AstronomieAntwoorden: Verhoudingen van Perioden

AstronomieAntwoorden
Verhoudingen van Perioden

1. Inleiding ... 2. Het Jaar en de Dag ... 3. De Maand en de Dag ... 4. Het Jaar en de Maand ... 5. Zonsverduisteringen en Maansverduisteringen ... 6. Libratie van de Maan

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

1. Inleiding

Voor kalenders en voorspellingen is het van belang om een willekeurig getal te kunnen benaderen met een breuk, een verhouding van twee hele getallen. Een zonnekalender benadert bijvoorbeeld de lengte van het jaar van de seizoenen (bijvoorbeeld het tropische jaar), en een maankalender benadert de lengte van de maand van de maanstanden (de synodische maand). Voor het voorspellen van zonsverduisteringen en maansverduisteringen is het van belang om de verhouding van de lengte van de synodische maand en de draconische maand zo goed mogelijk met een breuk te benaderen.

Als je een benadering gebruikt die niet zo goed is, dan zal een kalender of voorspelling gebaseerd op die benadering al snel uit de pas lopen met het ding waar de benadering voor was. Je wilt dus een benadering gebruiken die zo goed mogelijk is. Hoe je zulke goede benaderingen vindt staat uitgelegd op de bladzijde over het uitgebreide algoritme van Euclides.

Stel dat we de verhouding \( X = P/Q \) benaderen met een breuk \( a/b \) waarin \( a \) en \( b \) hele getallen zijn. Dan noemen we

\begin{equation} s = bP − aQ \end{equation}

de speling en

\begin{equation} v = \frac{P}{Q} − \frac{a}{b} = \frac{s}{bQ} \end{equation}

het verschil en

\begin{equation} l = aQ \end{equation}

de lengte.

De lengte \( l \) geeft aan hoeveel van wat je met \( X \) meet volgens de benadering gelijk is aan een heel aantal \( Q \) en ook aan een bijna heel aantal \( P \). De speling \( s \) zegt hoeveel verschil er is tussen de \( P \)s en \( Q \)s in \( l \). Het verschil \( v \) zegt hoeveel verschil er is tussen de verhouding \( P/Q \) en de benadering \( a/b \).

Stel, we doen waarnemingen aan een regelmatige verschijnsel en zien dat er 7 van die verschijnselen optreden in bijna precies 22 dagen, dus onze schatting voor de periode van het verschijnsel is \( a/b = 22/7 \) dagen per verschijnsel.

Stel verder dat de echte periode van dat verschijnsel \( X = P/Q = 3.14159265/1 \) dagen per verschijnsel is. Dan is de speling

\[ s = 7×3.14159265 − 1×22 = −0.00885145 \]

dagen, dus dat is de grootte van de fout in de aanname dat 22 dagen gelijk zijn aan 7 perioden van het verschijnsel.

Het verschil is

\[ v = 3.14159265 − \frac{22}{7} = −0.001264493 \]

dagen per verschijnsel, dus dat is de grootte van de fout in de lengte van de periode van het verschijnsel als we aannemen dat die periode 22/7 dag is.

De lengte is

\[ l = 1×22 = 22 \]

dagen, dat is de tijd waarop de speling \( s \) van toepassing is.

2. Het Jaar en de Dag

Het jaar dat gelijk loopt met het gemiddelde van alle seizoenen is het tropische jaar, dat aan het begin van de 21e eeuw 365,2421898 dagen (365 dagen, 5 uren, 48 minuten en 45,20 seconden) lang is. We zoeken goede benaderingen van die waarde om kalenders met hele dagen van te maken.

	dagen	jaren	speling	verschil	naam
1	365	1	−5h49m	−5h49m	egyptisch
2	1461	4	+44m59s	+11m15s	juliaans
3	10592	29	−33m51s	−1m10s
4	12053	33	+11m08s	+20s
5	46751	128	−26s	−0.2s
6	1227579	3361	+3s	+0.0008s

De "speling" geeft aan hoeveel zoveel dagen verschillen van zoveel tropische jaren. Het "verschil" is het verschil tussen de benadering en het echte jaar. Ter vergelijking, de speling voor het gemiddelde kalenderjaar uit de Gregoriaanse kalender (146097 dagen is 400 jaar) is 2 uur en 59 minuten, en het verschil is 27 seconden. Een kalender met 12053 dagen in 33 jaar volgt de seizoenen dus beter dan de Gregoriaanse kalender.

Het jaar dat in de pas loopt met het begin van de lente op het noordelijke halfrond heeft nu een lengte van 365,24237404 dagen (365 dagen, 5 uren, 49 minuten en 1,12 seconden). Goede benaderingen voor dat jaar zijn:

	dagen	jaren	speling	verschil	naam
1	365	1	−5h49m	−5h49m	egyptisch
2	1461	4	+43m56s	+10m59s	juliaans
3	10592	29	−41m32s	−1m26s
4	12053	33	+2m23s	+4s
5	215493	590	−59s	−0,1s
6	443039	1213	+25s	+0,02s

Het Gregoriaanse jaar probeert de equinox van maart te volgen, maar een kalender gebaseerd op 12053 dagen voor 33 jaar volgt ook de maartequinoxen nauwkeuriger.

