook niet alle maanden evenveel dagen bevatten. Het is veel handiger om de datum te meten als het aantal dagen sinds een vast beginpunt. Het Juliaanse Dagnummer (JDN) of de Juliaanse Dag (JD) en zijn soortgenoten worden hiervoor in de sterrenkunde veel gebruikt. Deze bladzijde legt uit hoe je een datum uit verschillende kalenders naar de Juliaanse Dag kunt vertalen, of andersom.

Het eerste deel van deze bladzijde geeft rekenrecepten voor een paar moderne en historische kalenders. Het tweede deel (vanaf hoofdstuk 15) legt uit hoe ik die recepten afleidde.

Er zijn veel verschillende algoritmen in omloop voor het omrekenen tussen kalenderdata en dagnummers. Het enige dat telt is dat ze voor alle dagnummers en kalenderdata de goede uitkomsten moeten geven. Als er slechts een beperkt aantal invoerwaarden en mogelijke uitkomsten zijn (bijvoorbeeld voor het omrekenen van het dagnummer-in-het-jaar naar een maandnummer en een dagnummer-in-de-maand) dan kun je meestal veel verschillende algoritmen bedenken die allemaal voor die bepaalde invoerwaarden precies de juiste uitkomsten geven (maar misschien heel verschillende uitkomsten voor alle andere invoerwaarden), zelfs al is er helemaal geen logisch verband tussen dat algoritme en de kalender. In zo'n geval is er vaak ook weinig of geen logisch verband tussen het algoritme van dagnummer naar datum en het algoritme van datum naar dagnummer, maar kunnen de algoritmen wel wat korter zijn.

Bij elk algoritme moet je weten voor welke invoerwaarden het ontworpen was. Sommige kalenderalgoritmen werken alleen goed met positieve getallen en geven foute resultaten voor negatieve jaren of dagnummers. De algoritmen die ik hieronder geef zijn ontworpen om voor alle jaren (ook negatieve), alle maanden in elk jaar, alle dagen in elke maand, en alle Juliaanse dagnummers (ook negatieve) goed te werken.

Sommige van de formules drukken een keuze uit: Als aan een bepaalde voorwaarde voldaan is dan moet een bepaalde handeling gedaan worden (bijvoorbeeld ergens een correctie op toepassen), en als aan die voorwaarde niet voldaan is dan moet een andere of helemaal geen handeling gedaan worden. Zulke alternatieve paden zijn prima te gebruiken in handmatige berekeningen, in applicaties die één datum per keer behandelen, en in applicaties die geschreven zijn in een programmeertaal die gecompileerd moet worden voordat het programma uitgevoerd kan worden (bijvoorbeeld geschreven in C of Fortran) maar zijn niet zo handig voor gebruik in applicaties die meerdere datums tegelijk kunnen behandelen (in een rij) en die geschreven zijn in een programmeertaal die direct uitgevoerd wordt (zoals Basic of Perl of IDL), waarvoor het uitvoeren van een als-danopdracht per datum veel trager is dan het uitvoeren van steeds dezelfde vaste berekening per datum voor een rij van datums.

Als de kalenderberekeningen die hieronder staan zulke keuzes bevatten, dan geef ik waar mogelijk een formule die als-danopdrachten omzeilt en daarmee geschikt is voor toepassing op rijen van datums in directe-uitvoerprogrammeertalen. De begeleidende tekst maakt dan duidelijk wat de keuze was waar de formule omheenwerkt.

1. Verschillende soorten dagnummers

Voor sterrenkundige berekeningen die van de tijd afhangen is het handig om een doorlopende tijdschaal te hebben die maar één eenheid gebruikt, en niet drie zoals de meeste kalenders (dagen, maanden, jaren), en die bovendien een vaste tijdzone gebruiken zodat er geen verwarring kan zijn over welk moment nu precies bedoeld wordt.

De IAU heeft hiervoor de Juliaanse Datum (JD) geadopteerd, niet te verwarren met "een datum in de Juliaanse kalender". Er zijn verschillende andere tijdschalen die lijken op JD. De volgende tabel noemt er een aantal.

"Heel" betekent dat die tijdschaal alleen hele getallen gebruikt en alleen hele dagen telt. "Gebroken" betekent dat die tijdschaal ook gebroken getallen gebruikt (met cijfers achter de komma) en tijdstippen aangeeft. De "Begint"-kolom laat zien hoe laat elke volgende kalenderdag begint. 12:00 UTC betekent dat een nieuwe kalenderdag begint op 12:00 universele tijd, dus niet om 12:00 uur lokale tijd ― behalve als je toevallig in een tijdzone bent die UTC aanhoudt. Groot-Brittannië houdt in de winter UTC aan. 00:00 LT betekent dat een nieuwe kalenderdag begint om middernacht lokale tijd. De "Vanaf JD"-kolom toont hoe de andere getallen te berekenen zijn uit JD. Daarin staat "TZ" voor een aanpassing voor de lokale tijdzone; die aanpassing is 0 voor UTC.

In de praktijk worden "gebroken" JDs en CJDs meestal met tenminste één cijfer achter de komma geschreven (zelfs als dat een 0 is), en "hele" JDNs en CJDNs zonder cijfers achter de komma.

Het nulpunt van JD (dus JD 0.0) komt overeen met 12:00 UTC op 1 januari −4712 in de Juliaanse kalender. Het nulpunt van CJD komt overeen met 00:00 lokale tijd op 1 januari −4712. JDN 0 komt overeen met de periode van 12:00 UTC op 1 januari −4712 tot 12:00 UTC op 2 januari −4712. CJDN 0 komt overeen met 1 januari −4712 (de hele dag, in lokale tijd).

Om afrondfouten te voorkomen zijn kalenderberekeningen het beste te doen met alleen hele getallen. Hieronder gebruiken we daarvoor CJDN.

2. Notatie

2.1. Afronding

In de formules die hieronder staan worden veel getallen afgerond naar een heel getal. Het is hierbij belangrijk dat die getallen in de juiste richting worden afgerond. Hele getallen zijn al afgerond, dus die veranderen niet.

De afrondigen die wij hier gebruiken zijn afronding naar beneden naar het dichtsbijzijnde hele getal (voor \( x \) aangegeven als \( \dfloor{x} \)) of naar boven naar het dichtstbijzijnde hele getal (\( \dceil{x} \)). De standaard-afrondfuncties op rekenmachines ronden meestal af naar het dichtstbijzijnde hele getal (dat noteren wij hier als \( \dround{x} \)), en de standaardconversies van een gebroken getal naar een heel getal in computertalen ronden meestal af in de richting van nul (dat noteren wij als \( \trunc(x) \)). Onderstaande tabel toont deze verschillende soorten afronding voor een aantal getallen.

2.2. Modulair rekenen

Als je het hele getal \( y \) deelt door het hele getal \( x \) dan krijg je een quotiënt \( q \) en een rest \( r \). Soms hebben we interesse voor het quotiënt, en soms voor de rest. Wij kiezen ervoor dat de rest nooit negatief is. Dan is \( 0 ≤ r \lt |x| \) en

\begin{align} q \| = \dfloorratio{y}{x} \\ r \| = y \bmod x = \dmod{y}{x} = y − x\dfloorratio{y}{x} \\ y \| = q x + r = \dfloorratio{y}{x} x + \dmod{y}{x} \end{align}

De notaties \( y \bmod x \) en \( \dmod{y}{x} \)betekenen: de niet-negatieve rest die overblijft bij deling van \( y \) door \( x \). Die eerste is een standaardnotatie, maar die tweede heb ik verzonnen.

We vinden

\begin{equation} \frac{y}{x} = \dfloorratio{y}{x} + \dfrac{\dmod{y}{x}}{x} \end{equation}

en als \( x = 1 \) dan

\begin{equation} y = \dfloor{y} + \dmod{y}{1} \end{equation}

De notatie \( x ≡ y \pmod{n} \) betekent dat \( x \) en \( y \) een veelvoud van \( n \) verschillen. Men zegt dan dat \( x \) en \( y \) congruent zijn modulo \( n \), en noemt \( n \) de modulus. De vergelijking \( x ≡ y \pmod{n} \) heet een congruentie.

Modulair rekenen is rekenen waarbij alle berekeningen modulo een vaste \( n \) zijn. Dat betekent dat je van alle termen en factoren willekeurige veelvouden van de modulus mag aftrekken zonder de congruentie te veranderen. Als \( x ≡ y \pmod{n} \) en \( p \) is een heel getal, dan is ook \( x + pn ≡ y \pmod{n} \), en \( px ≡ py \pmod{n} \), en ook \( px ≡ py \pmod{pn} \).

Let op het verschil in notatie: \( z = x \bmod y \) betekent dat \( z \) gelijk is aan de rest bij deling van \( x \) door \( y \), en \( z ≡ x \pmod{y} \) betekent dat \( z \) gelijk is aan \( x \) afgezien van een willekeurig veelvoud van \( y \). Als \( z = x \bmod y \) dan is ook \( z ≡ x \pmod{y} \), maar andersom hoeft dat niet zo te zijn.

2.3. Delen

De notatie \( \Div(x, y) \) bekent: deel \( x \) door \( y \) en geef het quotiënt \( q \) en de rest \( r \) van de deling terug, waarbij de rest niet-negatief en qua grootte kleiner is dan \( y \), dus \( 0 ≤ r \lt \dabs{y} \):

\begin{align} \{ q, r \} \| = \Div(x, y) \\ x \| = q y + r \\ q \| = \dfloorratio{x}{y} \\ r \| = \dmod{x}{y} \end{align}

3. Geldigheid

Onderstaande kalenderformules zijn wiskundig exact, maar als je ze gebruikt in een computerprogramma dat rekent met getallen die een vaste geheugenruimte innemen (zoals 32-bitsgetallen of 64-bitsgetallen) dan is de tijdperiode waarvoor die formules in zo'n computerprogramma de juiste resultaten geven beperkt. Met 32-bitsgetallen kun je hooguit \( W = 2^{32} = 4294967296 \) verschillende dagnummers onderscheiden, wat overeenkomt met pakweg 11,8 miljoen jaar. Dat is ruim genoeg voor praktisch gebruik, maar er is een probleem waardoor veel kalenders die limiet niet halen.

Veel van de kalenderberekeningen zijn van de vorm

\begin{equation} y = \dfloorratio{f x + t}{g} \end{equation}

met hele getallen \( f \gt 1 \) en \( g \gt 0 \). Daarvoor is het tussenresultaat \( f x + t \) bijna altijd groter dan \( x \) en ook dan het eindresultaat \( y \). Dat tussenresultaat moet in de \( W \) unieke waarden passen, wat betekent dat \( x \) hooguit \( W/f \) unieke waarden kan hebben, wat (veel) kleiner is dan \( W \). Er is hieronder een kalender waarvoor een van de berekeningen \( f = 765433 \) heeft. Dan kan \( x \) als je 32-bitsgetallen gebruikt maar \( 2^{32}/765433 = 5611 \) unieke waarden hebben. Het gaat daar om maanden, en 5611 maanden is ongeveer 450 jaar, dus met 32-bitsgetallen kan die kalender dan maar 450 jaar aan, als je die formule programmeert precies zoals hierboven geschreven. Dat is veel te weinig voor praktisch gebruik.

In zo'n geval kun je twee dingen doen:

1. Reken met een omweg die meer rekenstappen neemt maar wel wiskundig gelijkwaardig is aan de simpele formule en die (zo mogelijk) het bereik uitbreidt tot de 11,8 miljoen jaar die het hoogst haalbare is voor berekeningen met 32-bitsgetallen.

2. Reken met 64-bitsgetallen in plaats van 32-bitsgetallen. Ook voor 64-bitsgetallen geldt dat met bovenstaande formule \( x \) maar \( W/f \) unieke waarden kan hebben, maar voor een 64-bitsgetal is \( W \) groter dan voor een 32-bitsgetal met een factor \( 2^{32} \) dus ongeveer 4 miljard. Voor die moeilijke kalender waarvoor je met 32-bitsgetallen maar een periode van 450 jaar aankan kun je met 64-bitsgetallen ongeveer 450×4 miljard dus pakweg 1800 miljard jaar aan, en dat is ruim 100 maal langer dan de huidige leeftijd van het Heelal. In de praktijk is er met 64-bitsgetallen dus geen limiet. En het rekenen met de simpele formules met 64-bitsgetallen kan ook nog minder rekentijd nemen dan het rekenen met een omweg met 32-bitsgetallen.

Hieronder geef ik voor elke kalender een schatting van de periode waarvoor die met 32-bitsgetallen bruikbaar is. (Voor mijn rekenomgeving is die periode exact, maar heel misschien is die voor de jouwe anders.) Als die periode minder dan 7,5 miljoen dagen omvat (ongeveer 20'500 jaar) dan geef ik omwegformules die het bereik zoveel mogelijk vergroten. Hoofdstuk 16 geeft omwegformules voor alle kalenders waarvoor ze het bereik vergroten.

4. De Gregoriaanse kalender

De Gregoriaanse kalender is de opvolger van de Juliaanse kalender. De Gregoriaanse kalender is in verschillende landen op verschillende dagen ingevoerd. De eerste landen deden dat op 15 oktober 1582 (in de Gregoriaanse kalender), die overeenkomt met CJDN 2299161.

Als je rekent met 32-bitsgetallen dan werken onderstaande algoritmen voor datums vanaf Gregoriaans jaar −1'469'899 tot en met Gregoriaans jaar 1'469'901. Zie hoofdstuk 16.2 voor meer details en alternatieve algoritmen, inclusief een manier om het bruikbare bereik van onderstaande algoritmen te vergroten tot het voor 32-bitsgetallen maximum van ongeveer 11 miljoen jaar.

4.1. Van Gregoriaanse datum naar CJDN

Een algoritme om van een Gregoriaanse datum (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar CJDN \( J \) is:

\begin{align} \{ a_1, m_1 \} \| = \Div(m − 3, 12) \\ \{ c_1, a_2 \} \| = \Div(a + a_1, 100) \\ J \| = \dfloorratio{146097 c_1}{4} + \dfloorratio{36525 a_2}{100} \notag \\ \| + \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

4.2. Van CJDN naar Gregoriaanse datum

Het algoritme om van een CJDN \( J \) om te rekenen naar een Gregoriaanse datum (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) is:

\begin{align} \{ c_1, ε_1 \} \| = \Div(4 J − 6884477, 146097) \\ \{ a_1, ε_2 \} \| = \Div\dparen{100 \dfloorratio{ε_1}{4} + 99, 36525} \\ \{ m_1, ε_3 \} \| = \Div\dparen{5 \dfloorratio{ε_2}{100} + 2, 153} \\ \{ a_2, m_2 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ a \| = 100 c_1 + a_1 + a_2 \\ m \| = m_2 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ε_3}{5} + 1 \end{align}

5. De Milanković-kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar voor Milanković-jaren −653'199 tot en met 653'289.

Zie hoofdstuk 16.3 voor de afleiding van onderstaande formules, en voor hoe je het bruikbare bereik van de formules kunt uitbreiden tot (voor 32-bitsgetallen) de maximale 11,8 miljoen jaar.

5.1. Van Milanković-datum naar CJDN

Sommige Oosters-Orthodoxe kerken gebruiken een kalender uitgevonden door Milutin Milanković, die alleen afwijkt van de Gregoriaanse kalender in de schrikkelregels voor eeuwjaren. Een algoritme om van een datum in de Milanković-kalender (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{align} \{ a_1, m_1 \} \| = \Div(m ― 3, 12) \\ \{ c_1, a_2 \} \| = \Div(a + a_1, 100) \\ J \| = \dfloorratio{328718 c_1 + 6}{9} + \dfloorratio{36525 a_2}{100} \notag \\ \| + \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

5.2. Van CJDN naar Milanković-datum

Een algoritme om CJDN \( J \) om te rekenen naar jaar \( a \), maand \( m \), dag \( d \) in de Milanković-kalender is:

\begin{align} \{ c_1, ε_1 \} \| = \Div(9 J − 15490078, 328718) \\ \{ a_1, ε_2 \} \| = \Div\dparen{100 \dfloorratio{ε_1}{4} + 99, 36525} \\ \{ m_1, ε_3 \} \| = \Div\dparen{5 \dfloorratio{ε_2}{100} + 2, 153} \\ \{ a_2, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ a \| = 100 c_1 + a_1 + a_2 \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ε_3}{5} + 1 \end{align}

6. De Herschel-kalender

De Engelse geleerde John Herschel (1792 - 1871) heeft een aanpassing van de Gregoriaanse kalender voorgesteld om die wat beter de gemiddelde lengte van het zonnejaar te laten volgen. Zijn idee was om de regels voor schrikkeljaren uit te breiden met de regel dat een jaar toch geen schrikkeljaar is (en februari dus 28 dagen bevat) als het jaartal deelbaar is door 4000. Daarmee zijn de regels voor schrikkeljaren:

1. alleen als het jaartal deelbaar is door 4

2. maar toch niet als het jaartal deelbaar is door 100

3. maar toch wel als het jaartal deelbaar is door 400

4. maar toch niet als het jaartal deelbaar is door 4000.

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar voor Herschel-jaren −587'599 tot en met 587'960.

Zie hoofdstuk 16.4 voor de afleiding van de volgende formules, en voor hoe je het bruikbare bereik van die formules kunt vergroten tot het maximum (voor 32-bitsgetallen) van 11,8 miljoen jaar.

6.1. Van Herschel-datum naar CJDN

De berekeningen zijn als volgt, van jaar \( a \), maand \( m \), en dag \( d \) in de Herschel-kalender naar CJDN \( J \):

\begin{align} \{ α_1, m_1 \} \| = \Div(m − 3, 12) \\ \{ c_1, a_2 \} \| = \Div(a + α_1, 100) \\ \{ c_2, c_3 \} \| = \Div(c_1, 4) \\ J \| = \dfloorratio{1460969 c_2 + 9}{10} + \dfloorratio{146097 c_3}{4} + \dfloorratio{36525 a_2}{100} \notag \\ \| + \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d + 1721119 \end{align}

6.2. Van CJDN naar Herschel-datum

In de omgekeerde richting gaan de berekeningen als volgt:

\begin{align} \{ c_2, ε_1 \} \| = \Div(10 J − 17211200, 1460969) \\ \{ c_3, ε_2 \} \| = \Div\dparen{4 \dfloorratio{ε_1}{10} + 3, 146097} \\ \{ a_2, ε_3 \} \| = \Div\dparen{100 \dfloorratio{ε_2}{4} + 99, 36525} \\ \{ m_1, ε_4 \} \| = \Div\dparen{5 \dfloorratio{ε_3}{100} + 2, 153} \\ \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ a \| = 400 c_2 + 100 c_3 + a_2 + α_1 \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ε_4}{5} + 1 \end{align}

7. De Juliaanse kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar voor Juliaanse jaren −1'469'871 tot en met 1'469'871.

Zie hoofdstuk 16.1.1 voor de afleiding van dit algoritme, en voor hoe je het bruikbare bereik van de formules kunt uitbreiden tot (voor 32-bitsgetallen) de maximale 11,8 miljoen jaar.

7.1. Van Juliaanse datum naar CJDN

Het algoritme om van een Juliaanse datum (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{align} \{ α_1, m_1 \} \| = \Div(m ― 3, 12) \\ J \| = \dfloorratio{1461(a + α_1)}{4} + \dfloorratio{153 m_1 + 2}{5} + d + 1721117 \end{align}

7.2. Van CJDN naar Juliaanse datum

Het algoritme om een CJDN \( J \) om te rekenen naar een Juliaanse datum (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) is:

\begin{align} \{ a_1, ε_1 \} \| = \Div(4 J − 6884469, 1461) \\ \{ m_1, ε_2 \} \| = \Div\dparen{5 \dfloorratio{ε_1}{4} + 2, 153} \\ \{ α_1, m_0 \} \| = \Div(m_1 + 2, 12) \\ a \| = a_1 + α_1 \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ε_2}{5} + 1 \end{align}

8. De Islamitische kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar van Islamitisch jaar −202'000 tot en met 202'001.

Zie hoofdstuk 16.9 voor de afleiding van dit algoritme, en voor hoe je het bruikbare bereik van de formules kunt uitbreiden tot (voor 32-bitsgetallen) de maximale 11,8 miljoen jaar.

8.1. Van Islamitische datum naar CJDN

De religieuze Islamitische kalender hangt af van waarnemingen en is daarom niet te vangen in formules. De administratieve kalender heeft vaste regels en is wel te beschrijven door formules. Het verschil tussen de religieuze en administratieve kalenders zou meestal hooguit 1 dag moeten zijn.

