AstronomieAntwoorden
Zonnepositie

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

\( \DeclareMathOperator{\Rotx}{Rotx} \DeclareMathOperator{\Roty}{Roty} \DeclareMathOperator{\Rotz}{Rotz} \newcommand{\Matrix}[1]{\left( \begin{matrix} #1 \end{matrix} \right)} \)

De positie van de Zon aan de hemel gezien vanaf een planeet (zoals de Aarde) wordt bepaald door vier dingen:

1. de tijd.
2. de beweging van de planeet in zijn baan rond de Zon, die niet met constante snelheid gaat vanwege de excentriciteit van de baan van de planeet.
3. de hoek van de draaias van de planeet ten opzichte van het vlak van de planeetbaan, die niet gelijk is aan 90 graden. Dit veroorzaakt seizoenen.
4. de plaats van de waarnemer op de planeet, die bepaalt hoe hoog de Zon aan de hemel kan staan.

Hieronder geef ik formules die met al deze dingen rekening houden. Om de formules simpel te houden heb ik hier en daar kleine effecten verwaarloosd. Onthoud dat je bij elke hoek veelvouden van 360 graden kan optellen zonder zijn richting te veranderen.

Ik heb de tabellen op deze bladzijde in oktober 2016 bijgewerkt zodat ze uitgaan van de relevant planeetgegevens gepubliceerd door de IAU in 2011 in plaats van die van 2000. De belangrijkste verandering is dat Pluto nu niet meer als gewone planeet beschouwt wordt maar als een dwergplaneet, wat betekent dat nu (sinds 2006) de andere pool van Pluto als noordpool wordt beschouwt dan voorheen. Zie hoofdstuk 22.

Als hieronder een ecliptica of pool of coördinaten zoals eclipticale lengte of declinatie genoemd worden, dan zijn die dingen van toepassing voor de planeet waar de waarnemer is. Zulke coördinaten zijn gebaseerd op de baan of evenaar van die planeet en zijn dus niet identiek met de coördinaten van dezelfde naam die we op Aarde gebruiken. Zo is bijvoorbeeld de ecliptica van Mars, de ecliptica die op Mars van toepassing is, niet gelijk aan de ecliptica van de Aarde, en met een rechte klimming en declinatie uitgerekend voor de Zon gezien vanaf Mars kun je niet terecht in een aardse sterrenatlas.

1. De tijd

Voor dit soort astronomische berekeningen is het handig om de datum en tijd te meten aan de hand van een doorlopende dagnummering. Zo'n dagnummering wordt geleverd door de Juliaanse Datum \( J \). Hoe je die kunt uitrekenen voor een datum in de Gregoriaanse kalender staat beschreven op de Juliaanse Datumrekenpagina. Voor de berekeningen van de zonnepositie moet je de tijd meten in Universele Tijd (UTC), en dus ook de Juliaanse Datum uitdrukken in UTC, zodat bijvoorbeeld JD 2453144,5 overeenkomt met 0 uur UTC op 19 mei 2004, wat gelijk is aan 1 uur MET of 2 uur MEZT op 19 mei 2004.

Alleen voor de Aarde geldt dat de seizoenen zich telkens na ongeveer een kalenderjaar (in de westerse ― Gregoriaanse ― kalender) herhalen, dus kan alleen voor de Aarde ook het dagnummer \( d \) in het kalenderjaar gebruikt worden in plaats van de Juliaanse Datum: \( d \) = 1 komt dan overeen met 0:00 UTC op 1 januari, 2 met 0:00 UTC op 2 januari, 32 met 0:00 UTC op 1 februari, en zo verder.

2. De middelbare anomalie

Omdat we de Zon vanaf de planeet bekijken zien we de beweging van de planeet rond de Zon gespiegeld in de schijnbare beweging van de Zon langs de ecliptica, ten opzichte van de sterren.

Als de planeetbaan een perfecte cirkel was, dan zou de planeet gezien vanaf de Zon met een vaste snelheid langs zijn baan bewegen, en dan zou het simpel zijn om de positie van de planeet uit te rekenen (en dus ook de positie van de Zon gezien vanaf de planeet). De positie ten opzichte van het perihelium die de planeet zou hebben als de planeetbaan een cirkel was heet de middelbare anomalie, hieronder weergegeven door het symbool \( M \).

Op de volgende manier kun je de middelbare anomalie van de planeten (gemeten in graden) redelijk goed schatten voor een datum gegeven als een Juliaanse Dagnummer (JD) \( J \):

\begin{align} M \| = (M_0 + M_1×(J − J_{2000})) \bmod 360° \label{eq:m} \\ J_{2000} \| = 2451545 \end{align}

Hierbij dien je \( M_0 \) (in graden) en \( M_1 \) (in graden per dag) uit de volgende tabel te halen:

Voor de Aarde kun je ook de volgende formule gebruiken:

\begin{equation} M = (−3.59° + 0.98560° × d) \bmod 360° \label{eq:m-aarde} \end{equation}

waar \( d \) de tijd sinds 00:00 UTC aan het begin van de meest recente 1 januari is, gemeten in (hele en gebroken) dagen.

3. De excentriciteitsvereffening

De banen van de planeten zijn geen perfecte cirkels, maar ellipsen, en daarom verandert de snelheid van de planeet in zijn baan, en daarmee ook de schijnbare snelheid van de Zon langs de ecliptica door het planeetjaar heen.

De ware anomalie (symbool \( ν \), nu) is de hoekafstand van de planeet tot het perihelium van de planeet, gezien vanaf de Zon. Voor een cirkelbaan zijn de middelbare anomalie en de ware anomalie het zelfde. Het verschil tussen de ware anomalie en de middelbare anomalie noemen we hier de excentriciteitsvereffening, hier genoteerd als \( C \):

\begin{equation} ν = M + C \end{equation}

Om de excentriciteitsvereffening of de ware anomalie uit te rekenen uit de middelbare anomalie moet je de Vergelijking van Kepler oplossen. Deze vergelijking kan in het algemeen niet opgelost worden, maar wel kun je benaderingen voor de oplossing vinden die telkens nauwkeuriger zijn. Zie de Rekenpagina voor de Vergelijking van Kepler voor meer informatie. Als de baan veel meer op een cirkel dan op een parabool lijkt, dan is de volgende benadering voldoende nauwkeurig:

\begin{equation} C ≈ C_1 \sin M + C_2 \sin(2 M) + C_3 \sin(3 M) + C_4 \sin(4 M) + C_5 \sin(5 M) + C_6 \sin(6 M) \label{eq:c} \end{equation}

Je kunt de coëfficiënten \( C_1 \) tot en met \( C_6 \) uit de volgende tabel aflezen. Ze hangen af van de excentriciteit \( e \) van de planeetbaan. Als een bepaalde coëfficiënt er niet bij staat dan is hij gelijk aan 0 (tot vier cijfers achter de komma). Mercurius en Pluto hebben banen die het meest van een cirkel afwijken, en hebben daarom de meeste coëfficiënten nodig. De kolom \( E_C \) toont de maximale fout die je maakt als je de benadering met de coëfficiënten uit de tabel gebruikt.

4. Het perihelium en de helling van de ecliptica

Om de positie van de Zon aan de hemel af te kunnen leiden moeten we weten wat de eclipticale lengtegraad \( Π \) van het perihelium van de planeet is ten opzichte van de ecliptica en het lentepunt (de klimmende equinox) van de planeet. De ecliptica van de planeet is het vlak van de baan van de planeet, die een hoek maakt met de baan (ecliptica) van de Aarde (en die hoek heet de inclinatie van de baan). Het lentepunt van de planeet is het punt waar de Zon van zuid naar noord door het vlak van de evenaar van de planeet gaat. Bovendien moeten we de helling \( ε \) van de evenaar van de planeet ten opzichte van de baan van de planeet kennen. Deze twee waarden staan voor elke planeet in de volgende tabel, gemeten in graden.

Deze waarden zijn anders dan op de NASA Fact Sheet (//nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/planetfact.html), omdat ze daar gemeten zijn ten opzichte van de ecliptica van de Aarde (het vlak van de baan van de Aarde), terwijl ze hier gemeten zijn ten opzichte van de ecliptica van de planeet (het vlak van de baan van de planeet).

Als je de baankenmerken van een planeet gebruikt die gemeten zijn ten opzichte van de ecliptica van de Aarde, dan zijn de coördinaten die je uitrekent dat ook. Die kun je dan vergelijken met de coördinaten van sterren en andere objecten in sterrenatlassen en catalogi die gemaakt zijn voor gebruik op Aarde, om te zien waar de planeet is ten opzichte van die sterren en andere objecten, maar je kunt ze niet gebruiken om te berekenen waar de Zon staat ten opzichte van de horizon op de planeet.

Aan de andere kant, als je de baankenmerken gebruikt die gemeten zijn ten opzichte van de ecliptica van de planeet (zoals op deze bladzijde), dan kun je de coördinaten die daaruit volgen niet vergelijken met sterrenatlassen en catalogi die gemaakt zijn voor gebruik op Aarde, maar wel gebruiken om te berekenen waar de Zon staat ten opzichte van de horizon van de planeet.

5. De eclipticale coördinaten

De eclipticale lengte \( λ \) (lambda) is de positie langs de ecliptica, ten opzichte van het lentepunt (dus de sterren). De middelbare lengte \( L \) is de eclipticale lengte die de planeet zou hebben als de baan een perfecte cirkelbaan was. Dat is

\begin{equation} L = M + Π \label{L} \end{equation}

De eclipticale lengte van de planeet, gezien vanaf de Zon, is gelijk aan

\begin{equation} λ = ν + Π = M + Π + C = L + C \end{equation}

Als je van de planeet naar de Zon kijkt dan kijk je precies de andere kant op als wanneer je van de Zon naar de planeet kijkt, dus liggen die richtingen 180° uit elkaar. De eclipticale lengte van de Zon, gezien vanaf de planeet, is dus gelijk aan

\begin{eqnarray} L_\text{zon} \| = L + 180° = M + Π + 180° \\ λ_\text{zon} \| = λ + 180° = ν + Π + 180° = M + Π + C + 180° = L_\text{zon} + C \label{eq:m2lambda} \end{eqnarray}

De waarde van \( λ_\text{zon} \) bepaalt wanneer de (astronomische) seizoenen beginnen: als \( λ_\text{zon} = 0° \), dan begint de lente in het noordelijke halfrond, en de herfst in het zuidelijke halfrond. Elk volgende veelvoud van 90° brengt het begin van het volgende seizoen.

De eclipticale breedte \( β_\text{zon} \) (beta) van de Zon, de loodrechte afstand van de Zon tot de ecliptica, is altijd zo klein dat we hem hier verwaarlozen. Hiermee hebben we nu de eclipticale coördinaten van de Zon te pakken.