3. De Maand en de Dag

De maand van de maanstanden, de synodische maand, is nu 29,530588853 dagen (29 dagen, 12 uren, 44 minuten en 2,88 seconden) lang. Goede benaderingen van die maand met kalenders van dagen zijn:

	dagen	maanden	speling	verschil
1	29	1	−12h44m	−12h44m
2	30	1	+11h16m	+11h16m
3	59	2	−1h28m	−44m03s
4	443	15	+59m17s	+3m57s
5	502	17	−28m49s	−1m42s
6	1447	49	+1m39s	+2,02s
7	25101	850	−45s	−0,053s

De maand van de sterren, de siderische maand, is nu 27,321661548 dagen (27 dagen, 7 uren, 43 minuten en 11,56 seconden) lang. Goede benaderingen hiervoor zijn:

	dagen	maanden	speling	verschil
1	27	1	−7h43m	−7h43m
2	82	3	+50m25s	+16m48s
3	765	28	−9m24s	−20s
4	3907	143	+3m27s	+1,45s
5	8579	314	−2m29s	−0,48s
6	12486	457	+58s	+0,13s

4. Het Jaar en de Maand

Als we de synodische maand en het tropische jaar willen combineren dan zijn de benaderingen uit de volgende tabel goed. Voor het gemak heb ik er ook het gemiddelde aantal dagen bijgezet: het gemiddelde van de aantallen dagen dat overeenkomt met de gegeven aantallen maanden en jaren. Dat aantal komt niet steeds dichter bij een heel getal, wat aangeeft dat het in het algemeen niet mogelijk is om een periode te vinden die heel nauwkeurig overeenkomt met een heel aantal dagen, maanden, en jaren.

	maanden	jaren	speling	verschil		dagen
1	12	1	−10,9d	−10,9d		359.80
2	25	2	+7,8d	+3,9d		734.38
3	37	3	−3,1d	−24h46m		1094.18
4	99	8	+38,2h	+4h46m		2922.73
5	136	11	−36,1h	−3h17m		4016.91
6	235	19	+2h04m	+6m35s		6939.65
7	4131	334	−41m32s	−7,7s	1	21990.88

5. Zonsverduisteringen en Maansverduisteringen

Voor een zonsverduistering of maansverduistering moet de Maan in een knoop van zijn baan zijn en moet het bovendien nieuwe maan (voor een zonsverduistering) of volle maan (voor een maansverduistering) zijn. Tussen twee verduisteringen van hetzelfde type zitten daarom een heel aantal synodische maanden (nu \( Q = 29.530588853 \) dagen) en ook een veelvoud van een halve draconische maand (nu \( P = 13.60611041 \) dagen). Dat leidt tot de volgende benaderingen, met lengte \( l \) gemeten in jaren:

\({a}\)	\({b}\)	\({s}\)	\({v}\)	\({l}\)	naam
2	1	+2d7h38m	+0.17	0.075
11	5	−2d0h20m	−0.030	0.41
13	6	+7h17m	+0.0037	0.48	semester
89	41	−4h33m	−0.00034	3.3	hepton
102	47	+2h44m	+0.00018	3.8	octon
191	88	−1h48m	−6.3 × 10⁻⁵	7.1
293	135	+56m22s	+2.1 × 10⁻⁵	10.9	tritos
484	223	−52m01s	−1.2 × 10⁻⁵	18.0	saros
777	358	+4m20s	+6.2 × 10⁻⁷	28.9	inex
9031	4161	−4m10s	−5.1 × 10⁻⁸	336.4
9808	4519	+10s	+2.0 × 10⁻⁹	365,4

Bijvoorbeeld, 484 keer een halve draconische maand (dus 242 hele draconische maanden) is bijna gelijk aan 223 synodische maanden. Het verschil is maar 52 minuten. Die periode wordt saros genoemd en is ongeveer 18 jaar lang. 242/223 als benadering voor het aantal draconische maanden in een synodische maand wijkt maar −1.2 × 10⁻⁵ af van de echte verhouding.

6. Libratie van de Maan

De Maan toont altijd bijna dezelfde kant naar de Aarde, maar lijkt een beetje te wiebelen alsof hij heel langzaam tegelijkertijd ja knikt en nee schudt. Die bewegingen heten libraties. Het nee-schudden heet libratie in lengte en is verbonden met de anomalistische maand (tussen twee doorgangen door het perigeum), en het ja-knikken heet libratie in breedte en is verbonden met de draconische maand (tussen twee doorgangen door dezelfde knoop van de maanbaan).

De anomalistische maand is (op 1 januari 2000) gemiddeld 27,55454988 dagen lang, en de draconische maand is gemiddeld 27,21222082 dagen lang. Als je weer bijna dezelfde wiebeltoestand van de Maan wilt hebben (zodat dezelfde krater weer precies in het midden van de maanschijf staat) dan moet je bijna een heel aantal anomalistische maanden verder zijn en tegelijkertijd ook bijna een heel aantal draconische maanden.

De beste benaderingen hiervoor staan hieronder, met \( l \) gemeten in jaren.

\({a}\)	\({b}\)	\({s}\)	\({v}\)	\({l}\)
1	1	+8h12m	+0.013	0.075
80	79	−4h02m	−7.8 × 10⁻⁵	5.9
161	159	+8m27s	+1.4 × 10⁻⁶	11.8
4588	4531	−5m12s	−2.9 × 10⁻⁸	337.6
4749	4690	+3m15s	+1.8 × 10⁻⁸	349.4
9337	9221	−1m56s	−5.4 × 10⁻⁹	687.0

Bijvoorbeeld, 161 draconische maanden zijn bijna gelijk aan 159 anomalistische maanden; het verschil daartussen is maar 8 minuten en 27 seconden. Die periode van 161 draconische maanden of 159 anomalistische maanden komt overeen met ongeveer 11,8 jaar. De verhouding tussen de lengtes van een anomalistische en een draconische maand is bijna gelijk aan 161/159; de afwijking van de echte verhouding is maar ongeveer 1.4 × 10⁻⁶.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/verhoudingen.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19