Het CJDN kan als volgt uit het jaarnummer \( a \), maandnummer \( m \), en dagnummer \( d \) in de meestgebruikte administratieve Islamitische kalender worden afgeleid (onder meer gebruikt door al-Fazārī, al-Khwārizmī en al-Battānī en ook in de Toledo- en Alfonsijnse Tafels):

\begin{equation} J = \dfloorratio{10631 a − 10617}{30} + \dfloorratio{325 m − 320}{11} + d + 1948439 \end{equation}

8.2. Van CJDN naar Islamitische datum

De volgende formules berekenen het jaartal \( a \), maandnummer \( m \), en dagnummer \( d \) in de meestgebruikte administratieve Islamitische kalender uit het CJDN \( J \):

\begin{align} \{ a, ε_1 \} \| = \Div(30 J − 58442554, 10631) \\ \{ m, ε_2 \} \| = \Div\dparen{11\dfloorratio{ε_1}{30} + 330, 325} \\ d \| = \dfloorratio{ε_2}{11} + 1 \end{align}

9. De Babylonische kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar van Babylonisch jaar −25'018 tot en met 25'017.

Zie hoofdstuk 16.6 voor de afleiding van dit algoritme, en voor hoe je het bruikbare bereik van de formules kunt uitbreiden tot (voor 32-bitsgetallen) de maximale 11,8 miljoen jaar.

9.1. Van Babylonische datum naar CJDN

De Babyloniërs hadden een zongebonden maankalender waarin de lengte van de maand bepaald werd uit waarnemingen, maar het aantal maanden per jaar elke 19 jaar een vast patroon volgde. Onderstaande formules voor een administratieve Babylonische kalender gebruiken datzelfde patroon van 19 jaar, en zouden meestal hooguit een dag moeten afwijken van de door waarnemingen bepaalde kalender die de Babyloniërs gebruikten.

Als \( a \) het jaartal is volgens de era van Seleukos, en \( m \) het maandnummer (beginnend bij 1) in het jaar, en \( d \) het dagnummer (beginnend bij 1) in de maand, dan vind je het CJDN \( J \) uit

\begin{equation} J = \dfloorratio{6940\dparen{\dfloorratio{235 a + 13}{19} + m − 1}}{235} + d + 1607174 \end{equation}

9.2. Van CJDN naar Babylonische datum

Van CJDN \( J \) gaan we als volgt naar Babylonische jaar \( a \), maand \( m \), en dag \( d \):

\begin{align} \{ m_1, ε_1 \} \| = \Div(235 J − 377685891, 6940) \\ \{ a, ε_2 \} \| = \Div(19 m_1 + 5, 235) \\ m \| = \dfloorratio{ε_2}{19} + 1 \\ d \| = \dfloorratio{ε_1}{235} + 1 \end{align}

10. De Joodse kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules zonder aanpassing slechts bruikbaar voor joodse jaren −223 tot en met 226 (tussen ergens in juliaans jaar −3985 en ergens in juliaans jaar −3534). Buiten dat interval zul je foute resultaten vinden, en de moderne tijd valt buiten dat interval. Daarom wordt hieronder waar nodig een omweg genoemd waarmee berekeningen met 32-bitsgetallen de juiste uitkomsten geven voor bijna 12 miljoen jaar rond nu. Voor berekeningen met 64-bitsgetallen is die omweg in de praktijk niet nodig.

Zie hoofdstuk 16.7 voor de afleiding van dit algoritme.

10.1. Van Joodse datum naar CJDN

De Joodse kalender is een zongebonden maankalender met ingewikkelde regels, en de kalender herhaalt zich pas na 251.827.457 dagen = 35.975.351 weken = 8.527.680 maanden = 689.472 jaren. Het algoritme om van een Joodse datum om te rekenen naar CJDN is daarom lang, en er komen hele grote tussenresultaten in voor.

In de Joodse kalender heeft een jaar 12 of 13 maanden en een maand heeft 29 of 30 dagen. Nieuwjaar is de eerste dag van de 7e maand, tisjrie. In een jaar van 12 maanden zijn de maanden: 1 = niesan (נִיסָן‎), 2 = ijar (אִיָּר / אייר‎), 3 = siewan (סִיוָן / סיוון‎), 4 = tammoez (תַּמּוּז‎), 5 = aaw (אָב‎), 6 = elloel (אֱלוּל‎), 7 = tisjrie (תִּשׁרִי‎), 8 = chesjwan (מַרְחֶשְׁוָן / מרחשוון‎), 9 = kisleew (כִּסְלֵו / כסליו‎), 10 = teweet (טֵבֵת‎), 11 = sjewat (שְׁבָט‎), 12 = adar (אֲדָר‎). In een jaar van 13 maanden wordt een embolistische maand adar Ⅰ (‎אֲדָר א׳) ingevoegd tussen sjewat en gewone adar, en die gewone adar wordt dan tijdelijk hernoemd tot adar Ⅱ (אֲדָר ב׳‎). In zo'n jaar rekenen we de embolistische maand adar Ⅰ als maand nummer 12, en adar Ⅱ als maand nummer 13.

Een algoritme om om te rekenen van kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \) (van 1 tot 12 of 13) en kalenderdag \( d \) (van 1 tot 29 of 30) naar CJDN is als volgt.

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen is een omweg nodig voor \( δ_3 \) en \( δ_5 \), zie verderop.

\begin{align} m_1 \| = m − 7 \\ a_1 \| = a − \dfloorratio{m_1}{10} \\ δ_3(a_1) \| = \dfloorratio{765433 \dfloorratio{235 a_1 − 234}{19} + 12084}{25920} \\ δ_5(a_1) \| = δ_3(a_1) + \dmod{\dfloorratio{6 δ_3(a_1)}{7}}{2} \\ L_2(a_1) \| = δ_5(a_1 + 1) − δ_5(a_1) \\ d_1(a_1) \| = δ_5(a_1) + 2\dmod{\dfloorratio{L_2(a_1) + 19}{15}}{2} + \dmod{\dfloorratio{L_2(a_1 − 1) + 7}{15}}{2} \\ L \| = d_1(a_1 + 1) − d_1(a_1) \\ d_2 \| = d_1(a_1) + \dfloorratio{384 m_1 + 10}{13} + \dmod{\dfloorratio{L + 1}{2}}{3} \dfloorratio{m_1 + 10}{12} \notag \\ \| − \dmod{\dfloorratio{385 − L}{2}}{3} \dfloorratio{m_1 + 9}{12} \\ J \| = d_2 + d + 347997 \end{align}

Bovenstaande formules zijn deels een samenvatting: Om \( L \) uit te rekenen heb je \( d_1(a_1 )\) en \( d_1(a_1 + 1) \) nodig, en om die uit te rekenen heb je \( L_2(a_1 − 1) \), \( L_2(a_1) \) en \( L_2(a_1 + 1) \) nodig, en om die uit te rekenen heb je \( δ_5(a_1 − 1) \), \( δ_5(a_1) \), \( δ_5(a_1 + 1) \) en \( δ_5(a_1 + 2) \), en voor elke \( δ_5 \) de bijbehorende \( δ_3 \).

De berekening van \( d_2 \) zou samengevoegd kunnen worden met die van \( J \), maar het is handig om \( d_2 \) apart te kunnen berekenen omdat dat nodig is voor kalenderberekeningen de andere kant op, van CJDN naar datum.

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn omwegen nodig voor \( δ_3 \) en \( δ_5 \) omdat anders tussenresultaten zo groot worden dat het geen 32-bitsgetallen kunnen zijn. Zonder die omwegen krijg je alleen juiste resultaten voor een periode van ongeveer 450 jaar lang rond het joodse jaar 1, ongeveer het juliaanse jaar −3759.

Gebruik voor \( δ_3 \)

\begin{align} m_2 \| = \dfloorratio{235 a_1 − 234}{19} \\ \{ ω_4, μ_2 \} \| = \Div(m_2, 25920) \\ δ_3 \| = 29 m_2 + 13753 ω_4 + \dfloorratio{13753 μ_2 + 12084}{25920} \end{align}

in plaats van

\begin{equation} δ_3 = \dfloorratio{765433 \dfloorratio{235 a_1 − 234}{19} + 12084}{25920} \end{equation}

en gebruik voor \( δ_5 \)

\begin{equation} δ_5 = δ_3 + \dmod{\dfloorratio{6\dmod{δ_3}{7}}{7}}{2} \end{equation}

in plaats van

\begin{equation} δ_5 = δ_3 + \dmod{\dfloorratio{6 δ_3}{7}}{2} \end{equation}

10.2. Van CJDN naar Joodse datum

Van CJDN \( J \) gaan we als volgt naar Joods jaar \( j \), maand \( m \) en dag \( d \).

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen is een omweg nodig. Zie verderop.

\begin{align} s \| = J − 347998 \\ μ_3 \| = \dfloorratio{25920 s + 779268}{765433} \\ \{ α_3, ε_3 \} \| = \Div(19 μ_3 + 366, 235) \\ μ_4 \| = \dfloorratio{ε_3}{19} − 6 \\ δ_{14} \| = s − d_2(α_3, μ_4) \\ μ_5 \| = μ_3 + \dfloorratio{δ_{14}}{64} \\ \{ α_4, ε_4 \} \| = \Div(19 μ_5 + 366, 235) \\ μ_6 \| = \dfloorratio{ε_4}{19} − 6 \\ δ_{15} \| = s − d_2(α_4, μ_6) \\ μ_7 \| = μ_5 + \dfloorratio{δ_{15}}{64} \\ \{ a_1, ε_5 \} \| = \Div(19 μ_7 + 366, 235) \\ m_1 \| = \dfloorratio{ε_5}{19} − 6 \\ d_0 \| = s − d_2(a_1, m_0) \\ a \| = a_1 + \dfloorratio{m_1}{10} \\ m \| = m_1 + 7 \\ d \| = d_0 + 1 \end{align}

waarbij \( d_2 \) berekend wordt zoals in het vorige hoofdstuk (formule \eqref{eq:jewishd2}).

Als je 32-bitsgetallen gebruikt dan heb je een omweg nodig voor de berekening van \( μ_3 \) want anders worden sommige tussenresultaten te groot om een 32-bitsgetal te zijn. Zonder die omweg krijg je alleen de juiste antwoorden voor een periode van ongeveer 450 jaar rond het joodse jaar 1, wat ongeveer overeenkomt met het juliaanse jaar −3759.

Gebruik voor \( μ_3 \)

\begin{align} \{ ω_1, ε_1 \} \| = \Div(s, 33783) \\ μ_3 \| = 1144 ω_1 + \dfloorratio{8 ω_1 + 25920 ε_1 + 13835}{765433} + 1 \end{align}

in plaats van

\begin{equation} μ_3 = \dfloorratio{25920 s + 779268}{765433} \end{equation}

11. De Egyptische Kalender

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules te gebruiken van egyptisch jaar −5'883'516 tot en met 5'879'547.

Zie hoofdstuk 16.5 voor de afleiding van dit algoritme.

De oude Egyptenaren hadden een wel heel simpele kalender, zonder schrikkeljaren en met 30 dagen in elke maand behalve dat de laatste maand 5 dagen had. In de kalender volgens de era van Nabonassar was de eerste dag (1 Thoth van jaar 1) gelijk aan 26 februari −746 in de Juliaanse kalender.

11.1. Van Egyptische datum naar CJDN

Het algoritme om van een Egyptische datum (kalenderjaar \( a \), kalendermaand \( m \), kalenderdag \( d \)) om te rekenen naar het CJDN \( J \) is:

\begin{equation} J = 365 a + 30 m + d + 1448242 \end{equation}

11.2. Van CJDN naar Egyptische datum

In omgekeerde richting zijn de berekeningen ook eenvoudig.

\begin{align} \{ a, d_1 \} \| = \Div(J − 1448273, 365) \\ \{ m_0, d_0 \} \| = \Div(d_1, 30) \\ m \| = m_0 + 1 \\ d \| = d_0 + 1 \end{align}

12. De Mayakalender

12.1. Van Mayakalender naar CJDN

De Maya uit Anahuac (Midden-Amerika) gebruikten drie verschillende kalenders, waarvan er twee (de Tzolkin en de Haab) periodiek waren met vrij korte perioden, en de derde (de Lange Telling) misschien ook wel als periodiek bedoeld was maar die zulke lange perioden heeft dat hij in de praktijk als doorlopend (in plaats van periodiek) kan worden beschouwd.

Verschillende gebieden in Midden-Amerika hadden iets verschillende versies van deze kalenders, met andere namen voor dagen en maanden, andere manieren om jaren aan te geven, en soms telde men dagen vanaf dag 0 in plaats van vanaf dag 1. Hieronder geven we de kalenders van de stad Tikal.

12.1.1. Van de Haab naar CJDN

De Haab heeft een dagnummer en een maand, maar geen jaarnummer. Er zijn 18 maanden van 20 dagen, plus een 19e maand van 5 dagen, en dat is samen 365 dagen, en dat noemen we het Haab-jaar. Er zijn geen schrikkeldagen. De maanden hebben een naam, en de dagen hebben een nummer dat begint bij 0.

Wij schrijven een datum in de Haab als \( \{ h_d, h_m \} \) waarin \( h_d \) het dagnummer is (van 0 tot 19) en \( h_m \) het maandnummer (van 1 tot 19).

Er zit geen jaarnummer in de Haab dus komt een gegeven Haab-datum \( \{ h_d, h_m \} \) elke 365 dagen weer terug. We moeten daarom extra informatie gebruiken om de goede te kiezen. We kunnen als volgt de laatste CJDN \( J \) vinden die overeenkomt met deze Haab-datum op of voor een bepaalde CJDN \( J_0 \):

\begin{align} H \| = h_d + 20 (h_m − 1) \\ J \| = J_0 − \dmod{J_0 − H + 65}{365} \end{align}

12.1.2. Van de Tzolkin naar CJDN

De Tzolkin heeft een periode van 20 dagen (de venteina) met een naam voor elke dag, en een periode van 13 dagen (de trecena) met een nummer voor elke dag (te beginnen bij 1).

Wij schrijven een datum in de Tzolkin als \( \{ t_t, t_v \} \), waarin \( t_t \) het dagnummer in de trecena is (van 1 tot 13) en \( t_v \) het dagnummer in de venteina (van 1 tot 20).

De trecena en venteina lopen allebei tegelijk op, dus na dag \( \{ 2, 7 \} \) komt dag \( \{ 3, 8 \} \) en dan \( \{ 4, 9 \} \), enzovoort. Omdat 13 en 20 relatief priem zijn komen alle mogelijke combinaties van venteina en trecena voor in deze kalender, dus na 13×20 = 260 dagen herhalen de datums zich weer.

Er zit geen jaarnummer in de Tzolkin dus komt een gegeven Tzolkin-datum elke 260 dagen weer terug. We vinden als volgt de laatste CJDN \( J \) die overeenkomt met Tzolkin-datum \( \{ t_t, t_v \} \) op of voor een bepaalde CJDN \( J_0 \):

\begin{equation} J = J_0 − \dmod{J_0 − 40 t_t + 39 t_v + 97}{260} \end{equation}

Voor het aantal dagen \( T \) sinds de laatste \( \{ 1, 1 \} \) geldt

\begin{equation} T = \dmod{40 t_t + 221 t_v − 1}{260} \end{equation}

12.1.3. Van Tzolkin en Haab naar CJDN

Soms wordt een datum aangegeven met Tzolkin en Haab. De CJDN \( J \) van de laatste Tzolkin/Haab-datum \( \{ h_d, h_m, t_t, t_v \} \) op of voor CJDN \( J_0 \) is:

\begin{align} H \| = \dmod{h_d + 20 (h_m − 1)}{365} \\ T \| = \dmod{40t_t + 221 t_v − 1}{260} \\ J \| = J_0 − \dmod{J_0 − 365 T + 364 H − 7600}{18980} \end{align}

De Tzolkin en Haab hebben samen een periode van 18980 dagen, ofwel ongeveer 52 jaar.

Pas op! Niet alle mogelijke combinaties van \( \{ h_d, h_m, t_t, t_v \} \) komen voor in de kalender. Je kunt in voorgaande formules elke combinatie invullen, maar er komen alleen nuttige resultaten uit voor combinaties die ook echt in de kalender voorkomen. Dat zijn combinaties waarvoor \( H − T ≡ 4 \pmod{5} \).

12.1.4. Van de Lange Telling naar CJDN

De Lange Telling telt dagen en heeft een serie steeds langere perioden. De kleinste is 20 dagen, de volgende is 18 keer zo lang (dus 360 dagen), en daarna is elke volgende periode steeds 20 keer zo lang als de vorige. Het getal voor elke periode begint bij 0. Vaak zijn datums in de Lange Telling gegeven met vijf getallen, maar nog langere perioden zijn bekend, tot het negende getal toe. De langst bekende periode komt overeen met ongeveer 63 miljoen jaar. Hieronder gaan we er van uit dat de Lange Telling vijf getallen bevat, en kan het vijfde getal willekeurig groot worden.

De begindatum 0.0.0.0.0 van de Lange Telling komt waarschijnlijk overeen met CJDN \( J_0 = 584283 \) (6 september −3113 in de Juliaanse kalender).

Het omrekenen van Lange Telling naar CJDN gaat als volgt:

\begin{align} J \| = l_1 + 20×(l_2 + 18×(l_3 + 20×(l_4 + 20×l_5))) + J_0 \notag \\ \| = l_1 + 20×l_2 + 360×l_3 + 7200×l_4 + 144000×l_5 + 584283 \end{align}

12.2. Van CJDN naar Mayakalender

12.2.1. Van CJDN nar de Haab

Een CJDN \( J \) omrekenen naar een Haab-datum \( \{ h_d, h_m \} \) gaat als volgt:

\begin{align} H \| = \dmod{J + 65}{365} \\ h_m \| = \dfloorratio{H}{20} + 1 \\ h_d \| = \dmod{H}{20} \end{align}

\( H \) is het aantal dagen sinds het begin van het huidige Haab-jaar (met \( H = 0 \) voor de eerste dag van het Haab-jaar).

12.2.2. Van CJDN naar de Tzolkin

We rekenen CJDN \( J \) als volgt om naar een Tzolkin-datum \( \{ t_t, t_v \} \):

\begin{align} t_t \| = \dmod{J + 5}{13} + 1 \label{eq:trecena} \\ t_v \| = \dmod{J + 16}{20} + 1 \label{eq:venteina} \end{align}

12.2.3. Van CJDN naar de Lange Telling

Het omrekenen van CJDN \( J \) naar Lange Telling \( L ≡ l_5.l_4.l_3.l_2.l_1 \) gaat dan als volgt:

\begin{align} \{ l_5, ε_5 \} \| = \Div(J − 584283, 144000) \\ \{ l_4, ε_4 \} \| = \Div(ε_5, 7200) \\ \{ l_3, ε_3 \} \| = \Div(ε_4, 360) \\ \{ l_2, l_1 \} \| = \Div(ε_3, 20) \end{align}

13. Een zongebonden maankalender met veel vaste maandlengtes

Ik heb een zongebonden maankalender ontworpen waarin bijna alle maanden elk jaar hetzelfde aantal dagen hebben. De kalender volgt de seizoenen met behulp van de cyclus van Meton, die 19 jaar duurt. Elk jaar bevat 12 of 13 maanden. De "kortste" jaren van 12 maanden bevatten 354 dagen. De "korte" jaren van 12 maanden bevatten 355 dagen. De "lange" jaren van 13 maanden hebben allemaal 384 dagen. De jaarlengtes zijn:

Dit zijn samen 235 maanden (125 lang, 110 kort) en 6940 dagen in de cyclus van 19 jaar.

Alle oneven maanden (behalve de 13e) zijn 30 dagen lang, en alle even maanden zijn 29 dagen lang, behalve dat in korte en lange jaren (van 355 of 384 dagen) de 12e maand 30 dagen heeft in plaats van 29.

Ik heb deze kalender aan de Gregoriaanse kalender gekoppeld zodat

1. het kalenderjaar in deze kalender ongeveer overeenkomt met het Gregoriaanse kalenderjaar, dus bijvoorbeeld jaar 2022 in deze kalender is ongeveer gelijk aan jaar 2022 in de Gregoriaanse kalender.

2. gemiddeld elke maand in deze kalender begint op nieuwe maan.

3. het kalenderjaar in deze kalender gemiddeld begint op de noordelijke zonnewende (21 december in de Gregoriaanse kalender).

4. deze kalender de maanstanden en seizoenen in de 20e en 21e eeuw zo goed mogelijk volgt. Deze kalender is gebaseerd op de Cyclus van Meton en zal, net als elke kalender die op een vaste cyclus is gebaseerd, in de loop van de tijd steeds meer uit de pas lopen met de maanstanden en seizoenen.

Voor berekeningen met 32-bitsgetallen zijn onderstaande formules bruikbaar van kalenderjaar −309'435 tot en met 309'434.

Zie hoofdstuk 16.8 voor de afleiding van deze formules, en voor hoe je het bruikbare bereik van de formules kunt uitbreiden tot (voor 32-bitsgetallen) de maximale 11,8 miljoen jaar.