6. De equatoriale coördinaten

Het equatoriale coördinatenstelsel aan de hemel is verbonden met de draaias van de planeet. De equatoriale coördinaten zijn de rechte klimming \( α \) (alfa) en de declinatie \( δ \) (delta). De declinatie bepaalt van welke delen van de planeet het object zichtbaar kan zijn, en de rechte klimming bepaalt (samen met andere dingen) wanneer het object zichtbaar is.

Met deze formules kun je uit elipticale coördinaten de equatoriale coördinaten uitrekenen:

\begin{align} \sin α \cos δ \| = \sin λ \cos ε \cos β − \sin β \sin ε \label{eq:sinalpha} \\ \cos α \cos δ \| = \cos λ \cos β \label{eq:cosalpha} \\ \sin δ \| = \sin β \cos ε + \cos β \sin ε \sin λ \end{align}

Voor de Zon nemen we \( β_\text{zon} = 0 \), dus dan is

\begin{align} α_\text{zon} \| = \arctan(\sin λ_\text{zon} \cos ε, \cos λ_\text{zon}) \label{eq:alpha-zon} \\ δ_\text{zon} \| = \arcsin(\sin λ_\text{zon} \sin ε) \label{eq:delta-zon} \end{align}

Voor later gemak definiëren we vast

\begin{equation} α_\text{zon} = λ_\text{zon} + S \label{eq:a} \end{equation}

Als \( ε \) voldoende dicht bij 0° of 180° is en als we kleine termen verwaarlozen, dan is het verband tussen de rechte klimming \( α_\text{zon} \) en de eclipticale lengte \( λ_\text{zon} \) van de Zon gezien vanaf de planeet ongeveer gegeven door

\begin{align} \arctan(\tan(λ) \cos(ε)) \| = λ − \left( \frac{1}{4} ε^2 + \frac{1}{24} ε^4 + \frac{17}{2880} ε^6 \right) \sin(2 λ) \notag \\ \| + \left( \frac{1}{32} ε^4 + \frac{1}{96} ε^6 \right) \sin(4 λ) \notag \\ \| − \frac{1}{192} ε^6 \sin(6 λ) + O(ε^8) \label{eq:l2aeq} \\ α_\text{zon} \| = λ_\text{zon} + S ≈ λ_\text{zon} + A_2 \sin(2 λ_\text{zon}) + A_4 \sin(4 λ_\text{zon}) + A_6 \sin(6 λ_\text{zon}) \label{eq:lambda2alpha} \end{align}

en het verband tussen de declinatie \( δ_\text{zon} \) en de eclipticale lengte ongeveer

\begin{align} \arcsin(\sin(λ) \sin(ε)) \| = (ε − \frac{1}{6} ε^3 + \frac{1}{120} ε^5) \sin(λ) \notag \\ \| + \left( \frac{1}{6} ε^3 − \frac{1}{12} ε^5 \right) \sin^3(λ) \notag \\ \| + \frac{3}{40} ε^5 \sin^5(λ) + O(ε^7) \\ δ_\text{zon} \| ≈ D_1 \sin(λ_\text{zon}) + D_3 \sin^3(λ_\text{zon}) + D_5 \sin^5(λ_\text{zon}) \label{eq:lambda2delta} \end{align}

met \( A_2 \), \( A_4 \), \( A_6 \), \( D_1 \), \( D_3 \) en \( D_5 \) (gemeten in graden) uit de volgende tabel. De kolommen \( E_A \) en \( E_D \) geven de maximale fouten die je maakt voor \( α_\text{zon} \) en \( δ_\text{zon} \) met deze benaderingen.

De benaderingen voor Uranus zijn niet erg goed, omdat Uranus bijna op zijn kant ligt: Je kunt dan beter de volledige formules gebruiken.

7. De waarnemer

Waar een hemellichaam voor jou aan de hemel staat hangt af van je geografische coördinaten (noorderbreedte \( φ \) [phi], westerlengte \( l_\text{w} \)), van de positie van het hemellichaam tussen de sterren (de equatoriale coördinaten \( α \) en \( δ \)), en van de draaihoek van de planeet op jouw locatie ten opzichte van de sterren. Die laatste is gevat in de sterrentijd \( θ \) (theta). De sterrentijd is de rechte klimming die op dat moment op de hemelmeridiaan staat. De sterrentijd is gelijk aan

\begin{equation} \label{eq:sterrentijd} θ = θ_0 + θ_1 × (J − J_{2000}) − l_\text{w} \pmod{360°} \end{equation}

met \( θ_0 \) en \( θ_1 \) uit de volgende tabel. De \( \pmod{360°} \) betekent dat je aan beide kanten van de \( = \) net zo vaak 360° mag optellen of aftrekken als je wilt. Voor \( θ \) is het de gewoonte om de waarde tussen 0° en 360° te kiezen.

\( θ_0 \) is de sterrentijd (in graden) op lengtegraad 0° op het moment gedefinieerd door \( J_{2000} \). \( θ_1 \) is de snelheid waarmee de sterrentijd verandert, in graden per dag.

8. Horizontale coördinaten

De positie van een hemellichaam aan de hemel wordt gegeven door zijn hoogte \( h \) boven de horizon en zijn azimut \( A \). De hoogte is 0° aan de horizon, +90° in het zenit (recht boven je hoofd), en −90° in het nadir (recht onder je voeten). Het azimut is de richting langs de horizon, die wij meten vanaf het zuiden naar het westen. Het zuiden heeft dus azimut 0°, het westen +90°, het noorden +180°, en het oosten +270° (of −90°, dat is hetzelfde). De hoogte en het azimut zijn de horizontale coördinaten. Om uit equatoriale coördinaten horizontale coördinaten te berekenen kun je de volgende formules gebruiken:

\begin{align} \sin A \cos h \| = \sin H \cos δ \label{eq:horizontal} \\ \cos A \cos h \| = \cos H \sin φ \cos δ − \sin δ \cos φ \\ \sin h \| = \sin φ \sin δ + \cos φ \cos δ \cos H \label{eq:h} \\ H \| = θ − α \label{eq:H} \\ A \| = \arctan(\sin H, \cos H \sin φ − \tan δ \cos φ) \label{eq:A} \end{align}

De \( H \) is de uurhoek, die aangeeft hoe lang geleden (gemeten in sterrentijd) het hemellichaam precies door de hemelmeridiaan ging.

9. Zonnedoorgang

De doorgang van een hemellichaam is het moment waarop het door de hemelmeridiaan gaat. Dit wordt ook wel culminatie genoemd. De doorgang van de Zon is het midden van de dag, op 12 uur zonnetijd. De uurhoek \( H = H_\text{doel} \) van de Zon is dan gelijk aan 0. We hebben

\begin{equation} θ = α_\text{zon} \pmod{360°} \label{eq:middag} \end{equation}

Met behulp van deze en voorgaande formules kun je de tijd van de doorgang bepalen door een gok te maken voor een \( J \) waarvoor vergelijking \ref{eq:middag} klopt, daarvoor \( θ \) en \( α_\text{zon} \) uit te rekenen, en dan te kijken of die voldoen aan vergelijking \ref{eq:middag}. Als ze niet voldoen, dan moet je \( J \) aanpassen. Al met al is het een grote zoektocht. Bovendien krijg je uit formule \ref{eq:middag} geen begrip voor welke dingen nu het belangrijkste zijn. Zulk begrip krijg je wel als je een benaderde oplossing afleidt door alle kleinere termen te verwaarlozen. Het antwoord is dan niet zo nauwkeurig als de goede oplossing, maar geeft wel duidelijk aan hoe de oplossing er ongeveer uit ziet, is meestal eenvoudiger uit te rekenen, en geeft bovendien een mooie waarde om een zoektocht naar de echte waarde mee te beginnen.

Met vergelijkingen \ref{eq:m}, \ref{eq:m2lambda}, \ref{eq:c}, \ref{eq:lambda2alpha} en \ref{eq:sterrentijd}, en met weglating van kleinere termen vinden we

\begin{equation} J_\text{doorgang} = J_{2000} + J_0 + l_\text{w} \frac{J_3}{360°} + J_1 \sin M + J_2 \sin(2 L_\text{zon}) \pmod{J_3} \label{eq:Jdoor} \end{equation}

waar

\begin{align} L_\text{zon} \| = M + Π + 180° \\ J_0 \| = (M_0 + Π + 180° − θ_0) \frac{J_3}{360°} \pmod{J_3} \\ J_1 \| = C_1 \frac{J_3}{360°} \\ J_2 \| = A_2 \frac{J_3}{360°} \\ J_3 \| = \frac{360°}{θ_1 − M_1} \end{align}

Als je \( λ_\text{Zon} \) al hebt, dan kun je ook die in plaats van \( L_\text{Zon} \) nemen in vergelijking \ref{eq:Jdoor}: dat is nog weer ietsje nauwkeuriger. \( J_0 \) geeft de datum en tijd van een middag. \( J_1 \) geeft aan hoeveel het tijdstip van de doorgang van de Zon kan variëren vanwege de excentriciteit \( e \) van de baan. \( J_2 \) geeft aan hoeveel het tijdstip van de middag kan veranderen vanwege de helling \( ε \) van de ecliptica. \( J_3 \) geeft de gemiddelde lengte van de zonnedag (van doorgang tot doorgang van de Zon). Alle waarden zijn gemeten in aardse dagen van 24 uur.

Om de datum en tijd van een zonnedoorgang in de buurt van Juliaanse Datum \( J \) te vinden ga je nu als volgt te werk:

1. Bereken

   \begin{equation} n_{×} = \frac{J − J_{2000} − J_0}{J_3} − \frac{l_\text{w}}{360°} \end{equation}

   en neem dan voor \( n \) het hele getal dat het dichtste bij \( n_{×} \) ligt.

2. Bereken dan

   \begin{equation} J_{×} = J + J_3 × (n - n_{x}) \label{eq:schat-doorgang} \end{equation}

   Deze \( J_{×} \) is dan een redelijke schatting voor de datum en tijd van de doorgang in de buurt van \( J \), behalve dat de \( J_1 \) en \( J_2 \)-correcties er nog niet bij zitten.

3. Bereken voor \( J_{×} \) wat \( M \) en \( L_\text{zon} \) zijn en dan de verbeterde schatting voor de datum en tijd van de doorgang uit

   \begin{equation} J_\text{doorgang} ≈ J_{×} + J_1 \sin M + J_2 \sin(2 L_\text{zon}) \end{equation}

4. Als je grotere precisie wilt, bereken dan voor \( J_\text{doorgang} \) de uurhoek \( H \) van de Zon en neem dan

   \begin{equation} J_\text{doorgang} − \frac{H}{360°} × J_3 \end{equation}

   als verbeterde benadering voor \( J_\text{doorgang} \). Je kunt dit herhalen tot \( J_\text{doorgang} \) niet meer verandert.

