AstronomieAntwoorden
Overgangen over de Zon

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

Als een planeet voor de Zon langs trekt, gezien vanaf de Aarde, dan heet dat een overgang van die planeet of een planeetovergang, bijvoorbeeld een venusovergang. Wanneer gebeuren die?

De geocentrische eclipticale breedtegraad van de Zon is altijd gelijk aan nul (als we de equinox van de datum aanhouden), dus moet bij een planeetovergang de geocentrische eclipticale breedtegraad van de planeet ook ongeveer nul zijn, dus moet de planeet dan dicht bij een van de twee knopen van zijn baan zijn. In andere woorden, dan moet \( z_\text{planeet} \) van de hemelpositiebladzijde ongeveer nul zijn. De planeetcoördinaten zijn, volgens die bladzijde (met hier en daar subscript "planeet" toegevoegd):

\begin{align} x_\text{planeet} \| = r_\text{planeet} (\cos Ω \cos(ω + ν_\text{planeet}) - \sin Ω \cos i \sin(ω + ν_\text{planeet})) \\ y_\text{planeet} \| = r_\text{planeet} (\sin Ω \cos(ω + ν_\text{planeet}) + \cos Ω \cos i \sin(ω + ν_\text{planeet})) \\ z_\text{planeet} \| = r_\text{planeet} \sin i \sin(ω + ν_\text{planeet}) \end{align}

\( z_\text{planeet} \) is gelijk aan nul als \( ν_\text{planeet} + ω = 0 \bmod 180° \). We noemen \( ν_\text{planeet} + ω ≡ α_0 + α_\text{planeet} \) en benaderen bovenstaande formules (tot eerste orde in \( α_\text{planeet} \)) voor het geval dat \( α_0 \) gelijk is aan 0° of 180°. Voor het gemak stellen we \( Ω \) gelijk aan 90°, zodat de knopen \( x_\text{planeet} = 0 \) hebben. Bij dit soort benaderingen moet je hoeken meten in radialen, dus in onderstaande formules zijn alle hoeken gemeten in radialen, behalve als er expliciet bij staat dat ze in graden gemeten zijn.

\begin{align} x_\text{planeet} \| ≈ α_\text{planeet} r_\text{planeet} \cos i \\ y_\text{planeet} \| ≈ r_\text{planeet} \\ z_\text{planeet} \| ≈ α_\text{planeet} r_\text{planeet} \sin i \end{align}

Voor \( α_0 = 180° \) moet je de rechterzijde van bovenstaande formules (en daarom ook meestal voor de formules hieronder) met −1 vermenigvuldigen, maar dit verandert niets aan de conclusies dus zullen we dit niet telkens aangeven.

Op dezelfde wijze vinden we voor de Aarde (die hier per definitie \( i = 0 \) heeft):

\begin{align} x_\text{Aarde} \| ≈ α_\text{Aarde} r_\text{Aarde} \\ y_\text{Aarde} \| ≈ r_\text{Aarde} \\ z_\text{Aarde} \| = 0 \end{align}

Voor de geocentrische eclipticale coördinaten van de planeet vinden we nu

\begin{align} β_\text{planeet} \| ≈ \frac{z_\text{planeet} - z_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} = \frac{z_\text{planeet}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} \\ λ_\text{planeet} \| ≈ \frac{x_\text{planeet} - x_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} \end{align}

en voor de geocentrische eclipticale coördinaten van de Zon

\begin{align} β_\text{Zon} \| = 0 \\ λ_\text{Zon} \| ≈ \frac{x_\text{Zon} - x_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde} - r_\text{Zon}} = -\frac{x_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde}} \end{align}

Ten opzichte van het centrum van de zonneschijf zijn de coördinaten van de planeet dus gelijk aan

\begin{align} β \| = β_\text{planeet} - β_\text{Zon} = \frac{z_\text{planeet}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} = f α_\text{planeet} \sin i \\ λ \| = λ_\text{planeet} - λ_\text{Zon} = \frac{x_\text{planeet} - x_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} + \frac{x_\text{Aarde}}{r_\text{Aarde}} \notag \\ \| = \frac{x_\text{planeet} - x_\text{Aarde} \frac{r_\text{planeet}}{r_\text{Aarde}}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} = f (α_\text{planeet} \cos i - α_\text{Aarde}) \end{align}

met

\begin{equation} f = \frac{r_\text{planeet}}{r_\text{Aarde} - r_\text{planeet}} \end{equation}

en voldoet de hoekafstand \( δ \) tot het centrum van de zonneschijf aan

\begin{equation} δ^2 = λ^2 + β^2 = f^2 (α_\text{planeet}^2 + α_\text{Aarde}^2 - 2 α_\text{planeet} α_\text{Aarde} \cos i) \end{equation}