13.1. Van maankalender naar CJDN

Gegeven jaar \( a \), maand \( m \), en dag \( d \) in deze maankalender kan CJDN \( J \) berekend worden als volgt:

\begin{equation} J = 354 a + 30\dfloorratio{7 a + 2}{19} + \dfloorratio{4 a + 18}{19} + \dfloorratio{384 m − 377}{13} + d + 1721018 \end{equation}

13.2. Van CJDN naar maankalender

Gegeven CJDN \( J \) zijn jaar \( a \), maand \( m \) en dag \( d \) in deze maankalender te berekenen uit

\begin{align} s \| = J − 1721019 \\ α_1 \| = \dfloorratio{19 s + 511}{6940} \\ δ_1 \| = s − 354 α_1 − 30 \dfloorratio{7 α_1 + 2}{19} − \dfloorratio{4 α_1 + 18}{19} \\ a \| = α_1 + \dfloorratio{δ_1}{385} \\ d_1 \| = s − 354 a − 30 \dfloorratio{7 a + 2}{19} − \dfloorratio{4 a + 18}{19} \\ \{ m, ε_1 \} \| = \Div(13 d_1 + 389, 384) \\ d \| = \dfloorratio{ε_1}{13} + 1 \end{align}

14. De Chinese Kalender

De Chinese kalender is een lunisolaire kalender. De datum van het Chinese Nieuwjaar hangt af van de positie van de Zon en de Maan, maar een preciese manier om die posities uit te rekenen is niet vastgelegd. Hieronder beschrijf ik een paar aspecten van de Chinese kalender.

14.1. Het jaar van de aap

In de traditionele Chinese kalender heeft elk jaar een naam uit een kringloop van 10 "hemelse stammen" en een naam uit een kringloop van 12 "aardse takken". Voor elk volgende jaar gaan zowel de hemelse stam als de aardse tak één omhoog. De (onvertaalbare) hemelse stammen zijn 1. jiǎ, 2. yǐ, 3. bǐng, 4. dīng, 5. wù, 6. jǐ, 7. gēng, 8. xīn, 9. rén, 10. guǐ. De aardse takken zijn 1. zǐ (rat), 2. chǒu (os), 3. yín (tijger), 4. mǎo (konijn), 5. chén (draak), 6. sì (slang), 7. wǔ (paard), 8. wèi (geit), 9. shēn (aap), 10. yǒu (haan), 11. xū (hond), 12. hài (varken).

De hemelse stam \( s \) (van 1 tot 10) en aardse tak \( b \) (van 1 tot 12) kun je als volgt berekenen uit het (astronomische) Gregoriaanse jaarnummer \( a \):

\begin{align} s \| = \dmod{a + 6}{10} + 1 \label{eq:jnaarchinees} \\ b \| = \dmod{a + 8}{12} + 1 \end{align}

Het nummer \( n \) in de gezamelijke kringloop van 60 jaren is

\begin{equation} n = \dmod{a + 56}{60} + 1 \end{equation}

De jaren die een bepaalde hemelse stam \( s \) of een bepaalde aardse tak \( b \) hebben zijn

\begin{align} a \| ≡ 1983 + s \pmod{10} \\ a \| ≡ 1983 + b \pmod{12} \\ a \| ≡ 1983 + n \pmod{60} \end{align}

De jaren die zowel hemelse stam \( s \) als aardse tak \( b \) hebben zijn

\begin{equation} a ≡ 1983 + 25 b − 24 s \pmod{60} \label{eq:chineesnaarj} \end{equation}

Pas op! Niet elke combinatie van \( s \) en \( b \) is geldig! Alleen combinaties waarvoor \( s ≡ b \pmod{2} \) zijn geldig, dus het verschil tussen \( s \) en \( b \) moet even zijn.

14.2. HYSN

Het HYSN-systeem is een speciale manier om een nummer aan een jaar te geven. De omrekening van een Gregoriaans (of Juliaans proleptisch) jaartal naar een HYSN-jaartal gaat als volgt:

\begin{align} \{ H − 1, a_2 \} \| = \Div(a + 67016, 10800) \\ \{ Y − 1, a_3 \} \| = \Div(a_2, 360) \\ \{ S − 1, N − 1 \} \| = \Div(a_3, 30) \end{align}

De andere kant op is eenvoudiger. Gegeven \( H \), \( Y \), \( S \) en \( N \) is het Gregoriaanse jaartal

\begin{equation} a = 1000 H + 360 Y + 30 S + N − 78207 \end{equation}

15. Afleiding van de algemene algoritmen

We kunnen veel kalenderformules afleiden door rechte lijnen te vinden die met afronding de juiste resultaten geven.

15.1. Notatie

We gebruiken speciale notatie voor sommige zaken.

• \( C(x) \) heeft waarde 1 als aan test \( x \) voldaan is, en anders 0. Bijvoorbeeld, \( C(3 \gt 2) = 1, C(3 \lt 2) = 0 \).

• \( x∥y \) stelt dat \( x \) een veelvoud is van \( y \). Bijvoorbeeld, \( 8 ∥ 4 \) want 8 is een veelvoud van 4.

• \( x⊥y \) stelt dat \( x \) geen veelvoud is van \( y \). Bijvoorbeeld, \( 7 ⊥ 4 \) want 7 is geen veelvoud van 4.

• \( \dfloor{x} \) is de vloerfunctie die het dichtstbijzijnde hele getal niet groter dan \( x \) oplevert, dus in de richting van \( −∞ \). Bijvoorbeeld, \( \dfloor{5.3} = 5, \dfloor{−2.8} = −3, \dfloor{7} = 7 \).

• \( \dmod{x}{p} \):

  \begin{equation} \dmod{x}{p} ≡ x \bmod p ≡ x − p\dfloorratio{x}{p} \label{eq:mod} \qquad (p \gt 0)\end{equation}

  is de modulusfunctie die het niet-negatieve verschil geeft tussen \( x \) en het dichtstbijzijnde veelvoud van positieve \( p \) dat niet groter is dan \( x \). Er geldt altijd (als \( p \gt 0 \))

  \begin{align} x \| = \dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} \\ x \| = \dfloor{x} + \dmod{x}{1} \\ \dmod{x}{p} \| = p\left\lfloor \frac{x}{p} \right\rceil_1 \label{eq:mod1top} \\ 0 \| \le \dmod{x}{p} \lt p \\ \dmod{x + np}{p} \| = (x + np) − p\dfloorratio{x + np}{p} \notag \\ \| = x + np − p\dfloor{\dfrac{x}{p} + n} \notag \\ \| = x + np − p\dparen{\dfloorratio{x}{p} + n} \| \quad (n∥1)\notag \\ \| = x − p\dfloorratio{x}{p} = \dmod{x}{p} \label{eq:modn} \end{align}

  Bijvoorbeeld

  \({x}\)	\({4\dfloorratio{x}{4}}\)	\({\dmod{x}{4}}\)
  −2	−4	2
  −1	−4	3
  0	0	0
  1	0	1
  2	0	2
  3	0	3
  4	4	0
  5	4	1

• \( \dceil{x} \) is de plafondfunctie die het dichtstbijzijnde hele getal niet kleiner dan \( x \) oplevert, dus in de richting van \( +∞ \). Bijvoorbeeld, \( \dceil{5.3} = 6, \dceil{−2.8} = −2, \dceil{7} = 7 \).
• \( \ddom{x}{p}\):

  \begin{equation} \ddom{x}{p} ≡ x \bdom p ≡ p\dceilratio{x}{p} − x \qquad (p \gt 0) \label{eq:dom} \end{equation}

  is de "domulus"-functie die het niet-negatieve verschil geeft tussen \( x \) en het dichtstbijzijnde veelvoud van positieve \( p \) dat niet kleiner is dan \( x \). Ik verzon de notatie \( \bdom \), dat is \( \bmod \) maar dan achterstevoren gespeld. Ik verzon ook de naam "domulus", vergelijkbaar met "modulus" maar met "dom" in plaats van "mod". Er geldt altijd (als \( p \gt 0 \))

  \begin{align} x \| = p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} \\ x \| = \dceil{x} − \ddom{x}{1} \\ \ddom{x}{p} \| = p\left\lceil \frac{x}{p} \right\rfloor_1 \label{eq:dom1top} \\ 0 \| \le \ddom{x}{p} \lt p \\ \ddom{x + np}{p} \| = p\dceilratio{x + np}{p} − (x + np) \notag \\ \| = p\dceil{\dfrac{x}{p} + n} − x − np \notag \\ \| = p\dparen{\dceil{\dfrac{x}{p}} + n} − x − np \| \quad (n∥1) \notag \\ \| = p\dceil{\dfrac{x}{p}} − x = \ddom{x}{p} \label{eq:domn} \end{align}

  Bijvoorbeeld

  \({x}\)	\({4\dceilratio{x}{4}}\)	\({\ddom{x}{4}}\)
  −2	0	2
  −1	0	1
  0	0	0
  1	4	3
  2	4	2
  3	4	1
  4	4	0
  5	8	3

• \( \{ m, n \} = \Div(x,y) \) is een functie die twee uitkomsten \( m, n \) geeft zodat \( x = my + n \) met \( m \) een heel getal, \( 0 \le n \lt y \gt 0 \) en

  \begin{align*} m \| = \dfloorratio{x}{y} \\ n \| = \dmod{x}{y} = x \bmod y \end{align*}

Een paar handige relaties (voor \( p \gt 0 \)):

1. \begin{equation} \dceil{\dceil{x}} = \dfloor{\dceil{x}} = \dceil{x}\end{equation}
2. \begin{equation} \dfloor{\dfloor{x}} = \dceil{\dfloor{x}} = \dfloor{x} \end{equation}
3. \begin{equation} \dmod{\dmod{x}{p}}{p} = \ddom{\dmod{x}{p}}{p} = \dmod{x}{p} \label{eq:modmod} \end{equation}
4. \begin{equation} \ddom{\ddom{x}{p}}{p} = \dmod{\ddom{x}{p}}{p} = \ddom{x}{p} \label{eq:domdom} \end{equation}
5. \begin{equation} \dmod{x ± y}{p} = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \label{eq:dmod2} \end{equation}
6. \begin{equation} \ddom{x ± y}{p} = \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \label{eq:ddom2} \end{equation}
7. \begin{equation} \dceil{x} − \dfloor{x} = C(x⊥1) \label{eq:ceilfloor} \end{equation}
8. \begin{equation} \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} = pC(x⊥p) \end{equation}
9. \begin{equation} \dfloor{−x} = −\dceil{x} = −\dfloor{x} − C(x⊥1) \label{eq:minusfloor} \end{equation}
10. \begin{equation} \dceil{−x} = −\dfloor{x} = −\dceil{x} + C(x⊥1) \label{eq:minusceil} \end{equation}
11. \begin{equation} \dmod{−x}{p} = \ddom{x}{p} = −\dmod{x}{p} + pC(x⊥p) \label{eq:minusmod} \end{equation}
12. \begin{equation} \ddom{−x}{p} = \dmod{x}{p} = −\ddom{x}{p} + pC(x⊥p) \label{eq:minusdom} \end{equation}
13. \begin{equation} \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \label{eq:splitfloor} \end{equation}
14. \begin{equation} \dfloor{x − y} = \dfloor{x} − \dfloor{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \label{eq:floorm} \end{equation}
15. \begin{equation} \dmod{x + y}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} ≥ p} \label{eq:modp} \end{equation}
16. \begin{equation} \dmod{x − y}{p} = \dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} + pC\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \end{equation}
17. \begin{equation} \dceil{x + y} = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \end{equation}
18. \begin{equation} \dceil{x − y} = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \end{equation}
19. \begin{equation} \ddom{x + y}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} ≥ p} \label{eq:domp} \end{equation}
20. \begin{equation} \ddom{x − y}{p} = \ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} + pC\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \label{eq:domm} \end{equation}
21. \begin{equation} n\dmod{x}{1} − \dmod{nx}{1} = \dfloor{n\dmod{x}{1}} \qquad{(n ∥ 1)} \label{eq:dmoddiff1} \end{equation}

22. \begin{equation} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \label{eq:floordiffrange} \end{equation}
23. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dfloor{x} − \dfloor{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \label{eq:floordiffrange2} \end{equation}
24. \begin{equation} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \label{eq:ceildiffrange} \end{equation}
25. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dceil{x} − \dceil{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \label{eq:ceildiffrange2} \end{equation}
26. \begin{equation} \dceilratio{x}{y} = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \qquad (x, y ∥ 1) \label{eq:ceil2floor} \end{equation}
27. \begin{equation} \ddom{x}{y} = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \qquad (x, y ∥ 1) \label{eq:ddom2dmod} \end{equation}
28. \begin{equation} \dfloor{\dmod{x}{y}} = \dmod{\dfloor{x}}{y} \qquad (y ∥ 1) \label{eq:modfloor} \end{equation}

En hun bewijzen:

1. \( \dceil{\dceil{x}} = \dfloor{\dceil{x}} = \dceil{x}\) omdat \( \dceil{x} \) een heel getal is.
2. \( \dfloor{\dfloor{x}} = \dceil{\dfloor{x}} = \dfloor{x} \) omdat \( \dfloor{x} \) een heel getal is.
3. \( \dmod{\dmod{x}{p}}{p} = \ddom{\dmod{x}{p}}{p} = \dmod{x}{p} \) omdat \( 0 \le \dmod{x}{p} \lt p \).
4. \( \ddom{\ddom{x}{p}}{p} = \dmod{\ddom{x}{p}}{p} = \ddom{x}{p} \) omdat \( 0 \le \ddom{x}{p} \lt p \).
5. \( \dmod{x ± y}{p} = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \) want

   \begin{align} \dmod{x ± y}{p} \| = p\dmod{\dfrac{x ± y}{p}}{1} \notag \eqavide{eq:mod1top} \\ \| = p\dmod{\dfrac{p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}}}{p}}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dmod{\dfloorratio{x}{p} ± \dfloorratio{y}{p} + \dfrac{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p}}{1} \notag \\ \| = p\dmod{\dfrac{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:modn} \notag \\ \| = \dmod{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \eqavide{eq:mod1top} \end{align}

6. \( \ddom{x ± y}{p} = \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \) want

   \begin{align} \ddom{x ± y}{p} \| = p\ddom{\dfrac{x ± y}{p}}{1} \notag \eqavide{eq:dom1top} \\ \| = p\ddom{\dfrac{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}}{p}}{1} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = p\ddom{\dceilratio{x}{p} ± \dceilratio{y}{p} − \dparen{\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}}{1} \notag \\ \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:domn} \label{eq:xpyp} \end{align}

   en dus ook

   \begin{align} \ddom{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p} \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{\ddom{x}{p}}{p} ± \ddom{\ddom{y}{p}}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:xpyp} \notag \\ \| = p\ddom{−\dfrac{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}{p}}{1} \eqavide{eq:domdom} \notag \\ \| = \ddom{x ± y}{p} \eqavide{eq:xpyp} \end{align}

7. \( \dceil{x} − \dfloor{x} = C(x⊥1) \) want als \( x \) een heel getal is (dus \( x∥1 \)) dan zijn \( \dceil{x} \) en \( \dfloor{x} \) gelijk aan \( x \), en anders is het eerstvolgende hogere hele getal (\( \dceil{x} \)) eentje hoger dan het eerstvolgende lagere hele getal (\( \dfloor{x} \)).

8. \( \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} = pC(x⊥p) \) want

   \begin{align} \dmod{x}{p} + \ddom{x}{p} \| = x − p\dfloorratio{x}{p} + p\dceilratio{x}{p} − x \| \text{(vide \eqref{eq:mod}, \eqref{eq:dom})} \notag \\ \| = p \dparen{\dceilratio{x}{p} − \dfloorratio{x}{p}} \notag \\ \| = p C\dparen{\dfrac{x}{p} ⊥ 1} \notag \eqavide{eq:ceilfloor} \\ \| = p C\dparen{x ⊥ p} \end{align}

9. Voor \( \dfloor{−x} = −\dceil{x} = −\dfloor{x} − C(x⊥1) \) volgt de tweede \( = \) uit vergelijking \eqref{eq:ceilfloor}.

   De eerste \( = \) bewijzen we als volgt.

   \begin{align} \dfloor{−x} \| = \dfloor{−\dfloor{x} − \dmod{x}{1}} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = −\dfloor{x} + \dfloor{−\dmod{x}{1}} \\ \dceil{x} \| = \dceil{\dfloor{x} + \ddom{x}{1}} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = \dfloor{x} + \dceil{\ddom{x}{1}} \\ \dfloor{−x} + \dceil{x} \| = \dfloor{−\dmod{x}{1}} + \dceil{\ddom{x}{1}} \end{align}

   Als \( x \) een heel getal is dan is \( \dmod{x}{1} = \ddom{x}{1} = 0 \) dus \( \dfloor{−x} + \dceil{x} = 0 \).

   En als \( x \) geen heel getal is dan is

   \begin{equation} 0 \lt \dmod{x}{1} \lt 1 ⇒ \dceil{\dmod{x}{1}} = 1 \end{equation}

   en ook

   \begin{equation} −1 \lt −\dmod{x}{1} \lt 0 ⇒ \dfloor{−\dmod{x}{1}} = −1 \end{equation}

   dus ook dan is \( \dfloor{−x} + \dceil{x} = \dceil{\dmod{x}{1}} + \dfloor{−\dmod{x}{1}} = 0 \) en dus \( \dfloor{−x} = −\dceil{x} \).

10. Voor \( \dceil{−x} = −\dfloor{x} = −\dceil{x} + C(x⊥1) \) volgt de tweede \( = \) volgt uit vergelijking \eqref{eq:ceilfloor}.

    De eerste \( = \) volgt uit vergelijking \eqref{eq:minusfloor} als je daarin overal \( x \) vervangt door \( −x \).

11. Voor \( \dmod{−x}{p} = \ddom{x}{p} = −\dmod{x}{p} + pC(x⊥p) \) volgt de eerste \( = \) uit

    \begin{align} \dmod{−x}{p} \| = −x − p\dfloorratio{−x}{p} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dceilratio{x}{p} − x \eqavide{eq:minusfloor} \notag \\ \| = \ddom{x}{p} \eqavide{eq:dom} \end{align}

    en de tweede \( = \) uit

    \begin{align} \dmod{x}{p} \| = x − p\dfloorratio{x}{p} \notag \eqavide{eq:mod} \\ \| = x − p\dparen{\dceilratio{x}{p} − C\dparen{\dfrac{x}{p} ⊥ 1}} \notag \eqavide{eq:ceilfloor} \\ \| = x − p\dceilratio{x}{p} + pC\dparen{x ⊥ p} \notag \\ \| = −\ddom{x}{p} + pC\dparen{x ⊥ p} \eqavide{eq:dom} \end{align}

12. \( \ddom{−x}{p} = \dmod{x}{p} = −\ddom{x}{p} + pC(x⊥p) \) volgt uit de vorige als je elke \( x \) vervangt door \( −x \).

13. \( \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \) want

    \begin{align} \dfloor{x ± y} \| = x ± y − \dmod{x ± y}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = \dfloor{x} + \dmod{x}{1} ± \dparen{\dfloor{y} + \dmod{y}{1}} − \dmod{x ± y}{1} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = \dfloor{x} ± \dfloor{y} + \dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1} − \dmod{x ± y}{1} \notag \\ \| = \dfloor{x} ± \dfloor{y} + \dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1} − \dmod{\dmod{x}{1} ± \dmod{y}{1}}{1} \eqavide{eq:dmod2} \label{eq:floorpm} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dmod{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1}}{1} \| = \dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} \ge 1} \\ \dmod{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1}}{1} \| = \dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \label{eq:mod1m} \end{align}

    want \( 0 \le \dmod{•}{1} \lt 1 \). Dus

    \begin{equation} \dfloor{x + y} = \dfloor{x} + \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} \ge 1} \end{equation}

14. \( \dfloor{x − y} = \dfloor{x} − \dfloor{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:floorpm} en \eqref{eq:mod1m}.
15. \( \dmod{x + y}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} ≥ p} \) volgt uit

    \begin{align} \dmod{x ± y}{p} \| = x ± y − p\dfloorratio{x ± y}{p} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}} \notag \\ \| − p\dfloorratio{p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± \dparen{p\dfloorratio{y}{p} + \dmod{y}{p}}}{p} \notag \eqavide{eq:mod} \\ \| = p\dfloorratio{x}{p} + \dmod{x}{p} ± p\dfloorratio{y}{p} ± \dmod{y}{p} \notag \\ \| − p\dfloorratio{x}{p} ∓ p\dfloorratio{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \notag \\ \| = \dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} ± \dmod{y}{p}}{p} \label{eq:i15a} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dfloorratio{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p}}{p} \| = C\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} \ge p} \label{eq:i15c} \\ \dfloorratio{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p}}{p} \| = −C\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \label{eq:i15b} \end{align}

    omdat \( 0 \le \dmod{•}{p} \lt p \), dus

    \begin{equation} \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − p\dfloorratio{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p}}{p} = \dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} − pC\dparen{\dmod{x}{p} + \dmod{y}{p} \ge p} \end{equation}

    en daarmee is het bewijs af.