5. \( J_\text{doorgang} \) is een Juliaans Dagnummer, dat dagen telt en gelijk is aan een heel nummer om 12:00 UTC. Dus een Juliaans Dagnummer zoals 2453096,9898 dat eindigt met ,9898 is ,0102 voor het volgende hele getal, dus 0,0102 dagen = 0,0102×24 = 0,245 uur = 0,0102×24×60 = ongeveer 15 minuten voor 12:00 UTC, dus ongeveer 11:45 UTC.

10. Tijdsvereffening

Hierboven hebben we uitgerekend hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat, uitgedrukt in de Aardse tijdschaal van de Juliaanse Datum. Daarmee weet je nog niet hoe laat dat bij jou op de klok zou zijn, en die tijdschaal is zeker niet zo handig als je op een andere planeet zit waar de dag een andere lengte heeft dan de dag op Aarde waar de Juliaanse Datum op gebaseerd is.

Als je geen interesse hebt in het omrekenen naar tijden en data op andere planeten, dan wil je weten hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat op jouw planeet volgens jouw klok, die verbonden is met jouw zonnetijd en het seizoen op jouw planeet. Zonnetijd is de tijd bepaald door de Zon. Drie verschillende soorten zonnetijd zijn van belang:

• De ware zonnetijd is een tijdschaal waarop de Zon elke dag om precies 12:00:00 uur het hoogst aan de hemel staat, maar niet elke dag precies even lang hoeft te duren (gemeten aan de hand van iets dat zich van de stand van de Zon aan de hemel niets aantrekt, zoals atoomtijd of planeetgebeurtenissen aan de hemel). Je kunt de ware zonnetijd aflezen van een goed afgestelde zonnewijzer.
• De middelbare zonnetijd is een tijdschaal die gemiddeld in de pas loopt met de ware zonnetijd maar waarop elke dag precies even lang duurt. Gemiddeld over vele planeetdagen en planeetjaren staat de Zon om 12:00:00 middelbare zonnetijd het hoogst aan de hemel. Je kunt de middelbare zonnetijd aflezen van een goed afgestelde klok of horloge. Deze tijd wordt in deze bladzijden vaak de "lokale tijd" genoemd.
• De officiële kloktijd die je in het dagelijkse leven gebruikt is de middelbare zonnetijd van een bepaalde meridiaan die bij jouw tijdzone hoort. Het verschil tussen de officiële kloktijd en de middelbare zonnetijd van een plaats hangt alleen af van het verschil tussen de geografische lengtegraad van die plaats en de lengtegraad van de meridiaan waar de officiële kloktijd op gebaseerd is.

Het antwoord op hoe laat de Zon het hoogst aan de hemel staat hangt er dus helemaal van af welke tijdschaal je gebruikt. In ware zonnetijd is het antwoord "altijd om precies 12 uur", maar verder is ware zonnetijd helemaal niet handig. Je hebt er bijvoorbeeld niets aan als de Zon niet schijnt of achter de wolken zit, en een mechanische klok of horloge wordt veel ingewikkelder als hij ware zonnetijd moet aanwijzen. In middelbare zonnetijd is het antwoord "gemiddeld om 12 uur", maar kan het van dag tot dag van 12 uur afwijken. In officiële kloktijd is het antwoord "gemiddeld op een bepaald uur" dat van je plaats afhangt en op de meeste plekken wel ongeveer in de buurt van 12 uur is.

Hoe groot is nu het verschil tussen de middelbare zonnetijd en de ware zonnetijd? Dat heet de tijdsvereffening. De tijdsvereffening is hoeveel je bij de ware zonnetijd ("zonnewijzertijd") moet tellen om de middelbare zonnetijd ("lokale tijd") te krijgen.

We vonden hierboven (vergelijking \ref{eq:middag}) voor het moment dat de Zon het hoogst aan de hemel staat (tijdens zijn doorgang) dat \( θ = α_\text{Zon} \pmod{360°} \). Voor de rechte klimming \( α_\text{Zon} \) van de Zon vonden we \( α_\text{Zon} = L + C + S \). Voor de sterrentijd \( θ \) gemeten in graden stellen we een alternatieve formule op:

\begin{equation} θ = (L + t + 180°) \bmod 360° \end{equation}

Hierin is \( t \) de middelbare zonnetijd gemeten in graden (0° = middernacht, 180° = middag). De verklaring voor deze formule is als volgt: Het verschil tussen de sterrentijd en de zonnetijd is een weerspiegeling van de beweging van de planeet rond de Zon en legt dus in een planeetjaar 360° af. Bovendien is de sterrentijd verbonden met de regelmatige draaiing van de planeet rond zijn as, die niets merkt van de wisselende snelheid waarmee de planeet rond de Zon draait (waar de excentriciteit \( e \) tussen zit) of van de positie van de Zon boven of onder de hemelevenaar (waar de inclinatie \( ε \) van de ecliptica tussen zit). Daarom is de sterrentijd verbonden met de middelbare lengtegraad \( L \) van de Zon, die in een planeetjaar met vaste snelheid 360° toeneemt en onafhankelijk is van \( e \) en \( ε \). Tijdens de dalende nachtevening (als \( λ_\text{Zon} = L = 180° \)) is de sterrentijd gelijk aan de middelbare zonnetijd, dus is de extra 180° in de formule nodig. Tijdens een planeetdag neemt \( θ \) 360° toe (draait de planeet eenmaal rond zijn as) plus een beetje meer of minder omdat de sterrentijd iets sneller of langzamer loopt dan de middelbare zonnetijd, maar dat verschil zit al in de \( L \).

Als we nu \( θ \) gelijk stellen aan \( α_\text{Zon} \) dan vinden we

\begin{equation} L + t + 180° = θ = α_\text{Zon} = L + C + S \bmod 360° \end{equation}

ofwel

\begin{equation} t = 180° + C + S \bmod 24 \end{equation}

De tijdsvereffening \( ∆t \) is gelijk aan het verschil tussen \( t \) en 180° (omdat 180° overeenkomt met 12:00:00 lokale middelbare zonnetijd):

\begin{equation} ∆t = C + S \end{equation}

Als je de tijdsvereffening in graden deelt door 15 dan krijg je de tijdsvereffening in uren.

\( C \) hangt af van de excentriciteit \( e \) van de planeetbaan en van de middelbare anomalie \( M \) van de planeet, oftewel waar de planeet is ten opzichte van zijn perihelium. \( S \) hangt af van de inclinatie \( ε \) van de ecliptica van de planeet en van de lengte \( λ_\text{Zon} \) van de Zon, oftewel van het seizoen. Een eerste-orde benadering is:

\begin{equation} ∆t ≈ C_1 \sin M + A_2 \sin(2 λ_\text{Zon}) \end{equation}

waarbij we vele kleinere termen verwaarloosd hebben. De volgende tabel toont de amplitudes, dus de grootste bijdragen die de \( C \) en \( S \) termen geven aan de tijdvereffening voor elke planeet, gemeten in planeetminuten.

Voor de Aarde zijn de invloeden van de baan (\( C \)) en het seizoen (\( S \)) ongeveer even groot; voor Uranus en Neptunus is de invloed van het seizoen veel groter dan die van de baan; en voor de andere planeten is de invloed van de baan veel groter dan die van het seizoen.

11. Zonsopkomst en zonsondergang

Voor de uurhoek die overeenkomt met \( h = 0 \) vinden we:

\begin{equation} H = \arccos(−\tan δ \tan φ) \label{eq:H0} \end{equation}

Deze vergelijking heeft twee oplossingen: als \( H \) een oplossing is dan is \( −H \) ook een oplossing. De oplossing met \( H \gt 0 \) hoort bij zonsondergang, en die met \( H \lt 0 \) hoort bij zonsopkomst. We noteren de oplossing met \( H ≥ 0 \) als \( H_+ \). Door de eerder gevonden relaties in te vullen en kleine termen te negeren vinden we

\begin{align} H_+ \| ≈ 90° + H_1 \sin λ_\text{zon} \tan φ \notag \\ \| + H_3 \sin^3 λ_\text{zon} \tan φ × (3 + \tan^2 φ) \notag \\ \| + H_5 \sin^5 λ_\text{zon} \tan φ × (15 + 10 \tan^2 φ + 3 \tan^4 φ) \label{eq:Happ} \end{align}

met

\begin{align} H_1 \| = ε − \frac{1}{6} ε^3 + \frac{1}{120} ε^5 \\ H_3 \| = \frac{1}{6} ε^3 − \frac{1}{12} ε^5 \\ H_5 \| = \frac{1}{40} ε^5 \end{align}

waarbij je \( ε \) moet meten in radialen in plaats van in graden. Je rekent om van graden naar radialen door het aantal graden te vermenigvuldigen met \( π/180 ≈ 0.017453292 \).

De waarden van \( H_1 \), \( H_3 \) en \( H_5 \) staan voor alle planeten in de volgende tabel, gemeten in graden. Voor Uranus en Pluto is het twijfelachtig dat de benaderingen wel redelijke resultaten geven.

Zonsopkomst is het moment waarop de bovenkant van de zonneschijf 's morgens de horizon raakt. Zonsondergang is hetzelfde, maar dan 's avonds. Om de tijden van zonsopkomst en zonsondergang te kunnen berekenen moet je behalve met de eerder genoemde zaken ook met de volgende dingen rekening houden:

1. De zon ziet er niet uit als een punt maar als een schijf, dus als het midden van de zonneschijf onder gaat (\( h \) = 0) dan is de helft van de zonneschijf nog boven de horizon. De grootte van de Zon moet meegenomen worden in de berekening.
2. De dampkring van de planeet (als de planeet er een heeft) buigt licht naar beneden zodat een voorwerp iets hoger aan de hemel lijkt te staan dan het zonder de dampkring zou doen. De buiging van het licht is het sterkste nabij de horizon, waar het licht door de scherende inval door het meeste lucht heeft moeten reizen. Op Aarde is de buiging aan de horizon gezien vanaf zeeniveau gemiddeld ongeveer 0.57°. Dat betekent dat een hemellichaam dat met de dampkring erbij net onder ging zonder die dampkring al 0.57° onder de horizon zou zijn geweest.