Om een planeetovergang te krijgen moet de hoekafstand \( δ \) tot het centrum van de zonneschijf minder worden dan de straal van de zonneschijf, die we \( ρ_\text{Zon} \) noemen. We stellen

\begin{align} α_\text{planeet} \| = n_\text{planeet} t \\ α_\text{Aarde} \| = n_\text{Aarde} (t + ∆t) \end{align}

waarin \( n_\text{planeet} \) de dagelijkse hoekbeweging van de planeet in zijn baan rond de Zon is (dus de afgeleide van de ware anomalie naar de tijd) rond de knoopdoorgang, \( n_\text{Aarde} \) die van de Aarde, \( t \) de tijd, in dagen, sinds de knoopdoorgang van de planeet, en \( ∆t \) hoeveel vroeger de Aarde bij de heliocentrische eclipticale lengtegraad van de knoop van de baan van de planeet was dan de planeet zelf. Hiermee vinden we

\begin{align} \frac{δ^2}{f^2} \| = (n_\text{planeet}^2 + n_\text{Aarde}^2 - 2 n_\text{planeet} n_\text{Aarde} \cos i) t^2 \notag \\ \| + 2 n_\text{Aarde} ∆t (n_\text{Aarde} - n_\text{planeet} \cos i) t + n_\text{Aarde}^2 ∆t^2 \end{align}

Een tweedegraadsvergelijking \( y = a t^2 + b t + c \) heeft de grootste (als \( a \lt 0 \)) of kleinste (als \( a \gt 0 \)) waarde van \( y \) voor \( t = -\frac{b}{2a} \) en die grootste of kleinste waarde is dan gelijk aan \( c - \frac{b^2}{4a} \). In ons geval wordt de kleinste waarde van \( δ \) bereikt voor

\begin{equation} t = t_\min = n_\text{Aarde} ∆t \frac{n_\text{planeet} \cos i - n_\text{Aarde}}{n_\text{planeet}^2 + n_\text{Aarde}^2 - 2 n_\text{planeet} n_\text{Aarde} \cos i} \end{equation}

en die kleinste waarde \( δ_\min \) is dan gelijk aan

\begin{equation} δ_\min = \frac{f n_\text{Aarde} n_\text{planeet} ∆t \sin i}{\sqrt{n_\text{Aarde}^2 + n_\text{planeet}^2 - 2 n_\text{Aarde} n_\text{planeet} \cos i}} \end{equation}

Voor een planeetovergang moeten we \( δ_\min \lt ρ_\text{Zon} \) hebben, dus

\begin{equation} |∆t| \lt ∆t_\max = \frac{ρ_\text{Zon} \sqrt{n_\text{Aarde}^2 + n_\text{planeet}^2 - 2 n_\text{Aarde} n_\text{planeet} \cos i}}{f n_\text{Aarde} n_\text{planeet} \sin i} \end{equation}

Nu zouden we uit moeten rekenen wat \( n_\text{Aarde} \), \( n_\text{planeet} \), \( r_\text{Aarde} \) en \( r_\text{planeet} \) zijn nabij beide knopen van de baan van de planeet, maar daar heb ik nu geen zin in. Die waarden zijn niet alleen per planeet en per knoop verschillend, maar veranderen ook langzaam met de tijd, omdat de knopen langzaam langs de baan van de planeet schuiven.

Om toch snel een indruk van de grootte van deze grens te krijgen nemen we aan dat alle planeten cirkelbanen rond de Zon volgen, meten we afstanden in AE, en nemen we aan dat de inclinatie \( i \) klein is. Dan is \( r_\text{Aarde} = 1 \) en

\begin{equation} n_\text{planeet} = n_\text{Aarde} \left( \frac{r_\text{Aarde}}{r_\text{planeet}} \right)^{3/2} = n_\text{Aarde} r_\text{planeet}^{−3/2} \end{equation}

en dan is

\begin{equation} ∆t_\max ≈ \frac{(1 - r_\text{planeet}^{3/2}) (1 - r_\text{planeet})}{r_\text{planeet} n_\text{Aarde} \sin i} \end{equation}

Voor Venus met \( r_\text{planeet} \) gelijk aan 0,7233 en \( i \) gelijk aan 3,4° (en met \( n_\text{Aarde} \) = 360 graden per jaar) vinden we \( ∆t_\max \) ≈ 2,5 dagen. Voor Mercurius met \( r_\text{planeet} \) gelijk aan 0,3872 en \( i \) gelijk aan 7,0° vinden we \( ∆t_\max \) ≈ 10,0 dagen. Als de Aarde minder dan zoveel dagen voor of na de planeet bij dezelfde knoop van de baan van de planeet is als de planeet zelf, dan is er een planeetovergang (volgens onze versimpelde berekening). Dezelfde grens geldt voor het verschil tussen de tijd van de benedenconjunctie van de planeet en de tijd van de knoopdoorgang van de planeet.

Omdat de grens voor Mercurius ruimer is dan voor Venus zijn er ongeveer 10,0/2,5 = 4 maal meer mercuriusovergangen dan venusovergangen.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/overgangen.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19