16. \( \dmod{x − y}{p} = \dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} + pC\dparen{\dmod{x}{p} − \dmod{y}{p} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:i15a} en \eqref{eq:i15b}.
17. \( \dceil{x + y} = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\dmod{x}{1} + \dmod{y}{1} ≥ 1} \) want

    \begin{align} \dceil{x ± y} \| = x ± y + \ddom{x ± y}{p} \notag \eqavide{eq:dom} \\ \| = \dceil{x} − \ddom{x}{1} ± \dparen{\dceil{y} − \ddom{y}{1}} + \ddom{x ± y}{p} \notag \eqavide{eq:dom} \\ \| = \dceil{x} ± \dceil{y} − \ddom{x}{1} ∓ \ddom{y}{1} + \ddom{x ± y}{p} \label{eq:i17} \end{align}

    Dat levert

    \begin{align} \dceil{x + y} \| = \dceil{x} + \dceil{y} − \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} + \ddom{x + y}{p} \notag \\ \| = \dceil{x} + \dceil{y} − \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} + \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} \notag \\ \| − C\dparen{\ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} ≥ 1} \eqavide{eq:domp} \notag \\ \| = \dceil{x} + \dceil{y} − C\dparen{\ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} ≥ 1} \end{align}

18. \( \dceil{x − y} = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\dmod{x}{1} − \dmod{y}{1} \lt 0} \) want

    \begin{align} \dceil{x − y} \| = \dceil{x} − \dceil{y} − \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} + \ddom{x − y}{p} \notag \eqavide{eq:i17} \\ \| = \dceil{x} − \dceil{y} − \ddom{x}{1} + \ddom{y}{1} + \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \notag \\ \| + C\dparen{\ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \lt 0} \eqavide{eq:modp} \notag \\ \| = \dceil{x} − \dceil{y} + C\dparen{\ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \lt 0} \end{align}

19. \( \ddom{x + y}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} ≥ p} \) want

    \begin{align} \ddom{x ± y}{p} = \| p\dceilratio{x ± y}{p} − \dparen{x ± y} \notag \eqavide{eq:dom} \\ = \| p\dceilratio{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}}{p} \notag \\ \| − \dparen{p\dceilratio{x}{p} − \ddom{x}{p} ± \dparen{p\dceilratio{y}{p} − \ddom{y}{p}}} \notag \eqavide{eq:dom} \\ = \| p\dceilratio{x}{p} ± p\dceilratio{y}{p} + p\dceilratio{−\ddom{x}{p} ∓ \ddom{y}{p}}{p} \notag \\ \| − \dparen{p\dceilratio{x}{p} ± p\dceilratio{y}{p} − \dparen{\ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p}}} \notag \\ = \| \ddom{x}{p} ± \ddom{y}{p} + p\dceilratio{−\ddom{x}{p} ∓ \ddom{y}{p}}{p} \label{eq:i19a} \end{align}

    Er geldt

    \begin{align} \dceilratio{−\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p}}{p} \| = −C\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} \ge p} \\ \dceilratio{−\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p}}{p} \| = C\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \label{eq:i19b} \end{align}

    want \( 0 \le \ddom{•}{p} \lt 1 \), dus

    \begin{equation} \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} + p\dceilratio{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p}}{p} = \ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} − pC\dparen{\ddom{x}{p} + \ddom{y}{p} \ge p} \end{equation}

    en daarmee is het bewijs af.

20. \( \ddom{x − y}{p} = \ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} + pC\dparen{\ddom{x}{p} − \ddom{y}{p} \lt 0} \) volgt uit vergelijkingen \eqref{eq:i19a} en \eqref{i19b}.

21. \begin{eqnarray} n\dmod{x}{1} − \dmod{nx}{1} \| = \| n\dmod{x}{1} − \dmod{n\dfloor{x} + n\dmod{x}{1}}{1} \notag \\ \| = \| n\dmod{x}{1} − \dmod{n\dmod{x}{1}}{1} \qquad{(n ∥ 1)} \eqavide{eq:modp} \notag \\ \| = \| \dfloor{n\dmod{x}{1}} \eqavide{eq:mod} \end{eqnarray}
22. \begin{align} \dfloor{x} − \dfloor{y} \| = \dparen{x − \dmod{x}{1}} − \dparen{y − \dmod{y}{1}} \notag \\ \| = x − y + \dmod{y}{1} − \dmod{x}{1} \end{align}

    Dan

    \begin{equation} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{equation} 0 \le \dmod{•}{1} \lt 1 \end{equation}

23. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dfloor{x} − \dfloor{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{align} x − y − 1 \lt \dfloor{x} − \dfloor{y} \lt x − y + 1 \eqavide{eq:floordiffrange} \\ x − y \le \dceil{x − y} \| \quad (\dfloor{x} − \dfloor{y} ∥ 1) \end{align}

24. \begin{align} \dceil{x} − \dceil{y} \| = \dparen{x + \ddom{x}{1}} − \dparen{y + \ddom{y}{1}} \notag \\ \| = x − y + \ddom{x}{1} − \ddom{y}{1} \end{align}

    Dan

    \begin{equation} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{equation} 0 \le \ddom{•}{1} \lt 1 \end{equation}

25. \begin{equation} \dceil{x − y} − 1 \le \dceil{x} − \dceil{y} \le \dfloor{x − y} + 1 \end{equation}

    omdat

    \begin{align} x − y − 1 \lt \dceil{x} − \dceil{y} \lt x − y + 1 \eqavide{eq:ceildiffrange} \\ x − y \le \dceil{x − y} \| \quad (\dfloor{x} − \dfloor{y} ∥ 1) \end{align}

26. Als \( y = 1 \):

    \begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dceilratio{x}{1} = x \| \qquad (x ∥ 1) \\ \| = (x − 1) + 1 = \dfloorratio{x − 1}{1} + 1 = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \end{align}

    Als \( y \gt 1 \):

    \begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dfloorratio{x}{y} + C(x⊥y) \eqavide{eq:ceilfloor} \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{x}{y} \ge 1} \| \qquad (x, y ∥ 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} \ge \dfrac{1}{y}} \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} \ge \dmod{\dfrac{1}{y}}{1}} \| (y \gt 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} − \dfloorratio{1}{y} + C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} − \dmod{\dfrac{1}{y}}{1} \ge 0} \| (y \gt 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{x}{y} − \dfloorratio{1}{y} + 1 − C\dparen{\dmod{\dfrac{x}{y}}{1} − \dmod{\dfrac{1}{y}}{1} \lt 0} \notag \\ \| = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \eqavide{eq:floorm} \end{align}

27. Als \( y = 1 \):

    \begin{equation} \ddom{x}{y} = \ddom{x}{1} = 0 = y − 1 − \ddom{x − 1}{y} \qquad (x ∥ 1) \end{equation}

    Als \( y \gt 1 \):

    \begin{align} \ddom{x}{y} \| = y\ddom{\dfrac{x}{y}}{1} \notag \\ \| = y\dparen{\dceil{\dfrac{x}{y}} − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = y\dparen{\dfloorratio{x − 1}{y} + 1 − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:ceil2floor} \notag \\ \| = y\dparen{\dfrac{x − 1}{y} − \dmod{\dfrac{x − 1}{y}}{1} + 1 − \dfrac{x}{y}} \eqavide{eq:mod} \notag \\ \| = x − 1 − y\dmod{\dfrac{x − 1}{y}}{1} + y − x \notag \\ \| = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \end{align}

28. Stel

    \begin{align} \{ k, α \} \| = \Div(x, y) \\ \{ m, β \} \| = \Div(α, 1) \end{align}

    dus

    \begin{equation} x = ky + α = ky + m + β \end{equation}

    waarbij

    \begin{align} k, m, y \| ∥ 1 \\ 0 \| ≤ m ≤ y − 1 \\ 0 \| ≤ β \lt 1 \end{align}

    dan

    \begin{align} \dfloor{\dmod{x}{y}} \| = \dfloor{\dmod{ky + m + β}{y}} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{m + β}{y}} \notag \\ \| = \dfloor{m + β} \| (0 ≤ m + β \lt y) \notag \\ \| = m \end{align}

    en ook

    \begin{align} \dmod{\dfloor{x}}{y} \| = \dmod{\dfloor{ky + m + β}}{y} \notag \\ \| = \dmod{ky + m}{y} = m \end{align}

    dus

    \begin{equation} \dfloor{\dmod{x}{y}} = \dmod{\dfloor{x}}{y} \end{equation}

15.2. Grote Tussenresultaten

15.2.1. Inleiding

Veel van de kalenderberekeningen die hieronder beschreven worden zijn van de vorm

\begin{align} y \| = \dfloorratio{f x + t}{g} \label{eq:template} \\ e \| = \dmod{f x + t}{g} \label{eq:template-e} \end{align}

ofwel

\[ \{y, e\} = \Div(f x + t, g) \]

met

\begin{equation} f x + t = g y + e \end{equation}

waar \( f \), \( t \), \( g \) vaste hele getallen zijn met \( f ≥ 1 \), \( g \gt 1 \), \( 0 ≤ e \lt g \), en \( x \), \( y \) wisselende maar wel hele getallen zijn. Het tussenresultaat \( fx + t \) is dan meestal veel groter dan \( x \) en dan het eindresultaat.

Dit kan problemen geven voor computerprogramma's die rekenen met geheugenlocaties waarin hele getallen een groot maar beperkt aantal unieke waarden kunnen hebben. Dat aantal unieke waarden geven we hier aan met \( W \) ("grote W").

Een andere optie is om te rekenen met zogenaamde zwevendekommagetallen, getallen met een aparte mantisse en exponent, zoals 1.234‍e20, die veel grotere (en kleinere) waarden kunnen bevatten dan een heel getal dat in dezelfde geheugenlocatie opgeslagen kan worden, maar de nauwkeurigheid van zwevendekommagetallen is beperkt, dus dan moet je bang zijn voor afrondfouten. Afrondfouten zijn in kalenderberekeningen heel erg, want daarmee kun je zomaar een dag, maand of jaar als uitkomst van de berekeningen krijgen die eentje te klein of te groot is, wat waarschijnlijk niet opvalt.

Daarom gaan wij uit van berekeningen die alleen hele getallen gebruiken. Dan kun je geen afrondfouten krijgen, maar wel "overloopproblemen" als een (tussen)resultaat zo groot is dan het buiten de verzameling van \( W \) unieke waarden valt.

In vrijwel alle moderne computersystemen is \( W \) een macht van 256, dat zelf een macht is van 2. Als \( W = 2^n \) dan wordt \( n \) het aantal bits genoemd. Een 32-bitsgetal kan \( 2^{32} = 4294967296 \) unieke waarden uitdrukken. Die unieke waarden lopen dan meestal van \( −W/2 = −2^{31} = −2147483648 \) tot en met \( W/2 − 1 = +2^{31} − 1 = +2147483647 \). Hier noemen we de grootste absolute waarde die zowel positieve als negatieve hele getallen mogen hebben \( w \) ("kleine w"). Dus zowel \( +w \) als \( −w \) passen, maar \( +(w + 1) \) en \( −(w + 1) \) passen niet allebei. Voor het meestgebruikte type 32-bitsgetallen is \( w = W/2 − 1 = 2147483647 \). Wij gaan hieronder uit van zulke 32-bitsgetallen.

Dan moet het tussenresultaat \( f x + t \) wat grootte betreft kleiner blijven dan \( w \), dus om problemen te voorkomen moet ongeveer \( \dabs{x} ≤ w/f \) zijn, wat veel kleiner is dan \( w \).

De hieronder beschreven methoden om toch (bijna) \( W \) dagen aan te kunnen in plaats van \( W/f \) zijn wiskundig gelijk aan formule \eqref{eq:template} maar nemen meer rekenstappen, dus meer rekentijd.

Tegenwoordig zijn ook 64-bitsgetallen breed beschikbaar. Daarvoor zijn \( w \) en \( W \) zoveel groter dan voor 32-bitsgetallen dat kalenderberekeningen in de praktijk geen last hebben van overloopproblemen. Bijvoorbeeld, we komen later een toepassing van formule \eqref{eq:template} tegen waarvoor met 32-bitsgetallen overloopproblemen alleen kunnen worden voorkomen voor een periode van ongeveer 450 jaar. Dat is een wel heel lastig geval. Met 64-bitsgetallen wordt die grens ruim 4 miljard keer groter, ongeveer 1933 miljard jaar. Dat is ongeveer 140 keer langer dan de leeftijd van het Heelal.

64-bitsgetallen nemen tweemaal zoveel geheugenruimte in als 32-bitsgetallen, maar als je met 64-bitsgetallen het resultaat hebt uitgerekend dan kun je dat resultaat opslaan in een 32-bitsgeheugenlocatie. Daarmee kun je een periode van bijna 12 miljoen jaar aan (overeenkomend met \( W \) dagen).

Ik schreef een testprogramma (in C++, met optimalisatie) dat formule \eqref{eq:template} gebruikt voor 64-bitsgetallen, en ook de meest toepasselijke omweg gebruikt die met meer rekenstappen voor 32-bitsgetallen werkt. Dat programma berekent voor alle lopende maandnummers van 0 tot 70 miljoen wat het lopende dagnummer van de 10e dag in die maand is, en dan voor elk van die lopende dagnummers welk maandnummer en dagnummer binnen de maand daarbij horen. De berekeningen met 32-bitsgetallen en de omweg namen ongeveer 2,1 maal zoveel rekentijd als de berekeningen met 64-bitsgetallen zonder omweg. Dat wil niet zeggen dat kalenderberekeningen met 64-bitsgetallen op elk computersysteem sneller zullen zijn dan die met 32-bitsgetallen, maar wel dat het de moeite waard is om naar 64-bitsgetallen te kijken, als die beschikbaar zijn.

Op bijna alle moderne computersystemen werkt "overloop" van hele getallen zo dat een waarde die net groter zou zijn dan de grootste passende waarde wordt uitgedrukt als een waarde die net groter is dan de kleinste (meest negatieve) passende waarde, net alsof de verzameling passende getallen zich steeds herhaalt. Dat heeft als voordeel dat de "foute" overgelopen waarde heel anders is dan de goede waarde (die niet past), zodat het probleem veel meer opvalt dan bij een afrondfout het geval zou zijn.

Bijvoorbeeld, als je steeds 1 optelt bij een getal en uiteindelijk de grootste passende positieve 32-bitswaarde 2147483647 bereikt dan krijg je daarna de kleinste (meest negatieve) 32-bitswaarde −2147483648 en dan loopt de waarde daarvandaan weer op, net alsof de verzameling passende waarden zich steeds herhaalt.

Wat zijn de kleinste en grootste waarden van \( x \) waarvoor je \( y \) kunt uitrekenen met bovenstaande formule, als de begin-, eind-, en alle tussenwaarden moeten liggen tussen \( −w \) en \( +w \)? Met \( 𝔏 \) geven we de kleinst toegestane waarde van \( x \) aan, en met \( 𝔘 \) de grootst toegestane waarde van \( x \).

Dan moeten we hebben

\begin{align*} −w \| ≤ x ≤ w \\ −w \| ≤ f x + t ≤ w \\ −w \| ≤ y ≤ w \end{align*}

Uit de tweede eis volgt

\begin{equation} \dceilratio{−w − t}{f} ≤ x ≤ \dfloorratio{w − t}{f} \end{equation}

Uit de derde eis volgt

\begin{align} −w \| ≤ \dfloorratio{f x + t}{g} ≤ w \notag \\ −w \| ≤ \dfrac{f x + t}{g} \lt w + 1 \notag \\ \dfrac{−g w − t}{f} \| ≤ x \lt \dfrac{g w + g − t}{f} \end{align}

Uit alle eisen bij elkaar volgt

\begin{align} 𝔘 \| = \min\left(w, \dfloorratio{w − t}{f}, \dfrac{g w + g − t}{f}\right) \\ 𝔏 \| = \max\left(−w, \dceilratio{−w − t}{f}, \dfrac{−g w − t}{f}\right) \end{align}

Deze formules zijn niet te vereenvoudigen, dus niet zo handig in het gebruik. Daarom nemen we voor de schattingen van het bereik van \( x \) aan dat \( t = 0 \) (want \( t \) is in de praktijk heel veel kleiner dan \( w \)) en doen we net alsof \( x \) geen heel getal hoeft te zijn. Dan vinden we

\begin{align} 𝔘 \| ≈ \min\left(w, \dfrac{w}{f}, \dfrac{g w}{f}\right) = \dfrac{w}{f} \qquad ( g, f ≥ 1 ) \\ 𝔏 \| ≈ \max\left(−w, \dfrac{−w}{f}, \dfrac{−g w}{f}\right) = −𝔘 \end{align}

Hieronder staat een samenvatting van manieren om het bereik van \( x \) groter te maken. Daaronder staat de afleiding van de formules van die manieren.

15.2.2. Samenvatting

We willen berekenen

\begin{align} y \| = \dfloorratio{f x + t}{g} \\ e \| = \dmod{f x + t}{g} \\ \{ y, e \} \| = \Div(f x + t, g) \end{align}

met alleen maar hele getallen, en met \( f \) en \( g \) groter dan 0 in een omgeving waarin alle hele getallen tussen \( −w \) en \( +w \) moeten liggen. Dan moet ongeveer \( \dabs{f x} ≤ w \) zijn, dus \( \dabs{x} ≤ w/f \), wat veel kleiner is dan \( w \) als \( f \gt 1 \). Als je een waarde van \( x \) invult die buiten dat bereik ligt dan geeft het computerprogramma misschien wel een resultaat maar dat resultaat zal dan fout zijn.

Ook \( y \) moet passen, dus we moeten ook hebben dat \( \dabs{y} ≤ w \) dus ongeveer \( (f/g) \dabs{x} ≤ w \) dus \( \dabs{x} ≤ gw/f \). Die limiet is nooit lager dan de \( w/f \) die we eerder vonden, dus de gezamenlijke limiet op \( x \) is \( w/f \).

Je kunt als volgt de formules onschrijven zodat ze voor een groter bereik van \( x \) werken.

1. Als \( f \gt g \):

   \begin{align} \{ f_1, f_0 \} \| = \Div(f, g) \\ \{ t_1, t_0 \} \| = \Div(t, g) \\ \{ \omega, e \} \| = \Div(f_0 x + t_0, g) \\ y \| = f_1 x + t_1 + ω \end{align}

   Dat is bruikbaar als ongeveer \( \dabs{x} ≤ w \min(1/\dmod{f}{g}, g/f) \). Als \( g \dmod{f}{g} \lt f \) dan is de grens op \( x \) ongeveer \( \dabs{x} ≤ w g/f \) wat het hoogst haalbare is. Als \( g \dmod{f}{g} \gt f \) dan moet ongeveer \( \dabs{x} ≤ w/\dmod{f}{g} \gt w/f \).

2. Als \( g\dmod{f}{g} ≤ w \):

   \begin{align} \{ f_1, f_0 \} \| = \Div(f, g) \\ \{ t_1, t_0 \} \| = \Div(t, g) \\ \{ x_1, x_0 \} \| = \Div(x, g) \\ \{ ω, e \} \| = \Div(f_0 x_0 + t_0, g) \\ y \| = f_1 x + f_0 x_1 + ω + t_1 \end{align}

   Dan moet ongeveer \( \dabs{x} ≤ w \min(g/f, 1) \), wat het hoogst haalbare is voor elke methode.

3. Als \( g\dmod{f}{g} \gt w \):

   Als je geschikte \( \{ P, Q, R \} \) hebt (zie verderop voor hoe je die vindt) dan

   \begin{align} \{ f_1, f_0 \} \| = \Div(f, g) \\ \{ t_1, t_0 \} \| = \Div(t, g) \\ \{ x_1, x_0 \} \| = \Div(x, P) \\ \{ ω, e \} \| = \Div(x_1 R + f_0 x_0 + t_0, g) \\ y \| = f_1 x + x_1 Q + t_1 + ω \end{align}

   Dat werkt als ongeveer \( \dabs{x} ≤ w \min(g/f, 1) \) en geen enkele methode kan het beter doen.

   We zoeken geschikte \( \{ P, Q, R \} \) voor onze kalenderformule. Dat hoeven we voor elk zulke kalenderformule (en \( w \)) maar eenmaal te doen. Let op: Misschien zijn voor sommige \( f \), \( g \) en \( w \) geen geschikte \( \{ P, Q, R \} \) te vinden.

   Gebruik het Uitgebreide Algoritme van Euclides om een oplossing te vinden voor \( x \), \( y \), \( R_1 \) in

   \begin{equation} f_0 x + g y = R_1 = \gcd(f_0, g ) \end{equation}

   Dan

   \begin{align} P_1 \| = \dmod{x}{(g/R_1)} \\ Q_1 \| = \dmod{−y}{(f_0/R_1)} \\ P_\text{max} \| = \dfloorratio{w}{f_0} \\ n_* \| = \dceilratio{W}{f_0 P_1} \\ m_P \| = n_* \dfrac{g}{R_1} \\ m_Q \| = n_* \dfrac{f_0}{R_1} \end{align}

   Er zijn nu \( m_P − 1 \) combinaties van \( \{ P, Q, R \} \) die geschikt zouden kunnen zijn:

   \begin{align} P \| = \dmod{n P_1}{m_P} \\ \{ ρ, R \} \| = \Div(n R_1, g) \\ Q \| = \dmod{n Q_1 + ρ}{m_Q} \end{align}

   voor \( n \) van 1 tot en met \( m_P − 1 \). Zo'n combinatie \( \{ P, Q, R \} \) is geschikt als \( 0 \lt R ≤ P ≤ P_\text{max} \).