Om voor deze twee effecten te compenseren kun je \( h \) voor zonsopkomst en zonsondergang gelijk stellen aan de \( h_0 \) uit de volgende tabel (gemeten in graden), in plaats van 0°. Voor de Aarde is de straalbreking meegeteld, maar voor de andere planeten niet omdat die of geen dampkring van betekenis hebben of eentje die zo dicht is dat je de Zon vanaf het oppervlak helemaal niet kunt zien. De tabel geeft ook de gemiddelde diameter \( d_\text{Zon} \) van de zonneschijf (gemeten in graden).

Met behulp van vergelijking \ref{eq:h} kun je dan de uurhoek vinden waarop de Zon met die \( α_\text{zon}, δ_\text{zon} \) op komt of onder gaat:

\begin{equation} H_\text{t} = \arccos\left( \frac{\sin h_0 − \sin φ \sin δ}{\cos φ \cos δ} \right) \label{eq:hbig} \end{equation}

Ook hier weer geldt \( H = H_\text{t} \gt 0 \) voor zonsondergang en \( H = −H_\text{t} \lt 0 \) voor zonsopkomst. De geschatte JD voor zonsopkomst en zonsondergang zijn dan

\begin{eqnarray} J_\text{op} \| = J_\text{doorgang} − \frac{H_\text{t}}{360°} J_3 \\ J_\text{onder} \| = J_\text{doorgang} + \frac{H_\text{t}}{360°} J_3 \end{eqnarray}

Deze schatting kun je verbeteren op soortgelijke wijze als voor de doorgang. Bereken voor \( J_\text{op} \) of \( J_\text{onder} \) de uurhoek \( H \) en declinatie \( δ_\text{zon} \) van de Zon, en bereken dan uit vergelijking \ref{eq:hbig} de uurhoek \( ±H_\text{t} \) die de Zon met die equatoriale coördinaten zou moeten hebben om op te komen of onder te gaan. Vervang dan de schattingen door

\begin{eqnarray} J_\text{op} − \frac{H + H_t}{360°} J_3 \\ J_\text{onder} − \frac{H − H_t}{360°} J_3 \end{eqnarray}

tot ze niet meer veranderen, tot op de gewenste precisie.

Als je zonsopkomst of zonsondergang ziet vanaf grote hoogte dan zijn er nog twee effecten die je mee moet tellen:

3. De horizon lijkt lager te zijn. Op Aarde is de horizonverlaging in graden is ongeveer gelijk aan de de wortel van de hoogte in kilometers, en is dus voor een hoogte van 10 km gelijk aan 3,2°.
4. Er is meer straalbreking omdat het zonlicht langs de grond scheert maar dan weer omhoog door de dampkring moet om bij de waarnemer te komen. De totale straalbreking is ten hoogste tweemaal zo groot als hij op zeeniveau is, en ik verwacht dat de straalbreking vanaf straaljagerkruishoogte (10 km) rond de Aarde bijna dat maximum haalt en dus ongeveer 0,5° extra is ten opzichte van zeeniveau.

De correctie \( ∆H \) op vergelijking \ref{eq:H0} die nodig is voor de grote Zon en de dampkring is bij benadering gelijk aan

\begin{equation} ∆H ≈ −\frac{h_0}{\sqrt{\cos^2(φ) − \sin^2(δ_\text{zon})}} \end{equation}

Voor waarnemers op de grond in Nederland en België (met \( φ \) ongeveer 50°) is dit ongeveer 5 tot 6 minuten.

12. De duur van zonsopkomst en zonsondergang

Om de duur van de zonsondergang of zonsopkomst uit te rekenen moet je het moment uitrekenen dat de bovenkant van de Zon de horizon raakt, zoals hierboven beschreven (met \( h_0 \)), en ook het moment dat de onderkant van de Zon de horizon raakt. Om die laatste uit te rekenen moet je in plaats van \( h_0 \) \( h_0 + d_0 \) invullen.

13. Aarde

Voor op Aarde kunnen we alles bij elkaar de volgende benaderingen opstellen (met uitkomsten in uren UTC):

\begin{align} t_\text{doorgang} \| ≈ \text{12h00m} + \frac{l_w}{15°} + 24 × (J_0 + J_1 \sin M + J_2 \sin 2 L_\text{Zon}) \notag \\ \| = \text{12h01m} + \frac{l_w}{15°} + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin 2 L_\text{Zon} \\ t_\text{op} \| ≈ t_\text{doorgang} − \frac{H}{15°} \notag \\ \| ≈ \text{6h00m} + \frac{l_w}{15°} + 24 × (J_0 + J_1 \sin M + J_2 \sin 2 L_\text{Zon}) \notag \\ \| − \frac{H_1 \tan φ \sin L_\text{Zon} + H_3 \tan φ (3 + \tan^2 φ) \sin^3 L_\text{Zon}}{15°} \notag \\ \| = \text{6h01m} + \frac{l_w}{15°} + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin 2 L_\text{Zon} \notag \\ \| − \left( \text{1h31m} \tan φ \sin L_\text{Zon} + \text{2.2m} \tan φ (3 + \tan^2 φ) \sin^3 L_\text{Zon} + \frac{∆H}{15°} \right) \\ t_\text{onder} \| ≈ t_\text{doorgang} + \frac{H}{15°} \notag \\ \| ≈ \text{18h00m} + \frac{l_w}{15°} + 24 × (J_0 + J_1 \sin M + J_2 \sin 2 L_\text{Zon}) \notag \\ \| + \frac{H_1 \tan φ \sin L_\text{Zon} + H_3 \tan φ (3 + \tan^2 φ) \sin^3 L_\text{Zon}}{15°} \notag \\ \| = \text{18h01m} + \frac{l_w}{15°} + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin 2 L_\text{Zon} \notag \\ \| + \left( \text{1h31m} \tan φ \sin L_\text{Zon} + \text{2.2m} \tan φ (3 + \tan^2 φ) \sin^3 L_\text{Zon} + \frac{∆H}{15°} \right) \end{align}

14. Nederland

Voor een plek op \( φ = 50° \) en \( l_w = −5° \) (midden in Nederland) vinden we bij benadering, gemeten in middeleuropese wintertijd (MET, gelijk aan UTC plus één uur):

\begin{align} t_\text{op} \| ≈ \text{6h34m} − \text{1h48.6m} \sin L − \text{13.2m} \sin^3(L) + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin(2 L) \\ t_\text{doorgang} \| ≈ \text{12h40m} + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin(2 L) \\ t_\text{onder} \| ≈ \text{18h46m} + \text{1h48.6m} \sin L + \text{13.2m} \sin^3(L) + \text{7.6m} \sin M − \text{9.9m} \sin(2 L) \end{align}

Deze formules zijn, hoewel het benaderingen zijn, toch best wel nauwkeurig. Een vergelijking, voor alle dagen van het jaar 2000, tussen de tijden uitgerekend volgens de complete formules en de tijden uitgerekend volgens bovenstaande benaderingen levert verschillen van hooguit 3,5 minuten voor de tijden van zonsopkomst en zonsondergang, en minder dan een minuut voor de tijd van doorgang.

15. Lokale afhankelijkheid van plaats

Uit voorgaande formules kunnen we afleiden hoe de tijden van zonsopkomst, doorgang, en zonsondergang afhangen van de plaats (in de buurt van een gekozen plek). De tijden van zonsopkomst, doorgang van de Zon, en zonsondergang (gemeten in een vaste tijdzone) worden elk 4 minuten vroeger voor elke graad dat je naar het oosten gaat. Dat komt overeen met \( \frac{2.16}{\cos φ} \) seconden per kilometer. De tijd van doorgang (dus de middag) hangt niet af van de breedtegraad. Bovendien wordt zonsopkomst vroeger en zonsondergang later met een aantal minuten per graad dat je naar het noorden gaat dat ongeveer gelijk is aan \( \frac{1.59 \sin(L)}{\cos^2(φ)} \) en dat is weer gelijk aan ongeveer \( \frac{0.86 \sin(L)}{\cos^2(φ)} \) seconden per kilometer. De verschuiving van tijden van zonsopkomst en zonsondergang met de breedtegraad is het grootst aan het begin van de zomer en de winter. Aan het begin van de lente en de herfst is het 0, dus dan hangen de tijden van zonsopkomst en zonsondergang niet af van de breedtegraad (net zo min als die van de doorgang).

16. Vergelijking met planetariumprogramma's

De planetariumprogramma's Redshift 3, Redshift 5, Stellarium 0.15.0, de NASA-webpagina JPL HORIZONS en de huidige procedure (AA) geven de volgende waarden voor het azimut en de hoogte van de Zon aan de hemel op JD 2451545,0 (1-1-2000, 12:00 UTC) gezien vanaf de plaats met de lengtegraad en breedtegraad gelijk aan nul op elk van de planeten:

En hier zijn vergelijkbare resultaten voor JD 2453097,0 (1-4-2004, 12:00 UTC):

Als je in acht neemt ik azimut tel vanaf het zuiden en dat de andere bronnen dat tellen vanaf het noorden (waarbij een verschil van 180° hoort), dan lijken de resultaten binnen ongeveer een graad op elkaar, behalve dat de positie vanaf Jupiter berekend door Redshift 5 heel anders is dan die berekend door de andere bronnen, en dat de azimut van de zon vanaf Pluto berekend door JPL HORIZONS ongeveer 180° afwijkt van die van de andere bronnen. Ik denk daarom dat Redshift 5 een fout maakt voor Jupiter. Mijn azimut van Pluto verschilt ongeveer 180° met die van JPL omdat ik azimut tel vanaf het zuiden en JPL vanaf het noorden. De andere bronnen zijn ouder dan, of vermoedelijk nog niet bijgewerkt voor, de verandering van welke pool van Pluto de noordpool is.

17. Afleiding van \(Π\) en \(ε\)

Tabel 1 noemt \(Π\) en \(ε\). Hoe reken je die uit?

De oriëntatie van de baan van een planeet in de ruimte wordt uitgedrukt in drie onafhankelijke hoeken ten opzichte van een gekozen fundamenteel vlak en een gekozen primaire richting in dat vlak. Deze hoeken zijn deel van de baanelementen. We gebruiken de inclinatie \( i \), de lengte \( Ω \) van de klimmende knoop en het argument \( ω \) van het perihelium als de drie hoeken. De inclinatie is de hoek tussen de baan en het fundamentele vlak. De klimmende knoop is één van de twee kruisingen van de baan en het fundamentele vlak. De lengte van de klimmende knoop is de hoek tussen de primaire richting en de klimmende knoop, gezien vanuit het relevante brandpunt van de baan. Net zo is het argument van het perihelium de hoek tussen de klimmende knoop en het perihelium van de baan.