   Als je niet alle geschikte combinaties hoeft te vinden maar al tevreden bent met eentje dan kun je de zoektocht verkorten door als volgt te werk te gaan. Stop zodra je een geschikte combinatie hebt gevonden.

   1. Zoek voor \( j \) van 1 tot en met \( (g/R_1) − 1 \).

   2. Voor elke \( j \), zoek voor \( k \) van 0 tot en met \( n_* − 1 \).

   3. Bereken

      \begin{align} P \| = \dmod{j P_1 + k \dmod{P_1}{n_*} \dfrac{g}{R_1}}{m_P} \\ \{ ρ, R \} \| = \Div(j R_1, g) \\ Q \| = \dmod{n Q_1 + ρ + k}{m_Q} \end{align}

      (Deze formules komen overeen met de eerdere formules gebaseerd op \( n \), als je \( n = j + k (g/R_1) \) neemt.)

   4. Als \( 0 \lt R ≤ P ≤ P_\text{max} \) dan heb je een geschikte combinatie van \( \{ P, Q, R \} \) gevonden.

 ✓ 

15.2.3. Ware limieten

Voor het schatten van de limiet op \( x \) hebben we hierboven aangenomen dat \( t = 0 \) en dat de tussenresultaten geen hele getallen hoeven te zijn, waardoor de onderlimiet \( 𝔏 \) even groot (maar met een minteken) is als de bovenlimiet \( 𝔘 \), maar in de praktijk kloppen die aannames (bijna) nooit, dus de geschatte limieten op \( x \) zullen vaak wel ongeveer maar niet helemaal kloppen. En voor de meeste kalenders zijn er meerdere berekeningen met formules zoals formule \eqref{eq:template} nodig met elk hun eigen waarden voor \( f, g, t \), die op een ingewikkelde manier doorwerken op de gezamenlijke limieten op de invoerwaarden. Hoe vinden we de ware limieten?

De berekeningen voor elke kalender gaan meestal tussen een datum (vaak jaar \( a \), maand \( m \), dag \( d \)) en een doorlopend dagnummer \( J \), of andersom. We kunnen die berekeningen schematisch aangeven als volgt

\begin{eqnarray} \| J = D(\{ a, m, d \}) \\ \| \{ a, m, d \} = U(J) \end{eqnarray}

Als je eerst de berekening de ene kant op doet en meteen daarna in de omgekeerde richting dan zou je weer de waarde moeten krijgen waar je mee begon. Je wilt dat

\begin{eqnarray} \| D(U(J)) = J \\ \| U(D(\{ a, m, d \})) = \{ a, m, d \} \end{eqnarray}

Maar als je een datum of lopend dagnummer invult dat buiten het bereik van de kalenderberekeningen valt (zodat tenminste één tussenresultaat niet in het gekozen geheugentype past) dan zal aan tenminste een van bovenstaande gelijkheden niet voldaan zijn.

Je kunt de limieten vinden door te beginnen met een datum of lopend dagnummer \( J_0 \) waarvan je zeker weet dat daarvoor de tussenresultaten klein genoeg zijn, en dan vanaf daar omhoog of omlaag te gaan tot niet meer voldaan is aan tenminste een van de voorwaarden. Dag 1 van maand 1 van jaar 1 in de kalender is meestal een geschikte begindatum.

Dat omhoog en omlaag gaan is voor veel kalenders lastig om te doen aan de hand van de datum. Welke datum volgt er na \( \{ a, m, d \} \)? Dat is meestal \( \{ a, m, d + 1 \} \), behalve aan het eind van de maand, want dan is de volgende dag \( \{ a, m + 1, 1 \} \) of misschien wel \( \{ a + 1, 1, 1 \} \), en het kan nog ingewikkelder. De berekeningen om te bepalen of het einde van de maand en het jaar al bereikt zijn kunnen zo ingewikkeld zijn dat je daarbij tussenresultaten kunt krijgen die te groot zijn voor het gekozen geheugentype. Dan zou je ten onrechte geldige datums kunnen overslaan, of juist ongeldige datums kunnen meerekenen en dan misschien daarom de verkeerde waarde voor de limieten kunnen vinden.

En net zo als je omlaag gaat naar eerdere datums. Welke datum komt er voor \( \{ a, m, 1 \} \)? Dan moet je weten hoeveel dagen de voorgaande maand heeft, en dat kan ook een ingewikkelde berekening zijn met misschien te grote tussenresultaten.

Het is daarom veel gemakkelijker om omhoog en omlaag te gaan aan de hand van het lopende dagnummer, want elk lopende dagnummer is geldig en elke geldige datum heeft zo'n lopend dagnummer.

Het bereik van de kalenderberekeningen loopt van lopende dagnummer \( 𝔏 \) tot en met lopende dagnummer \( 𝔘 \). Die onder- en bovengrens zijn gedefinieerd door

\begin{eqnarray} D(U(J)) \| = J \| \qquad (𝔏 ≤ J ≤ 𝔘) \\ D(U(𝔏 − 1)) \| ≠ 𝔏 − 1 \\ D(U(𝔘 + 1)) \| ≠ 𝔘 + 1 \\ 𝔏 \| ≤ J_0 \\ 𝔘 \| ≥ J_0 \end{eqnarray}

plus de eis dat \( U(J) \) voor alle \( 𝔏 ≤ J ≤ 𝔘 \) de juiste, geldige datum moet zijn. Maar die laatste eis is lastig te controleren, vooral in de buurt van die limieten, voor dezelfde reden dat het vinden van de datum van de volgende of vorige dag lastig kan zijn.

Je zou graag die limieten vinden zonder dat je alle \( J \) tussen die limieten hoeft te controleren. Liever zou je eerst in grote stappen vanaf \( J_0 \) naar hogere \( J \) gaan tot het mis gaat, en dan in steeds kleinere stapjes tussen de grootste goede en kleinste slechte \( J \) gaan tot je de bovenlimiet gevonden hebt, en net zo voor de onderlimiet. Maar dan moet je er rekening mee houden dat er een kans is dat ook voor sommige \( J \) die buiten de limieten liggen toch \( D(U(J)) = J \) zou kunnen zijn. Als je tijdens je grote stappen op zoek naar de limiet toevallig op zo'n \( J \) terechtkomt dan zul je ten onrechte denken dat je de limiet nog niet bereikt hebt.

De oplossing voor deze moeilijkheden is om de berekeningen te doen niet alleen voor de \( w \) waarvoor je de limieten wilt weten maar ook voor een veel grotere \( w \), dus bijvoorbeeld met zowel 32-bitsgetallen als 64-bitsgetallen. Dan kun je een foute of ongeldige datum eraan herkennen dat de datum berekend met 32-bitsgetallen anders is dan de datum berekend met 64-bitsgetallen. Met die controle erbij is de kans dat je na een grote stap ten onrechte besluit dat je nog binnen de limieten zit heel veel kleiner.

15.2.4. Afleiding van de formules

Als \( f \) en misschien ook \( \dabs{t} \) groter of gelijk zijn aan\( g \) dan kunnen we formules \eqref{eq:template}ff omschrijven naar

\begin{align} \{ f_1, f_0 \} \| = \Div(f, g) \\ \{ t_1, t_0 \} \| = \Div(t, g) \\ f x + t \| = \dparen{f_1 g + f_0}x + t_1 g + t_0 \eqavide{eq:mod} \\ y \| = f_1 x + t_1 + \dfloorratio{f_0 x + t_0}{g} \\ e \| = \dmod{f_0 x + t_0}{g} \eqavide{eq:modmod} \end{align}

ofwel

\begin{align} \{ f_1, f_0 \} \| = \Div(f, g) \\ \{ t_1, t_0 \} \| = \Div(t, g) \\ \{ ω, e \} \| = \Div(f_0 x + t_0, g) \label{eq:template2} \\ y \| = f_1 x + ω + t_1 \end{align}

We moeten hebben \( \dabs{f_0 x} = \dmod{f}{g} \dabs{x} ≤ w \), en \( \dabs{f_1 x} = \dfloor{f/g} \dabs{x} ≈ f \dabs{x}/g ≤ w \), dus de grens op \( x \) is ongeveer \( \dabs{x} ≤ w \min(1/\dmod{f}{g}, g/f) \), en dat is groter dan \( w/f \). Als \( g \dmod{f}{g} \lt f \) dan is de grens op \( x \) ongeveer \( \dabs{x} ≤ w g/f \) en dat is het hoogst haalbare voor elke methode.

We kunnen ook \( x \) splitsen in een veelvoud van \( g \) plus de rest. Dan vinden we

\begin{align} \{ x_1, x_0 \} \| = \Div(x, g) \\ fx + t \| = \dparen{f_1 g + f_0} \dparen{x_1 g + x_0} + t_1 g + t_0 \\ y \| = f_1 x + f_0 x_1 + t_1 + \dfloorratio{f_0 x_0 + t_0}{g} \\ e \| = \dmod{f_0 x_0 + t_0}{g} \end{align}

ofwel

\begin{align} \{ x_1, x_0 \} \| = \Div(x, g) \\ \{ ω, e \} \| = \Div(f_0 x_0 + t_0, g) \label{eq:template3} \\ y \| = f_1 x + f_0 x_1 + ω + t_1 \end{align}

Dan kan de teller van de deling bijna de waarde \( g \dmod{f}{g} \) halen, dus deze methode is alleen te gebruiken als \( d \dmod{f}{g} ≤ w \). We moeten dan hebben \( \dabs{f_1 x} = \dfloor{f/g} \dabs{x} ≈ f \dabs{x}/g ≤ w \), en ook \( \dabs{f_0 x_1} = \dmod{f}{g} \dabs{\dfloor{x/g}} ≈ (\dabs{x}/g) \dmod{f}{g} ≤ w \), dus de grens op \( x \) is ongeveer \( \dabs{x} ≤ w \min(g/\dmod{f}{g}, g/f, 1) = w \min(g/f, 1) \), en dat is het hoogste wat je kunt halen met elke methode.

Als \( g\dmod{f}{g} \gt w \) dan moeten we iets anders proberen. Stel we kiezen een heel getal \( P \gt 1 \) en berekenen daarmee eenmalig

\begin{align} \{ Q, R \} \| = \Div(f_0 P, g) \label{eq:PQR} \\ Q \| = \dfloorratio{f_0 P}{g} \\ R \| = \dmod{f_0 P}{g} \end{align}

waarmee

\begin{equation} f_0 P = g Q + R \end{equation}

Bepaal dan voor elke gewenste \( x \)

\begin{align} \{ x_1, x_0 \} \| = \Div(x, P) \\ x_1 \| = \dfloorratio{x}{P} \\ x_0 \| = \dmod{x}{P} \end{align}

zodat

\begin{equation} x = x_1 P + x_0 \end{equation}

en dan

\begin{align} f x + t \| = (f_1 g + f_0)x + t_1 g + t_0 \notag \\ \| = (f_1 g + f_0)(x_1 P + x_0) + t_1 g + t_0 \notag \\ \| = f_1 g x_1 P + f_0 x_1 P + f_1 g x_0 + f_0 x_0 + t_1 g + t_0 \notag \\ \| = f_1 g x_1 P + x_1 (g Q + R) + f_1 g x_0 + f_0 x_0 + t_1 g + t_0 \notag \\ \| = f_1 g x_1 P + x_1 g Q + x_1 R + f_1 g x_0 + f_0 x_0 + t_1 g + t_0 \\ y \| = \dfloorratio{f x + t}{g} = f_1 x_1 P + x_1 Q + f_1 x_0 + t_1 + \dfloorratio{x_1 R + f_0 x_0 + t_0}{g} \notag \\ \| = f_1 x + x_1 Q + t_1 + \dfloorratio{x_1 R + f_0 x_0 + t_0}{g} \\ e \| = \dmod{f x + t}{g} = \dmod{x_1 R + f_0 x_0 + t_0}{g} \end{align}

De absolute waarden van \( x_1 R = \dfloor{x/P} R ≈ x R/P \) en \( f_0 x_0 = f_0 \dmod{x}{P} \lt f_0 P \) en \( f_1 x = \dfloor{f}{g} x ≈ f x/g \) en \( x_1 Q = \dfloor{x}{P} Q ≈ x Q/P \) mogen hooguit \( w \) zijn, dus de grens op \( x \) is \( \dabs{x} ≤ w \min(P/R, g/f, P/Q, 1) \) en bovendien moet \( f_0 P ≤ w \) zijn.

Als \( R = 0 \) dan is \( f \) een veelvoud van \( g \), dus \( g\dmod{f}{g} = 0 \), dus dan kunnen we de methode van het vorige hoofdstuk gebruiken. We nemen daarom aan dat hier \( R ≠ 0 \).

Als \( P = 1 \) dan krijgen we weer de formules \eqref{eq:template2}ff maar dan omslachtiger, vandaar dat we dat geval hier uitsluiten.

Het grootste bereik van \( x \) dat je met elke methode kunt hopen te bereiken is \( W \min(g/f, 1) \). Dat krijgen we met de huidige methode voor elkaar als \( P ≥ R \) en \( P ≥ Q \).

Aan die laatste eis is altijd voldaan want

\begin{align*} f_0 P \| = g Q + R \\ P \| = \dfrac{g}{f_0} Q + \dfrac{R}{f_0} \end{align*}

en \( f_0 = \dmod{f}{g} \lt g \), dus \( P \gt Q \).

Omdat \( f_0 P ≤ w \) moet zijn moet ook \( P ≤ P_\text{max} \) zijn, met

\begin{equation} P_\text{max} ≜ \dfloorratio{w}{f_0} \end{equation}

dus we hoeven alleen te kijken naar \( R ≤ P ≤ P_\text{max} \).

De kleinst mogelijke waarde die \( R \) kan hebben is gelijk aan de grootste gemene deler \( \gcd(f_0, g) \) van \( f_0 \) en \( g \).

\begin{equation} R = R_1 ≡ \gcd(f_0, g) \end{equation}

Het Uitgebreide Algoritme van Euclides levert die waarde op, en ook getallen \( x \) en \( y \) zodat

\begin{equation} f_0 x + g y = R_1 \end{equation}

De \( x \) en \( y \) die je dan krijgt zijn in zekere zin het kleinste, maar ook de volgende waarden voldoen (met \( k \) een willekeurig heel getal):

\begin{equation} f_0\dparen{x + k\dfrac{g}{R}} + g\dparen{y − k\dfrac{f_0}{R}} = R \end{equation}

Omdat \( R \) een deler is van \( g \) en ook van \( f_0 \) leveren de delingen door \( R \) in deze formule altijd hele getallen op.

De bij elkaar horende mogelijke waarden van \( P \) en \( Q \) zijn dan

\begin{align} P \| = x + k\dfrac{g}{R} \\ Q \| = −y + k\dfrac{f_0}{R} \end{align}

voor willekeurige hele \( k \) waarvoor \( P, Q \gt 0 \). De kleinste bruikbare positieve \( P \) en de daarbij horende waarde van \( Q \) zijn

\begin{align} P_1 \| = \dmod{x}{(g/R_1)} \\ Q_1 \| = \dmod{−y}{(f_0/R_1)} \end{align}

Deze \( P_1, Q_1, R_1 \) voldoen aan vergelijkingen \eqref{eq:PQR}ff, want

\begin{equation} \dfloorratio{f_0P_1}{g} = \dfloorratio{dQ_1 + R_1}{g} = Q_1 + \dfloorratio{R_1}{g} = Q_1 \end{equation}

omdat \( \dfloor{R_1/g} = 0 \) omdat \( R_1 = \gcd(f_0,g) \lt g \) omdat \( f_0 \lt g \). En als \( Q_1 \) past dan past \( R_1 \) ook.

Als \( P_1 ≥ R_1 \) dan hebben we hiermee al geschikte \( \{ P, Q, R \} \) gevonden. Er zijn meestal nog meer goede combinaties van \( \{ P, Q, R \} \). Als je die allemaal wilt vinden dan kan dat als volgt.

Als \( P_1 \), \( Q_1 \) en \( R_1 \) bij elkaar horen, dan horen ook \( n P_1 \), \( n Q_1 \) en \( n R_1 \) bij elkaar, maar \( \{ n P_1, n Q_1, n R_1 \} \) is precies even geschikt of ongeschikt als \( \{ P_1, Q_1, R_1 \} \).

Als \( P \) en \( Q \) bij \( R \) horen dan horen ook \( P + k g/R_1 \) en \( Q + kf_0/R_1 \) voor willekeurige hele \( k \) bij diezelfde \( R \), want

\begin{align} f_0 \dparen{P + k\dfrac{g}{R_1}} − g \dparen{Q + k\dfrac{f_0}{R_1}} \notag \\ = f_0 P − g Q + k\dfrac{f_0 g}{R_1} − k \dfrac{f_0 g}{R_1} \notag \\ = f_0 P − g Q = R \end{align}

dus we kunnen een willekeurig veelvoud van \( g/R_1 \) bij \( P \) optellen als we het overeenkomstige veelvoud van \( f_0/R_1 \) bij \( Q \) optellen, en dan horen die nieuwe \( P \) en \( Q \) bij dezelfde \( R \) als de oude \( P \) en \( Q \). Dat suggereert zoiets als \( P = \dmod{n P_1}{(g/R_1)} \), maar dat blijft altijd kleiner dan \( g/R_1 \) terwijl ook mogelijk grotere \( P \) tot aan \( w/f_0 \) interessant kunnen zijn. Daarom nemen we

\begin{align} P \| = \dmod{n P_1}{m_P} \\ m_P \| ≜ \dfrac{g n_*}{R_1} \\ m_Q \| ≜ \dfrac{f_0 n_*}{R_1} \\ n_* \| ≜ \dceilratio{w}{f_0 P_1} \end{align}

dan is

\begin{align} P \| = \dmod{n P_1}{m_P} \\ f_0 P \| = f_0 \dmod{n P_1}{m_P} = f_0 m_P \dmod{\dfrac{n P_1}{m_P}}{1} \notag \\ \| = g m_Q \dmod{\dfrac{n f_0 P_1}{f_0 m_P}}{1} = g m_Q \dmod{\dfrac{n \dparen{g Q_1 + R_1}}{g m_Q}}{1} \notag \\ \| = g m_Q \dmod{\dfrac{n \dparen{Q_1 + \dfrac{R_1}{g}}}{m_Q}}{1} = g \dmod{n Q_1 + \dfrac{n R_1}{g}}{m_Q} \\ Q \| = \dfloorratio{f_0 P}{g} = \dfloor{\dmod{n Q_1 + \dfrac{n R_1}{g}}{m_Q}} \notag \\ \| = \dmod{\dfloor{n Q_1 + \dfrac{n R_1}{g}}}{m_Q} \eqvide{eq:modfloor} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g}}{m_Q} \\ R \| = f_0 P − g Q = g \dmod{n Q_1 + \dfrac{n R_1}{g}}{m_Q} − g \dmod{n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g}}{m_Q} \notag \\ \| = g \dmod{n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g} + \dmod{\dfrac{n R_1}{g}}{1}}{m_Q} − g \dmod{n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g}}{m_Q} \notag \\ \| = g \dparen{\dmod{a + b}{m_Q} − \dmod{a}{m_Q}} \\ a \| = n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g} \\ b \| = \dmod{\dfrac{n R_1}{g}}{1} \\ \dmod{a + b}{m_Q} \| = \dmod{a}{m_Q} + \dmod{b}{m_Q} − m_Q C\dparen{\dmod{a}{m_Q} + \dmod{b}{m_Q} ≥ m_Q} \end{align}

Er geldt \( m_Q ≥ 1 \) en \( 0 ≤ b \lt 1 \) dus \( \dmod{b}{m_Q} = b \). Er geldt ook \( 0 ≤ \dmod{a}{m_Q} ≤ m_Q − 1 \) (omdat \( a \) en \( m_Q \) hele getallen zijn), dus \( 0 ≤ \dmod{a}{m_Q} + \dmod{b}{m_Q} \lt m_Q \) dus aan de voorwaarde binnen \( C(•) \) is nooit voldaan, dus die term valt weg. Al met al vinden we

\begin{align} \dmod{a + b}{m_Q} \| = \dmod{a}{m_Q} + b \\ R \| = g b = g \dmod{\dfrac{n R_1}{g}}{1} = \dmod{n R_1}{g} \end{align}

dus

\begin{align} P \| = \dmod{nP_1}{m_P} \\ Q \| = \dmod{n Q_1 + \dfloorratio{n R_1}{g}}{m_Q} \\ R \| = \dmod{n R_1}{g} \end{align}

Voor de berekening is deze vorm handiger:

\begin{align} P \| = \dmod{n P_1}{m_P} \\ \{ ρ, R \} \| = \Div(n R_1, g) \\ Q \| = \dmod{n Q_1 + ρ}{m_Q} \end{align}

Als je \( m_P \) optelt bij \( n \) dan vind je dezelfde \( P \), \( Q \) en \( R \) als voor \( n \), want

\begin{align} \dmod{(n + m_P)P_1}{m_P} \| = \dmod{n P_1 + n m_P}{m_P} = \dmod{n P_1}{m_P} \\ \dmod{(n + m_P)R_1}{g} \| = \dmod{n R_1 + n_* \dfrac{g}{R_1} R_1}{g} = \dmod{n R_1 + n_* g}{g} = \dmod{n R_1}{g} \end{align} \begin{align} \| \dmod{(n + m_P)Q_1 + \dfloorratio{(n + m_P)R_1}{g}}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + m_P Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g} + \dfrac{m_P R_1}{g}}}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + m_P Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g} + n_*}}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g}} + m_P Q_1 + n_*}{m_Q} \qquad (n_* ∥ 1) \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g}} + m_P \dparen{Q_1 + \dfrac{R_1}{g}}}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g}} + m_Q \dfrac{g}{f_0} \dfrac{f_0 P_1}{g}}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g}} + m_Q P_1}{m_Q} \notag \\ \| = \dmod{n Q_1 + \dfloor{\dfrac{n R_1}{g}}}{m_Q} \end{align}

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

Je kunt geschikte \( \{ P, Q, R \} \) vinden door alle \( m_P − 1 \) unieke waarden van \( n \) te proberen, maar een meer gerichte zoektocht kan minder werk zijn.

Begin de zoektocht naar goede \( \{ P, Q, R \} \) bij de kleinste \( R \), want dat geeft de beste kans op succes. De kleinst mogelijke \( R = \dmod{n R_1}{g} \) is \( R_1 \). Daarbij hoort \( n ≡ 1 \pmod{g/R_1} \). We hoeven niet te kijken naar waarden van \( n \) die groter of gelijk zijn aan \( m_P \), want dan herhalen \( \{ P, Q, R \} \) zich weer. We nemen

\begin{equation} n = j + k \dfrac{g}{R_1} \end{equation}

voor \( j \) van 1 tot en met \( (g/R_1) − 1 \) en \( k \) van 0 tot en met \( n_* − 1 \). \( k \) moet niet groter zijn, want als \( k = n_* \) dan is \( n = j + n_* (g/R_1) = m_P + j ≥ m_P \) en dat is te hoog. En \( j \) moet niet groter zijn, want als \( j = (g/R_1) \) en \( k = n_* − 1 \) dan is \( n = (g/R_1) + (n_* − 1)(g/R_1) = m_P \) en ook dat is te hoog.

De bijbehorende \( \{ P, Q, R \} \) zijn dan

\begin{align} P \| = \dmod{n P_1}{m_P} = \dmod{j P_1 + k P_1 \dfrac{g}{R_1}}{m_P} = \dmod{j P_1 + k \dmod{P_1}{n_*} \dfrac{g}{R_1}}{m_P} \\ \{ ρ, R \} \| = \Div(j R_1, g) \\ Q \| = \dmod{n Q_1 + ρ + k}{m_Q} \end{align}

Merk op dat \( R \) afhangt van \( j \) maar niet van \( k \), dus als je voor een gegeven waarde van \( j \) alle waarden van \( k \) afloopt dan heb je alle waarden van \( P \) gehad die horen bij die \( R \).

Als \( n_* = 1 \) dan hangt \( P \) niet af van \( k \) dus is er dan per waarde van \( R \) maar één waarde van \( P \).

Als \( n_* \gt 1 \) dan zijn er voor elke \( j \) (dus \( R \)) \( n_* \gt 1 \) waarden van \( P \) om te bekijken. Als er een geschikte \( P \) te vinden is dan zal \( j = 1 \) meestal wel zo'n geschikte \( P \) opleveren.

We hoeven niet te kijken naar \( P \gt P_\text{max} \), en we zoeken naar \( R ≤ P \), dus de grootste waarde van \( R \) waar we naar hoeven te kijken is \( P_\text{max} \). Daaruit volgt dat de grootste \( j \) die je hoeft te bekijken ongeveer gelijk is aan

\begin{equation} \max(j) = \dfloorratio{P_\text{max}}{R_1} ≈ \dfloorratio{w}{f_0 R_1} \label{eq:maxj} \end{equation}

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

 ✓ 

Er kunnen meerdere bruikbare combinaties van \( \{ P, Q, R \} \) zijn, en die zijn dan allemaal goed genoeg. Binnen die groep geven we de voorkeur aan kleine \( P \), \( Q \), \( R \), want dat rekent en leest gemakkelijker.

15.3. Simpele kalender

We spreken voor het gemak over een kalender met alleen "dagen" en "maanden", waarbij de maanden langer zijn dan dagen, maar de formules werken natuurlijk ook voor andere tijdseenheden. Over kalenders met meer dan twee tijdseenheden hebben we het later.

We geven met \( m \) het maandnummer aan, met \( d \) het dagnummer in de maand, en met \( s \) het doorlopende dagnummer dat het begin- of eindpunt van de berekening is.

15.3.1. Van maand en dagnummer in de maand naar lopende dagnummer

In het simpelste geval is de gemiddelde lengte van de maand gelijk aan \( p \) dagen en zijn alle maanden óf \( ⌊p⌋ \) óf \( ⌊p⌋ + 1 \) dagen lang. We noemen de kortste maandlengte \( q \), en de fractie van de maanden die lang zijn noemen we \( ψ \). Dan

\begin{eqnarray} q \| = \| \dfloor{p} \\ p \| = \| q + ψ \end{eqnarray}

Het doorlopende dagnummer \( s \) hangt op de volgende manier af van maandnummer \( m \) en dagnummer-in-de-maand \( d \):

\begin{eqnarray} σ \| ≡ \| ⌊pm + b⌋ \label{eq:sm} \\ s \| ≡ \| σ + d \label{eq:s} \end{eqnarray}

waarbij \( m, d, s, σ \) hele getallen zijn, en \( p ≥ 1 \) en \( b \) voor een bepaalde kalender vaste waarden hebben. De eerste maand heeft \( m = 0 \) en de eerste dag van de maand heeft \( d = 0 \), want dat rekent eenvoudiger. \( σ \) is het lopende dagnummer van het begin van de maand. Als er waarden van \( σ \) voor verschillende maanden van belang zijn dan schrijven we \( σ[m] \) voor de waarde van \( σ \) die hoort bij maand \( m \).

De eerste dag (\( d = 0 \)) van de eerste maand (\( m = 0 \)) heeft lopende dagnummer \( s = 0 \), dus

\begin{equation} ⌊b⌋ = 0 ⇔ 0 ≤ b \lt 1 \end{equation}

Dus \( b \) moet tussen 0 en 1 zijn (0 kan wel, 1 kan niet).

15.3.2. Maandlengte

De lengte \( L(m) \) van maand \( m \) is

\begin{eqnarray} L(m) \| = \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \| \dfloor{q (m + 1) + ψ (m + 1) + b} − \dfloor{qm + ψm + b} \notag \\ \| = \| q + \dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = \| q + \dfloor{ψm + b} + C\dparen{\dmod{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} − \dfloor{ψm + b} \eqavide{eq:splitfloor} \notag \\ \| = \| q + C\dparen{\dmod{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} \end{eqnarray}

Elke maand is \( q \) of \( q + 1 \) dagen lang. Maand \( m \) is lang (met \( q + 1 \) dagen) als \( \dmod{ψx + b}{1} ≥ 1 − ψ \). Gemiddeld is er een lange maand na elke

\begin{equation} Q = \frac{1}{ψ} \label{eq:Q} \end{equation}

maanden, maar dat is niet altijd een heel getal, dus in de praktijk is het aantal maanden tussen twee opeenvolgende lange maanden gelijk aan \( ⌊Q⌋ \) of \( ⌈Q⌉ \).

Ook geldt

\begin{align} L(m) \| = q + \dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = q + ψm + ψ + b − \dmod{ψm + b + ψ}{1} − \dparen{ψm + b − \dmod{ψm + b}{1}} \notag \\ \| = q + ψ + \dmod{ψm + b}{1} − \dmod{ψm + b + ψ}{1} \notag \\ \| = p + \dmod{ψm + b}{1} − \dmod{ψm + b + ψ}{1} \end{align}

15.3.3. Maandpatroon verschuiven

Hiermee krijgen we een bepaald patroon van lange en korte maanden. Stel dat dat precies het patroon is dat we willen, behalve dat het \( ∆m \) maanden verschoven moet worden. Dus als \( σ_* \) bij de oude kalender hoort (met \( b_* \)) en \( σ \) bij de nieuwe kalender (met \( b = b_* + ∆b \)) dan willen we dat voor alle waarden van \( m \) geldt dat

\begin{equation} σ(m + 1) − σ(m) = σ_*(m + ∆m + 1) − σ_*(m + ∆m) \end{equation}

Nu geldt

\begin{align} \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + 1) + b} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{pm + b + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{\dfloor{pm + b} + \dmod{pm + b}{1} + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{pm + b} + \dfloor{\dmod{pm + b}{1} + p} − \dfloor{pm + b} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{pm + b}{1} + p} \end{align}

en net zo

\begin{align} \| σ_*(m + ∆m + 1) − σ_*(m + ∆m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + ∆m + 1) + b_*} − \dfloor{p(m + ∆m) + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{pm + p∆m + b_* + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{\dfloor{pm + p∆m + b_*} + \dmod{pm + p∆m + b_*}{1} + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{pm + p∆m + b_*} + \dfloor{\dmod{pm + p∆m + b_*}{1} + p} − \dfloor{pm + p∆m + b_*} \notag \\ \| = \dfloor{\dmod{pm + b_* + p∆m}{1} + p} \end{align}

dus we krijgen wat we willen als

\begin{equation} b = \dmod{b_* + p∆m}{1} \end{equation}

15.3.4. Van lopende dagnummer naar maand en dagnummer in de maand

We gaan van lopende maandnummer \( m \) en dagnummer \( d \) in de maand naar lopende dagnummer \( s \) via een formule zoals

\begin{equation} s = \dfloor{pm + v} + d = σ + d \label{eq:sv} \end{equation}

waar \( v \) een willekeurig getal is. Formule \eqref{eq:s} is zoals formule \eqref{eq:sv} als \( v = b \). We zoeken voor \( m \) uit \( s \) een formule zoals

\begin{equation} m = \dceilratio{s + u − p}{p} = \dceilratio{s + u}{p} − 1 \end{equation}

Voor welke \( u \) werkt dit?

\begin{align} m \| = \dceilratio{s + u − p}{p} \notag \\ \| = \dceilratio{\dfloor{pm + v} + d + u − p}{p} \eqavide{eq:s} \notag \\ \| = \dceilratio{d + u + pm + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} \notag \\ \| = m + \dceilratio{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} \end{align}

dus dan moet gelden

\begin{eqnarray} \dceilratio{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} = 0 \notag \\ −1 \lt \dfrac{d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p}{p} ≤ 0 \notag \\ −p \lt d + u + v − \dmod{pm + v}{1} − p ≤ 0 \notag \\ \dmod{pm + v}{1} − v − d \lt u ≤ \dmod{pm + v}{1} − v − d + p \end{eqnarray}

Dit moet gelden voor all waarden van \( d \) en \( m \) die in de kalender kunnen voorkomen. Voor de linkerongelijkheid \( … \lt u \) betekent dit dat we de kleinste waarde van \( d \) invullen die kan voorkomen, want hogere waarden van \( d \) voldoen eerder aan die ongelijkheid dan lagere waarden. Dus daar kunnen we \( d = 0 \) invullen.

Voor de rechterongelijkheid \( u ≤ … \) moeten we de grootste waarde van \( d \) invullen die kan voorkomen, want lagere waarden van \( d \) voldoen eerder aan die ongelijkheid dan hogere waarden. Dus daar kunnen we \( d = L(m) − 1 \) invullen, het dagnummer-in-de-maand van de laatste dag van maand \( m \). Dat schrijven we om naar een hier handigere vorm.

\begin{align} L(m) \| = σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \dfloor{p(m + 1) + v} − \dfloor{pm + v} \notag \\ \| = \dparen{pm + v + p − \dmod{pm + v + p}{1}} − \dparen{pm + v − \dmod{pm + v}{1}} \notag \\ \| = p + \dmod{pm + v}{1} − \dmod{pm + v + p}{1} \end{align}

Daarmee vinden we

\begin{equation*} \dmod{pm + v}{1} − v \lt u ≤ \dmod{pm + v}{1} − v − \dparen{p + \dmod{pm + v}{1} − \dmod{pm + v + p}{1} − 1} + p \end{equation*}

\begin{equation} \dmod{pm + v}{1} − v \lt u ≤ \dmod{pm + v + p}{1} − v + 1 \end{equation}

Voor de linkerongelijkheid \( … \lt u \) moeten we de grootst mogelijke waarde van \( \dmod{pm + v}{1} \) aanhouden. Die is net kleiner dan 1, dus als we daar 1 invullen dan mag de \( \lt \) veranderen in \( ≤ \). Voor de rechterongelijkheid \( u ≤ … \) moeten de kleinst mogelijke waarde van \( \dmod{pm + v + p}{1} \) aanhouden, en dat is 0. Daarmee vinden we

\begin{equation} 1 − v ≤ u ≤ 1 − v \end{equation}

Voor die ongelijkheden is precies één oplossing:

\begin{equation} u = 1 − v \end{equation}

dus

\begin{equation} m = \dceilratio{s + 1 − v − p}{p} = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 \label{eq:svtom} \end{equation}

Het was hiervoor nodig om de eis \( d ≤ L(m) − 1 \) te gebruiken. Als we in plaats daarvan \( d \lt L(m) \) hadden gebruikt dan hadden we geen oplossing gevonden. Dat betekent dat je misschien het verkeerde antwoord vindt als \( s \) een gebroken getal is dat hoort bij een moment tijdens de laatste dag van de maand.

De overgang van de ene waarde van \( m \) naar de andere gebeurt als

\[ \dfrac{s + 1 − v − p}{p} \]

precies een heel getal (laten we het \( μ \) noemen) is, dus als

\[ s = pμ + p + v − 1 = p(μ + 1) + v − 1 \]

\( p \) en \( v \) hoeven geen hele getallen te zijn, dus hoeft die \( s \) waar formule \eqref{eq:svtom} naar een nieuwe maand gaat dat ook niet te zijn.

Dus moet in formule \eqref{eq:svtom} \( s \) een heel getal zijn, anders vind je misschien het verkeerde maandnummer \( m \).

En dan kunnen we ook \( d \) vinden.

\begin{align} pm \| = p\dceilratio{s + 1 − v}{p} − p \notag \\ \| = p\dparen{\dfrac{s + 1 − v}{p} + \ddom{\dfrac{s + 1 − v}{p}}{1}} − p \eqavide{eq:dom} \notag \\ \| = s + 1 − v − p + \ddom{s + 1 − v}{p} \\ d \| = s − \dfloor{pm + v} \notag \\ \| = s − \dfloor{s + 1 − p + \ddom{s + 1 − v}{p}} \notag \\ \| = −\dfloor{1 − p + \ddom{s + 1 − v}{p}} \eqavide{eq:minusfloor} (s ∥ 1) \notag \\ \| = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − v}{p}} \eqavide{eq:minusceil} \end{align}

Dus als we \( s + 1 − v \) scheiden in

\begin{equation} s + 1 − v = pμ − δ = p\dceilratio{s + 1 − v}{p} − \ddom{s + 1 − v}{p} \end{equation}

dan

\begin{align} m \| = μ − 1 \label{eq:mviaμ} \\ d \| = \dceil{p − 1 − δ} \label{eq:dviaδ} \end{align}

We kunnen dit omschrijven voor gebruik met de \( \Div \)-functie, via

\begin{equation}\{−μ,δ\} = \Div(−(s + 1 − v), p)\end{equation}

Voor de simpele kalender is \( v = b \) dus dan

\begin{align} \{−μ,δ\} \| = \Div(−(s + 1 − b), p) \\ m \| = μ − 1 = \dceilratio{s + 1 − b}{p} − 1 \label{eq:ynaarx} \\ d \| = \dceil{p − 1 − δ} = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − b}{p}} \end{align}

15.4. Met alleen hele getallen

Rekenmachines en computers rekenen meestal met een beperkt aantal cijfers achter de komma, dus kun je last krijgen van afrondingsfouten. Als \( (s + 1 − b)/p = 6.99999999998 \) maar door een hele kleine afrondfout denkt je rekenmachine dat \( (s + 1 − b)/p = 7.00000000001 \), dan vindt je rekenmachine dat \( \dceil{(s + 1 − b)/p} = 7 \) in plaats van 6, en dan vind je de verkeerde maand.

Het omvormen van formules met \( ⌈•⌉ \) of \( ⌈•⌋_1 \) naar formules met \( ⌊•⌋ \) of \( ⌊•⌉_1 \) of \( \Div \) is gemakkelijker als alleen hele getallen worden gebruikt, want voor willekeurige hele getallen \( x \) en \( y \) (\( y \gt 0 \)) geldt

\begin{align} \dceilratio{x}{y} \| = \dfloorratio{x − 1}{y} + 1 \eqavide{eq:ceil2floor} \\ \ddom{x}{y} \| = y − 1 − \dmod{x − 1}{y} \eqavide{eq:ddom2dmod} \end{align}

Als de gemiddelde lengte \( p \) een breuk is, dan kunnen we afrondingsfouten ontlopen door de formules om te schrijven tot formules met breuken. We stellen

\begin{align} p \| = \dfrac{f}{g} = q + \dfrac{h}{g} \\ q \| = \dfloorratio{f}{g} \\ h \| = \dmod{f}{g} \end{align}

met \( f \), \( g \) hele getallen groter dan nul. Dan vinden we, voor een willekeurige waarde \( x \),

\begin{equation} \dmod{x}{(f/g)} = \dmod{x}{p} = p\dmod{\dfrac{x}{p}}{1} = \dfrac{f \dmod{\dfrac{gx}{f}}{1}}{g} = \dfrac{\dmod{gx}{f}}{g} \label{eq:gmodp} \end{equation}

en net zo

\begin{equation} \ddom{x}{(f/g)} = \dfrac{\ddom{gx}{f}}{g} \label{eq:gdomp} \end{equation}

Van maand \( m \) en dag \( d \) naar lopende dagnummer \( s \) gaat dan via

\begin{equation} t ≡ vg \end{equation}

\begin{align} s \| = \dfloor{pm + v} + d \notag \\ \| = \dfloor{\dfrac{fm + vg}{g}} + d \notag \\ \| = \dfloor{\dfrac{fm + t}{g}} + d \end{align}

waarbij we eisen dat ook \( t \) een heel getal is. Als \( v \) een breuk is kun je dat altijd voor elkaar krijgen door de juiste keuze van \( g \).

Voor de lengte van de maand vinden we

\begin{equation} L(m) = q + C\dparen{\dmod{hm + t}{g} ≥ g − h}\end{equation}

Voor de berekening van \( m \) en \( d \) uit \( s \) vinden we:

\begin{align} m \| = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 = \dceilratio{gs + g − t}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g − t − 1}{f} \eqvide{eq:ceil2floor} (t,g,s,f ∥ 1) \label{eq:ynaarx2} \\ d \| = \dceil{p − 1 − \ddom{s + 1 − v}{p}} \notag \\ \| = \dceilratio{f − g − \ddom{gs + g − t}{f}}{g} \eqvide{eq:gdomp} \notag \\ \| = \dfloorratio{f − g − \ddom{gs + g − t}{f} − 1}{g} + 1 \eqvide{eq:ceil2floor} (t,g,s,f ∥ 1) \notag \\ \| = \dfloorratio{f − g − (f − 1 − \dmod{gs + g − t − 1}{f}) − 1}{g} + 1 \eqvide{eq:ddom2dmod} \notag \\ \| = \dfloorratio{\dmod{gs + g − t − 1}{f}}{g} \eqvide{eq:ddom2dmod} \end{align}

Samenvattend, van lopende maandnummer \( m \) en dagnummer \( d \) in de maand naar lopende dagnummer \( s \):

\begin{equation} s = \dfloorratio{fm + t}{g} + d \end{equation}

en van \( s \) naar \( m \) en \( d \):

\begin{align} w \| = gs + g − t − 1 \\ m \| = \dfloorratio{w}{f} \label{eq:ynaarxr} \\ d \| = \dfloorratio{\dmod{w}{f}}{g} \end{align}

Nu kun je alle berekeningen doen met breuken, die geen cijfers achter de komma hebben en dus geen afrondfouten geven.

15.5. Erg ongelijke maanden

Hierboven namen we aan dat een lange maand maar één dag langer was dan een korte maand, maar dat verschil mag best groter zijn. Stel dat korte maanden \( q \) dagen lang zijn en dat lange maanden \( q + r \) dagen lang zijn, met \( q\), \( r \) hele getallen groter dan nul, en dat een fractie \( ψ \) (tussen 0 en 1) van de maanden lang is. Dan is de gemiddelde lengte van een maand gelijk aan

\begin{equation} p = q + rψ \end{equation}

dagen. De formule om het doorlopende dagnummer \( σ \) van de eerste dag van maand \( m \) uit te rekenen is dan

\begin{equation} σ = qm + r\dfloor{ψm + b} \label{eq:sm2} \end{equation}

Als we daarin \( r = 1 \) invullen dan krijgen we

\begin{eqnarray} σ \| = \| qm + \dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = \| \dfloor{(q + ψ)m + b} \notag \\ \| = \| \dfloor{pm + b} \end{eqnarray}

dus hetzelfde als formule \eqref{eq:sm}.