De berekening van de positie van de Zon aan de hemel van een planeet zijn het eenvoudigst als we het fundamentele vlak gelijk kiezen aan het vlak van de baan van de planeet, en de primaire richting gelijk kiezen aan de kruising van het fundamentele vlak en het vlak van de evenaar van de planeet. In de rest van deze tekst nemen we aan dat die keuzen gemaakt zijn. In het geval van de Aarde is het fundamentele vlak het vlak van de ecliptica, en is de primaire richting het lentepunt, en zijn de coördinaten gemeten ten opzichte van "de evenaar en equinox van de datum".

Dan is de inclinatie van de baan gelijk aan nul, zijn de knopen van de baan niet gedefinieerd, en is de eclipticale breedtegraad van de Zon gelijk aan nul. In dat geval is maar één hoek nodig om de oriëntatie van de baan aan te geven, namelijk de hoek tussen de primaire richting en het perifocus van de baan, gemeten in het vlak van de baan. Ofwel, de planeetgebonden eclipticale lengtegraad van het perifocus. We gebruiken symbool \( Π \) voor die hoek.

Zodra de planeetgebonden eclipticale coördinaten van de Zon bekend zijn kunnen we die vertalen naar planeetgebonden equatoriale coördinaten. Daarvoor moeten we de hoek \( ε \) tussen het fundamentele vlak (gekozen als het vlak van de baan van de planeet) en de evenaar van de planeet kennen. Voor de Aarde heet die hoek de helling van de ecliptica.

Dus, om de equatoriale coördinaten van de Zon ten opzichte van de evenaar van de planeet te berekenen moeten we de hoeken \( Π \) en \( ε \) van die planeet kennen.

Hoe berekenen we \( ε \)? \( ε \) is de hoek tussen het vlak van de baan van de planeet en het vlak van de evenaar van de planeet. Dit is ook de hoek tussen de hoofdpool van de planeet (loodrecht op de evenaar van de planeet) en de hoofdpool van de baan van de planeet (loodrecht op de baan van de planeet). De planeet en zijn baan hebben elk twee polen. Eén van die twee is gekozen als de "hoofdpool". Meestal is dat de noordpool. Zie hoofdstuk 22.

We leiden de richting van de hoofdpool van de planeet af uit de aardgebonden equatoriale coördinaten die op internet te vinden zijn, en de richting van de hoofdpool van de baan van de planeet uit zijn aardgebonden baanelementen berekenen.

Hoe berekenen we \( Π \)? \( Π \) is de hoek tussen de primaire richting van de planeet en het perifocus van de baan van de planeet. We kunnen de richting van het perifocus van de planeet in aardgebonden coördinaten berekenen uit de aardgebonden baanelementen van de planeet, dus we moeten de aardgebonden coördinaten van de hoofdrichting van de planeet nog berekenen. Die hoofdrichting is één van de kruispunten van het vlak van de baan van de planeet (het fundamentele vlak) en het vlak van de evenaar van de planeet, dus staat het loodrecht op de hoofdpool van de planeet en ook loodrecht op de hoofdpool van de baan van de planeet.

Hier zijn de wiskundige details. We nemen aan dat de volgende waarden gegeven zijn:

Al deze baanelementen behalve \( W_0, W_1 \) moeten zijn gegeven ten opzichte van de ecliptica (= baan) of evenaar van de Aarde, niet die van de planeet.

We gebruiken de volgende notatie:

• \( C_{mn} \) is een orthogonale matrix van 3 bij 3 elementen die de vertaling uitdrukken van rechthoekscoördinaten van coördinatenstelsel \( n \) naar coördinatenstelsel \( m \).
• \( \vec{v}_n \) voor elke \( \vec{v} \) is een kolomvector met 3 elementen die de rechthoekscoördinaten uitdrukken van een richting in de ruimte, met de coördinaten gegeven in coördinaatsystem \( n \). De drie elementen van de vector worden geschreven als \( v_{1n}, v_{2n}, v_{3n} \). De lengte van alle vectoren die hieronder genoemd worden is 1.
• \( \vec{x}_{mn}, \vec{y}_{mn}, \vec{z}_{mn} \) zijn kolomvectoren die de drie onderling loodrechte coördinaatassen uitdrukken van coördinatenstelsel \( m \), met de coördinaten gegeven in coördinatenstelsel \( n \).
• \( ε_{mn} \) is de hoek waarover de evenaar van coördinatenstelsel \( n \) moet worden gedraaid om coördinatenstelsel \( m \) te krijgen. De as waaromheen gedraaid moet worden hangt af van de context.

De volgende richtingen zijn belangrijk. Ze zijn gedefinieerd aan de hand van lijnen en vlakken in de ruimte, die waar nodig verlengd worden tot in het oneindige. Evenwijdige lijnen in de ruimte komen dan overeen met twee precies tegenover elkaar liggende punten op de hemelbol, waarvan er een de hoofdrichting is. Evenwijdige vlakken in de ruimte komen overeen met een grootcirkel op de hemelbol. Alle lijnen die loodrecht staan op die vlakken komen overeen met twee precies tegenover elkaar liggende punten op de hemelbol, die we de polen van het vlak noemen. Een van die polen is de hoofdpool. Kruisende vlakken komen overeen met twee grootcirkels op de hemelbol die elkaar kruisen in twee punten, waarvan er een de hoofkruising is.

• De hoofdpool van het hemellichaam. We definiëren de hoofdpool als de pool van waarboven het hemellichaam tegen de klok in om zijn as lijkt te draaien. Voor de meeste hemellichamen komt dat overeen met wat de IAU de noordpool noemt, maar voor Venus en Uranus is het wat de IAU de zuidpool noemt. Zie Sec. 22.
• De hoofdpool van de baan van het hemellichaam. De twee polen van de baan zijn de precies tegenover elkaar liggende richtingen loodrecht op het vlak van de baan van het hemellichaam. De volgende formules en waarden van \( i \) en \( Ω \) bepalen welke van de twee polen de hoofdpool is.
• De hoofdrichting van de baan van de planeet. Dit is een van de twee kruispunten van het vlak van de evenaar van de planeet en het vlak van de baan van de planeet. De volgende formules bepalen welke van de twee kruispunten de hoofdrichting is. Voor de Aarde heet de hoofdrichting het lentepunt.
• De basisplek op de planeet. Dit is de plek met planetografische lengtegraad en breedtegraad gelijk aan nul, dus de kruising van de nulmeridiaan (lengtegraad nul) en de evenaar (breedtegraad nul) van de planeet.
• Het hoofdkruispunt van de evenaar van de planeet en de evenaar van de Aarde. De volgende formules bepalen welke van de twee kruispunten het hoofdkruispunt is. Voor de Aarde is dat kruispunt niet gedefinieerd.

De coördinatenstelsels die met de Aarde verbonden zijn hebben een kleine letter als symbool, en de coördinatenstelsels die met de andere planeet verbonden zijn hebben de overeenkomstige hoofdletter als symbool. De coördinatenstelsels zijn:

• \( q \) is het aardgebonden equatoriale coördinatenstelsel. Het gebruikt de noordpool van de Aarde als z-as, en de aardgebonden hoofdrichting (het lentepunt) als x-as.
• Op vergelijkbare manier is \( Q \) het planeetgebonden equatoriale coördinatenstelsel, met de hoofdpool van de planeet als z-as en de planeetgebonden hoofdrichting als de x-as.
• \( c \) is het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel. Het gebruikt de hoofdpool van de baan van de Aarde als z-as en de aardgebonden hoofdrichting (het lentepunt) als x-as.
• Op vergelijkbare manier is \( C \) het planeetgebonden eclipticale coördinatenstelsel, met de hoofdpool van de baan van de planeet als z-as en de planeetgebonden hoofdrichting als x-as.
• \( E \) is het planeetgebonden hybride equatoriale coördinatenstelsel, dat de hoofdpool van de planeet als z-as gebruikt en het hoofdkruispunt van de evenaar van de Aarde met de evenaar van de planeet als x-as. \( E \) is nodig omdat de IAU die gebruikt om de draaihoek \( W \) van de planeet te definiëren.
• \( T \) is het planeetgebonden topografische coördinatenstelsel, die de hoofdpool van de planeet als z-as gebruikt en de basisplek op de planeet als x-as. Coördinatenstelsel \( T \) draait eenmaal per siderische planeetdag rond zijn z-as, ten opzichte van coördinatenstelsels \( Q \) en \( E \).

We leiden formules af voor het omrekenen tussen al deze coördinatenstelsels en het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel. Daarmee kunnen we omrekenen tussen al die coördinatenstelsels. Alle deze coördinatenstelsels zijn rechtshandig.

De relevante beginwaarden voor alle planeten en Pluto staan in de volgende tabel. Alle hoeken zijn gegeven in graden. \( W_1 \) is gegeven in graden per aardse dag (van 86400 seconden). \( α_p, δ_p, W_0, W_1 \) komen uit Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements: 2009 en Erratum to: Reports of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements: 2006 & 2009, te vinden op //astrogeology.usgs.gov/groups/iau-wgccre. \( Ω, i, ω \) komen uit [Meeus] en zijn gebaseerd op het VSOP87-model van Betagnon en Francou, behalve voor Pluto. Alle waarden gelden voor de J2000.0-epoche (JD 2451545).

Voor de draaihoek \( W \) van de planeet op het tijdstip gegeven door Juliaanse Dagnummer \( J \) geldt

\begin{equation} W = W_0 + W_1 × (J − J_{2000}) \end{equation}

1. Fig. 1: Coördinatenstelsels C, c, Q, q

   
   Figuur 1 toont het aardgebonden equatoriale coördinatenstelsel \( q \) in magenta, het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel \( c \) in rood, het planeetgebonden eclipticale coördinatenstelsel \( C \) in geel en het planeetgebonden equatoriale coördinatenstelsel \( Q \) in blauw.

   De zwarte cirkel geeft de oneindig grote hemelbol weer, waar de Zon en sterren en planeten aan vast lijken te zitten.

   Alle getoonde ellipsen zijn eigenlijk projecties van cirkels op de hemelbol, gezien onder een hoek. Elke cirkel geeft de kruising aan van de hemelbol en een plat vlak van belang. Het deel van elke cirkel dat op de het dichtst bij de kijker gelegen helft van de hemelbol staat is getekend met een getrokken lijn, en het deel op de verre helft is getekend met een stippellijn.

   Alle getoonde rechte lijnen vanuit het centrum van de hemelbol zijn projecties van lijnen vanuit het centrum naar een punt op het oppervlak van de hemelbol. Elk van die lijnen geeft de oneindige verlenging weer van een as of pool van belang.

   De cirkels en rechte lijnen vanuit het centrum staan voor hele families van evenwijdige vlakken en lijnen in de ruimte. Omdat de hemelbol oneindig groot is lijken evenwijdige lijnen in de ruimte elkaar te ontmoeten op de hemelbol, net zoals evenwijdige treinrails elkaar lijken te ontmoeten aan de horizon. Op vergelijkbare manier lijken evenwijdige platte vlakken in de ruimte elkaar te ontmoeten in een grootcirkel op de hemelbol. In deze tekst hebben we geen interesse voor verschillen tussen de oorsprong (het nulpunt in de ruimte0 van de coördinatenstelsels, maar alleen in hun oriëntatie in de ruimte. We verschuiven alle coördinatenstelsels (zonder rotatie) zodat ze allemaal dezelfde oorsprong hebben.

   De magenta kromme geeft het vlak van de evenaar van de Aarde aan. \( \vec{z}_{q} \) is de hoofdpool van de Aarde, dat is zijn noordpool. \( \vec{x}_q \) is de hoofdrichting van de baan van de Aarde, een van de twee kruispunten van de evenaar van de Aarde en de baan van de Aarde. Voor de Aarde wordt dit het lentepunt genoemd. \( \vec{y}_q \) staat loodrecht op zowel \( \vec{x}_q \) als \( \vec{z}_q \) en maakt het aardgebonden equatoriale coördinatenstelsel af.

   De rode kromme geeft het vlak van de baan van de Aarde aan, ofwel de ecliptica. \( \vec{z}_{c} \) is de hoofdpool van de baan van de Aarde, ofwel de noordpool van de ecliptica. \( \vec{y}_c \) maakt het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel af. \( ε_0 \) is de hoek waarover het equatoriale coördinatenstelsel \( q \) moet worden gedraaid rond zijn x-as om het eclipticale coördinatenstelsel \( c \) te krijgen. In het geval van de Aarde wordt dit de helling van de ecliptica genoemd.

   De gele kromme geeft het vlak van de baan van de planeet aan. \( \vec{z}_C \) is de hoofdpool van de baan van de planeet. \( \vec{x}_C \) is the hoofdrichting van de baan van de planeet, een van de twee kruispunten van de evenaar van de planeet met de baan van de planeet. \( \vec{y}_C \) maakt het planeetgebonden eclipticale coördinatenstelsel af.

   De blauwe kromme geeft het vlak van de evenaar van de planeet aan. \( \vec{z}_Q \) is de hoofdpool van de planeet. \( \vec{x}_Q = \vec{x}_C \) is de hoofdrichting, en \( \vec{y}_Q \) maakt het planeetgebonden equatoriale coördinatenstelsel af.

   \( ε_0 = ε_{cq} \) is de hoek waarover het aardgebonden equatoriale coördinatenstelsel \( q \) rond zijn x-as moet worden gedraaid om het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel \( c \) te krijgen. Het heet de helling van de ecliptica.

   \( ε = ε_{CQ} \) is de hoek waarover het planeetgebonden equatoriale coördinatenstelsel \( Q \) gedraaid moet worden rond zijn x-as om het planeetgebonden eclipticale coördinatenstelsel \( C \) te krijgen. Men zou dit de planeetgebonden helling van de ecliptica kunnen noemen.

   Punt \( Ω \) is de klimmende knoop van de baan van de planeet (vergeleken met de baan van de Aarde). Hoek \( Ω \) is de hoek van de aardgebonden hoofdrichting (het lentepunt) naar de klimmende knoop.

   \( i = ε_{Cc} \) is de inclinatie van de baan van de planeet (vergeleken met de baan van de Aarde). Het is de hoek waarover het vlak van de baan van de Aarde moet worden gedraaid rond de klimmende knoop om het vlak van de baan van de planeet te krijgen.

   Punt \( P \) is het perifocus van de baan van de planeet: het punt waarop het het dichtste is bij de Zon.

   \( ω \) is het argument van het perifocus van de planeet. Het is de hoek waarover de klimmende knoop moet worden gedraaid rond de z-as van de baan van de planeet om \( P \) te krijgen.

   \( Π \) is de planeetgebonden eclipticale lengte van het perifocus van de planeet. Het is de hoek waarover de planeetgebonden hoofdrichting moet worden gedraaid rond de z-as van de baan van de planeet om \( P \) te krijgen.

2. \( \vec{z}_{Qq} \) zijn de coördinaten van de hoofdpool van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden equatoriale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{z}_{Qq} = \Matrix{ \cos α_p \cos δ_p \\ \sin α_p \cos δ_p \\ \sin δ_p } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{z}_{Qq} = \Matrix{+0.4461587 \\ −0.4062376 \\ +0.7974418} \]

3. Omzetten van aardgebonden equatoriale coördinaten naar aardgebonden eclipticale coördinaten gaat via een rotatie rond de x-as over hoek \( −ε_0 \):

   \begin{equation} C_{cq} = \Rotx(−ε_0) = \Matrix{ 1 \| 0 \| 0 \\ 0 \| \cos ε_0 \| \sin ε_0 \\ 0 \| −\sin ε_0 \| \cos ε_0 } \end{equation}

   en omzetten in de tegenovergestelde richting, van aardgebonden eclipticale coördinaten naar aardgebonden equatoriale coördinaten, gaat via de tegengestelde rotatie:

   \begin{equation} C_{qc} = \Rotx(ε_0) = \Matrix{ 1 \| 0 \| 0 \\ 0 \| \cos ε_0 \| −\sin ε_0 \\ 0 \| \sin ε_0 \| \cos ε_0 } \end{equation}

   \( \vec{z}_{Qc} \) zijn de coördinaten van de hoofdpool van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{z}_{Qc} = C_{cq} \vec{z}_{Qq} = \Matrix{ \cos α_p \cos δ_p \\ \sin ε_0 \sin δ_p + \cos ε_0 \sin α_p \cos δ_p \\ \cos ε_0 \sin δ_p − \sin ε_0 \sin α_p \cos δ_p } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{z}_{Qc} = \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 352.9076° en breedtegraad +63.2821°.

4. \( \vec{z}_{Cc} \) zijn de coördinaten van de hoofdpool van de baan van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{z}_{Cc} = \Rotz(Ω) \Rotx(i) \Matrix{ 0 \\ 0 \\ 1 } = \Matrix{ \sin Ω \sin i \\ −\cos Ω \sin i \\ \cos i } \end{equation}

   waar \( \Rotz \) de draaiing rond de z-as voorstelt, vergelijkbaar met de eerdergenoemde \( \Rotx \):

   \begin{equation} \Rotz(Ω) = \Matrix{ \cos Ω \| −\sin Ω \| 0 \\ \sin Ω \| \cos Ω \| 0 \\ 0 \| 0 \| 1 } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{z}_{Cc} = \Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 319.5581° en breedtegraad +88.1503°.

5. \( ε \) is de inclinatie van de baan van de planeet, de hoek tussen de hoofdpool van de planeet en de hoofdpool van de baan van de planeet. Het heeft een waarde tussen 0 en 180°. De cosinus ervan is gelijk aan het inwendige product van de twee polen:

   \begin{equation} \begin{split} \cos ε \| = \vec{z}_{Cc} ⋅ \vec{z}_{Qc} \\ \| = \sin i \left(−\cos Ω \left( \sin ε_0 \sin δ_p + \cos ε_0 \sin α_p \cos δ_p \right) + \sin Ω \cos α_p \cos δ_p\right) \\ \| + \cos i \left( \cos ε_0 \sin δ_p − \sin ε_0 \sin α_p \cos δ_p \right) \end{split} \end{equation}

   maar het via de cosinus gaan leidt voor kleine waarden van \( ε \) tot verlies van nauwkeurigheid (zie de bladzijde over afstanden aan de hemel). Een beter alternatief hiervoor is om te gaan via

   \begin{equation} t^2 = \tan^2\left( \frac{1}{2}ε \right) = \frac{\left\lVert \vec{z}_{Cc} − \vec{z}_{Qc} \right\rVert^2}{\left\lVert \vec{z}_{Cc} + \vec{z}_{Qc} \right\rVert^2} \end{equation}

   Als je hierna interesse hebt in \( \sin ε \) of \( \cos ε \) dan kun je die vinden via

   \begin{eqnarray} \sin ε \| = \frac{2t}{1 + t^2} \\ \cos ε \| = \frac{1 − t^2}{1 + t^2} \end{eqnarray}

   Voor Mars vinden we

   \begin{eqnarray*} \cos ε \| = \| \Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789} ⋅ \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} \\ \| = \| 0.0245658 × 0.4461587 + (−0.0209381) × (−0.0555116) + 0.9994789 × 0.8932306 = 0.9048877 \\ ε \| = \| \arccos(0.9048877) = 25.1918° \\ t^2 \| = \| \frac{\left\lVert \Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789} − \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} \right\rVert^2}{\left\lVert\Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789} + \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} \right\rVert^2} = \frac{\left\lVert \Matrix{−0.4215929 \\ +0.0345735 \\ +0.1062484} \right\rVert^2}{\left\lVert \Matrix{+0.4707245 \\ −0.0764497 \\ +1.8927095} \right\rVert^2} \\ \| = \| \frac{(−0.4215929)^2 + 0.0345735^2 + 0.1062484^2}{0.4707245^2 + (−0.0764497)^2 + 1.8927095^2} = \frac{0.1902247}{3.8097754} = 0.0499307 \\ ε \| = \| 2 \arctan(\sqrt{0.0499307}) = 25.1918° \\ \cos ε \| = \| \frac{1 − t^2}{1 + t^2} = \frac{1 − 0.0499307}{1 + 0.0499307} = 0.9048877 \\ \sin ε \| = \| \frac{2t}{1 + t^2} = \frac{2×\sqrt{0.0499307}}{1 + 0.0499307} = 0.4256504 \end{eqnarray*}

6. \( \vec{x}_{Cc} \) zijn de coördinaten van de hoofdrichting van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten. De hoofdrichting staat loodrecht op de hoofdpool van de planeet en ook op de hoofpool van de baan van de planeet. We rekenen dit uit met het uitwendige product (= kruisproduct) van de twee polen. Het kruisproduct staat loodrecht op beide factoren. De volgorde van de twee factoren bepaalt welke van de twee loodrechte richtingen gekozen wordt.

   \begin{equation} \vec{x}_{Cc} = \frac{\vec{z}_{Qc} × \vec{z}_{Cc}}{\left\lVert \vec{z}_{Qc} × \vec{z}_{Cc} \right\rVert} = \frac{\vec{z}_{Qc} × \vec{z}_{Cc}}{|\sin ε|} \end{equation}

   Delen door de lengte van het kruisproduct of door \( |\sin ε| \) is nodig omdat de lengte van dit kruisproduct niet per se gelijk is aan 1.

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{x}_{Cc} = \frac{\Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} × \Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789}}{0.4256504} = \frac{\Matrix{−0.0367801 \\ −0.4239833 \\ −0.0079780}}{0.4256504} = \Matrix{−0.0864092 \\ −0.9960834 \\ −0.0187432} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 265.0421° en breedtegraad −1.0740°.