Met formule \eqref{eq:sm2} is de lengte \( L(m) \) van maand \( m \)

\begin{eqnarray} L(m) \| = \| σ(m + 1) − σ(m) \notag \\ \| = \| q(m + 1) + r\dfloor{ψ(m + 1) + b} − (qm + r\dfloor{ψm + b}) \notag \\ \| = \| q + rC\dparen{\dfloor{ψm + ψ + b} − \dfloor{ψm + b}} \notag \\ \| = \| q + rC\dparen{\ddom{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1} \eqavide{eq:splitfloor} \end{eqnarray}

dus de lange maanden zijn de maanden waarvoor \(\ddom{ψm + b}{1} + ψ ≥ 1\), net als eerder bij de simpele kalender.

De formule om het doorlopende dagnummer \( s \) te berekenen uit maandnummer \( m \) en dagnummer-in-de-maand \( d \) is dan

\begin{eqnarray} s \| = \| σ + d \notag \\ \| = \| qm + r⌊ψm + b⌋ + d \label{eq:xnaary3} \end{eqnarray}

Hoe gaan we nu de andere kant op? Daartoe vergelijken we het doorlopende dagnummer dat uit vergelijking \eqref{eq:xnaary3} komt voor de eerste dag (\( d = 0 \)) van maand \( m \) met het doorlopende dagnummer dat voor dezelfde \( m \) komt uit de meest vergelijkbare simpelste kalender. We schrijven de uitkomst voor de gewenste kalender als \( σ \), en voor de simpelere vergelijkingskalender als \( σ_* \).

\begin{align} σ \| = qm + r\dfloor{ψm + b} \\ σ_* \| = qm + \dfloor{r(ψm + b)} = \dfloor{pm + rb} \label{eq:σ*} \\ ∆σ ≡ σ_* − σ \| = \dfloor{r(ψm + b)} − r\dfloor{ψm + b} \notag \\ \| = r(ψm + b) − \dmod{r(ψm + b)}{1} − \dparen{r(ψm + b) − r\dmod{ψm + b}{1}} \notag \\ \| = r\dmod{ψm + b}{1} − \dmod{r(ψm + b)}{1} \notag \\ \| = r\dmod{ψm + b}{1} − \dmod{r\dmod{ψm + b}{1}}{1} \notag \\ \| = \dfloor{r\dmod{ψm + b}{1}} \end{align}

Voor dit verschil geldt

\begin{equation} 0 \le σ_* − σ \le r − 1 \end{equation}

dus het begin van maand \( m \) in de doelkalender is tussen \( 0 \) en \( r − 1 \) dagen (inclusief) voor het begin van maand \( m \) in de simpele kalender.

Voor die simpelere kalender gebaseerd op \( σ_* \) hebben we formule \eqref{eq:svtom} om het maandnummer uit te rekenen uit het lopende dagnummer:

\[ m_*(s) = \dceilratio{s + 1 − v}{p} − 1 \]

Dat betekent dat

\begin{equation} m_↑ = m_*(s + \max(∆σ)) = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \end{equation}

groter of gelijk is aan het goede maandnummer. En

\begin{equation} m_↓ = m_*(s + \min(∆σ)) = \dceilratio{s + \min(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \end{equation}

is kleiner of gelijk is aan het goede maandnummer.

Met \( m_↑ \) vinden we

\begin{equation} d_↑ = s − σ(m_↑) \end{equation}

Als \( d_↑ \lt 0 \) dan is \( m_↑ \) te groot. Als \( d_↑ \ge 0 \) dan hebben we het juiste maandnummer gevonden, maar die \( d_↑ \) is waarschijnlijk niet het juiste dagnummer.

Kunnen we een recept vinden om \( d \) uit te rekenen met een vast aantal stappen? Zoiets als

\begin{align} m_↑ \| ≡ \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \\ d_↑ \| = s − σ(m_↑) \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

waar \( ξ \) de correctie is die we moeten toepassen op \( m_↑ \) om \( m \) te vinden. We kunnen niet in alle gevallen \( ξ \) in één keer vinden, maar soms wel als \( ξ = 0 \) of \( ξ = 1 \), dus als het verschil tussen \( m_↑ \) en \( m \) hooguit 1 is.

We moeten dan hebben dat \( ξ = 0 \) als \( d_↑ ≥ 0 \) en dat \( ξ = −1 \) als \( d_↑ \lt 0 \). Dat suggereert zoiets als

\begin{equation} ξ = \dfloorratio{d_↑}{Ξ} \end{equation}

want dat geeft \( ξ = 0 \) als \( 0 \le d_↑ \lt Ξ \) en geeft \( ξ = −1 \) als \( −Ξ \le d_↑ \lt 0 \). Wat voor waarde moeten we dan gebruiken voor \( Ξ \)? Dat hangt af van de grootste en kleinste waarden die \( d_↑ \) kan hebben, dus laten we die afleiden.

\begin{align} s \| = σ(m) + d \notag \\ \| = σ_*(m) − ∆σ(m) + d \notag \\ \| = \dfloor{pm + v} − ∆σ(m) + d \notag \\ \| = pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d \end{align}

dus

\begin{align} m_↑ − m \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 − m \notag \\ \| = \dceilratio{pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 − m \notag \\ \| = \dceilratio{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} − 1 \end{align}

Altijd geldt \( 0 \lt 1 − \dmod{•}{1} \le 1 \) en \( \max(∆σ) − ∆σ(m) \ge 0 \) en \( d ≥ 0 \) dus is het stuk tussen \( \dceil{} \) altijd groter dan 0, dus \( m_↑ − m ≥ 0 \) zoals gewenst. Wanneer is zeker \( m_↑ − m ≤ 1 \)? Dan moet

\begin{align*} \dceilratio{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} ≤ 2 \\ \dfrac{1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d}{p} ≤ 2 \\ 1 − \dmod{pm + v}{1} + \max(∆σ) − ∆σ(m) + d ≤ 2p \end{align*}

De grootste waarde die \( d \) kan hebben is \( \max(L) − 1 \), dus we hebben zeker \( m_↑ − m \le 1 \) als

\begin{equation} ρ ≡ \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p ≤ 0 \label{eq:singlepass} \end{equation}

Als \( m_↑ = m \) dan is de kleinste waarde van \( d_↑ \) gelijk aan 0 en de grootste gelijk aan \( \max(L) − 1 \).

Als \( m_↑ = m + 1 \) dan

\begin{align} d_↑ \| = s − σ(m_↑) \notag \\ \| = s − σ(m + 1) \notag \\ \| = \dparen{pm + v − \dmod{pm + v}{1} − ∆σ(m) + d} \notag \\ \| − \dparen{pm + v + p − \dmod{pm + v + p}{1} − ∆σ(m + 1)} \notag \\ \| = d − p + \dparen{\dmod{pm + v + p}{1} − \dmod{pm + v}{1}} + ∆σ(m + 1) − ∆σ(m) \notag \\ \| \gt 0 − p + \min\dparen{\dmod{pm + v + p}{1} − \dmod{pm + v}{1}} \notag \\ \| + \min(∆σ(m + 1) − ∆σ(m)) \notag \\ \| = −p + (\dmod{p}{1} − 1) + \min(∆σ(m + 1) − ∆σ(m)) \eqvide{eq:domp} \notag \\ \| = −p + \dmod{p}{1} − 1 + \min(L_*(m) − L(m)) \notag \\ \| = −\dfloor{p} − 1 + \min(L_*(m) − L(m)) \eqvide{eq:mod} \notag \\ \| ≥ −\dfloor{p} − 1 + \min(L_*) − \max(L) \notag \\ \| = −\dfloor{p} − 1 + \dfloor{p} − \max(L) \notag \\ \| = −1 − \max(L) \notag \\ d_↑ \| \gt −1 − \max(L) \\ d_↑ \| ≥ −\max(L) \end{align}

dus

\begin{equation} −\max(L) ≤ d_↑ ≤ \max(L) − 1 \end{equation}

Voor

\[ ξ = \dfloorratio{d_↑}{Ξ} \]

hebben we dan nodig dat aan allebei de volgende eisen is voldaan:

\begin{align*} \dfloorratio{−\max(L)}{Ξ} = −1 \\ \dfloorratio{\max(L) − 1}{Ξ} = 0 \end{align*}

Allebei die eisen zijn gelijkwaardig met

\begin{equation} Ξ ≥ \max(L) \end{equation}

Dus als we

\begin{equation} Ξ = \max(L) \end{equation}

gebruiken (of een grotere waarde) dan voldoen we aan beide voorwaarden.

Samengevat, als

\[ ρ = \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p ≤ 0 \]

dan

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \\ d_↑ \| = s − σ_↑ = s − σ(m_↑) \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{\max(L)} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

Met

\begin{align*} v \| = rb \\ \max(∆σ) \| = r − 1 \\ \min(∆σ) \| = 0 \\ \max(L) \|= q + r \\ p \| = q + rψ \end{align*}

vinden we

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + r − rb}{p} − 1 \label{eq:ynaarx3} \\ d_↑ \| = s − σ_↑ = s − σ(m_↑) \\ ρ \| = 2r(1 − ψ) − 1 − q \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + r} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − σ(m) \end{align}

dus \( ρ ≤ 0 \) komt overeen met

\begin{equation} r ≤ \dfrac{1}{2} \dfrac{q + 1}{1 − ψ} ≥ q + 1 \end{equation}

Als \( ρ \gt 0 \) dan werkt bovenstaand recept niet altijd dus dan is dat recept niet geschikt. Zie dan hoofdstuk 15.7.

Als \( p = f/g \), \( ψ = h/g\) en \( b = t/g \) breuken zijn (\( f, g, h, t \) zijn hele getallen met \( f \gt g \gt 0 \), \( 0 \le h, t \lt g \)) dan vinden we

\begin{align} s \| = σ + d = qm + r\dfloorratio{hm + t}{g} + d \label{eq:xnaary3r} \\ m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\max(∆σ) + g − gv}{f} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\max(∆σ) + g − t}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g\max(∆σ) + g − t − 1}{f} \eqavide{eq:ceil2floor} \\ ρ \| = 2r\dparen{1 − \dfrac{h}{g}} − 1 − q \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − r\dfloorratio{hm_↑ + t}{g} \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + r} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − qm − r\dfloorratio{hm + t}{g} \end{align}

15.6. Veel soorten ongelijke maanden

Nu laten we toe dat er nog meer verschillende maandsoorten zijn met verschillende lengtes. In formule \eqref{eq:xnaary3} gaf \( \dfloor{ψm + b} \) het patroon van lange maanden (met verschuiving naar wens). We laten nu een willekeurig aantal van die patronen toe, elk met hun eigen lengteverschil \( r_i \) (dat positief of negatief mag zijn), voorkomstfractie \( 0 \lt ψ_i \lt 1 \) en verschuiving \( b_i \). Dan vinden we

\begin{align} σ \| = qm + \sum_{i}r_i \dfloor{ψ_im + b_i} \\ s = σ + d \| = qm + \sum_{i}r_i \dfloor{ψ_im + b_i} + d \label{eq:xnaary4} \end{align}

De afleiding van de formule in omgekeerde richting gaat analoog aan die van formule \eqref{eq:ynaarx3}. We vinden

\begin{align} σ_* \| = qm + \dfloor{\sum_i r_i (ψ_i m + b_i)} \notag \\ \| = \dfloor{pm + \sum_i r_i b_i} \notag \\ \| = pm + \sum_i r_i b_i − \dmod{\sum_i r_i \dparen{ψ_i m + b_i}}{1} \label{eq:σ*∑} \eqavide{eq:mod} \\ ∆σ = σ_* − σ \| = \dfloor{\sum_{i}r_{i}(ψ_{i}m + b)} − \sum_{i} r_{i}\dfloor{ψ_{i}m + b_{i}} \notag \\ \| = \dfloor{\sum_{i} r_{i}\dmod{ψ_{i}m + b_{i}}{1}} \eqavide{eq:dmoddiff1} \notag \end{align}

dus

\begin{align} v \| = \sum_i r_ib_i \\ \max(L) \| ≤ q + \sum_{r_i \gt 0} r_i \\ \max(∆σ) \| ≤ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − 1 \\ \min(∆σ) \| ≥ \sum_{r_i \lt 0} r_i \\ ρ \| = \max(∆σ) − \min(∆σ) + \max(L) − 2p \notag \\ \| ≤ 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} \end{align}

We mogen voor \( \max(L) \) in onderstaande formules best een hogere waarde invullen, zoals de waarde die hierboven aan de rechterkant van \( \max(L) ≤ \) staat, en net zo voor de andere ongelijkheden. We doen daarom hieronder voor het gemak alsof die ongelijkheden gelijkheden zijn.

En dus

\begin{align} m_↑ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{s + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \sum_i r_i b_i}{p} − 1 \label{eq:ynaarx4} \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − \sum_i r_i\dfloor{ψ_i m_↑ + b_i} \\ ρ \| = 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} \end{align}

Als \( ρ ≤ 0 \) dan schelen \( m \) en \( m_↑ \) hooguit 1. Die eis komt overeen met

\begin{align} 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} \| + \dparen{\sum_{i} |r_i|} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} ≤ 0 \notag \\ \sum_{r_i \gt 0} r_i \| ≤ q + 1 + 2\dparen{\sum_i r_i ψ_i} − \dparen{\sum_{i} |r_i|} \eqavide{eq:singlepass} \end{align}

Dan

\begin{align} ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + \sum_{r_i \gt 0} r_i} \\ m \| = m_↑ + ξ \label{eq:xζ4} \\ d \| = s − qm − \sum_i r_i\dfloor{ψ_i m + b_i} \end{align}

Als alle \( ψ_i = h_i/g_i \) en \( b_i = t_i/g_i \), en als aan eis \eqref{eq:singlepass} is voldaan

\begin{align} p \| = q + \sum_i r_iψ_i = q + \sum_i \dfrac{r_i h_i}{g_i} \\ g \| = \lcm(g_i) \\ γ_i \| = \dfrac{g}{g_i} \\ f \| = pg = gq + \sum_i γ_i r_i h_i \\ s \| = qm + \sum_i r_i\dfloorratio{h_im + t_i}{g_i} + d \label{eq:xnaary4r} \\ m_↑ \| = \dceilratio{s + \dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i r_i b_i}}{f/g} − 1 \notag \\ \| = \dceilratio{gs + g\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i γ_i r_i t_i}}{f} − 1 \notag \\ \| = \dfloorratio{gs + g\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_i γ_i r_i t_i} − 1}{f} \label{eq:ynaarx4r} \\ d_↑ \| = s − qm_↑ − \sum_i r_i\dfloorratio{h_im_↑ + t_i}{g_i} \\ ρ \| = 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i \dfrac{r_i h_i}{g_i}} \\ ξ \| = \dfloorratio{d_↑}{q + \sum_{r_i \gt 0} r_i} \\ m \| = m_↑ + ξ \\ d \| = s − qm − \sum_i r_i\dfloorratio{h_im + t_i}{g_i} \end{align}

\( g \) is het kleinste gemene veelvoud van de noemers van alle \( ψ_i \) en \( b_i \).

15.7. Heel erg ongelijke maanden

Voorgaande methoden voor het berekenen van de kalenderdatum uit het doorlopende dagnummer voor kalenders met erg ongelijke maanden gingen er van uit dat de variatie in maandlengtes voldoende klein is dan het maandnummer berekend met de overeenkomstige simpele kalender hooguit eentje fout is: \( 2\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i} − q − 1 − 2\dparen{\sum_i r_iψ_i} ≤ 0 \). Wat nu als aan die voorwaarde niet voldaan is?

In dat geval zul je de juiste maand moeten vinden door te zoeken. Probeer eerst maandnummer \( m_↑ \) en reken de bijbehorende \( d_↑\) en \( ξ \) uit. Is deze \( ξ \lt 0 \)? Trek dan 1 af van \( m_↑ \) en probeer opnieuw, net zo lang tot \( ξ = 0 \): dan heb je de juiste \( m \) gevonden.

Pas op! In eerdere hoofdstukken telden we \( ξ \) op bij \( m_↑ \) om het maandnummer te corrigeren, maar hier zijn we er niet zeker van dat we dan nooit een te klein maandnummer vinden. Een te groot maandnummer is eenvoudig te herkennen (dan is \( d_↑ \lt 0 \)) maar een te klein maandnummer niet. Dus hier moeten we niet \( ξ \) erbij tellen. Als \( ξ \lt 0 \), trek dan 1 af van het maandnummer en probeer het met dat nieuwe maandnummer, net zo lang tot \( ξ = 0 \).

Je kunt deze procedure desgewenst ook gebruiken als wel aan eis \eqref{eq:singlepass} is voldaan.

Het grootste aantal maandnummers dat je misschien moet nakijken voordat je de goede gevonden hebt is gelijk aan de maximale waarde die \( m_↑ − m_↓ \) kan bereiken, plus 1.

\begin{align} m_↑ − m_↓ \| = \dceilratio{s + \max(∆σ) + 1 − v}{p} − \dceilratio{s + \min(∆σ) + 1 − v}{p} \\ \| ≤ \dceilratio{\max(∆σ) − \min(∆σ)}{p} + 1 \eqvide{eq:ceildiffrange} \end{align}

dus het aantal maanden dat je hooguit hoeft te proberen is ten hoogste

\begin{equation} N = \dceilratio{\max(∆σ) − \min(∆σ)}{p} + 2 \end{equation}

Voor een kalender met twee maandlengtes wordt dat

\begin{equation} N = \dceilratio{r − 1}{p} + 2 \end{equation}

en voor een kalender met meer maandlengtes

\begin{align} N \| ≤ \dceilratio{\dparen{\sum_{r_i \gt 0} r_i} − \dparen{\sum_{r_i \lt 0} r_i}}{p} + 2 \\ \| = \dceilratio{\sum_i |r_i|}{p} + 2 \end{align}

15.8. Maandlengtes zonder intern patroon

In het voorgaande beschouwden we kalenders waarvan de maandlengtes uit te drukken zijn als de som van verschillende patronen, bijvoorbeeld met elke tweede maand een dag extra en bovendien elke derde maand nog eens twee dagen extra, zodat elke zesde maand in totaal drie dagen extra krijgt. Maar wat nu als de maandlengtes zichzelf na een bepaald aantal herhalen maar er verder geen patroon in te ontdekken valt?

De kalender heeft \( f \) dagen in \( g \) maanden, met een gemiddelde maandlengte gelijk aan \( p = f/g \) dagen. Het verband tussen het lopende dagnummer \( s \) en het lopende maandnummer \( m \) is een trapfunctie: na een (wisselend) aantal dagen neemt het maandnummer toe met één. Zo'n trede van één die gebeurt net vóór dag \( a \) en zich elke \( f \) dagen weer herhaalt krijgen we met een functie

\begin{equation} \dfloorratio{s − a}{f} + 1 = \dfloorratio{s + f − a}{f} \end{equation}

De \( + 1 \) zorgt ervoor dat de uitkomst 0 is voor \( s \lt a \) en 1 voor \( s ≥ a \).

Als er \( g \) maanden zijn, elk met hun eigen \( a_i \) (voor \( i \) van 0 tot en met \( g − 1 \)), dan is hun gecombineerde effect

\begin{equation} \sum_{i=0}^{g−1} \dparen{\dfloorratio{s − a_i}{f} + 1} = g + \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s − a_i}{f} = \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s + f − a_i}{f} \end{equation}

We willen zoals gewoonlijk dat maand \( m = 0 \) begint als \( s = 0 \), dus dan moet \( a_0 = 0 \) zijn.

Als de opeenvolgende maandlengtes gelijk zijn aan \( L_i \), dan zit de eerste trede bij \( a_0 = 0 \), de tweede bij \( a_1 = a_0 + L_0 = L_0 \), de derde bij \( a_2 = a_1 + L_1 = L_0 + L_1 \), en in het algemeen

\begin{equation} a_i = \sum_{j=0}^{i-1} L_j \end{equation}

Daarmee is

\begin{equation} m = \sum_{i=0}^{g−1} \dfloorratio{s + f − \sum_{j=0}^{i−1} L_j}{f} \label{eq:willekeurigynaarx} \end{equation}

De andere kant op hebben we ook treden, maar nu wisselen dagen en maanden van rol als lengte en hoogte van de treden. Daarmee wordt de formule voor het lopende dagnummer \( σ \) van de eerste dag van maand \( m \):

\begin{equation} σ = \sum_{i=0}^{g−1} L_i \dfloorratio{m + g − 1 − i}{g} \end{equation}

De formule om van het lopende maandnummer \( m \) en het dagnummer-in-de-maand \( d \) te gaan naar lopende dagnummer \( s \) (allen beginnend bij 0) is dan (met \( i \) die loopt van 0 tot en met \( g − 1 \))

\begin{equation} s = σ + d = \sum_{i=0}^{g−1} m_i \dfloorratio{m + g − 1 − i}{g} + d \label{willekeurigxnaary} \end{equation}

Deze formules zijn (als je de sommaties uitschrijft) een stuk langer dan de formules die we eerder afleidden voor kalenders met interne patronen, dus het is voordelig als je voor een kalender zulke interne patronen herkent, maar lang niet alle kalenders hebben zulke patronen.