7. Nu dat we \( \vec{x}_{Cc} \) en \( \vec{z}_{Cc} \) hebben kunnen we de coördinatenbasis \( C_{Cc} \) afmaken voor het omzetten van aardgebaseerde eclipticale coördinaten in planeetgebonden eclipticale coördinaten. We combineren de drie vectoren als rijen van de matrix.

   \begin{eqnarray} \vec{y}_{Cc} \| = \vec{z}_{Cc} × \vec{x}_{Cc} \\ C_{Cc} \| = \Matrix{ \vec{x}'_{Cc} \\ \vec{y}'_{Cc} \\ \vec{z}'_{Cc} } \end{eqnarray}

   waar het \( ' \)-symbool de transpositie aangeeft die rijen van een matrix in kolommen verandert en kolommen in rijen.

   De coördinatenbasis \( C_{cC} \) om planeetgebonden eclipticale coördinaten om te zetten in aardgebonden eclipticale coördinaten is de inverse van \( C_{Cc} \), gelijk aan

   \begin{equation} C_{cC} = C_{Cc}^\text{inv} = C_{Cc}' \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{y}_{Cc} = \Matrix{+0.0245658 \\ −0.0209381 \\ +0.9994789} × \Matrix{−0.0864092 \\ −0.9960834 \\ −0.0187432} = \Matrix{+0.9959568 \\ −0.0859037 \\ −0.0262788} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 355.0703° en breedtegraad −1.5058°. Dan

   \begin{eqnarray*} C_{Cc} \| = \| \Matrix{−0.0864092 \| −0.9960834 \| −0.0187432 \\ +0.9959568 \| −0.0859037 \| −0.0262788 \\ +0.0245658 \| −0.0209381 \| +0.9994789} \\ C_{cC} \| = \| \Matrix{−0.0864092 \| +0.9959568 \| +0.0245658 \\ −0.9960834 \| −0.0859037 \| −0.0209381 \\ −0.0187432 \| −0.0262788 \| +0.9994789} \end{eqnarray*}

8. \( \vec{P}_c \) zijn de coördinaten van het perifocus van de baan van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden ecliptical coördinaten.

   \begin{equation} \vec{P}_c = \Rotz(Ω) \Rotx(i) \Rotz(ω) \Matrix{ 1 \\ 0 \\ 0 } = \Matrix{ \cos Ω \cos ω − \sin Ω \sin ω \cos i \\ \cos Ω \sin ω \cos i + \sin Ω \cos ω \\ \sin ω \sin i } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{P}_c = \Matrix{+0.6486767 \| −0.7610641 \| 0 \\ +0.7610641 \| +0.6486767 \| 0 \\ 0 \| 0 \| +1} \Matrix{+1 \| 0 \| 0 \\ 0 \| +0.9994789 \| −0.0322782 \\ 0 \| +0.0322782 \| +0.9994789} \Matrix{+0.2840512 \| +0.9588091 \| 0 \\ −0.9588091 \| +0.2840512 \| 0 \\ 0 \| 0 \| +1} \Matrix{+1 \\ 0 \\ 0} = \Matrix{+0.9135923 \\ −0.4054519 \\ −0.0309486} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 336.0684° en breedtegraad −1.7735°.

9. \( \vec{P}_C \) zijn de coördinaten van het perifocus van de baan van de planeet, uitgedrukt in planeetgebonden eclipticale coördinaten. We vinden het door \( \vec{P}_c \) om te zetten van aardgebonden eclipticale coördinaten naar planeetgebonden eclipticale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{P}_C = C_{Cc} \vec{P}_c \end{equation}

   Het perifocus is deel van de baan van de planeet, dus ligt in het vlak van die baan, dus zijn zijn planeetgebonden eclipticale z-coördinaat en breedtegraad gelijk aan 0.

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{P}_C = \Matrix{−0.0864092 \| −0.9960834 \| −0.0187432 \\ +0.9959568 \| −0.0859037 \| −0.0262788 \\ +0.0245658 \| −0.0209381 \| +0.9994789} \Matrix{+0.9135923 \\ −0.4054519 \\ −0.0309486} = \Matrix{+0.3255013 \\ +0.9455416 \\ 0} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 71.0041° en breedtegraad 0°.

10. \( Π \) is de planeetgebonden eclipticale lengtegraad van het perifocus.

    \begin{equation} Π = \arctan(P_{2C}, P_{1C}) \end{equation}

    Voor Mars vinden we

    \[ Π = \arctan(0.9455416, 0.3255013) = 71.0041° \]

11. Nu kunnen we het planeetgebonden eclipticale coördinatenbasis afmaken. We hadden \( \vec{z}_{Qc} \) al, en de hoofdrichting wordt gedeeld tussen het planeetgebonden equatoriale coördinatenstelsel en het planeetgebonden eclipticale coördinatenstelsel, dus \( \vec{x}_{Qc} = \vec{x}_{Cc} \) en we hadden \( \vec{x}_{Cc} \) al. We maken het coördinatenstelsel \( C_{Qc} \) af.

    \begin{eqnarray} \vec{y}_{Qc} \| = \| \vec{z}_{Qc} × \vec{x}_{Qc} \\ C_{Qc} \| = \| \Matrix{ \vec{x}'_{Qc} \\ \vec{y}'_{Qc} \\ \vec{z}'_{Qc} } \\ C_{cQ} \| = \| C'_{Qc} \end{eqnarray}

    Voor Mars vinden we

    \begin{eqnarray*} \vec{y}_{Qc} \| = \| \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} × \Matrix{−0.0864092 \\ −0.9960834 \\ −0.0187432} = \Matrix{+0.8907726 \\ −0.0688209 \\ −0.4492080} \\ C_{Qc} \| = \| \Matrix{−0.0864092 \| −0.9960834 \| −0.01874317 \\ +0.8907726 \| −0.0688209 \| −0.4492080 \\ +0.4461587 \| −0.0555116 \| +0.8932306} \\ C_{cQ} \| = \| \Matrix{−0.0864092 \| +0.8907726 \| +0.4461587 \\ −0.9960834 \| −0.0688209 \| −0.0555116 \\ −0.0187432 \| −0.4492080 \| +0.8932306} \end{eqnarray*}

18. Afleiding van \( θ_0 \)

Fig. 2: Coördinatenstelsels C, E, Q, q, T

Coördinatenstelsels \( q \), \( Q \) en \( C \) werden hierboven al in detail beschreven.

\( \vec{x}_E \) is het hoofdkruispunt van de evenaar van de Aarde en de evenaar van de planeet. Dit is de basis voor de planeetdraaihoek \( W \) die de IAU gebruikt.

\( \vec{x}_T \) is de basisplaats op de planeet (met topografische lengtegraad en breedtegraad gelijk aan nul). Het draait eenmaal per siderische planeetdag rond de draaias van de planeet (\( \vec{z}_Q = \vec{z}_E = \vec{z}_T \)). De nulmeridiaan van de planeet is aangegeven met de (voorkant) streeplijn- en (achterkant) stippellijn-delen van de ellips die langs \( \vec{x}_T \) en \( \vec{z}_T \) gaat.

De siderische tijdhoek \( θ_0 \) zegt welke planeetgebonden rechte klimming er op de epoche (\( J_{2000} \) door het zenit van de waarnemer op de basisplaats \( \vec{x}_T \) van de planeet gaat. Dit is gelijk aan hoever de basisplaats van de planeet is gedraaid voorbij de planeetgebonden hoofdrichting \( \vec{x}_C = \vec{x}_Q \).

De hoek \( υ = θ_0 − W_0 \) zegt hoever de hoofdkruising \( \vec{x}_E \) van de planeet voorbij de hoofdrichting \( \vec{x}_C = \vec{x}_Q \) van de planeet is.

Hoe bereken je \( θ_0 \)?

1. \( \vec{x}_{Eq} \) zijn de coördinaten van het hoofdkruispunt van de evenaar van de planeet en de evenaar van de Aarde, uitgedrukt in aardgebonden equatoriale coördinaten, zoals gedefinieerd door de IAU.

   \begin{equation} \vec{x}_{Eq} = \Matrix{ \cos(α_p + 90°) \cos 0 \\ \sin(α_p + 90°) \cos 0 \\ \sin 0 } = \Matrix{ −\sin α_p \\ \cos α_p \\ 0 } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{x}_{Eq} = \Matrix{+0.6732522 \\ +0.7394129 \\ 0} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 47.6814° en breedtegraad 0°.

2. \( \vec{x}_{Ec} \) zijn de coördinaten van het hoofdkruispunt, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{x}_{Ec} = \Rotx(−ε_0) \vec{x}_{Eq} = \Matrix{ −\sin α_p \\ \cos ε_0 \cos α_p \\ −\sin ε_0 \cos α_p } \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{x}_{Ec} = \Matrix{+0.6732522 \\ +0.6783981 \\ −0.2941216} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 45.2181° en breedtegraad −17.1049°.

3. Nu hebben we de x-as \( \vec{x}_{Ec} \) van het planeetgebonden hybride equatoriale coördinatenstelsel, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten. De z-as is de hoofdpool van de planeet

   \begin{equation} \vec{z}_{Ec} = \vec{z}_{Qc} \end{equation}

   Nu dat we twee van de drie assen hebben kunnen we het coördinatenstel \( C_{Ec} \) afmaken voor het omzetten van aardgebonden eclipticale coördinaten naar planeetgebonden hybride equatoriale coördinaten.

   \begin{eqnarray} \vec{y}_{Ec} \| = \vec{z}_{Ec} × \vec{x}_{Ec} \\ C_{Ec} \| = \Matrix{ \vec{x}'_{Ec} \\ \vec{y}'_{Ec} \\ \vec{z}'_{Ec} } \\ C_{cE} \| = C'_{Ec} \end{eqnarray}

   Normalisatie van het kruisproduct is nu niet nodig omdat de twee factoren loodrecht op elkaar staan en lengte 1 hebben.

   Voor Mars vinden we

   \begin{eqnarray*} \vec{y}_{Ec} \| = \| \Matrix{+0.4461587 \\ −0.0555116 \\ +0.8932306} × \Matrix{+0.6732522 \\ +0.6783981 \\ −0.2941216} = \Matrix{−0.5896388 \\ +0.7325944 \\ +0.3400465} \\ C_{Ec} \| = \| \Matrix{+0.6732522 \| +0.6783981 \| −0.2941216 \\ −0.5896388 \| +0.7325944 \| +0.3400465 \\ +0.4461587 \| −0.0555116 \| +0.8932306} \\ C_{cE} \| = \| \Matrix{+0.6732522 \| −0.5896388 \| +0.4461587 \\ +0.6783981 \| +0.7325944 \| −0.0555116 \\ −0.2941216 \| +0.3400465 \| +0.8932306} \end{eqnarray*}

4. \( \vec{x}_{EQ} \) zijn de coördinaten van het hoofdkruispunt van de evenaars van de Aarde en van de planeet, uitgedrukt in planeetgebonden equatoriale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{x}_{EQ} = C_{Qc} \vec{x}_{Ec} \end{equation}

   De z-coördinaat van die vector is per definitie gelijk aan 0, want het hoofdkruispunt is op de evenaar van de planeet.

   Voor Mars vinden we

   \[ \vec{x}_{EQ} = \Matrix{−0.0864092 \| −0.9960834 \| −0.0187432 \\ +0.8907726 \| −0.0688209 \| −0.4492080 \\ +0.4461587 \| −0.0555116 \| +0.8932306} \Matrix{+0.6732522 \\ +0.6783981 \\ −0.2941216} = \Matrix{−0.7284035 \\ +0.6851484 \\ 0} \]

   wat overeenkomt met aardgebonden eclipticale lengtegraad 136.7527° en breedtegraad 0°.

5. \( υ \) is de planeetgebonden rechte klimming van het hoofdkruispunt \( \vec{x}_E \). Dit is de hoek tussen de planeetgebonden hoofdrichting en het hoofdkruispunt.

   \begin{equation} υ = \arctan(x_{2EQ}, x_{1EQ}) \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ υ = \arctan(0.6851484, −0.7284035) = 136.7527° \]

6. Bereken \( θ_0 \) uit \( W_0 \) en \( υ \):

   \begin{equation} θ_0 = W_0 + υ \end{equation}

   Voor Mars vinden we

   \[ θ_0 = 176.63° + 136.7527° = 313.3827° \]

19. Planeetgebonden topografische coördinaten

We leiden de vertaling van coördinaten af tussen het planeetgebonden topografische coördinatenstelsel \( T \) en het aardgebonden eclipticale coördinatenstelsel \( c \). Het coördinatenstelsel \( T \) is van alle coördinatenstelsels die op deze bladzijde besproken worden het enige dat ronddraait. De oriëntatie van coördinatenstelsel \( T \) hangt af van de draaihoek \( W \)

\begin{equation} W = W_0 + W_1 × (J − J_{2000}) \end{equation}

De omzetting van \( T \) naar \( c \) gaat als volgt:

1. \( \vec{z}_{Tc} \) zijn de coördinaten van de hoofdpool van de planeet, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten.

   \begin{equation} \vec{z}_{Tc} = \vec{z}_{Ec} \end{equation}

2. \( \vec{x}_{Tc} \) zijn de coördinaten van de basisplaats op de planeet, uitgedrukt in aardgebonden eclipticale coördinaten. We vinden \( \vec{x}_{Tc} \) uit \( \vec{x}_{Ec} \) door die te vertalen naar het planeetgebonden equatoriale coördinatensysteem \( Q \), dan over hoek \( W \) te draaien rond de z-as van \( Q \) (de draaias van de planeet), en dan terug te vertalen naar het aardgebonden eclipticale coördinatensysteem.

   \begin{equation} \vec{x}_{Tc} = C_{cQ} \Rotz(W) C_{Qc} \vec{x}_{Ec} = C_{cQ} \Matrix{ \cos W \| −\sin W \| 0 \\ \sin W \| \cos W \| 0 \\ 0 \| 0 \| 1 } C_{Qc} \vec{x}_{Ec} \end{equation}

3. \( \vec{y}_{Tc} \) vinden we uit \( \vec{x}_{Tc} \) en \( \vec{z}_{Tc} \) die loodrecht op elkaar staan.

   \begin{equation} \vec{y}_{Tc} = \vec{z}_{Tc} × \vec{x}_{Tc} \end{equation}

4. Nu we alledrie de assen hebben kunnen we de coördinatenbasis \( C_{Tc} \) vormen voor het omzetten van aardgebonden eclipticale coördinaten naar planeetgebonden topografische coördinaten, en \( C_{cT} \) voor de omgekeerde omzetting.

   \begin{eqnarray} C_{Tc} \| = \Matrix{ \vec{x}'_{Tc} \\ \vec{y}'_{Tc} \\ \vec{z}'_{Tc} } \\ C_{cT} \| = C'_{Tc} \end{eqnarray}

\( C_{Tc} \) en \( C_{cT} \) veranderen met de tijd, omdat ze afhangen van \( W \) die verandert met de tijd.

20. Planeetgebonden horizontale coördinaten

Uit het planeetgebonden topografische coördinatenstelsel \( T \) kunnen we het planeetgebonden horizontale coördinatenstelsel \( H \) afleiden voor de plek \( A \) op breedtegraad \( Φ \) en lengtegraad \( Λ \) op de planeet, aannemend dat de planeet bolvormig is. Als de hoofdpool de noordpool is, dan geeft \( Φ \) de noorderbreedte aan en \( Λ \) de oosterlengte.

De z-as van \( H \) wijst naar het zenit van een waarnemer op die plek. De y-as van \( H \) wijst op die plek langs het oppervlak naar de hoofdpool. De x-as staat loodrecht op de y- en z-as en maakt het coördinatenstelsel rechtshandig. Als de hoofdpool de noordpool is, dan wijst de x-as naar het oosten.

Coördinatenstelsel \( T \) is gelijk aan coördinatenstelsel \( H \) van de hoofdplek op de planeet, behalve dat de x-as van \( T \) gelijk is aan de z-as van \( H \), de z-as van \( T \) gelijk is aan de y-as van \( H \), en de y-as van \( T \) gelijk is aan de x-as van \( H \).

Voor plek \( A \) op de planeet vinden we \( H \) als volgt uit \( T \):

• Roteer over hoek \( −Λ \) om de z-as zodat de x-as wijst van het centrum van de planeet naar de meridiaan van de plek.
• Roteer over hoek \( Φ \) om de y-as zodat de x-as wijst van het centrum van de planeet naar de plek.
• Vervang de assen als volgt: \( (x, y, z) → (z, x, y) \).

Samen geeft dit:

\begin{eqnarray} C_{HT} \| = \Matrix{ 0 \| 1 \| 0 \\ 0 \| 0 \| 1 \\ 1 \| 0 \| 0 } \Roty(Φ) \Rotz(−Λ) = \Matrix{ −\sin Λ \| \cos Λ \| 0 \\ −\cos Λ \sin Φ \| −\sin Λ \sin Φ \| \cos Φ \\ \cos Λ \cos Φ \| \sin Λ \cos Φ \| \sin Φ } \\ C_{TH} \| = C'_{HT} = \Matrix{ −\sin Λ \| −\cos Λ \sin Φ \| \cos Λ \cos Φ \\ \cos Λ \| −\sin Λ \sin Φ \| \sin Λ \cos Φ \\ 0 \| \cos Φ \| \sin Φ } \end{eqnarray}

Even controleren. De richting van het centrum van de planeet naar plek \( A \) op breedtegraad \( Φ \) en lengtegraad \( Λ \) is, uitgedrukt in topografische coördinaten:

\begin{equation} \vec{r}_{AT} = \Matrix{ \cos Λ \cos Φ \\ \sin Λ \cos Φ \\ \sin Φ } \end{equation}

en dat is inderdaad gelijk aan de z-as (3e kolom) van \( C_{TH} \), dus de richting van het zenit van punt \( A \), uitgedrukt in topografische coördinaten.

21. Coördinatentransformaties tussen alle systemen

Fig. 3: Coördinatentransformaties

• \( C_{Cq} = C_{Cc} C_{cq} \)
• \( C_{EC} = C_{Ec} C_{cC} \)
• \( C_{Hq} = C_{HT} C_{Tc} C_{cq} \)

22. Noordpool, Zuidpool, Hoofdpool

De polen van een hemellichaam zijn de twee kruispunten van de draaias van een hemellichaam en het het oppervlak van dat hemellichaam. We noemen de ene de noordpool en de andere de zuidpool, maar welke is welke? Niet iedereen is het daar over eens. Er zijn ruwweg twee manieren waarop je kunt kiezen welke pool de noordpool is en welke de zuidpool:

1. De noordpool is de pool die naar de noordkant van een toepasselijk fundamenteel vlak wijst.
2. De noordpool is de pool van waarboven gezien het hemellichaam tegen de klok in rond zijn as draait.

De IAU gebruikt de eerste van deze definities voor de planeten van het Zonnestelsel. Het fundamentele vlak is dan het Invariabele Vlak van het Zonnestelsel ― waarvan de polen de gemiddelde draaias zijn van alle draaiing en rotatie in het Zonnestelsel. De noordkant van dat vlak is de kant waarheen de noordpool van de Aarde wijst. Volgens de definitie van de IAU wijzen de noordpolen van alle planeten van het Zonnestelsel naar de noordkant van het Invariabele Vlak van het Zonnestelsel.

Voor alle andere hemellichamen, dus onder andere voor dwergplaneten en planetoïden en kometen in ons Zonnestelsel, en voor alle hemellichamen buiten ons Zonnestelsel (inclusief planeten) gebruikt de IAU de tweede definitie.

Het grote voordeel van de tweede definitie is dat je daarvoor alleen maar naar het hemellichaam zelf hoeft te kijken, en niet hoeft te zoeken naar een of ander fundamenteel vlak om de pool mee te kunnen vergelijken. De ligging van dat fundamentele vlak is misschien niet eens erg nauwkeurig bekend.

Voor de meeste planeten van het Zonnestelsel geven beide definities dezelfde uitkomst ― maar niet voor Venus en Uranus. Als je boven de IAU-noordpool van Venus of Uranus hangt dan lijken die planeten met de klok mee rond hun as te draaien.

Ook voor Pluto geven beide definities niet dezelfde uitkomst. Tot 2006 werd Pluto gezien als een (gewone) planeet, en viel daarmee onder de eerste definitie, dus de pool van Pluto die naar het noorden van het Invariabele Vlak van het Zonnestelsel wees werd gezien als de noordpool van Pluto. Sinds 2006 wordt Pluto beschouwd als een dwergplaneet, die valt onder de tweede definitie, dus nu wordt de pool van waarboven gezien Pluto tegen de klok in om zijn as draait gezien als de noordpool ― en dat is de andere pool dan die tot 2006 als noordpool werd gezien.

Omdat het niet altijd duidelijk is welke pool nou de noordpool is gebruik ik hierboven veel de term "hoofdpool". Dan kun je niet ten onrechte denken dat je wel weet hoe die gedefinieerd is, wat bij "noordpool" wel zou kunnen.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/zonpositie.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19