De simpele kalender uit hoofdstuk 15.3 heeft \( s = \dfloor{pm + b} + d \). Om die kalender het begin van maand \( m \) op lopende dag \( s \) te laten leggen moeten we dus hebben \( s = \dfloor{pm + b} \) waaruit volgt dat \( s ≤ pm + b \lt s + 1 \) ofwel (voor \( m \gt 0 \)) \( (s − b)/m ≤ p \lt (s + 1 − b)/m \). We weten dat \( 0 ≤ b \lt 1 \), dus

\[ \frac{s − 1}{m} \lt \frac{s − b}{m} \le p \lt \frac{s + 1 − b}{p} \le \frac{s + 1}{p} \]

dus

\begin{equation} \frac{s − 1}{m} \lt p \lt \frac{s + 1}{m} \label{eq:beperkp} \end{equation}

Niet elke \( p \) die hieraan voldoet geeft een simpele kalender, maar als een \( p \) hieraan niet voldoet voor tenminste één van de maanden dan is er zeker geen simpele kalender voor deze maandlengtes.

15.9. Combinaties van rechte lijnen

Het is zeldzaam dat een kalender volledig bepaald is door alleen één periode \( p \), dus meestal moet je verschillende perioden combineren. Stel we hebben formules voor twee perioden:

\begin{align} y_1 \| = D_1(\{ x_1, z_1 \}) \\ y_2 \| = D_2(\{ x_2, z_2 \}) \end{align}

We gebruiken hier geen \( m \), \( d \) en \( s \) omdat we de vrijheid willen hebben om andere kalendereenheden dan maanden en dagen te gebruiken. \( x \) telt de grotere eenheid, en \( y \) en \( z \) tellen de kleinere eenheid. \( y \) is het lopende aantal van die kleinere eenheid, en \( z \) is het aantal van die kleinere eenheid sinds de eerste in de meest recente grotere eenheid. Relatie \( D_1 \) zegt dat je \( y_1 \) uit kunt rekenen uit \( x_1 \) en \( z_1 \), en net zo voor \( D_2 \).

De andere kant op hebben we

\begin{align} \{ x_1, z_1 \} \| = U_1(y_1) \\ \{ x_2, z_2 \} \| = U_2(y_2) \end{align}

waar \( U \) en \( D \) elkaars inverse zijn:

\begin{align} y \| = D(U(y)) \\ \{ x, z \} \| = U(D(\{ x, z \})) \end{align}

Om van de kalenderdatum naar het lopende dagnummer te gaan passen we eerst \( D_1 \) toe en dan \( D_2 \). Er zijn twee manieren om deze te combineren: We kunnen de \( y_1 \) gelijk stellen aan \( z_2 \), of aan \( x_2 \). In het eerste geval hebben de twee relaties dezelfde schrikkeleenheden, bijvoorbeeld dagen. In het tweede geval hebben de twee perioden verschillende schrikkeleenheden (bijvoorbeeld soms een extra dag voor de eerste, en soms een extra maand voor de tweede). Als de grotere periode helemaal geen schrikkeleenheden nodig heeft, dan mag je kiezen welke combinatiemethode je wilt gebruiken.

Laten we het eerste geval de "vlakke" combinatie noemen, omdat de schrikkeleenheid hetzelfde blijft, en het tweede geval de "getrapte" combinatie, omdat de schrikkeleenheid een trapje hoger gaat.

De combinatie van maanden en jaren is in de meeste (misschien alle?) zonnekalenders (zoals de Gregoriaanse kalender, de Juliaanse kalender en de Egyptische kalender) vlak, dus van de eerste soort. Een maand kan een dagje korter of langer zijn dan een andere maand (en precies één maand kan veel korter zijn), en een jaar kan een dagje korter of langer zijn dan een ander jaar. De lengte van een jaar hangt niet af van de lengte van de maanden, want de regels voor de lengte van het jaar hangen af van het jaartal maar niet van een maandnummer.

De combinatie van maanden en jaren in een zongebonden maankalender (zoals de Joodse en Babylonische kalenders) kan vlak zijn met erg ongelijke jaarlengtes (\( r \gt 1 \)), of getrapt (dan meestal met \( r = 1 \)). Een maand kan een dagje korter of langer zijn dan een andere maand, en een jaar kan een maand korter of langer zijn dan een ander jaar. (Voor de vlakke combinatie kan één maand van het jaar een stuk korter zijn.) Op deze manier kun je twee afzonderlijke (astronomische) verschijnselen volgen: de beweging van de Zon (met het jaar), en de beweging van de Maan (met de maand). Als de combinatie getrapt is dan hangt de lengte van een jaar af van de lengte van de maanden, want de lengte van het jaar is dan een bepaald aantal maanden, niet een bepaald aantal dagen.

Niet-zongebonden maankalenders (zoals de administratieve Islamitische kalender) doen meestal niet aan schrikkeljaren, dus dan werken allebei de combinatiemethoden.

Als een kalender meer dan twee belangrijke grote perioden heeft met schrikkelregels (bijvoorbeeld niet alleen voor de maand en het jaar, maar ook voor de eeuw), dan is het mogelijk dat sommige combinaties vlak zijn en andere combinaties getrapt.

Als we met meer dan één periode rekening moeten houden dan is het voor het omrekenen van een doorlopend dagnummer naar een kalenderdatum rekentechnisch belangrijk dat de nummering binnen elk zulke periode begint bij 0.

15.9.1. Vlakke combinatie

In dit geval is \( z_2 = y_1 \), dus we vinden

\begin{align} y_1 \| = D_1\dparen{\{x_1, z_1\}} \\ y_2 \| = D_2\dparen{\{x_2, z_2\}} = D_2\dparen{\{x_2, D_1\dparen{\{x_1, z_1\}}\}} \label{eq:vlak} \end{align}

en omgekeerd

\begin{align} \{ x_2, z_2 \} \| = U_2(y_2) \label{eq:vlakr} \\ \{ x_1, z_1 \} \| = U_1(z_2) \end{align}

of, schematisch

  x₂ ──────────┐
  x₁ ┐         │
  z₁ ┴ y₁ = z₂ ┴ y₂

De onderste rij heeft de kleinste kalendereenheid, meestal dagen. Steeds hogere rijen hebben steeds grotere tijdseenheden, bijvoorbeeld maanden en jaren. \( x_2 \) zou dan bijvoorbeeld het jaartal zijn, \( x_1 \) het maandnummer in het jaar, \( z_1 \) het dagnummer in de maand, \( y_1 \) het dagnummer in het jaar, en \( y_2 \) het lopende dagnummer.

Voor het berekenen van de kalenderdatum uit het doorlopende dagnummer moeten we eerst de grotere periode berekenen (\( x_2 \), \( z_2 \)), en daarna de kleinere (\( x_1 \), \( z_1 \)).

15.9.2. Getrapte combinatie

In dit geval is \( x_2 = y_1 \), dus we vinden

\begin{align} y_1 \| = D_1\dparen{\{x_1, z_1\}} \\ y_2 \| = D_2\dparen{\{x_2, z_2\}} = D_2\dparen{D_1\dparen{\{x_1, z_1\}, z_2}} \end{align}

en omgekeerd

\begin{align} \{x_2, z_2\} \| = U_2(y_2) \\ \{x_1, z_1\} \| = U_1(x_2) \end{align}

of, schematisch

  x₁ ┐
  z₁ ┴ y₁ = x₂ ┐
  z₂ ──────────┴ y₂

Hier kan bijvoorbeeld \( x_1 \) het jaartal zijn, \( z_1 \) het maandnummer in het jaar, \( z_2 \) het dagnummer in de maand, \( y_1 \) het doorlopende maandnummer, en \( y_2 \) het doorlopende dagnummer.

15.10. Gelijktijdige cycli

In de meeste kalenders zijn er hogere en lagere perioden, en verandert het nummer van een hogere periode veel minder vaak dan het nummer van een lagere periode. Op de 7e dag van de 3e maand volgt de 8e dag van de 3e maand − het maandnummer verandert veel minder vaak dan het dagnummer.

Sommige kalenders hebben verschillende perioden die gelijktijdig oplopen. Ook de meestgebruikte kalenders hebben vaak zo'n geval, in de vorm van weekdagen en dagen van de maand. Als het een dag later wordt, dan verandert het dagnummer in de maand en ook de weekdag. Op maandag de 7e volgt dinsdag de 8e − het dagnummer en de weekdag veranderen even snel.

We hebben de weekdag niet nodig om een bepaalde dag uniek aan te wijzen (30 augustus 2011 wijst precies één dag aan, daarvoor hoeven we niet te weten dat dat een dinsdag was), dus komt de weekdag vaak niet voor in kalenderberekeningen. Echter, er zijn ook kalenders (bijvoorbeeld de kalenders van Midden-Amerika) waarin gelijktijdige perioden wel gebruikt worden om een bepaalde dag aan te wijzen. Hieronder bekijken we zulke gevallen.

Stel, een kalender gebruikt gelijktijdig perioden \( p_i \) (allemaal hele getallen groter dan 1) voor \( i \) van 1 tot en met \( n \). Het dagnummer in elke periode begint bij 0. We schrijven een datum in die kalender als \( \{x\} = \{x_1,x_2,…,x_n\} \), waarin \( x_i \) het dagnummer uit periode \( i \) is. Als \( x_i \) gelijk is aan \( p_i − 1 \), dan heeft de volgende dag weer \( x_i = 0 \).

15.10.1. Van doorlopend dagnummer naar datum

Om een doorlopend dagnummer \( s \) om te rekenen naar \( \{x\} \) kunnen we dan de volgende formule gebruiken:

\begin{equation} x_i = ⌊s + a_i⌉_{p_i} = (s + a_i) \bmod p_i \label{eq:cycli} \end{equation}

Hierin is \( a_i \) de waarde die \( x_i \) krijgt als \( s = 0 \). Die waarde hangt af van de kalender.

15.10.2. Van datum naar doorlopend dagnummer

Het is een stuk lastiger om de andere kant op te gaan. Dan moeten we een \( s \) vinden zodat voor alle \( i \) aan vergelijking \eqref{eq:cycli} voldaan is, ofwel

\begin{equation} s ≡ x_i − a_i \pmod{p_i} \end{equation}

We definiëren

\begin{equation} c_i = x_i − a_i \end{equation}

We bekijken eerst het geval \( n = 2 \). Dan moeten we \( s \) oplossen uit

\begin{align} s \| ≡ c_1 \pmod{p_1} \label{eq:c1} \\ s \| ≡ c_2 \pmod{p_2} \label{eq:c2} \end{align}

Er zijn alleen oplossingen als

\begin{equation} c_1 ≡ c_2 \pmod{g} \end{equation}

waar

\begin{equation} g = \gcd(p_1, p_2) \end{equation}

de grootste gemene deler van \( p_1 \) en \( p_2 \) is, dus we nemen aan dat hieraan voldaan is. Dan zijn er getallen \( n_1, n_2 \) te vinden waarvoor geldt

\begin{equation} g = n_1 p_1 + n_2 p_2 \end{equation}

en dan zijn de oplossingen

\begin{equation} s ≡ \dfrac{c_1 n_2 p_2 + c_2 n_1 p_1}{g} \pmod{\dfrac{p_1 p_2}{g}} \label{eq:cyclitoj} \end{equation}

De tellers van deze breuken bevatten een deler \( g \) dus deze delingen leveren altijd hele getallen op.

Let op! Formule \eqref{eq:cyclitoj} geeft alleen zinnige resultaten voor \( \{x\} \) die ook echt in de kalender voorkomen. Als \( g \) niet gelijk is aan 1, dan komen niet alle mogelijke \( \{x\} \) voor. Als je een \( \{x\} \) invult die niet in de kalender voorkomt, dan komt er toch een redelijk uitziend resultaat uit de formule, maar dat klopt dan niet.

15.10.3. Meer dan twee cycli

Met behulp van formule \eqref{eq:cyclitoj} komt uit \( s ≡ c_1 \pmod{p_1} \) en \( s ≡ c_2 \pmod{p_2} \) een andere formule \( s ≡ C_2 \pmod{P_2} \) met

\begin{align} C_2 \| ≡ \dfrac{c_1n_2p_2 + c_2n_1p_1}{\gcd(p_1, p_2)} \\ P_2 \| ≡ \dfrac{p_1p_2}{\gcd(p_1, p_2)} \end{align}

Die formule heeft weer dezelfde vorm als de twee formules waar we mee begonnen, dus kunnen we die formule weer op dezelfde manier combineren met \( s ≡ c_3 \pmod{p_3} \), en zo door tot we alle \( p_i \) gehad hebben. Uiteindelijk vinden we een formule die weer diezelfde vorm heeft \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \) en dat is dan de uiteindelijke oplossing.

De procedure is dan als volgt. Gegeven \( x_i \), \( p_i \), \( a_i \) voor \( i \) van 1 tot en met \( n \),

1. Zet

   \begin{align*} C_1 \| = x_1 − a_1 \\ P_1 \| = p_1 \end{align*}

2. Voor \( i \) van 2 tot en met \( n \):

   1. Bereken \( g_i = \gcd(P_{i−1}, p_i) \), de grootste gemene deler van \( P_{i−1} \) en \( p_i \).

   2. Vind \( n_i, m_i \) zodat

      \[ g_i = n_i P_i + m_i p_i \]

   3. Zet

      \begin{align*} C_i \| = \dfrac{C_{i−1} m_i p_i + c_i n_i P_{i−1}}{g_i} \\ P_i \| = \dfrac{P_{i−1}p_i}{g_i} \end{align*}

3. De oplossing is

   \begin{equation} s ≡ C_n \pmod{P_n} \label{eq:cycle} \end{equation}

15.10.4. Naar één oplossing

Omdat de datum \( \{x\} \) gegeven is als een serie posities in zich herhalende kringlopen is er een oneindig aantal dagen die bij die datum passen. Voor het doorlopende dagnummer \( s \) dat overeenkomt met datum \( \{x\} \) vonden we formule \eqref{eq:cycle}, die een oplossing geeft \( \bmod P_n \). Als je een dagnummer \( s \) gevonden hebt dat hoort bij datum \( \{x\} \), dan kun je willekeurige veelvouden van \( P_n \) daar bijtellen of aftrekken en dan heb je weer een dagnummer dat hoort bij datum \( \{x\} \). Hoe kiezen we de juiste?

Om de juiste oplossing te kiezen uit de oneindige verzameling van mogelijke oplossingen moeten we extra informatie gebruiken. Een toepasselijke manier is om de oplossing te zoeken die het dichtste bij een door ons gekozen datum \( s_0 \) ligt. Je kunt "het dichtste bij" hier op tenminste vier manieren uitleggen:

• de laatste op of voor \( s_0 \)
• de eerste op of na \( s_0 \)
• de laatste voor \( s_0 \)
• de eerste na \( s_0 \)

We bekijken die een voor een, voor \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \).

15.10.4.1. De laatste op of voor

We zoeken de laatste \( s \) op of voor \( s_0 \) die voldoet aan \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \). Dan, met \( k \) een heel getal,

\begin{align} s_0 − P_n \| \lt s ≤ s_0 \\ s_0 − P_n \| \lt C_n + kP_n ≤ s_0 \\ \frac{s_0 − C_n}{P_n} − 1 \| \lt k ≤ \frac{s_0 − C_n}{P_n} \end{align}

Er is maar één heel getal \( k \) dat aan deze ongelijkheid voldoet, namelijk

\begin{equation} k = \dfloorratio{s_0 − C_n}{P_n} \end{equation}

en daarmee

\begin{align} s \| = C_n + P_n \dfloorratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = C_n + P_n \dparen{\frac{s_0 − C_n}{P_n} − \mod1ratio{s_0 − C_n}{P_n}} \notag \\ \| = C_n + (s_0 − C_n) − P_n \mod1ratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = s_0 − \dmod{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = s_0 − ((s_0 − C_n) \bmod P_n) \label{eq:nearestle} \end{align}

15.10.4.2. De eerste op of na

We zoeken de eerste \( s \) op of na \( s_0 \) die voldoet aan \( s ≡ C_n \pmod{P_n} \). Dan, met \( k \) een heel getal,

\begin{align} s_0 \| ≤ s \lt s_0 + P_n \\ s_0 \| ≤ C_n + kP_n \lt s_0 + P_n \\ \dfrac{s_0 − C_n}{P_n} \| ≤ k \lt \dfrac{s_0 − C_n}{P_n} + 1 \end{align}

Er is maar één heel getal \( k \) dat aan deze ongelijkheid voldoet, namelijk

\begin{equation} k = \dceilratio{s_0 − C_n}{P_n} \end{equation}

en daarmee

\begin{align} s \| = C_n + P_n \dceilratio{s_0 − C_n}{P_n} \notag \\ \| = C_n + P_n \dparen{\dfrac{s_0 − C_n}{P_n} + \dom1ratio{s_0 − C_n}{P_n}} \notag \\ \| = C_n + (s_0 − C_n) + P_n \dom1ratio{s_0 − C_n}{P_n} \\ \| = s_0 + \ddom{s_0 − C_n}{P_n} \\ \| = s_0 + \dmod{C_n − s_0}{P_n} \\ \| = s_0 + ((C_n − s_0) \bmod P_n) \label{eq:nearestge} \end{align}

15.10.4.3. de laatste voor

De laatste \( s \) voor \( s_0 \) is één \( P_n \) eerder dan de eerste \( s \) op of na \( s_0 \), dus

\begin{equation} s = s_0 + \dmod{C_n − s_0}{P_n} − P_n \label{eq:laatste} \end{equation}

Met \( C_n = 54 \) en \( P_n = 60 \):

15.10.4.4. De eerste na

De eerste \( s \) na \( s_0 \) is één \( P_n \) later dan de laatste \( s \) op of voor \( s_0 \), dus

\begin{equation} s = s_0 − \dmod{s_0 − C_n}{P_n} + P_n \end{equation}

Met \( C_n = 54 \) en \( P_n = 60 \):

15.11. Samenvatting

Deze samenvatting noemt dagen en maanden, maar geldt ook voor andere tijdseenheden. We onderscheiden vier verschillende moeilijkheidsgraden: van 1 tot 4 worden de formules ingewikkelder maar kunnen ze ook meer gevallen aan.

1. De simpelste kalender heeft twee verschillende maandlengtes, waarbij de grotere één groter is dan de kleinere, en heeft geen verschuiving van het patroon van maandlengtes. Maand 0 is altijd een korte maand, en maand \( g − 1 \) (de laatste maand voor alles zich weer herhaalt) is altijd een lange maand.

2. Kalendertype 2 is gelijk aan kalendertype 1, behalve dat ook verschuiving van het patroon van maandlengtes toegestaan is.

3. Kalendertype 3 is gelijk aan kalendertype 2, maar nu kan het lengteverschil tussen de maandlengtes meer dan één zijn.

4. Kalendertype 4 is gelijk aan kalendertype 3, maar laat meer dan twee verschillende maandlengtes toe.

De tabel hieronder vat de kalenderformules samen, en maakt gebruik van de volgende definities:

• \( q \) is het aantal dagen in de kortste maand. \( q \) is een heel getal groter dan nul.

• \( p \) is de gemiddelde lengte van het oneindige aantal maanden dat deze kalender beschrijft (zelfs als door een vlakke combinatie met een andere kalender in de praktijk slechts een beperkt aantal maanden gebruikt wordt). \( p \) is groter dan nul, maar is meestal geen heel getal.

• \( f \), \( g \) zijn de teller en noemer uit \( p = f/g \). Het zijn hele getallen groter dan nul.

• \( h/g \), \( h_i/g_i \) is de fractie van het oneindige aantal maanden dat de afwijkende maandlengte (ongelijk aan \( q \)) heeft. \( h, h_i, g_i \) zijn hele getallen groter dan nul.

• \( r \), \( r_i \) is het verschil tussen een maandlengte en de basismaandlengte \( q \). Het zijn hele getallen groter dan nul.

• \( t/g \), \( t_i/g_i \) geeft aan over hoeveel maanden het patroon van maandlengtes verschoven wordt ten opzichte van het simpelste geval. Het zijn hele getallen. Alleen de waarden 0 tot \( g \) zijn belangrijk; waarde \( t + g \) heeft hetzelfde effect als waarde \( t \).

• \( γ_i = g/g_i \) is een factor die nodig is als niet alle \( g_i \) gelijk zijn.

• \( m \) is het doorlopende maandnummer. Het is een heel getal, en kan negatief, nul, of positief zijn.

• \( σ \) is het doorlopende dagnummer van het begin van maand \( m \). Het is een heel getal, en kan negatief, nul, of positief zijn.

• \( ξ \) is een correctie die je bij het maandnummer \( m \) op moet tellen om een betere schatting te krijgen voor het maandnummer. Dit is alleen van belang voor kalendertypes 3 en 4.

• \( d \) is het aantal dagen sinds het begin van de huidige maand, \( d = s − σ \).